数值分析数值计算方法课程ppt课件之第四章数值积分与数值微分.ppt

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1、4.1 引言 4.1.1 数值求积的基本思想 一、问题 如何求积分牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：N-L公式失效的情形：第4章 数值积分与数值微分数学分析中的处理方法：14.2 牛顿-柯特斯公式 4.2.1 柯特斯系数 设将积分区间 划分为 等分，选取等距节点 构造出的插值型求积公式（2.1）称为牛顿-柯特斯公式，式中 称为柯特斯系数.步长 按，引进变换则利用等距节点的插值公式，有2（2.2）当 时，这时的求积公式就是梯形公式3 当 时，按(2.2)式，相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式（2.3）柯特斯系数为 4 的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，（2.4）这里

2、按（2.2）式，可构造柯特斯系数表.其形式是 56 从柯特斯系数表看到 时，柯特斯系数 出现负值，特别地，假定于是有且则有 它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故 的牛顿-柯特斯公式是不用的.7 4.2.2 偶阶求积公式的代数精度 由定理1，阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度.先看辛普森公式(2.3)，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度.用 进行检验，本节讨论代数精度的进一步提高问题.按辛普森公式计算得 8另一方面，直接求积得 这时有，而它对 通常是不准确的，辛普森公式实际上具有三次代数精度.均准确成立,即辛普森公式对次数不超过三次的多项式因此，定

3、理3当阶 为偶数时，牛顿-柯特斯公式(2.1)至少有 次代数精度.9 证明我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯公式对 的余项为零.由于这里引进变换 并注意到 有 按余项公式有 10因为被积函数若 为偶数，则 为整数，为奇函数，所以再令 进一步有11 4.2.3 几种低阶求积公式的余项 12解：使用梯形公式使用辛普森公式：使用柯特斯公式：13在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。4.3 复化求积公式 问题1：由梯形

4、、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？问题2：当n8时NC求积公式还具有数值稳定性吗？可用增加求积节点数的方法来提高计算精度吗？144.3.1 复化梯形公式及其误差 将积分区间a,b划分为n等分,步长，求积节点为，在每个小区间上应用梯形公式 求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用 作为所求积分I的近似值。15记 称其为复化梯形公式。当f(x)在a,b上有连续的二阶导数,在子区间 上梯形公式的余项已知为 在a,b上的余项 16 根据连续函数的介值定理知，存在，使 因此,余项 所以复化梯形公式是收敛的。17 将积分区间a,b划分为n等分,记子区间 的中点

5、为 在每个小区间上应用辛普森公式，则有 记 称为复化辛普森公式。4.3.2复化辛普森公式及其误差18 类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的求积余项为 如果把每个子区间 四等分,内分点依次记，同理可得复化柯特斯公式 求积余项为 19 复化求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)及所涉及的各阶导数在a,b上连续，那么复化梯形公式、复化辛普森公式与复化柯特斯公式所得近似值 的余项和步长的关系依次为、。因此当h0(即n)时,都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。问题：复化梯形公式、复化辛普森公式与复化柯特斯公式稳定吗？20例1 依次用n=8的复化梯形公式、n=4的复化辛普森公式计算 解:

6、首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，由复化梯形公式可得如下计算公式：21由复化辛普森公式可得如下计算公式（积分准确值I=0.9460831）这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有三位有效数字(T8=0.9456909),而复化辛普森法却有六位有效数字。22例2 计算定积分解:取,则,又区间长度b-a=1，（1）对复化梯形公式有余项 即,n212.85，取n=213，即取214个求积节点时，用复化梯形公式计算误差不超过。(1)若用复化梯形求积公式，要取多少个求积节点？(2)若用复化辛普

7、森求积公式，要取多少个求积节点？(3)若用复化柯特斯求积公式，要取多少个求积节点？，使误差不超过23（2）对复化辛普森公式有余项 即，取n=4，即取2n+1=9个求积节点时，用复化辛普森公式计算误差不超过。（3）对复化柯特斯公式有余项 即，取n=1，即取4n+1=5个求积节点时，用复化柯特斯公式计算误差不超过。24 复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长(有时难以估计)。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。4.4龙贝格（Romberg）求积公式变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精

