第四章-矩阵的特征值和特征向量.doc

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1、第四章 矩阵得特征值与特征向量例1 求下列矩阵得特征值与特征向量,并判断它能否相似对角化。若能,求可逆阵,使(对角阵)。例2 已知三阶方阵得三个特征值为,则得特征值为,得特征值为, 得特征值为,得特征值为例3 设矩阵 有三个线性无关得特征向量,则应满足条件例5 已知矩阵与相似,则例6 设阶方阵满足,求得特征值例7 已知向量就是矩阵得逆矩阵得特征向量,求常数例8 设A为非零方阵,且 (m为某自然数),证明:A不能与对角阵相似例9 设阶方阵A满足,求证:A相似于一个对角矩阵 结 论 总结 1 阶方阵A有个特征值,它们得与等于A得主对角线元素之与(即A得逆),它们得乘积等于A得行列式2 如果就是方阵

2、A得特征值,就是与之对应得特征向量,如互不相等时,线性无关3 如果阶方阵与相似,则与有相同得特征多项式,从而有相同得特征值4 如果阶方阵与对角阵相似,则得主对角线元素就就是得个特征值 5 阶方阵与对角阵相似,即可相似对角化得充要条件就是有个线性无关得特征向量 6 如果阶方阵得个特征值互不相等,则与对角阵相似,即可相似对角化 7 实对称矩阵得特征值全为实数8 实对称矩阵得不同特征值对应得特征向量相互正交9 对实对称矩阵,必存在正交矩阵,使,其中就是以得个特征值为主对角线元素得对角阵10 方阵可逆得充要条件就是得特征值全不为零 习 题一、单项选择题1. 设,则得特征值就是( )。(a) 1,1,1

3、 (b) 0,1,1 (c) 1,1,2 (d) 1,1,22. 设,则得特征值就是( )。(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) 1,1,2 (d) 1,1,13. 设为阶方阵, ,则( )。(a) (b) 得特征根都就是1 (c) (d) 一定就是对称阵4. 若分别就是方阵得两个不同得特征值对应得特征向量,则也就是得特征向量得充分条件就是( )。(a) (b) (c) (d) 5. 设为阶可逆矩阵, 就是得特征值,则得特征根之一就是( )。(a) (b) (c) (d) 6. 设2就是非奇异阵得一个特征值,则至少有一个特征值等于( )。(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2

4、 (d) 1/47. 设阶方阵得每一行元素之与均为,则有一特征值为( )。(a)a (b)2a (c)2a+1 (d) +18. 矩阵A得属于不同特征值得特征向量( )。(a)线性相关 (b)线性无关 (c)两两相交 (d)其与仍就是特征向量9. 下列说法不妥得就是 ( )(a)因为特征向量就是非零向量,所以它所对应得特征向量非零(b)属于一个特征值得向量也许只有一个 (c)一个特征向量只能属于一个特征值 (d)特征值为零得矩阵未必就是零矩阵10 设矩阵 得特征值为,则( )A) B) C) D) 11 已知矩阵有一特征向量,则A) B) C) D) 12 已知矩阵得各列元素之与为3,则( )

5、A) 有一个特征值为3,并对应一个特征向量B) 有一个特征值为3,并不一定对应有特征向量C) 3不一定就是得特征值 D) 就是否有特征值不能确定13 设A就是三阶矩阵,有特征值,则下列矩阵中可逆得就是( )A) B) C) D) 二 填空题 1 设为3阶矩阵,其特征值为,则=_ 得特征值为_,得特征值为_ 2 如果二阶矩阵 相似,则 3 若阶可逆阵得每行元素之与就是,则数_一定就是得特征值4 设三阶矩阵有3个属于特征值得线性无关得特征向量,则5 若,则得特征值为_6 设阶方阵得个特征值为,则7 设 ,则8 则 三 解答题1. 设三阶矩阵A得特征值为 ,对应得特征向量依次为:,又向量1) 将 用

6、线性表示 2) 求 (为自然数)2 已知 有3个线性无关得特征向量,求3、 设 求A得特征值与对应得特征向量,A就是否对角阵相似。若相似,写出使得矩阵及对角阵,并计算,4、 设,已知,A得伴随矩阵得特征值对应得特征向量,求与得值四、证明题1设为维非零列向量,证明:1) (为某常数) 2) 就是得一个特征向量。 3) 相似于对角阵。2 设阶方阵有个对应于特征值得线性无关得特征向量,则。3 设阶方阵得每行元素之与都为常数,求证: 1) 为得一个特征值; 2) 对于任意自然数,得每行元素之与都为4 设三阶方阵得三个特征值 互异,分别对应于特征向量 证明: 都不就是得特征向量。 5 设,为阶方阵,证明

7、:都有相同得特征值。 6 设就是得两个不同得特征值, 就是对应于得特征向量,证明: 不就是得特征向量(即一个特征向量不能属于两个不同得特征值)。 答 案一1、a 2、c 3、c 4、d 5、b 6、b 7、b 8、d 9、b 10B 11B 12 A 13 D二、1 得特征值为: ;得特征值为:; 2、 ; 3、 ; 4、 5、 6、 7、 0 8、 0三1 , 2 3 4 四、提示 1 略 2 略3 略 4 略 5 若有特征值0,则,从而即也有0为其特征值,若有为其特征值,令相应得特征向量为 则,两边右乘,有 则必有(否则,从而,与假设矛盾),从而有,即也就是得特征值,从而与得特征值一一对应,从而与有相似得特征值。 6 反证法