《计量经济分析方法与建模》课件第二版 第09章向量自回归和向量误差修正模型.ppt

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1、1第九章 向量自回归和误差修正模型传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型(vectorautoregression，V AR)和向量误差修正模型(vectorerrorcorrectionmodel，VEC)就是非结构化的多方程模型。2向量自回归(V AR)是基于数据的统计性质建立模型，V AR V AR模 模型 型把 把系 系

2、统 统中 中每 每一 一个 个内 内生 生变 变量 量作 作为 为系 系统 统中 中所 所有 有内 内生 生变 变量 量的 的滞 滞后 后值 值的 的函 函数 数来 来构 构造 造模 模型 型，从 从而 而将 将单 单变 变量 量自 自回 回归 归模 模型 型推 推广 广到 到由 由多 多元 元时 时间 间序 序列 列变 变量 量组 组成 成的 的“向 向量 量”自 自回 回归 归模 模型 型。V AR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成V AR模型，因此近年来V AR模型受到越来越多的经济工作者的重视。9.19.1向

3、量自回归理论向量自回归理论 3V AR(p)模型的数学表达式是(9.1.1)其中：yt是k 维内生变量列向量，xt 是d 维外生变量列向量，p是滞后阶数，T是样本个数。kk 维矩阵 1，p和kd维矩阵H是待估计的系数矩阵。t 是k 维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设 是 t 的协方差矩阵，是一个(kk)的正定矩阵。式(9.1.1)可以展开表示为 9.1.19.1.1V ARV AR模型的一般表示模型的一般表示4(9.1.2)即含有k个时间序列变量的V AR(p)模型由k 个方程组成。5其中，ci,aij,bij 是要被估计的参数。也可表

4、示成：例 例如 如：作为V AR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供应量（M1）联合地由一个双变量的V AR模型决定。内生变量滞后二阶的V AR(2)模型是：6一 般 称 式(9.1.1)为 非 非 限 限 制 制 性 性 向 向 量 量 自 自 回 回 归 归 模 模 型 型(unrestrictedV AR)。冲击向量 t 是白噪声向量，因为 t 没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。为了叙述方便，下面考虑的V AR模型都是不含常数项的非限制向量自回归模型，用下式表示 或(9.1.5)7如果行列式 det(L)的根都在单位圆外，则式(9.1.5)满足稳定性条件，可以将其表示为无穷

5、阶的向量动平均(VMA()形式(9.1.6)其中8对V AR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的估计量为(9.1.7)其中：当V AR的参数估计出来之后，由于(L)A(L)=Ik，所以也可以得到相应的VMA()模型的参数估计。9由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得到V AR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量 t 有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt 的滞后而被

6、消除，所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。10例 例9.1 9.1我国货币政策效应实证分析的 我国货币政策效应实证分析的V AR V AR模型 模型 为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度2007年4季度的季度数据，设居民消费价格指数为CPI_90(1990年1季度=1)、居民消费价格指数增长率为CPI、实际GDP的对数ln(GDP/CPI_90)为ln(gdp)、实际M1的对数ln(M1/CPI_90)为ln(m1)和实际利率rr(一年期存款利率R-CPI）。11利用V AR(p)模型对ln(gdp)，ln(m1)和rr，3个

7、变量之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数差分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。12EViewsEViews软件中软件中V ARV AR模型的建立和估计模型的建立和估计 1 1建立 建立V AR V AR模型 模型为了创建一个V AR对象，应选择Quick/EstimateV AR或者选择Objects/New object/V AR或者在命令窗口中键入var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：13 可以在对话框内添入相应的信息：可以在对话框内添入相应的信息：(1)(1)选择模型类型（选择模型类型（V ARType V ARType）：）：无约束向量自回归（Unr

8、estrictedV AR）或者向量误差修正（VectorErrorCorrection）。无约束V AR模型是指V AR模型的简化式。(2)(2)在 在EstimationSample EstimationSample编辑框中设置样本区间 编辑框中设置样本区间14(3)(3)输入滞后信息 输入滞后信息在LagIntervalsforEndogenous编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这 这一 一信 信息 息应 应该 该成 成对 对输 输入 入：每 每一 一对 对数 数字 字描 描述 述一 一个 个滞 滞后 后区 区间 间。例如，滞后对14表示用系统中所有内生

