中考数学阅读理解.pdf

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1、（2009青岛）我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题.譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采 用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题.问题提出：如何把一个正方形分割成（）个小正方形？为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”.基本分割法1：如图，把一个正方形分割成4 个小正方形，即在原来1个正方形的基础

2、上增加了 3 个正方形.基本分割法2：如图，把一个正方形分割成6 个小正方形，即在原来1 个正方形的基础上增加了 5 个正方形.问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把个正方形分割成（2 9）个小正方形.（1）把一个正方形分割成9 个小正方形.一 种 方法：如图，把图中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4+5=9（个）小正方形.另一种方法：如图，把图中的任意1 个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加 3 个小正方形，从而分割成6+3=9（个）小正方形.（2）把一个正方形分割成10个小正方形.方法：如图，把图中的任意2 个小正方形按

3、“基本分割法1”进行分割，就可增加3x2个小正方形，从而分割成4+3x2=10（个）小正方形.（3）请你参照上述分割方法，把图给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）（4）把一个正方形分割成n（9）个小正方形.方法：通 过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把 个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1 次“基本分割法1”，就可增加3 个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正方形分割成n（“2 9）个小正方形.从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这

4、两种基本分割法或其组合把正方形分割成（2 9）个小正方形.类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成（）个小正三角形.（1）基本分割法1：把一个正三角形分割成4 个小正三角形（请你在图a 中画出草图）.（2）基本分割法2：把一个正三角形分割成6 个小正三角形（请你在图b 中画出草图）.（3）分别把图c、图 d 和图e 中的正三角形分割成9 个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）图 a图 b图 c图 d图 e（4）请你写出把一个正三角形分割成”（“2 9 ）个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）.2 3.（本小满分10分）解：把一个正

5、方形分割成11个小正方形:图.2分把一个正三角形分割成4个小正三角形：图o.3分把一个正三角形分割成6个小正三角形：图b.5分把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形：把一个正三角形分割成n（巳9）个小正三角形的分割方法：通 过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合，把一个正三角形分割成9个、10个 和11个小正三角形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正三角形，从而把一个正三角形分割成12个、13个、14个小正三角形，依次类推，即可把一个正三角形分割成（2 9）个小正三角形.10分（2010青岛）问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中

6、随处可见.在八年级课题学习“平面图形的镶嵌 中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.I I I我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.如图中，用 k J-正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点。周围围绕着4 个正方形的内角.1 1 1试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个正六边形的内问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜 想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我

7、们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点.具体地说，就是在镶嵌平面时，个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.验 证 I：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：90X+格-2)180.y=360,整 理 得:2x+3y=8,我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为x=l,y=2.结 论 1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2 个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.

8、猜 想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能,请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由.验证2：；结论2：.上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案.问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程.猜想3：；验证3：；结论3：.解：用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角.（1分）验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和匕个正六边形的内角可以拼

9、成一个周角，根据题意，可得方程：6 0 a+12 0 b=3 6 0.整理得：a+2 b=6,可以找到两组适合方程的正整数解为4 和 4 .（3分）b=2 匕=1结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1 个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.（5分）猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌?（6分）验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：6 0 m+9 0 n+

10、12 0 c=3 6 0,整理得：2 m+3 n+4 c=12,可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 2 =1 0,则M N；若MN=0,则M=N；若M-N 0,则 M 0.：.M-N0.：.MN.图1类别应用(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为 总包元/千克和端分元/千克3、6是正数，且。孙)，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.(2)试比较图2和图3中两个矩形周长胡、N、的大小g c).b+3 c图3小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺、如图4所示(其 中 人 售 货 员 分 别 可 按 图5、图6、图7三种方法进行捆绑，吻哪种方法用绳最

11、短？哪种方法用绳最长？请说明理由.a图4 图5 图6 图72 3.(本小题满分10分)解：类比应用()a+b 2ab _(a+b)2 4ab(a-b)22 a+厂 -2(7+7)-2(a+)a.b是正整数且a*6,(a-b y.a+b lab u -1 .2(ab)2 a+b即小丽的平均价格比小颖的高.，2)由图知，M、=2(a+b+b+c)=2a+4b+2cM =2(a-c+6+3c)=2。+26+4cMt-Ni=(2a+4占 +2c)-(2a+2b+4c)=26 2c=2(5)3分 bc.：.2(b-c O.RIJ M -M M N、.所以笫个矩形的周长大于第二个矩形的周氏.6分联系拓广设

12、图的捆绑绳长为人则依2ax2+M 2 +4cx2=4a+4b+&.设图的捆纲;绳长为伍则A=2ax2+x 2 +2cx2=4a+46+&i设图W捆绑绳长为4 则/3=3ox2+2bx2+3cx2=6o+4b+6r-/i-/2=(M +4b+8c)-(4。+46+4。)=4c 0 h/,-/?=(6a+4b+6c)-(4a+4b+4c)=2o+2r 0 A /2(由式子观察得出/j/2./i/2也可得分.)h /产(6a+48+6c)-(4a+4b+8c)h2a-2c=2(a-c)*a c/.2(a c)O.HP A-/i 0.6 A*所以第三种捆绑方法用绳瞄长.第一种般如.（2 01 2 青岛

13、）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的机个点，共（相+）个点作为顶点,问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究-以A A B C的 3个顶点和它内部的1 个点P,共 4个点为顶点，可把 4 8 C 分割成多少个互不重叠的小三角形？如图，显然，此时可把 A B C 分割成3 个互不重叠的小三角形.探究二：以Z V I B C 的 3个顶点和它内部的2个点尸、Q,共 5个点为顶点，可把/X A B C分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图AABC的内部，再添加1 个 点。，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点。在图

