【高中数学】条件概率 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册).pptx

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1、第七章 随机变量及其分布章前导入概率概率是随机事件发生可能性大小的度量是随机事件发生可能性大小的度量.在必修课程的概率学习中，我们结合在必修课程的概率学习中，我们结合古典概型古典概型，研究了，研究了简单简单随机事件及其概率的计算方法随机事件及其概率的计算方法，并讨论了概率的一些性质，并讨论了概率的一些性质.本章将在此基础上，结合古典概型，研究本章将在此基础上，结合古典概型，研究随机事件的条件概随机事件的条件概率率，建立，建立概率的乘法公式和全概率公式概率的乘法公式和全概率公式，并用它们计算较，并用它们计算较复复杂杂事件的概率事件的概率.为了利用数学工具，并以简洁、统一的形式研究随机试验的规为了

2、利用数学工具，并以简洁、统一的形式研究随机试验的规律，本章我们还将把律，本章我们还将把随机试验的结果数量化随机试验的结果数量化，引入，引入随机变量随机变量的的概念概念.章前导入对对离散型随机变量离散型随机变量，我们主要研究其，我们主要研究其分布列及数字特征分布列及数字特征，并，并对对二项分布、超几何分布二项分布、超几何分布进行重点研究进行重点研究.对于对于连续型随机变量连续型随机变量，我们只研究服从，我们只研究服从正态分布正态分布的情况的情况.通过通过用随机变量描述和分析随机试验，解决一些简单的实际问题，用随机变量描述和分析随机试验，解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及概率思想和

3、方法的特点进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.第七章 随机变量及其分布7.1 7.1 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式 7.1.1 7.1.1 条件概率条件概率 一二三学习目标理解并掌握条件概率公式能利用条件概率公式计算相关问题复习回顾回顾1 什么是古典概型？我们是怎么计算古典概型的概率？(1 1)有限性有限性：样本空间：样本空间的样本点只有有限的样本点只有有限个；个；(2 2)等可能性等可能性：每个：每个样本点发生的可能性相等样本点发生的可能性相等.我们我们将具有以上两个特征的试验称为将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验古典概型试验，其数学模型，其数学模型称为称为古典

4、概率模型古典概率模型，简称，简称古典概型古典概型.一般地，设一般地，设试验试验E是是古典概型古典概型，样本空间样本空间包包含含n个个样本点样本点，事件事件A包含其中的包含其中的k个样本点，则定义事件个样本点，则定义事件A的的概率为概率为其中，其中，n(A)和和n()分别表示事件分别表示事件A和和样本空间样本空间包含包含的样本点个数的样本点个数.回顾2 什么是积事件？事件事件A与事件与事件B同时同时发生发生复习回顾回顾3 什么是相互独立事件？怎么理解相互独立事件？对任意两个事件对任意两个事件A与与B，如果如果 P(AB)=P(A)P(B)成立成立，则称，则称事件事件A与事件与事件B相互独立相互独

5、立，简称为，简称为独立独立.例如 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A=“第一枚硬币正面朝上第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反第二枚硬币反面朝上面朝上”.分别计算分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？，看看它们之间有什么关系？解：解：用用1表示硬币表示硬币“正面朝上正面朝上”，用，用0表示硬币表示硬币“反面朝上反面朝上”，样本空间为样本空间为=(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)，包含，包含4个等可能的样本点个等可能的样本点.其中：其中：A=(1,1),(1,0)，B=(1,0),(0,0)，AB=(1,0)由古典概型概率计算

6、公式，由古典概型概率计算公式，P(AB)=P(A)P(B)通俗地说，对于两个通俗地说，对于两个事件事件A，B，如果其中如果其中一个事件是一个事件是否发生对另一个事件发生的否发生对另一个事件发生的概率没有影响概率没有影响，就把它们叫，就把它们叫做做相互独立事件相互独立事件新知探究：条件概率思考：如果事件如果事件A与与B不独立不独立，如何表示积事件，如何表示积事件AB的概率呢？的概率呢？（事件事件A与与B不独立不独立，就是指就是指其中其中一个事件发生一个事件发生的概率的概率会受到会受到另一个事件发生的另一个事件发生的概率概率的的影响影响）。下面我们从具体问题入手.问题1 某个班级有某个班级有 45