9、变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：24691212即为用24阶，69阶及第12阶滞后变量。15(4)(4)在 在EndogenousVariables EndogenousVariables编辑栏中输入相应的内生变量 编辑栏中输入相应的内生变量(5)5)在 在ExogenousVariables ExogenousVariables编辑栏中输入相应的外生变量 编辑栏中输入相应的外生变量EViews允许V AR模型中包含外生变量，其中xt 是d 维外生变量向量,kd 维矩阵H 是要被估计的系数矩阵。可以在ExogenousVari

10、ables编辑栏中输入相应的外生变量。系统通常会自动给出常数c 作为外生变量。其余两个菜单（Cointegration和 Restrictions）仅与VEC模型有关，将在下面介绍。162 2 V AR V AR估计的输出 估计的输出V AR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews将会在V AR对象窗口显示如下估计结果：17表中的每一列对应V AR模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系 系数 数估 估计 计值 值、估计系 系数 数的 的标 标准 准差 差(圆 圆括 括号 号中 中)及t-t-统 统计 计量 量(方 方括 括号 号中 中)。例如，在D(log

11、(M1_TC_P)的方程中RR_TC(-1)的系数是-。同时，有两类回归统计量出现在V AR对象估计输出的底部：18 输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。输出的第二部分显示的是V AR模型的回归统计量。19残差的协方差的行列式值(自由度调整)由下式得出：其中m 是V AR模型每一方程中待估参数的个数，不做自由度调整的残差协方差行列式计算中不减m。是k 维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布计算对数似然值：AIC和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。20 例结果如下：尽管有几个系数不是很显著，我们仍然选择滞后

12、阶数为2。3个方程拟合优度分别为：可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。21同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用ei表示第i 个方程的残差，i=1，2，3。其结果如表9.1所示。表 表9.1 9.1残差的同期相关矩阵 残差的同期相关矩阵e1e2e3e11 0.007-0.42 e20.007 1 0.21 e3-0.42 0.21 122从表中可以看到实际利率rr、实际M1的 ln(m1)方程和实际GDP的 ln(gdp)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率、实际货币供给量(M1)和实际GDP之间存在着同期的影响关系，尽管得到

13、的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。239.1.29.1.2结构结构V ARV AR模型模型(SV AR)SV AR)在式(9.1.1)或式(9.1.3)中，可以看出，V AR模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型的右端不含有当期的内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中，是无法解释的，所以将式(9.1.1)和式(9.1.3)称为V AR模型的简化形式。本节要介绍的结构V AR模型(Structural V AR，SV AR)，实际是指V AR模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。24 1 1两变量的 两变量的SV A

14、R SV AR模型 模型为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量的V AR模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有两个变量(k=2)、滞后一阶(p=1)的V AR模型结构式可以表示为下式(9.1.8)25在模型(9.1.8)中假设：（1）随机误差uxt 和uzt是白噪声序列，不失一般性，假设方差x2=z2=1；（2）随机误差uxt 和uzt 之间不相关，cov(uxt,uzt)=0。式(9.1.8)一般称为 一 一 阶 阶 结 结 构 构 向 向 量 量 自 自 回 回 归 归 模 模 型 型(SV AR(1)SV AR(1)。26它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用与反馈作用，其中

15、系数c12表示变量zt 的单位变化对变量xt 的即 即时 时作 作用 用，21表示xt-1的单位变化对zt 的滞 滞后 后影 影响 响。虽然uxt和uzt是单纯出现在xt 和zt 中的随机冲击，但如果c210，则作用在xt 上的随机冲击uxt通过对xt 的影响，能够即时传到变量zt 上，这是一种间 间接 接的 的即 即时 时影 影响 响；同样，如果c120，则作用在zt 上的随机冲击uzt也可以对xt 产生间接的即时影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系。27为了导出V AR模型的简化式方程，将上述模型表示为矩阵形式 该模型可以简单地表示为(9.1.9)28假设C0可逆，可导出简化