14、分割成的某个小三角形内部.不妨设点。在 4 1 C 的内部，如图；另一种情况，点。在图分割成的小三角形的某条公共边上.不妨设点0 在 以 上，如图.显然，不管哪种情况，都 可 把 分 割 成 5 个互不重叠的小三角形.探究三：以 A B C 的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R,共 6个点为顶点，可把A 8 C分割成 个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图.探究四：以AA8C的三个顶点和它内部的m个点，共（机+3）个点为顶点，可把A B C分割成 个互不重叠的小三角形.探究拓展：以四边形的4 个顶点和它内部的m个点，共（机+4）个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形.问题

15、解决：以边形的个顶点和它内部的，个 点，共（m+）个点作为顶点，可把原”边形分割成 个互不重叠的小三角形.实际应用：以八边形的8 个顶点和它内部的2012个点，共 2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）23.（本小题满分10分）探究三：7探究四：3+2(m-l)或2m+l .4分探究拓展：4+2(，”-1)或2朋+2.6分问跑解决：n+2(m-1)aJi 2m+w-2.8 分实际应用：把 =8.”，=2012代人上述代教式，得2 m+-22*2012+8-2=4024+8-2=4030.0 分(2 01 3 青岛)2 3、在前面的学习中，我们通过对同一面积的

16、不同表达和比较，根据图和图发现并验证了平方差公式和完全平方公式这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。【研究速算】第 2 3 题图第 2 3 题图提出问题：4 7 x 4 3,5 6 x 5 4,7 9 x 7 1,是一些十位数字相同,且个位数字之和是1 0 的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以4 7 x 4 3 为例：(1)画长为4 7,宽为4 3 的矩形，如图，将这个4 7 x 4 3 的矩形从右边切下长4 0,宽 3 的一条，拼接到原矩形的上面。(2)分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47 x

17、43的矩形面积或(40+7+3)x 40 的矩形与右上角3/7 的矩形面积之和,即 47/43=(40+10)0)?几何建模：(1)变形：x(x +2)=35x+2x+2x+2(2)画四个长为x +2,宽为x的矩形，构造图*x 0 x=5归纳提炼：求关于的一元二次方程x(x+。)=c(x 0,b O.c 0)的解要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤(用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长)【研究不等关系】提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5的大小关系(其中y 0)?几何建模：(1)画 长y+3,宽y+2的矩形，按图方式分割(2)变 形:2y+5=(y+2

18、)+(y+3)(3)分析：图中大矩形的面积可以表示为(y+2)(y+3)；阴影部分面积可以表示为(y+3)x 1,画点部分的面积可表示为y+2,由图形的部分与整体的关系可知:(y+2)(y+3)(y+2)+(y+3),即(y+2)(y+3)2y+5归纳提炼：当。2,/?2时，表示ab与。+的大小关系根据题意，设。=2+加，6=2+(加0,0),要求参照上述研究方法，画出示意图,并写出几何建模步骤(用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长)解析:【研究速算】归纳提炼：十位数字加1 与十位数字加相乘，再乘以10 0,加上两个个位数字的积，构成运算结果。【研究方程】归纳提炼：四个长为x+b,宽为x的矩

19、形，构造右图，则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：(x+x +匕)2或四个长为x +b,宽为X的矩形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积。即(x+x+b)24x(x+b)+b2x(x+b)=c,(x+x+b)2=4 c+b2：.C2x+b)2=4 c+b2*/4c+.2%Vx0,.”=2第23题【研究不等关系】归纳提炼：画长为2+加,宽为2+的矩形,并按右图方式分割。变 形:a+b=(2+m)+(2+n)分析：图中大矩形的面积可表示为(2+?)(2+)；阴影部分的面积可表示为2+机与2+”的和。山图形的部分与整体的关系可知，(2+m)(2+”)(2+加)+(2+)即 aba+b第

20、23题（2014青岛）数学问题：计算工+口 +二+上（其中机，都是正整数，且，叱2,n）.tn tn m m探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割个面积 为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究.探究一：计算g+g.第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为2第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,阴影部分的面积之和为;+!；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，；第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为 g+5 +-1-最后空白部分的面积是

21、探 究 二:计 算:+*+/+.+9.2第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为女；32 2第2次分害h把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为女+=；3 32第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，；第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为2 2 2+2?，最后空白部分的面积是点1.笛1 才 分 国 I笛）才 令 函|2327第N 方 分 割2322根据第次分割图可得等式:；2+/2+或2+2 =11，两边同除以2,得雪鲁+.=3 32 33 3 1 _ 12-2 x 3n探究三：计算！+-卜 占 4 42 43

22、 4（仿照上述方法，只画出第 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算+F m m m m（只需画出第 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第次分割图可得等式：,所以，+7=m m m m这 日 心 中 田管5-1 52-1 53-1 5-1拓广应用:计 算-1-5-1-1-1-【答案】解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为2；4第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为士+4；4 42第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，；第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为3:+本3+亳3+/3，最后的空白部分的面积是我1,根据第n次分割图可得等式：两边同除以3,得;+解决问题：m-m-m-m-1 7 1 3 1 1 1m m m m1 _ _ _ _ _ _ _ _ m-拓广应用：原 式=l-+l-+l-p-+-=邛-4(4 4 x5w J1 1=n+(或4 4 x5 44-H-+4-=1-,4 42 4，4 4 J _ =1 _ _ _ 1_+4 3 3x4-.4分分口 VPQ自1m mn.8分 +1-5n3+!)4 x5