7、45名学生，名学生，其中男生、女生的人数及团员的其中男生、女生的人数及团员的人数如右表所示人数如右表所示.团员非非团员合合计男生男生16925女生女生14620合合计301545在班级里随机选择一人做代表在班级里随机选择一人做代表.(1)(1)选到男生的概率是多少选到男生的概率是多少?(2)(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?新知探究：条件概率问题1 某个班级有某个班级有 4545名学生，其中男生、名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如右表所示女生的人数及团员的人数如右表所示.团员非非团员合合计男生男生16925女生女

8、生14620合合计301545在班级里随机选择一人做代表在班级里随机选择一人做代表.(1)(1)选到男生的概率是多少选到男生的概率是多少?(2)(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?解：随机随机选择一人做代表，一人做代表，则样本空本空间包含包含45个等可能的个等可能的样本点本点.设事件事件A=“选到到团员”，事件事件B=“选到男生到男生”，根据表中的数据可得根据表中的数据可得n()=45,n(A)=30,n(B)=25.(1)(1)根据古典概型知识可知根据古典概型知识可知,选到男生的概率选到男生的概率新知探究：条件概率问题1

9、 某个班级有某个班级有 4545名学生，其中男生、名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如右表所示女生的人数及团员的人数如右表所示.团员非非团员合合计男生男生16925女生女生14620合合计301545在班级里随机选择一人做代表在班级里随机选择一人做代表.(1)(1)选到男生的概率是多少选到男生的概率是多少?(2)(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?此此时相当于以相当于以A为样本空本空间来考来考虑事件事件B发生的概率生的概率，而在新的，而在新的样本空本空间中中事件事件B就是就是积事件事件AB，包含的，包含的样本点数本点

10、数n(AB)=16.根据古典概型知根据古典概型知识可知，可知，条件概率条件概率(2)“在在选到到团员的条件下，的条件下，选到男生到男生”的概率就是的概率就是“在事件在事件A发生的条件下，生的条件下，事件事件B发生生”的概率，的概率，记为P(B|A).思考：此时的此时的样本空间还是样本空间还是么？么？条件问题2 某个家庭有2个孩子，问：(1)两个孩子都是女孩的概率？(2)如果有1个孩子是女孩，那么两个孩子都是女孩的概率又是多少？新知探究：条件概率 用用b表示男孩，表示男孩，g表示女孩，表示女孩，则样本空本空间bb,bg,gb,gg，且所有且所有样本点是本点是等可能的等可能的.设事件事件A=“选择

11、的家庭中有女孩的家庭中有女孩”，事件事件B=“选择的家庭中两个小孩都是女孩的家庭中两个小孩都是女孩”，则Agg,bg,gb，Bgg.(1)根据古典概型知识可知根据古典概型知识可知,该家庭中两个都是女孩的概率为该家庭中两个都是女孩的概率为问题2 某个家庭有2个孩子，问：(1)两个孩子都是女孩的概率？(2)如果有1个孩子是女孩，那么两个孩子都是女孩的概率又是多少？条件新知探究：条件概率(2)“在在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩是女孩”的概率就是的概率就是“在事件在事件A发生的条件下，事生的条件下，事件件B发生生”的概率，的概率，记为P(B|A).此此时A

12、成成为样本空本空间，事件事件B就是就是积事件事件AB，根据古典概型知根据古典概型知识可知可知条件概率条件概率在上面两个在上面两个问题中，在中，在事件事件A发生的条件下，事件生的条件下，事件B发生的概率生的概率都是都是新知探究：条件概率思考：上面两个问题有什么共同点上面两个问题有什么共同点？这个个结论对于一般的古典概型仍然成立于一般的古典概型仍然成立.事事实上，如上，如图所示，若已知事件所示，若已知事件A发生，生，则A成成为样本空间样本空间.此此时，事件事件B发生的概率生的概率是是AB包含的包含的样本点数本点数与与A包含的包含的样本点数的比本点数的比值，即，即ABAB新知探究：条件概率 为了把这