16、式方程为其中(9.1.10)29从而可以看到，简化式扰动项 t 是结构式扰动项ut 的线性组合，因此代表一种复合冲击。因为uxt和uzt 是不相关的白噪声序列，则可以断定上述 1t 和 2t也是白噪声序列，并且均值和方差为30同期的1t 和 2t 之间的协方差为从式(9.1.11)可以看出当c120或c210时，V AR模型简化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关，正如例9.1中的表9.1所显示的情况。当 当 c c12 12=c c21 21=0 0时 时，即 即变 变量 量之 之间 间没 没有 有即 即时 时影 影响 响，上 上述 述协 协方 方差 差为 为0 0，相 相当 当于 于对 对

17、C C0 0矩 矩阵施加约束。阵施加约束。(9.1.11)3122多变量的多变量的SV ARSV AR模型模型下面考虑k个变量的情形，p阶结构向量自回归模型SV AR(p)为(9.1.13)其中：,32可以将式(9.1.13)写成滞后算子形式(9.1.14)其中：C(L)=C0 1L 2L2 pLp，C(L)是滞后算子L的kk 的参数矩阵，C0 Ik。需要注意的是，本书讨论的SV AR模型，C0 矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。如果C0是一个下三角矩阵，则SV AR模型称为递归的SV AR模型。33不失一般性，在式(9.1.14)假定结构式误差项(结构冲击)ut 的方差-协方差矩阵标准化为单位

18、矩阵Ik。同样，如果矩阵多项式 C(L)可逆，可以表示出 SV AR的无穷阶的VMA()形式其中：(9.1.15)34式(9.1.15)通常称为经济模型的最 最终 终表 表达 达式 式，因为其中所有内生变量都表示为ut的分布滞后形式。而且结构冲击ut 是不可直接观测得到，需要通过yt 各元素的响应才可观测到。可以通过估计式(9.1.5)，转变简化式的误差项得到结构冲击ut。从式(9.1.6)和式(9.1.15)，可以得到(9.1.16)35上式对于任意的t 都是成立的，称为典型的SV AR模型。由于A0=Ik，可得式(9.1.17)两端平方取期望，可得 所以我们可以通过对B0施加约束来识别SV

19、 AR模型。由式5)，有(9.1.17)(9.1.18)369.29.2结构结构V AR(SV AR)V AR(SV AR)模型的识别条件模型的识别条件 前面已经提到，在V AR简化式中变量间的当期关系没有直接给出，而是隐藏在误差项的相关关系的结构中。自Sims的研究开始，V AR模型在很多研究领域取得了成功，在一些研究课题中，V AR模型取代了传统的联立方程模型，被证实为实用且有效的统计方法。然而，V AR模型存在参数过多的问题，如式(9.1.1)中，一共有k(kp+d)个参数，只有所含经济变量较少的V AR模型才可以通过OLS和极大似然估计得到满意的估计结果。37为了解决这一参数过多的问题

20、，计量经济学家们提出了许多方法。这些方法的出发点都是通过对参数空间施加约束条件从而减少所估计的参数。SV AR模型就是这些方法中较为成功的一种。9.2.19.2.1V ARV AR模型的识别条件模型的识别条件 在经济模型的结构式和简化式之间进行转化时，经常遇到模型的识别性问题，即能否从简化式参数估计得到相应的结构式参数。38 对于k 元p 阶简化V AR模型利用极大似然方法，需要估计的参数个数为(9.2.1)(9.2.2)而对于相应的k 元p 阶的SV AR模型来说，需要估计的参数个数为(9.2.4)(9.2.3)39要想得到结构式模型惟一的估计参数，要求识别的阶条件和秩条件，即 即简 简化

21、化式 式的 的未 未知 知参 参数 数不 不比 比结 结构 构式 式的 的未 未知 知参 参数 数多 多(识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见第12章的“12.1.2联立方程模型的识别”)。因此，如果不对结构式参数加以限制，将出现模型不可识别的问题。对于k元p阶SV AR模型，需要对结构式施加的限制条件个数为式(9.2.4)和式(9.2.2)的差，即施加k(k-1)/2个限制条件才能估计出结构式模型的参数。这些约束条件可以是同期(短期)的，也可以是长期的。409.2.29.2.2SV ARSV AR模型的约束形式模型的约束形式为了详细说明SV AR模型的约束形成，从式(9.1.16)和式(9.

