稳定性模型--食饵捕食者模型-PPT.ppt

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1、稳定性模型-食饵捕食者模型7.5 食饵-捕食者模型(种群的弱肉强食)种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠 捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如 食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫.模型的历史背景一次世界大战期间地中海 渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？食饵(甲)数量 x(t),捕食者(乙)数量 y(t)甲独立生存的增长率 r乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比乙独立生存的死亡率 d甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比方程(1),(2)无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a 捕食者掠取食饵能力 b 食饵供养捕食者能力t x(t)y(t)0

2、 20.0000 4.00000.1000 21.2406 3.96510.2000 22.5649 3.94050.3000 23.9763 3.9269 5.1000 9.6162 16.72355.2000 9.0173 16.2064 9.5000 18.4750 4.04479.6000 19.6136 3.99689.7000 20.8311 3.9587用数学软件MATLAB求微分方程数值解计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相轨线(x,y)是封闭曲线观察，猜测x(t),y(t)的周期约为10.7xmax 99.3,xmin 2.0,ymax 28.4,ymin

3、2.0用数值积分可算出 x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25,y(t)的平均值约为10.食饵-捕食者模型(Volterra)Volterra模型的平衡点及其稳定性平衡点稳定性分析P点稳定性不能用近似线性方程分析 p=0,q 0P:临界状态 q 0P 不稳定 大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点 可以互相讨论下，但要小声点 消去dt用相轨线分析 点稳定性c 由初始条件确定取指数x0fmf(x)xOg(y)gmy0yO在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析 点稳定性相轨线时无相轨线以下设y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0POx1x2Q1Q2

4、Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线退化为P点 存在x1 x0 x2,使 f(x1)=f(x2)=p存在y1 y0 y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fmOg(y)gmy0yO相轨线P中心x是x1,x2内任意点相轨线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数(周期记 T)求x(t),y(t)在一周期的平均值轨线中心用相轨线分析 点稳定性T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t)的“相位”领先 y(t)模型解释初值相轨线的方向模型解释r 食饵增长率d 捕食者死亡率b 食饵供养捕食者能力捕食者 数量食饵数量Pr/

5、ad/ba 捕食者掠取食饵能力捕食者数量与r成正比,与a成反比食饵数量与d成正比,与b成反比模型解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？r r-1,dd+1捕捞战时捕捞r r-2,dd+2,2 1食饵(鱼)减少，捕食者(鲨鱼)增加自然环境 还表明：对害虫(食饵)益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少.xyO食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进Volterra模型改写多数食饵捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点.加Logistic项有稳定平衡点 相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某一条闭轨线

6、，就进入另一条闭轨线，不恢复原状.自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状.食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进r1=1,N1=20,1=0.1,w=0.2,r2=0.5,2=0.18相轨线趋向极限环结构稳定 两种群模型的几种形式 相互竞争相互依存弱肉强食相轨线x1ox2平面称为该方程组的相平面；该方程组的解在x1ox2平面（相平面）上所描述的曲线称为该方程组的相轨线.用数学软件MA TLAB求微分方程数值解function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1

7、);(-d+b*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0)plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,figureplot(x(:,1),x(:,2),gridxbar=sum(x(1:107,1)/107ybar=sum(x(1:107,2)/107非线性方程系数矩阵特征方程系数（17）（18）（19）结论：若方程（17）的特征根不为零或实部不为零，则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（17）的稳定性相同。对于方程（6）的稳定性也由准则（12）、（13）决定。（6）常系数的近似线性方程