大数定律及中心极限定理课件.pptx

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1、1 大量的随机现象中平均结果的稳定性 一、大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率 第1 页/共38 页2二、几个常见的大数定律切比雪夫Th1:切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况第2 页/共38 页3说明（2）在所给的条件下，当n 充分大时，n 个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有较小的偏差的可能性比较大。可以考虑用算术平均值作为所研究指标值的近似值。（1）此定理也称为切比雪夫大数定理第3 页/共38 页4 证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.注意切比雪夫不等式第4 页/共38 页6说明例=3,P|X-|=P|X-|3 0.8889

2、=4,P|X-|=P|X-|4 0.9375第6 页/共38 页7例 掷一颗骰子1620次，估计“六点”出现的次数X 在250290之间的概率？解由切比雪夫(Chebyshev)不等式估计第7 页/共38 页8切比雪夫(Chebyshev)定理证明第8 页/共38 页9第9 页/共38 页10定义由此得到定理1的另一种叙述：第10 页/共38 页11Th1第11 页/共38 页12 定理表明事件发生的频率依概率收敛于 事件的概率。由实际推断原理,在实际应用中,当试验次数很大时,可以用事件发生的频率来代替事件的概率。Th2：(伯努利大数定理)说明第12 页/共38 页13Th3:(辛钦定理)说明

3、 伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情况。n 个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术平均值的数学期望。第13 页/共38 页14三 小结1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况2.伯努利定理3.辛钦定理用算术平均值作为所研究指标值的近似值。事件发生的频率依概率收敛于事件的概率n 个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术平均值的数学期望。第14 页/共38 页15 中心极限定理一、中心极限定理的客观背景二、中心极限定理三、小结第15 页/共38 页16 一、中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.第

4、16 页/共38 页17空气阻力所产生的误差，重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.研究独立随机变量之和所特有的规律性问题当n 无限增大时，这个和的分布是什么？本节内容第17 页/共38 页18 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.第18 页/共38 页19 由于无穷个随机变量之和可能趋于，故不研究n 个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限.在概率论中，习惯

5、于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.第19 页/共38 页201、独立同分布的中心极限定理二、中心极限定理第20 页/共38 页211.在所给的条件下，当n 无穷大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和Yn的分布函数近似服从标准正态分布为极限分布。说明2.独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维林德伯格（Levy Lindberg）定理.第21 页/共38 页222.李雅普诺夫定理第22 页/共38 页23第23 页/共38 页243.棣莫佛拉普拉斯定理说明第24 页/共38 页25例1 掷一颗骰子1620次，求“六点”出现的次数X 在250290之间的概率

6、？4.例题解CDF.BINOM(290,1620,1/6)-CDF.BINOM(250,1620,1/6)=0.8173第25 页/共38 页26例2 一加法器同时收到20个噪声电器Vk(k=1,2,20),设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布。记 求PV105 的近似值解E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,20).近似服从正态分布N(0,1),第26 页/共38 页271-CDF.NORMAL(105,20*5,SQRT(20*100/12)=0.3493第27 页/共38 页28例3.对敌人的防御地段进行100次炮击,在每次炮击中,炮弹命中颗数

7、的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次炮击中,有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.解:设Xk为第k 次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,100),在100次炮击中炮弹命中的总颗数相互独立地服从同一分布，E(Xk)=2,D(Xk)=1.52(k=1,2,100)第28 页/共38 页29随机变量由中心极限定理得CDF.NORMAL(220,200,15)-CDF.NORMAL(180,200,15)=0.8176第29 页/共38 页30例4 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学

8、校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X 超过450的概率.(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.第30 页/共38 页31解(1)以Xk(k=1,2,400)记第k 个学生来参加会议的家长数,其分布律为pk0.0501 20.8 0.15XkXk 相互独立地服从同一分布第31 页/共38 页32由中心极限定理得1-CDF.NORMAL(450,400*1.1,SQRT(400*0.19)=0.1257第32 页/共38 页33(2)以Y 表示有一名家长来参加会议的学生人数,则Y B(400,0.8)所以CDF.NORM

9、AL(340,400*0.8,SQRT(400*0.8*0.2)=0.9938第33 页/共38 页34三 小结1.独立同分布的中心极限定理2.李雅普诺夫定理3.棣莫佛拉普拉斯定理近似服从标准正态分布N(0,1)。第34 页/共38 页35一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3 的概率为p=1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇角度大于3 的概率是多少？解将船舶每遭受一次冲击看作是一次试验，假定各次试验是独立的90000次波浪冲击中纵摇角大于3 的次数记为X，X B(90000,1/3),思考题第35 页/共38 页37CDF.NORMAL(30500,30000,SQRT(20000)-CDF.NORMAL(29500,30000,SQRT(20000)=0.99959第37 页/共38 页38感谢您的欣赏第38 页/共38 页