22、1.17)出发，可以得到其中 A(L)、B(L)分别是 V AR模型和 SV AR模型相应的VMA()模型的滞后算子式，B0=C0-1，这就隐含着(9.2.5),i=0，1，2，(9.2.6)41 因此，只需要对B0进行约束，就可以识别整个结构系统。如果B0是已知的，可以通过估计式(9.1.17)和式(9.2.6)非常容易的得到滞后多项式的结构系数和结构新息ut。在有关SV AR模型的文献中，这些约束通常来自于经济理论，表示经济变量和结构冲击之间有意义的长期和短期关系。421.1.短期约束 短期约束 短期约束通常直接施加在矩阵B0上，表示经济变量对结构冲击的同期响应，常见的可识别约束是简单的0

23、约束排除方法。（1 1）通过 通过Cholesky-Cholesky-分解建立递归形式的短期约束 分解建立递归形式的短期约束 Sims提出使B0矩阵的上三角为0的约束方法，这是一个简单的对协方差矩阵的Cholesky-分解。下面，首先介绍Cholesky-分解的基本思想 43Cholesky(Cholesky(乔利斯基乔利斯基)分解分解对于任意实对称正定矩阵，存在惟一一个主对角线元素为1的下三角形矩阵G 和惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵Q 使得：利用这一矩阵G 可以构造一个k 维向量ut，构造方法为ut=G-1t，设(9.2.7)44则 由于Q是对角矩阵，可得ut 的元素互不相关，其（j,

24、j）元素是ujt 的方差。令Q1/2表示其（j,j）元素为ujt 标准差的对角矩阵。注意到式(9.2.7)可写为(9.2.8)其中P=GQ1/2是一个下三角矩阵。式(9.2.8)被称为Cholesky(Cholesky(乔利斯基乔利斯基)分解。分解。45SimsSims施加约束的基本过程是：施加约束的基本过程是：由于 是正定矩阵，所以可得到Cholesky因子P，即PP=。而且，当给定矩阵 时，Cholesky因子P是惟一确定的。对于V AR模型，其中VWN(0k,)表示均值为0k，协方差矩阵为 的白噪声向量，这里0k表示k 维零向量。上式两边都乘以P1，得到46其中：ut=P-1t。由于(9

25、.2.9)(9.2.10)所以ut 是协方差为单位矩阵的白噪声向量，即ut VMN(0k,Ik)。47在向量 t 中的各元素可能是当期相关的，而向量ut 中的各元素不存在当期相关关系，即这些随机扰动是相互独立的。这 这些 些相 相互 互独 独立 立的 的随 随机 机扰 扰动 动可 可以 以被 被看 看作 作是 是导 导致 致内 内生 生变量向量 变量向量 y yt t 变动的最终因素。变动的最终因素。由式(9.2.9)还可以得出其中,(9.2.11)48很明显，C0是下三角矩阵。这 这意 意味 味着 着变 变量 量间 间的 的当 当期 期关 关系 系可 可以 以用 用递 递归 归的 的形 形式

26、 式表 表示 示出 出来 来，得到的正交VMA()表示(或Wold表示)形式为其中：Bi=Ai P，B0=P。注意到B0=P，所以冲击ut 对yt 中的元素的当期冲击效应是由Cholesky因子P 决定的。(9.2.12)49更需要注意的是，由于 P 是下三角矩阵，由式(9.2.9)可知，这要求向量yt 中的y2t，ykt 的当期值对第一个分量y1t 没有影响，因此Cholesky Cholesky分 分解 解因 因子 子 P P 的 的决 决定 定和 和V AR V AR模 模型 型中 中变 变量 量的 的次 次序 序有 有关 关，而且在给定变量次序的模型中，Cholesky分解因子矩阵P