8、度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。4.4.1梯形法的递推化（变步长的梯形公式）在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止。问题：能否不通过事先估计出步长的方法，计算出达到精度要求的近似值？25 设将积分区间a,bn等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即x=a+kh,k=0,1,，n，步长。则在区间a,b上复化梯形求积公式为：问题：复化梯形求积公式简单易算，但精度不高，收敛速度慢，能否由其构造一个精度高些、收敛速度快些的复化求积公式呢？问题：若精度达不到要求怎么办？二分小区间增加节点，将xk,x

9、k+1分为xk,xk+1/2和xk+1/2,xk+1，这时复化梯形求积公式为：26当 在区间a,b上变化不大时,有，所以 问题：截断误差如何变化的？结论：精度提高了。27解:先对整个区间0,1用梯形公式,对于 所以有 然后将区间二等份,由于,故有 进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值 例3用变步长梯形求积法计算定积分有 这样不断二分下去，计算结果如P133列表所示。积分的准确值为0.9460831，从表中可看出用变步长二分10次可得此结果。28可得重新整理式子显然可以用此式判断近似值是否达到了精度要求。所以通常将此式作为事后误差估计式。问题：既然可以作为用T2n计算I的近似值的估计误差，

10、那我们能否用这个估计误差来改进我们的近算结果呢？问题：能否利用两次求得的近似值来估计误差呢？29积分近似值 的误差大致等于,如果用 对 进行修正时，与 之和比 更接近积分真值,所以可以将 看成是对 误差的一种补偿,这样应该可得到一个具有更好效果的式子。问题：是这样的吗？4.4.2 龙贝格求积公式30和梯形变步长公式 代入上式得 故 用梯形法二分前后两个积 分 值 和作线性组合，结果却得到复化辛普森公式。将复化梯形公式 31对辛普森公式用类似方法处理，其截断误差与 成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至，即有 由此可得 可以验证,上式右端的值其实等于Cn，就是说，用辛普森公式二等分前后的两个积

11、分值Sn和S2n 作线性组合后，可得到柯特斯公式求得的积分值Cn，即有 32 用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，可进一步导出龙贝格公式 在变步长的过程中运用前面三个式子，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn或者说，将收敛缓慢的梯形值序列Tn加工成收敛迅速的龙贝格值序列Rn，这种加速方法称为龙贝格算法（龙贝格公式），见教材P135表4-4所示。33 4.5 高斯（Gauss）型求积公式4.5.1 高斯积分问题的提出 在前面建立牛顿-柯特斯公式时，为了简化计算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的精

12、度受到限制。我们已经知道，过n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。问题：是否存在具有最高代数精度的求积公式呢？若有，最高代数精度能达到多少呢？34在构造形如 的两点公式时,如果限定求积节点,那么所得插值求积公式 的代数精度仅为1。问题：如果对式中的系数 和节点 都不加限制，能否通过适当选取 和,使 所 得 公 式 的代数精度。事实上，若要使求积公式对函数都准确成立，只要和满足方程组35解之得 可以验证，上式是具有3次代数精度的插值型求积公式。这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点，可使插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是本节要介绍的高斯求积公式。36同理，对于一般的插值求积公式

13、 只要适当地选取其2n+2个待定参数 xk 和,就可使它的代数精度达到2n+1次。定义4 若插值求积公式（*）具有2n+1次代数精度，则称之为高斯求积公式，并称相应的求积节点 为高斯点。显然，n+1个节点的高斯求积公式具有最高不超过2n+1次的代数精度。可证明高斯求积公式不仅稳定而且收敛。(*)374.5.2 常用的高斯求积公式（1）高斯勒让德求积公式高斯点为勒让德多项式Pn+1(x)的零点时，得到的高斯求积公式称为高斯勒让德求积公式，其节点和系数见教材P145。问题：若要计算怎么办？就可将求积区间a,b变换到-1,1上，这时 令38即有 其中 插值求积公式节点一经确定，相应的求积系数就确定了

