有限元分析—空间问题简介-PPT.ppt

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1、 有限元分析及应用 Finite Element Analysis andApplicationCollege of Mechanical Engineering Yangzhou University TEL：4 MP:Email:1 5.1 轴对称问题 5.1.1基本概念、基本方程 5.1.2节点位移与节点载荷 5.1.3单元刚度矩阵 5.1.4单元刚度矩阵的叠加 5.1.5边界条件 5.1.6工程实例 5.2 空间问题有限元法 5.2.1基本方程 5.2.2四面体单元 5.2.3等参数单元 5.2.4空间六面体单元 5.3工程实例College of Mechanical Enginee

2、ring Yangzhou University有限元分析及应用 第 5 章 空间问题简介第 5 章 空间问题简介2第五章 空间问题简介 工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作用的回转体，本章简单介绍两类问题：轴对称问题和空间问题的有限元计算。空间问题的主要困难：（1）离散化不直观（网格自动生成）；（2）未知量的数目剧增（对某些问题简化,轴对称问题）。空间分析的优点：精确。3 1）几何形状关于轴线对称；2）作用于其上的载荷关于轴线对称。3）约束条件关于轴线对称。因过z轴的任一子午面都是对称面，其上任一点p只在该平面上发生位移，即弹性体内

3、任一点的位移、应力与应变只与坐标r、z有关，与 无关。从而，轴对称问题可转化为二维问题，但因与平面问题有区别，常称为二维半问题。5-1 轴对称问题zrxp柱坐标系45-1 轴对称问题位移分量应力分量应变分量虚功方程基本方程55-1 轴对称问题步骤1：选择单元类型步骤2：选择位移函数步骤3：确定应变位移和应力应变关系步骤4：推导单元刚度阵刚度阵的推导：刚度阵的推导：65-1 轴对称问题单元位移函数利用节线位移，待定系数，可得 zroi(r z)rmurjuriumwjwiwi im(r z)m mj(r z)j j单元类型：三角形单元 单元类型：三角形单元75-1 轴对称问题其中 为r的函数，故

4、B的元素不是常量，与平面三角形单元有区别。当r 0时，f不存在，即奇异，需近似处理。应变矩阵应变矩阵刚度矩阵85-1 轴对称问题1）轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相 连接；2）节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；3）单元边界是一回转面；4）应变分量 中出现了，即应变不是常量；且应变矩阵在r 0 时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）（与平面三角形单元的区别）9大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流 大家有疑问的，可以询问和交流105-2 空间问题有限元法 基本方程115-3 四面体单元1.单元类型

5、：2.位移函数线性位移函数四面体单元节点位移向量125-3 四面体单元 这些系数为四面体体积V各行各元素的代数余子式利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式其中135-3 四面体单元3.应变矩阵其中显然B为常量矩阵，故四面体单元为常应变单元145-3 四面体单元4.刚度矩阵155-4 等参数单元 从前可知，矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元。本章将介绍的等参单元具有此特点。所谓等参单元：即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。由

6、于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。165-4 等参数单元局部坐标总体坐标变换函数1.等参变换 将局部坐标下的规则形状单元转换为总体坐标下几何形状扭曲的单元，以满足任意形状离散的要求。m为单元节点数，Ni为局部坐标下表示的形函数，xi为总体坐标下的节点坐标对四节点四边形等参元，Ni最方便的变换函数是:175-4 等参数单元变换实例xyz t 3(1,1)4(-1,1)2(1,-1)1(-1,-1)y=1=1=-1=12(x2,y2)1(x1,y1)3(x3,y3)4(x4,y4)

7、uvP(x,y)185-4 等参数单元 2.形函数的性质同前注意：不是直线在矩形单元上的变化如图195-4 等参数单元 形函数N1的正确表示直线（1,-1）直线不是平面205-4 等参数单元单元内任意点p的位移函数(2D)：其中：Ni和坐标变换式的形函数相同。3.等参单元位移函数215-4 等参数单元1）应变矩阵注意：应变为位移对x，y的导数，如四节点四边形单元计算式如右：2）复合求导利用x，y，z与局部坐标系的关系，有用于二维等参元4.等参单元刚度矩阵225-4 等参数单元 记为矩阵(如四节点四边形单元)J称为Jacobi矩阵，由坐标变换式确定，当J的逆存在时，则形函数对x，y的导数可求，即

8、应变阵可求。2）复合求导235-4 等参数单元应变矩阵245-4 等参数单元 一般而言，等参单元的刚度积分很难有解析式，必须进行数值积分，目前普遍采用高斯数值积分法。(略)3）刚度矩阵255-5 空间六面体单元8(x8,y8,z8)1234(x4,y4,z4)5(x5,y5,z5)67xzy 23(1,-1,1)48(1,1,-1)657265-5 空间六面体单元（i=1,2,8)其中：例：形函数275-5 空间六面体单元1）等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件。证 明略。2）等参单元存在的充要条件是：为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为

9、凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。等参单元的几点说明：285-5 空间六面体单元3）等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。4）上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型等参元，只是阶次提高，单元自由度相应增加，计算更复杂，积分更困难，实际中，很少超过3次曲线型。5）上述推导要求：保持坐标变换中几何模式阶次与描述单元位移函数中形函数的阶次相同。如取坐标变换的几何模式阶次较单元的位移函数的阶次高，则称此单元为超单元，反之，为亚单元。这两类单元的收敛性也可得到满足。略6）当然，也可取描述单元几何形状的几何模式不是形函数的，如p-element29下课，谢谢大家！30