27、是惟一的。综上所述，可知只要式(9.1.13)中的C0是主对角线元素为1的下三角矩阵，则SV AR模型是一种递归模型，而且是恰好识别的。50（2 2）依据经济理论假设的短期约束）依据经济理论假设的短期约束 但是，一般短期约束的施加不必是下三角形式的。只要满足式(9.1.18)：约束可以施加给B0的任何元素。同时，由式(9.1.15)可知，SV AR模型中的同期表示矩阵C0是B0的逆，即B0=C0-1，因此也可以通过对C0施加限制条件实现短期约束。512.2.长期约束 长期约束关于长期约束的概念最早是由Blanchard和 Quah在1989年提出的，是为了识别模型供给冲击对产出的长期影响。施加

28、在结构VMA()模型的系数矩阵Bi(i=1，2，)上的约束通常称为长期约束。最常见的长期约束的形式是对i=0Bi的第i 行第j 列元素施加约束，典型的是0约束形式，表示第i 个变量对第j 个变量的累积乘数影响为0。关于长期约束更详细的说明及其经济含义可参考9.4节的脉冲响应函数。52在在EViewsEViews中如何估计中如何估计SV ARSV AR模型模型在V AR估计窗口中选择：Procs/Estimate StructuralFactorization即可。下面对这一操作进行详细说明：假设在EViews中SV AR模型为：(9.8.3)其中et，ut 是k维向量，et 是简化式的残差，相

29、当于前文的t，而ut 是结构新息(结构式残差)。A、B是待估计的k k矩阵。简化式残差et 的协方差矩阵为 53例例9.29.2基于基于SV ARSV AR模型的货币政策效应的实证分析模型的货币政策效应的实证分析货币政策主要指中央银行通过调整利率和货币供应量，影响投资、社会需求及总支出，进而对经济增长产生作用。凯恩斯学派和货币主义学派都承认货币供应量对经济有影响，虽然途径不一样，但都是诱发经济波动的主要原因。为了验证利率和货币供给的冲击对经济波动的影响，例使用了V AR模型，但是其缺点是不能刻画变量之间的同期相关关系，而这种同期相关关系隐藏在扰动项变动中，因此可以通过本节介绍的SV AR模型来

30、识别，这就涉及对模型施加约束的问题。首先，根据式（）建立3变量的SV AR(2)模型，其形式如下：t=1，2，T(9.2.13)54其中A、B参数矩阵及向量分别为，(9.2.14),其中t 是V AR模型的扰动项，u1t、u2t和u3t分别表示作用在实际利率rr、ln(m1)和ln(gdp)上的结构式冲击，即结构式扰动项，utVMN(0k,Ik)。一般而言，简化式扰动项t 是结构式扰动项 ut 的线性组合，因此代表一种复合冲击。55模型中有3个内生变量，因此至少需要施加2k2 k(k+1)/2=12个约束才能使得SV AR模型满足可识别条件。本例中约束B矩阵（即B0矩阵）是单位矩阵，A矩阵（即

31、A0矩阵）对角线元素为1，相当于施加了k2+k个约束条件。根据经济理论，本例再施加如下两个约束条件：(1)实际利率对当期货币供给量的变化没有反应，即a12=0；(2)实际利率对当期GDP的变化没有反应，即a13=0。561.1.用矩阵模式表示的短期约束 用矩阵模式表示的短期约束在许多问题中，对于A、B矩阵的可识别约束是简单的排除0约束。在这种情况下，可以通过创建矩阵指定A、B的约束，矩阵中想估计的未知元素定义为缺省值NA，在矩阵中所有非缺省的值被固定为某一指定的值。例 例如 如：对于例9.2，(9.2.14)的简化式扰动项和结构式扰动项的关系为A t=ut，对于k=3个变量的SV AR模型，其