14、，因此关键在于确定节点。（2）高斯切比雪夫求积公式(可用于计算奇异积分)39数值积分方法小结 本章介绍了积分的数值计算方法，其基本原理主要是逼近论，即设法构造某个简单函数P(x)近似表示f(x)，然后对P(x)求积得到f(x)的积分近似值。本章基于插值原理，构造了数值积分的基本公式。插值型求积公式分为牛顿柯特斯公式和高斯公式两类。前者取等距节点，算法简单而容易编制程序。但是，由于在n8 时出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性。因此实用的只是低阶公式。解决长区间与低阶公式的矛盾是使用复化求积公式。因此，常用的数值积分法都是复化求积公式。40 高斯求积公式不但具有最高代数精度，而且收敛性和稳定性都

15、有保证，因此是高精度的求积公式。高斯公式还可以用于计算奇异积分，也可使一些复杂的积分计算简化。高斯公式的主要缺点是节点与系数无规律。所以高阶高斯公式不便于上机使用。实际应用中可以把低阶高斯公式进行复化。龙贝格公式是在区间逐次分半过程中，对用梯形法所获得的近似值进行多级“加工”，从而获得高精度的积分近似值的一种方法。它具有自动选取步长且精度高，计算量小的特点，便于在计算机上使用。是数值积分中较好的方法。41（1）被积函数，诸如 等等，找不到用初等函数表示的原函数；（2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表.这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用;因此有必要研究积分的数值计算问题及数值积分问题.

16、N-L公式失效的情形：（3）原函数很难求.42 问题：点的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 的值，怎么办？只要对平均高度 提供一种算法，相应地便可获得一种数值求积方法.由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点，成立 二、构造数值积分公式的基本思想（1）左矩形公式43（3）用区间中点 的“高度”近似地取代平均高度，则又可导出所谓中矩形公式（2）右矩形公式（4）用两端点“高度”与 的算术平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式是梯形公式.44 一般地，可以在区间 上适当选取某些节点，然后用 加权平均得到平均高度 的近似值，这样权 仅仅与节点 的选取有关，构造出的求积公式具有下列形式：

17、的具体形式.而不依赖于被积函数式中 称为求积节点；称为求积系数,亦称伴随节点的权.kA将这种思想一般化：45 用上面式子求积分近似值的特点：将积分求值问题转化为了计算函数值的问题，避开了求原函数.这类数值积分方法通常称为机械求积。464.1.2 代数精度的概念 定义1如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式均能准确地成立，但对于 次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有 次代数精度.问题：左矩形公式、右矩形公式、中矩形公式和梯形公式具有几次代数精度？数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.474.1.3 插值型的求积公式 设给定一组节点 且已知函数 在这些节点

18、上的值，作插值函数.取 作为积分 的近似值，这样构造出的求积公式48称为是插值型的，式中求积系数 通过插值基函数 积分得出 由插值余项定理(第2章的定理2)即知，其余项 式中与变量 有关，问题：上述插值型求积公式至少具有多少次代数精度？49 当是次数不超过的多项式时，插值多项式就是函数本身，余项为零，事实上，这时求积公式对于插值基函数 应准确成立，即有至少具有 次代数精度.所以这时插值型求积公式 反之，如果一个求积公式 至少具有 次代数精度，则它必可利用插值多项式推导出来。50注意到上式右端实际上等于 因而成立.这样，有下面定理.51 4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性 定义2其中实际得的将是，即则称此求积公式是收敛的.记在求积公式 中，若 在求积公式 中，由于计算 可能产生误差，52如果对任给小正数只要误差 充分小就有（*）则表明求积公式计算是稳定的，由此给出下面定义.定义3对任给 若只要就有(*)成立，则称求积公式 是稳定的.53 定理2 证明取则此求积公式是稳定的.对任给都有若对则当 时有若求积公式 中系数 54由定义3知，求积公式 是稳定的.55