湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数课件.pptx

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1、第4章 锐角三角函数4.1 正弦和余弦教学目标1.了解当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实.2.使学生初步了解正弦的概念；能够正确地用sinA表示直角三角形中两边的比.重点：理解余弦、正弦的概念难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算新课引入 画一个直角三角形，其中一个锐角为65，量出65 角的对边长度和斜边长度，计算：=与同桌和邻桌的同学交流，看看计算出的比值是否相等（精确到0.01）.如图，（1）和（2）分别是小明、小亮画的直角三角形，其中A=A=65，C=C=90.（1）（2）小明量出A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，算出：小亮量出A的

2、对边BC=2cm，斜边AB=2.2cm，算出：这个猜测是真的吗？若把65角换成任意一个锐角，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？由此猜测：在有一个锐角为65的所有直角三角形中，65角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 如图，ABC和DEF都是直角三角形，其中A=D=，C=F=90，则 成立吗？为什么？新知探究A=D=，C=F=90，DEF.Rt ABC Rt即这说明，在有一个锐角等于的所有直角三角形中，角的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.如图，在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比叫作角的正弦，记作sin，即根据“在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的

3、一半”，容易得到 sin 30=例题探究例1 如图，在直角三角形ABC中，C=90，BC=3，AB=5.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值.解：A的对边BC=3，斜边AB=5.于是B的对边是AC，根据勾股定理，得 AC2=AB2-BC2=52-32=16.于是AC=4.因此如何求 sin 45的值？如图，构造一个RtABC，使C=90,A=45.于是 B=45.从而AC=BC 根据勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.于是 AB=BC.因此如何求 sin 60的值？如图，构造一个RtABC，使B=60，则A=30，从而.根据勾股定理，得 AC2=AB2-BC

4、2=AB 2-于是因此 至此，我们已经知道了三个特殊角（30，45，60）的正弦值，而对于一般锐角 的正弦值，我们可以利用计算器来求.例如求 50角的正弦值，可以在计算器上依次按键，显示结果为0.7660 如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例2 计算：sin230-sin45+sin260解：sin230-sin45+sin260 如图，ABC和DEF都是直角三角形，其中A=D=，C=F=90，则 成立吗？为什么？A=D=，C=F=90，B=E.从而因此 由此可得，在有一个锐角等于 的所有直角三角形中，角 的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关 如图，在直角三

5、角形中，我们把锐角的邻边与斜边的比叫作角 的余弦，记作，即斜边 角 的邻边 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角，例3 求cos30，cos60，cos45的值 解：课堂练习1.如图，在直角三角形ABC 中，C=90，BC=5，AB=13.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值 2.计算：（1）sin2 60+sin2 45；（2）1-2sin 30sin 60.3.如图，在Rt ABC中，C=90，AC=5，AB=7.求 cos A，cos B 的值课堂小结1.锐角的余弦的概念.2.熟记：30,45,60这些特殊角的正弦余弦值.3.理解：090间正弦值、余弦值的变化规律：（1）0sin

6、1，0cos1；（2）正弦值随角度的增加而增大，余弦值随角度的增加反而减小.第4章 锐角三角函数4.2 正切教学目标1、理解并掌握正切的含义，能够用 tan 表示直角三角形中两边的比值.2、掌握特殊角的正切值.3、能够用正切进行简单的计算.重点：理解正切的定义以及如何求锐角的正切值难点：理解正切的定义,探索并认识正切.新课引入我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常数）.那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？如图，ABC和DEF 都是直角三角形，其中A=D=，C=F=90，则成立吗？为

7、什么？Rt ABC Rt DEF.即 BCDF=ACEF，A=D=，C=F=90，由此可得，在有一个锐角等于 的所有直角三角形中，角 的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关如何求 tan 30，tan60的值呢？从而AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.解：如图，构造一个RtABC，使C=90，A=30，于是 BC=AB，B=60.由此得出 AC=BC.因此 因此求tan 45的值 现在我们把30，45，60的正弦、余弦、正切值列表归纳如下：304560sincostan 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角，都有唯一确定的比值sin(或cos，tan