13、个式子推广到一般情形，不妨记为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为原来的样本空间为，则有，则有ABAB在事件在事件A发生的条件下，事件生的条件下，事件B发生的概率生的概率还可以通可以通过 来来计算算.概念生成条件概率：一般地，一般地，设A，B为两个随机事件，且两个随机事件，且P(A)0，我，我们称称定定义公式公式样本点个数本点个数公式公式条件概率的判断：条件概率的判断：(1)当题目中出现当题目中出现“在在条件下条件下”等字眼，一般为条件概率等字眼，一般为条件概率;(2)当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率

14、.思考：新知探究：条件概率与事件相互独立性的关系条件概率：一般地，一般地，设A，B为两个随机事件，且两个随机事件，且P(A)0，我，我们称称思考 P(B|A)和和P(A|B)的意义相同吗？为什么的意义相同吗？为什么?思考 P(B|A)和和P(AB)的联系与区别是什么的联系与区别是什么?联系：事件事件A,B都发生了都发生了.区别：(1)在在P(B|A)中，事件中，事件A,B发生有时间上的差异，发生有时间上的差异，A先先B后；后；在在P(AB)中，事件中，事件A,B同时发生同时发生.(2)样本空间不同，在样本空间不同，在P(B|A)中，事件中，事件A成为样本空间；成为样本空间；在在P(AB)中，样

15、本空间仍为中，样本空间仍为.因此有因此有P(B|A)P(AB).关键分清先发生事件和后发生事件新知探究：条件概率与事件相互独立性的关系问题3 在问题在问题1和问题和问题2中，都有中，都有P(B|A)P(B).一般地，一般地，P(B|A)与与P(B)不一不一定相等定相等.如果如果P(B|A)与与P(B)相等，那么事件相等，那么事件A与与B应满足什么条件应满足什么条件?直直观上看，当事件上看，当事件A与与B相互独立相互独立时，事件，事件A发生与否不影响事件生与否不影响事件B发生的概生的概率，率，这等价于等价于P(B|A)P(B)成立成立.事事实上，若上，若事件事件A与与B相互独立相互独立，即，即P

16、(AB)P(A)P(B)，且，且P(A)0，则反之，若反之，若P(B|A)P(B)，且，且P(A)0，则即事件即事件A与与B相互独立相互独立.条件概率与事件独立性的关系：当P(A)0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B).新知探究：概率的乘法公式问题4 对于任意两个事件对于任意两个事件A与与B,如果已知如果已知P(A)与与P(B|A),如何计算如何计算P(AB)呢？呢？对于任意两个事件对于任意两个事件A与与B，若，若P(A)0，由条件概率由条件概率 ,可得：可得：我们称上式为我们称上式为概率的乘法公概率的乘法公式式.注意：注意：0P(B|A)1.CBB小试牛刀典例解析例1

17、在在5道试题中有道试题中有3道代数题和道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽道题，抽出的题不再放回出的题不再放回.求求:(1)第第1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率;(2)在第在第1次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率.分析：如果把如果把“第第1 1次抽到代数题次抽到代数题”和和“第第2 2次抽到几何题次抽到几何题”作为两个事件，那么问作为两个事件，那么问题题(1 1)就是就是积事件的概率积事件的概率，问题，问题(2 2)就是就是条件概率。条件概率。思路1:先求积事件的概

18、率，再用条件概率公式求条件概率，即思路2:先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率，即典例解析例1 在在5道试题中有道试题中有3道代数题和道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再道题，抽出的题不再放回放回.求求：(1)第第1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率;(2)在第在第1次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率.解：解：设事件设事件A=“第第1次抽到代数题次抽到代数题”,事件事件 B=“第第2次抽到几何题次抽到几何题”.“第第1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2次抽

19、到几何题次抽到几何题”就是事件就是事件AB.（1）从从5道试题中每次不放回地随机抽取道试题中每次不放回地随机抽取2道道,试验的样本空间试验的样本空间包包含含20个等可能的样本点个等可能的样本点,即即方法1：=利用条件概率公式，得利用条件概率公式，得显然显然 .(2)“在第在第1次抽到代数题的条件下次抽到代数题的条件下,第第2次抽到几何题次抽到几何题”的概率就是事件的概率就是事件A发发生的条件下生的条件下,事件事件B发生的概率发生的概率,P(B|A)=典例解析例1 在在5道试题中有道试题中有3道代数题和道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再道题，抽出

