实变函数论4-n维空间中的点集、聚点、内点、界点课件.ppt

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1、第4讲 n维空间中的点集 目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念，熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、Borel 有限 覆盖定理，能运用这些定理解决一些 问题。重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、Borel有限覆盖定理。精品课件度量空间度量空间l 定义：设X为一非空集合，d:XXR为一映射，且满足 d(x,y)0，d(x,y)=0当且仅当x=y（正定性）则称(X,d)为度量空间.d(x,y)=d(y,x)（对称性）d(x,y)d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，若（Y,d）也是一个度量空

2、间，称（Y,d）为(X,d)的子空间 子空间。精品课件精品课件例：例：CCa,ba,b空间空间(C(Ca,ba,b表示闭区间表示闭区间a,ba,b上实值连续函上实值连续函数数 全体全体),),其中其中欧氏空间欧氏空间（R R n n,d,d）,其中其中离散空间离散空间(X,d)(X,d)，其，其中中精品课件精品课件精品课件精品课件精品课件精品课件精品课件精品课件精品课件精品课件第4讲 n维空间中的点集 二聚点、内点、边界点与Bolzano-Weirstrass定理问题1：给定Rn中一个集合E及点P，P与 E有几种可能的关系？精品课件定义1 设，（i）若存在，使，则称 为 的内点。（ii）若存在

3、，使，则称 为 的外点。（iii）若对任意，则称 为 的边界点。定义2 若对任意，中总有 中除 外 的点，即,则称 为 聚 点。注：有限点集没有聚点。精品课件聚点的等价描述聚点的等价描述证明：显然，下证定理1：下列条件等价：(1)p0为E 的聚点(3)存在E 中互异的点所成点列pn,使得P0 Pn定义：称点列pn 收敛于p0,记为：(2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点精品课件精品课件精品课件精品课件闭包和内部的对偶关系：精品课件定理2 若，则定理3 若，则 定理3的证明：由于，由定理2立得。现设，则对任意，从而 含 或 中点，由定理1，知存在一串互异的点，使精品课件 中必有无穷多个都属于 或都属于，不妨设，则由，知。如果有无穷多个在 中，则将会有，总之。从而。综上。证毕。精品课件*定理4（波尔察诺-外尔斯特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理）若 是 中一 个有界的无穷集合，则 至少有一个 聚点，即。*定理5 若 则 至少有一个 界点，即。精品课件 与 聚 点 相 对 的 概 念 是 孤 立 点，集 合 的 边 界 点若 不 是 的 聚 点，则 称 为 的 孤 立 点。当 然，的 孤立 点 一 定 在 中。如 果 的 每 一 点 都 是 孤 立 点，则 称 为孤立集合。精品课件