8、)与它对应，并且我们还知道，当锐角变化时，它的比值sin(或cos，tan)也随之变化.因此我们把锐角的正弦、余弦和正切统称为角的锐角三角函数 锐角三角函数.1.在Rt ABC中，C=90，AC=7，BC=5，求 tan A，tan B 的值计算：2.（1）1+tan260；（2）tan30cos 30.3.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC，DF AE，垂足为点F，连接DE.(1)求证：AB DF；(2)若AD 10，AB 6，求tan EDF 的值课堂小结 观察特殊角的三角函数表，发现规律：(1)当 时,的正弦值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小;(2)当

9、时,的余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大;(3)当 时,的正切值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小.第4章 锐角三角函数4.3 解直角三角形教学目标 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力重点：理解解直角三角形的概念；学会解直角三角形难点：三角函数在解直角三角形中的应用新课引入 在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.对于这类问题，我们一般利用前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决.1.直角三角形的三边之间有什么关系？2.直角三角形的锐角之间有什

10、么关系？3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？如图，在直角三角形ABC中，C=90，A，B，C的对边分别记作a，b，c.a2+b2=c2(勾股定理)A+B=90.在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要知道其中的几个素就可以求出其余的元素？如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.已知2个元素，且至少有一条边就可以求出其他因素了.在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程 例1 在Rt ABC中，a=5

11、，求B，b，c.解:又 例2 如图，在Rt ABC 中，C=90，cosA=，BC=5，试求AB 的长.分析：在直角三角形中，已知一边和另两边的关系，常用勾股定理方程思想解决.设 AB=x，则 AC=x.又 解：C=90，AB的长为解得（舍去）.课堂练习1.在Rt ABC中，b=3 cm，求a，c 的长度.2.在Rt ABC中，c=16 cm，求a，b的长度.课堂小结解直角三角形的依据(1)三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:A B 90；(3)边角之间的关系:tanA absinA accosA bc 面积公式：第4章 锐角三角函数4.4 解直角三角形的应用教学重

12、点、难点重点：善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决 难点：根据实际问题构造合适的直角三角形.新课引入 在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题.对于这些问题，我们可以用所学的解直角三角形的知识来加以解决.某探险者某天到达如图所示的点 A 处时，他准备估算出离他的目的地海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？如右图，BD表示点B的海拔，AE 表示点A 的海拔，ACBD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测量出仰角BAC，再用锐角三角函数的知识就可求出A，B两点之间的水平距离AC如图，如果测得

13、点A的海拔AE为1600 m，仰角 求出A，B 两点之间的水平距离AC（结果保留整数）.在Rt ABC中，BD=3500 m，AE=1600 m，AC BD，BAC=40，因此，B两点之间的水平距离AC约为2264 m.解：例题探究例1 如图，在离上海东方明珠塔底部1 000 m 的A 处，用仪器测得塔顶的仰角BAC 为25，仪器距地面高AE 为1.7 m.求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到 1 m）.分析：在直角三角形中，已知一角和它的邻边，求对边利用该角的正切即可.解：如图，在RtABC中，BAC=25，AC=100m，因此答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m.从而（m）.因此，上

14、海东方明珠塔的高度为（m）.如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与BD，问哪条路比较陡？右边的路BD 陡些如何用数量来刻画哪条路陡呢？例2 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240 m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01，长度精确到0.1 m）i=1:2在RtABC中，B=90，A=26.57，AC=240m，因此解：用 表示坡角的大小，由题意可得因此 26.57.答：这座山坡的坡角约为26.57，小刚上升了约107.3 m从而（m）如图，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60方向上，继续航行1 h到

15、达B处，这时测得灯塔C在北偏东30方向上.已知在灯塔C的四周30km内有暗礁问：这艘船继续向东航行是否安全？作CDAB，交AB延长线于点D.设CD=x km.解：这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C 到AB 航线的距离是否大于30km如果大于30km，则安全，否则不安全分析：在RtACD中，同理，在RtBCD中，因此，该船能继续安全地向东航行解得又课堂练习 1.如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所形成的夹角ABN，ACN分别为8和15，大灯A与地面的距离为1 m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1 m）D2.一种坡屋顶的设计如图

16、，已知屋顶的宽度 l为10m，坡屋顶的高度h为3.5 m.求斜面AB的长度和坡角（的长度精确到0.1m，角度精确到1）.某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55方向；B船说C船在它的北偏西35方向；C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40 km.求A，B两船的距离（结果精确到0.1 km）.3.课堂小结 1.在直角三角形中，任一锐角的三角函数只与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关.2.在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边，就可以求出其他的边和角.3.有些关于图形的实际问题，我们可以结和已知条件，恰当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题.