32、矩阵模式可定义为：57一旦创建了矩阵，从V AR对象窗口的菜单中选择Procs/EstimateStructuralFactorization，在下图所示的SV AROptions的对话框中，击中Matrix按钮和Short-RunPattern按钮，并在相应的编辑框中填入模版矩阵的名字。582.2.用文本形式表示的短期约束用文本形式表示的短期约束 对于更一般的约束，可用文本形式指定可识别的约束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系：Aet=But并用特殊的记号识别et 和ut 向量中的每一个元素。A、B矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。例 例如 如：像上例所假定的一样，对于有3

33、个变量的SV AR模型，约束A矩阵为C0矩阵，B矩阵是一对角矩阵。在这些约束条件下，Aet=ut的关系式可以写为下面的形式。59为了以文本形式指定这些约束，从V AR对象窗口选择 Procs/Estimate Structure Factorization，并单击Text按钮，在编辑框中，应键入下面的方程：e1t=u1te2t=c(1)e1t+u2t+c(4)e3t e3t=c(2)e1t+c(3)e2t+u3t6061特殊的关键符“e1”，“e2”，“e3”分别代表et(即 t)向量中的第一、第二、第三个元素，而“u1”，“u2”，“u3”分别代表ut 向量中的第一、第二、第三个元素。在这个

34、例子中，A、B矩阵中的未知元素以系数向量c 中的元素来代替。并且对A、B矩阵的约束不必是下三角形式，可以依据具体的经济理论来建立约束。624.4.A A、B B矩阵的估计 矩阵的估计一旦提供了上述所描述的任何一种形式的可识别约束，单击SV AROptions对话框的OK按钮，就可以估计A、B矩阵。为了使用脉冲响应和方差分解的结构选项，必须先估计这两个矩阵。假定扰动项是多元正态的，EViews使用极大似然估计法估计A、B矩阵。使用不受限制的参数代替受限制的参数计算似然值。对数似然值通过得分方法最大化，在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算。63 最优化控制 最优化控制(OptimizationC

35、ontrol)OptimizationControl)最 优 化 过 程 控 制 的 选 项 在 SV AR Options对 话 框 的OptimizationControl栏下提供。可以指定初始值、迭代的最大数和收敛标准。64 估计的输出 估计的输出一旦估计收敛，EViews会在V AR对象窗口中显示估计的结果，包括：估计值、标准误差和被估计无约束参数的Z统计量及对数似然的最大值。基于被估计的信息矩阵的逆（Hessian的负的期望值）所估计的标准误差在最后的估计中计算。6566在模型(9.2.13)满足可识别条件的情况下，我们可以使用完全信息极大似然方法（FIML）估计得到SV AR模型的

36、所有未知参数，从而可得矩阵A及t 和ut的线性组合的估计结果如下（设V AR模型的估计残差=et）：或者可以表示为本章将在例中，利用脉冲响应函数讨论实际利率和货币供给量的变动对产出的影响。67 无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍关于V AR模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型（VEC）也适用。9.3.1 9.3.1Granger Granger因果检验 因果检验V AR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969)提出，Sims(1972)推广的如何检验变量之间

37、因果关系的方法。9.39.3V ARV AR模型的检验和过程模型的检验和过程681.Granger1.Granger因果关系的定义因果关系的定义Granger解决了x 是否引起y 的问题，主要看现在的y能够在多大程度上被过去的x 解释，加入x 的滞后值是否使解释程度提高。如果x 在y 的预测中有帮助，或者x 与y 的相关系数在统计上显著时，就可以说“y 是由x Granger引起的”。考虑对yt 进行s 期预测的均方误差（MSE）：(9.3.1)69这样可以更正式地用如下的数学语言来描述。Granger Granger因 因果 果定 定义 义：如果关于所有的s0，基于(yt，yt-1，)预测y