20、的题不再放回放回.求求：(1)第第1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率;(2)在第在第1次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率.方法2：（在缩小的样本空间在缩小的样本空间A上求上求P(B|A)）.已知第已知第1次抽到代数题次抽到代数题,这时还余下这时还余下4道试题道试题,其中代数题和几何题各其中代数题和几何题各2道道.因此因此,事件事件A发生的条件下发生的条件下,事件事件B发生的概率为发生的概率为又又P(A)=,利用乘法公式可得利用乘法公式可得例题小结从例从例1可知，可知，求条件概率有两种方法：方法一：基于基于

21、样本空间，先计算，先计算P(A)和和P(AB)，再利用条件概率公，再利用条件概率公式式 求求 ；方法二：根据条件概率的直观意义，增加了根据条件概率的直观意义，增加了“A发生发生”的条件后，的条件后，样本空间缩小为A，求，求P(B|A)就是以就是以A为样本空间计算为样本空间计算AB的概率的概率，即利用公式即利用公式 来计算来计算 .缩小样本空间法公式法注意：利用缩小样本空间求条件概率问题，应搞清楚是求哪个事件的样本点数.解题步骤：解题步骤：（1）把把问题涉及的问题涉及的事件用事件用A,B表示表示,（2）根据根据已知条件已知条件求出求出P(A),P(B),P(AB),或或n(A),n(B),n(A

22、B),（3）根据根据条件概率公式条件概率公式求出求出P(B|A)或或P(A|B).条件概率的性质：概念生成(2)如果如果B和和C是两个是两个互斥事件互斥事件，则则P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)；条件概率只是条件概率只是缩小了样本空间缩小了样本空间，因此条件，因此条件概率同样具有概率的性质概率同样具有概率的性质.设设P(A)0，则，则(1)P(|A)=1；ABABABABCAC求复杂事件的概率常求复杂事件的概率常分成分成两个两个(或多个或多个)互斥互斥的较简单的事件之和的概率。的较简单的事件之和的概率。B典例解析例2 已知已知3 3张奖券中只有张奖券中只有1 1张有奖张有奖,甲、乙

23、、丙甲、乙、丙3 3名同学依次不放回地各随名同学依次不放回地各随机抽取机抽取1 1张张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?分析：要知中奖概率是否与抽奖次序有关要知中奖概率是否与抽奖次序有关,只要考察甲、乙、丙只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖名同学的中奖概率是否相等概率是否相等.因为只有因为只有1张奖券有奖，所以张奖券有奖，所以“乙中奖乙中奖”等价于等价于“甲没中奖且乙中奖甲没中奖且乙中奖”,“丙中奖丙中奖”等价于等价于“甲和乙都没中奖甲和乙都没中奖”,利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.用用A，B，C分分别表示甲、乙、丙中表示甲

24、、乙、丙中奖的事件，的事件，则解：甲不中的条件下甲不中的条件下,还剩还剩2张奖张奖券券,所以乙中与不中都是所以乙中与不中都是 .P(B)=乘法公式因为因为P(A)=P(B)=P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关所以中奖的概率与抽奖的次序无关.P(C)=在抽在抽奖问题中，无中，无论是是放回放回还是不放回地随机是不放回地随机抽取，中抽取，中奖的概率都与的概率都与次序无关次序无关典例解析例3 银行储蓄卡的密码由银行储蓄卡的密码由6 6位数字组成位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后记了密码的最后1 1位数字位数字.求求:(1)(1)任意按最后任

25、意按最后1 1位数字，不超过位数字，不超过2 2次就按对的概率；次就按对的概率；(2)(2)如果记得密码的最后如果记得密码的最后1 1位是偶数，不超过位是偶数，不超过2 2次就按对的概率次就按对的概率.分析:最后最后1 1位密码位密码“不超过不超过2 2次就按对次就按对”等价于等价于“第第1 1次按对次按对,或者第或者第1 1次按次按错但第错但第2 2次按对次按对”.”.因此因此,可以先把复杂事件用简单事件表示可以先把复杂事件用简单事件表示,再利用概率的再利用概率的性质求解性质求解.解：(1)设设Ai=“第第i次按对密码次按对密码”(i=1,2),则事件则事件A=“不超过不超过2次就按对次就按

