第十章无穷级数小结-PPT.ppt

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1、第十章无穷级数小结 级数的基本性质级数的基本性质(四则运算法则四则运算法则)且且结论结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质设两收敛级数设两收敛级数 =1nnas =s s1nnb2 2,则级数则级数 =1)(nnnba收敛收敛,其和为其和为s s s.注意注意2结论：在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性结论：在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.注意注意收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.收敛收敛 发散发散

2、3性质性质5 5 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:注意注意2.2.必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件.1.1.（逆否命题）如果级数的一般项不趋于零（逆否命题）如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;常用来证明级数发散常用来证明级数发散4正项级数审敛法正项级数审敛法1.2.比较判别法比较判别法：3.比较法极限形式：比较法极限形式：5注意注意:6交错级数：交错级数：注意：此方法只能判别是否收敛，不能用于判断发散注意：此方法只能判别是否收敛，不能用于判断发散绝对收敛：绝对收敛：条件收敛：条件收敛：7注意注意:结论：级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛结论：级数逐项取绝对值后收敛，原

3、级数收敛关系：关系：补充定理补充定理 如果任意项级数如果任意项级数满足条件满足条件8大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点9定理（定理（Dirichelet判别法）判别法）定理（定理（Abel判别法）判别法）若（若（1）为单调有界数列，为单调有界数列，1011提示:由定义在区间I上的函数列un(x)所构成的表达式 u1(x)u2(x)u3(x)un(x)函数项级数的概念v函数项级数u1(x)u2(x)u3(x)un(x),xI.v收敛点与发散点 提示:对于每一个确定的值x0

4、I,函数项级数成为常数项级数 u1(x0)u2(x0)u3(x0)un(x0),这个常数项级数或者收敛或者发散.使函数项级数收敛的点x0称为函数项级数的收敛点;使函数项级数发散的点x0称为函数项级数的发散点.收敛点的全体称为收敛域,发散点的全体称为发散域.12v函数项级数的和函数 v函数项级数的部分和 和函数的定义域就是级数的收敛域.在收敛域上,函数项级数un(x)的和是x的函数s(x),它称为函数项级数un(x)的和函数,并写成s(x)un(x).函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x),即 sn(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x).在收敛域上有sn(x)s(x)(n).

5、注:13v函数项级数的余项 函数项级数un(x)的余项记为rn(x),它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差:rn(x)s(x)sn(x).在收敛域上有rn(x)0(n).v函数项级数的和函数 v函数项级数的部分和 和函数的定义域就是级数的收敛域.在收敛域上,函数项级数un(x)的和是x的函数s(x),它称为函数项级数un(x)的和函数,并写成s(x)un(x).函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x),即 sn(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x).在收敛域上有sn(x)s(x)(n).14定义定义2 则称则称函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数函数项级数的一致收敛性

6、是由它的部分和函数 列来确定列来确定15命题命题1 1：一致收敛性充分条件：一致收敛性充分条件：命题命题2 2：不：不一致收敛性充分条件：一致收敛性充分条件：16命题命题3 3：不：不一致收敛的极限形式：一致收敛的极限形式：17定理定理 2 (一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则)函数项级数函数项级数 在数集在数集 D 上一致收敛的充要条件为上一致收敛的充要条件为:对任对任,存在正整数存在正整数给的正数给的正数，使当，使当 对一切对一切 和和或或 定理中当定理中当 p=1 时时,得到函数项级数一致收敛的一得到函数项级数一致收敛的一 个必要条件（定理个必要条件（定理1）:一致收敛的函数项级数的通

7、项在收敛域上一致趋于零。一致收敛的函数项级数的通项在收敛域上一致趋于零。函数项级数一致收敛判别法函数项级数一致收敛判别法 18定理定理3 3（强级数判别法（强级数判别法(Weierstrass)(Weierstrass)判别法）判别法）一致收敛性简便的判别法：一致收敛性简便的判别法：19定理定理 4（狄利克雷判别法）（狄利克雷判别法）设设 un(x)的部分和函数列的部分和函数列在在 I 上一致有界；上一致有界；对每一个对每一个 xI，Sn(x)是单调的；是单调的；vn(x)在在 I 上一致收敛于上一致收敛于 0，则函数项，则函数项级数级数un(x)vn(x)在数集在数集 I 上一致收敛上一致收

8、敛20 定理定理 5（阿贝尔判别法）（阿贝尔判别法）设设 un(x)在区间在区间 I 上一致收敛；上一致收敛；对每一个对每一个 xI，vn(x)是单调的；是单调的；vn(x)在在 I 上一致有界，即存在上一致有界，即存在 M 0,使得对任何使得对任何 xI，|vn(x)|M,n=1,2,.则函数项级数则函数项级数un(x)vn(x)在数集在数集 I 上一致收敛上一致收敛21 一致收敛函数项级数的性质一致收敛函数项级数的性质 定理定理（连续性）（连续性）若函数项级数若函数项级数un(x)在在a,b 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在a,b 上也连续上

9、也连续注意：注意：1.和函数的连续性是连续的函数项级数一致收敛和函数的连续性是连续的函数项级数一致收敛的必要条件。的必要条件。2.在定理的条件下，求和运算与求极限运算可以在定理的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即交换顺序，即22 推论推论 设设 X是一区间（开，闭，或半开半闭），是一区间（开，闭，或半开半闭），若函数项级数若函数项级数un(x)在在X 上连续，但其和函数在上连续，但其和函数在X上不连续则级数在上不连续则级数在X上不一致收敛上不一致收敛 注意：推论是定理注意：推论是定理6的逆否命题。判别函数项级数的逆否命题。判别函数项级数不一致收敛的充分条件。不一致收敛的充分条件。23

10、定理定理7 (逐项求积）逐项求积）定理定理8 (逐项求导）逐项求导）24此时正数此时正数 R 称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.规定规定问题问题 如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?（R，R）称为幂级数的）称为幂级数的收敛区间收敛区间收敛区域收敛区间收敛的区间端点收敛区域收敛区间收敛的区间端点25定理定理2 2，3 326 幂级数的性质则在(R,R)与(R,R)中较小的区间内有加法：减法：乘法：a0 b0 (a0 b1 a1 b0)x (a0 b2 a1 b1a2 b0)x2 (a0 bn a1 bn1 an b0)xn 幂级数的运算：27定理定理4 4幂级数的一致收敛性（幂

11、级数在收敛区间上的内幂级数的一致收敛性（幂级数在收敛区间上的内闭一致性）闭一致性）28且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.29且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.3031注意：若函数能展开成幂级数，则其系数唯一。注意：若函数能展开成幂级数，则其系数唯一。32定理定理2 2称为称为n阶余项阶余项.微分型余项微分型余项33关于余项关于余项 拉格朗日型余项拉格朗日型余项柯西型余项柯西型余项34函数函数 f(x)展开成幂级数的具体步骤：展开成幂级数的具体步骤：2.2.写出幂级数写出幂级数 ，并求其收敛域，并求其收敛域 D.如果是如果是,则则 f(x)在在 D上可展开成泰勒级数上可展开成泰勒级数 35二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式或麦克劳林利用泰勒公式或麦克劳林公式公式间接展开法间接展开法根据展开式的唯一性根据展开式的唯一性,利用已知展开式利用已知展开式,通过变量代换通过变量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项逐项求导求导,逐项积分等方法逐项积分等方法,求展开式求展开式.36