38、t+s 得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，)和(xt，xt-1，)两者得到的yt+s 的均方误差相同，则y 不是由x Granger引起的。对于线性函数，若有可以得出结论：x x 不 不能 能Granger Granger引 引起 起 y y。等价的，如果(9.3.2)式成立，则称 称 x x 对 对于 于 y y 是 是外 外生 生的 的。这个意思相同的第 第三 三种 种表 表达 达方 方式是 式是 x x 关于未来的 关于未来的 y y 无线性影响信息 无线性影响信息。(9.3.2)70可以将上述结果推广到k 个变量的V AR(p)模型中去，考虑对模型(9.1.5)，利用从(t 1)

39、至(t p)期的所有信息，得到yt 的最优预测如下：(9.3.3)V AR(p)模型中Granger因果关系如同两变量的情形，可以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：在 在多 多变 变量 量V AR(V AR(p p)模 模型 型中 中不 不存 存在 在 y yjt jt 到 到 y yit it 的 的Granger Granger意 意义 义下 下的 的因 因果 果关 关系的必要条件是 系的必要条件是(9.3.4)其中是的第i 行第j 列的元素。712.2.GrangerGranger因果关系检验因果关系检验Granger因果关系检验实质上

40、是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果关系。72在一个二元p阶的V AR模型中(9.3.5)当且仅当系数矩阵中的系数全部为0时，变量x 不能Granger引起y，等价于变量x 外生于变量y。73这时，判断Granger原因的直接方法是利用F-检验来检验下述联合检验：HH00:HH11:至少存在一个 至少存在一个 q q 使得 使得其统计量为(9.3.6)如果S1大于F的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：原假设：x x 不能 不能Granger Granger引起 引起 y y。74其中：RSS1是式(9.3.

41、5)中y 方程的残差平方和：(9.3.7)RSS0是不含x 的滞后变量，即如下方程的残差平方和：(9.3.8)则有(9.3.9)75在满足高斯分布的假定下，检验统计量式(9.3.6)具有精确的F分布。如果回归模型形式是如式(9.3.5)的V AR模型，一个渐近等价检验可由下式给出：(9.3.10)注意，S2服从自由度为p 的 2分布。如果S2大于 2的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x不能Granger引起y。而且Granger Granger因 因果 果检 检验 验的 的任 任何 何一 一种 种检 检验 验结 结果 果都 都和 和滞 滞后 后长度 长度 p p 的选择有关。的选择有关。

42、76 在 在EViews EViews中 中GrangerGranger因果检验的操作因果检验的操作选择View/Lag Structure/Granger Causality Tests，即可进行Granger因果检验。77输出结果对于V AR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的 2(Wald)统计量，在表的最后一行(ALL)列出了检验所有滞后内生变量联合显著的 2统计量。对例9.1进行检验，其结果如下：78同时在组(Group)的View菜单里也可以实现Granger因果检验，但是需要先确定滞后阶数，具体统计量的构造可依据9.3节的介绍，将

43、例9.1的3个时间序列构造成组，在组中进行检验可得如下结果：79为了使两个结果具有可比性，选择了相同的滞后阶数。两个输出结果的形式和统计量都不一样，在V AR中用的是2统计量，而在Group中使用的是F统计量。但是含义是一样的。80例 例9.3 9.3Granger Granger因果检验 因果检验 早期研究发现，在产出和货币的单方程中，货币对于产出具有显著 Granger影响(Granger，1969)，这同Friedman等人(1963)“实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关”的结论相符。但是，Sims(1980)对于“货币冲击能够产生实际效果”的观点提出了质疑，他通过使用结构变量之间的

44、因果关系检验，得到的主要结论是：如果在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量，那么货 货币 币供 供给 给对 对实 实际 际产 产出 出的 的作 作用 用程 程度 度将 将出 出现 现显 显著 著降 降低 低。因此，动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力，这样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近。81根据实际情况，利用例9.1的数据，基于V AR(3)模型检验实际利率RR、实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显著的Granger关系，其结果如表9.2所示。原假设 2统计量 自由度P 值rr 方程实际M1 不能Granger 引起实际利率 4.16 2 0.1252