26、对”可表示为可表示为 事件事件A1与与 A2互斥互斥,由概率的加法公式及乘法公式由概率的加法公式及乘法公式,得得P(A)=P(A1)+P(A2)=P(A1)+P()P(A2|)典例解析例3 银行储蓄卡的密码由银行储蓄卡的密码由6 6位数字组成位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后记了密码的最后1 1位数字位数字.求求:(1)(1)任意按最后任意按最后1 1位数字，不超过位数字，不超过2 2次就按对的概率；次就按对的概率；(2)(2)如果记得密码的最后如果记得密码的最后1 1位是偶数，不超过位是偶数，不超过2 2次就按对的概率次就按对的概率.分

27、析:最后最后1 1位密码位密码“不超过不超过2 2次就按对次就按对”等价于等价于“第第1 1次按对次按对,或者第或者第1 1次按次按错但第错但第2 2次按对次按对”.”.因此因此,可以先把复杂事件用简单事件表示可以先把复杂事件用简单事件表示,再利用概率的再利用概率的性质求解性质求解.解：(2)设设B=“密码的最后密码的最后1位数字是偶数位数字是偶数”,则则P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)求复杂事件的概率常求复杂事件的概率常分成分成两个两个(或多个或多个)互斥互斥的较简单的事件之和的概率。的较简单的事件之和的概率。解：解：课本本48页由此可得，由此可得，A发生，则发生，则B一定发生一

28、定发生BA巩固练习巩固练习 2.从一副不含大小王的从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽张扑克牌，抽出的牌不再放回，已知第出的牌不再放回，已知第1次抽到次抽到A牌，求第牌，求第2次抽到次抽到A牌的概率牌的概率.课本本48页解：设设“第第1次抽到次抽到A牌牌”为事为事件件A,“第第2次抽到次抽到A牌牌”为事为事件件B，则则“第第1次和第次和第2次都抽到次都抽到A牌牌”为事为事件件AB.方法方法1:在第在第1次抽到次抽到A牌的条件下牌的条件下,扑克牌中还剩下扑克牌中还剩下51张牌张牌,其中有其中有3张张A牌牌,所以在第所以在第1次抽到次抽到A牌

29、的条件下第牌的条件下第2次也抽到次也抽到A牌的概率是牌的概率是P(B|A)=方法方法2:在第在第1次抽到次抽到A牌的条件下第牌的条件下第2次也抽到次也抽到A牌的概率为牌的概率为P(B|A)=方方法法3:在在第第1次抽到次抽到A牌的条件下第牌的条件下第2次也抽到次也抽到A牌的概率为牌的概率为P(B|A)=用用组合数合数计数数定定义公式公式缩小小样本本空空间为A巩固练习课本本48页 3.袋子中有袋子中有10个大小相同的小球，其中个大小相同的小球，其中7个白球，个白球，3个黑球个黑球.每次从袋子中每次从袋子中随机摸出随机摸出1个球，摸出的球不再放回个球，摸出的球不再放回.求求:(1)在第在第1次摸到

30、白球的条件下，第次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；次摸到白球的概率；(2)两次都摸到白球的概率两次都摸到白球的概率.设第第1次摸到白球次摸到白球为事件事件A，第，第2次摸到白球次摸到白球为事件事件B，则解：解：在第在第1次摸到白球的条件下，第次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率次摸到白球的概率为两次都摸到白球的概率两次都摸到白球的概率为课堂小结1.条件概率条件概率(P(A)0)(0P(B|A)1)3.概率的性质概率的性质(P(A)0)(1)P(|A)=1;(2)如果如果B和和C是两个互斥事件是两个互斥事件,则则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A);P(AB)=P(A)P(B|A).2.概率的乘法公式概率的乘法公式(P(A)0)(3)设设 和和B是两个对立事件是两个对立事件,则则P(|A)=1-P(B|A).4.求条件概率的两种方法：求条件概率的两种方法：方法一：公式法；方法二：缩小样本空间法方法一：公式法；方法二：缩小样本空间法.注意顺序！先发生注意顺序！先发生的事件，写在前面的事件，写在前面