45、实际GDP 不能Granger 引起实际利率 4.20 2 0.1224 实际M1、实际GDP 不能同时Granger 引起实际利率6.87 4 0.1428 ln(m1)方程实际利率不能Granger 引起实际M1 8.21 2 0.0165 实际GDP 不能Granger 引起实际M1 6.62 2 0.0366 实际利率、实际GDP 不能同时Granger引起实际M115.15 4 0.0044 ln(gdp)方程实际利率不能Granger 引起实际GDP 1.17 2 0.5584实际M1 不能Granger 引起实际GDP 2.42 2 0.2982 实际利率、实际M1 不能同时Gr

46、anger 引起实际GDP3.53 4 0.4734 82从表的结果可以看到：在实际利率方程中，不能拒绝实际M1、实际GDP不是实际利率的Granger原因的原假设，而且两者的联合检验也不能拒绝原假设，表明实际利率外生于系统，这与我国实行固定利率制度是相吻合的。而在实际M1的方程中，无论单个变量的Granger因果检验，还是联合检验在5%的显著性水平下都不能接受原假设。在第三个方程(即实际GDP方程)中，实际M1外生于实际GDP的概率为，这可能是因为我国内需不足，大部分商品处于供大于求，因此当对货币的需求扩张时，会由于价格调整而抵消，并不会形成对货币供给的数量调整，因此对产出的影响比较微弱。另

47、外，在样本区间内，货币政策发生了方向性的改变，导致其影响作用出现了抵消和中和，因此实际M1对实际GDP没有显著的影响。83V AR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。在选择滞后阶数p 时，一方面想使滞后阶数足够大，以便能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方面，滞后阶数越大，需要估计的参数也就越多，模型的自由度就减少。所以通常进行选择时，需要综合考虑，既要有足够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，这是V AR模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目。9.3.29.3.2滞后阶数滞后阶数p p 的确定的确定841.1

48、.确定滞后阶数的 确定滞后阶数的LR(LR(似然比 似然比)检验 检验(9.3.11)LR(LikelihoodRatio)检验方法，从最大的滞后阶数开始，检 检验 验原 原假 假设 设：在 在滞 滞后 后阶 阶数 数为 为 j j 时 时，系 系数 数矩 矩阵 阵 j j 的 的元 元素 素均 均为 为0 0；备 备择 择假 假设 设为 为：系 系数 数矩 矩阵 阵 j j 中 中至 至少 少有 有一 一个 个元 元素 素显 显著 著不为 不为0 0。2(Wald)统计量如下：其中m是可选择的其中一个方程中的参数个数：m=d+kj，d 是外生变量的个数，k 是内生变量个数，和 分别表示滞后阶

49、数为(j 1)和j 的V AR模型的残差协方差矩阵的估计。85从最大滞后阶数开始，比较LR统计量和5%水平下的临界值，如果LR时，拒绝原假设，表示统计量显著，此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值；否则，接受原假设。每次减少一个滞后阶数，直到拒绝原假设。2 2 AIC AIC信息准则和 信息准则和SC SC准则 准则实际研究中，大家比较常用的方法还有AIC信息准则和SC信息准则，其计算方法可由下式给出：86其中在V AR模型(9.1.1)中n=k(d+pk)是被估计的参数的总数，k 是内生变量个数，T 是样本长度，d 是外生变量的个数，p 是滞后阶数，l 是由下式确定的(9.3.12)

50、(9.3.13)(9.3.14)87在在EViewsEViews软件中滞后阶数软件中滞后阶数pp的确定的确定 一旦完成V AR模型的估计，在窗口中选择View/LagStructure/LagLengthCriteria，88需要指定较大的滞后阶数，表中将显示出直至最大滞后数的各种信息标准（如果在V AR模型中没有外生变量，滞后从1开始，否则从0开始）。表 表中 中用 用“*”“*”表 表示 示从 从每 每一 一列 列标 标准 准中 中选 选的 的滞 滞后 后数 数。在 在4 4 7 7列 列中 中，是 是在 在标 标准 准值 值最 最小 小的 的情 情况下所选的滞后数。况下所选的滞后数。为了