北师大版九年级数学下册第一章6利用三角函数测高课件.pptx

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1、 初中数学（北师大版）初中数学（北师大版）九年级 下册第一章直角三角形的边角关系第一章直角三角形的边角关系知识点一知识点一测量底部可以到达的物体的高度测量底部可以到达的物体的高度组成工具用法/步骤图例测量倾斜角测倾器(简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成)(1)把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置;(2)转动度盘,使度盘的直径对准目标,记下此时铅垂线所指的度数,则该度数为所测目标的仰角或俯角的度数测量底部可以到达的物体的高度测倾器、皮尺(卷尺)(1)在测点D处安置测倾器,测得旗杆顶端的仰角ACE=;(2)量出测倾器的高CD=b和测点D到旗杆

2、底部B的水平距离BD=a;(3)根据三角函数求出旗杆的高度AB=atan+b提示所谓“底部可以到达”就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例例1九年级(1)班在完成测量操场旗杆高度的数学活动后,小聪填写了如下数学活动报告中的一部分,请你根据下表提供的示意图及相关数据,完成表格未完成的部分.课题测量操场旗杆的高度示意图测得数据AB=1.6m,BC=12m,=30计算过程参考数据=1.414,=1.732,=2.236结论(精确到0.1m)CD=m分析分析此题属于“测量底部可以到达的物体的高度”,已知AB,BC及,因此只需作AECD于E,在RtADE中求出DE即可求得旗杆

3、CD的高度.解析解析由题意得,四边形ABCE是矩形,AB=EC,AE=BC.在RtADE中,tan=,DE=AEtan.又AE=BC=12m,=30,DE=12tan30=4(m),CD=CE+DE=1.6+48.5(m),即旗杆的高CD约为8.5m.点拨点拨测量底部可以到达的物体的高度实质是利用直角三角形中的一个锐角和一条直角边的长,结合三角函数计算,进而得出结果.知识点二知识点二测量底部不可以到达的物体的高度测量底部不可以到达的物体的高度工具步骤图例测量底部不可以到达的物体的高度测倾器、皮尺(卷尺)如图,测量物体MN的高度:(1)在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角MCE=.(2)在测点

4、A与物体之间的B处安置测倾器(A、B与N在同一条直线上),测得此时M的仰角MDE=.(3)量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A、B之间的距离AB=b.(4)根据三角函数求出物体MN的高度,MN=+a提示提示(1)所谓“底部不可以到达”就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.(2)关系式MN=+a的推导:在RtMCE中,tan=,CE=.在RtDME中,tan=,DE=.CE-DE=b,-=b,ME=.MN=ME+EN=+a.例例2下表是刘亮所填实习报告的部分内容:请根据刘亮测得的数据,填表并计算国贸大厦的高AB(已知条件:测倾器的高CE=DF=1m).题目在平地上测量国贸

5、大厦的高AB示意图测得数据测量项目CD的长第一次3016443560.11m第二次2944452559.89m平均值分析分析通过公共边AG建立两直角三角形之间的关系,设AB=xm,用含x的代数式分别表示AG,FG,EG的长,再由已知条件列出方程,通过解方程解决问题.解析解析(1)=30,=45,=60(m),故在题表中从左到右依次填30,45,60m.(2)设楼高AB=xm,则AG=AB-BG=(x-1)m.在RtAFG中,=45,AGGF,故GF=AG=(x-1)m.在RtAEG中,=30,AGEG,故EG=(x-1)(m).EF=EG-FG=(x-1)-(x-1)=(-1)(x-1)(m)

6、.又EF=CD=60m,(-1)(x-1)=60,x=+182.96(m),即国贸大厦的高AB约为82.96m.点拨点拨测量底部不可以到达的物体的高度时常会用到方程思想,且往往需要进行两次测量,然后利用线段之间的关系得到一元一次方程,进而求出物体的高度.题型一题型一利用三角函数测高的应用利用三角函数测高的应用例例1(2019四川广安中考)如图1-6-1,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角HFE为45,此时教学楼顶端G恰好在视线FH上,再向前走10米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角GED为60,点A、B、C三点在同一水平线上.

7、(1)求古树BH的高;(2)求教学楼CG的高.(参考数据:1.4,1.7)图1-6-1解析解析(1)在RtEFH中,HEF=90,HFE=45,HE=EF=10米,BH=BE+HE=1.5+10=11.5米,古树BH的高为11.5米.(2)在RtEDG中,GED=60,DG=DEtan60=DE,设DE=x米,则DG=x米,在RtGFD中,GDF=90,GFD=45,GD=DF=EF+DE,x=10+x,解得x=5+5,CG=DG+DC=x+1.5=(5+5)+1.5=16.5+525(米).答:教学楼CG的高约为25米.题型二题型二利用三角函数测距离的应用利用三角函数测距离的应用例例2(20

8、19海南琼中二模)在社会实践课上,小聪所在小组要测量一条小河的宽度,如图1-6-2,河岸EFMN,小聪在河岸MN上的点A处测得河对岸小树C位于东北方向,然后向东沿河岸走了30米,到达B处,测得河对岸小树D位于北偏东30的方向,又有同学测得CD=10米.(1)EAC=度,DBN=度;(2)求小河的宽度AE.(结果精确到0.1米,参考数据:1.414,1.732)图1-6-2解析解析(1)由题意得EAC=BAC=45,DBN=90-30=60,故答案为45;60.(2)如图1-6-3,作BHEF于H,CKMN于K,垂足分别为H、K,则四边形BHCK是矩形,AE=HB,设CK=HB=x米,CKA=9

9、0,CAK=45,CAK=ACK=45,AK=CK=x米,BK=HC=AK-AB=(x-30)米,HD=x-30+10=(x-20)米,在RtBHD中,BHD=90,HBD=30,tan30=,=,解得x=30+1047.3,AE=HB47.3米.答:小河的宽度AE约为47.3米.图1-6-3点拨点拨解此类题用到两个技巧:一是添加辅助线,构造直角三角形;二是当直角三角形不可直接求解时,将某个未知量设为未知数,并利用锐角三角函数表示出其他未知量,再借助图形中的等量关系或锐角三角函数列方程求解.发挥直观想象,构造直角三角形素养解读素养解读直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用

10、空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.典例剖析典例剖析例例(2018四川宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图1-6-4所示,滑梯立柱AB、CD均垂直于地面,点E在线段BD上,在C点测得点A的仰角为30,点E的俯角也为30,测得B

11、、E间距离为10米,立柱AB高30米.求立柱CD的高.(结果保留根号)图1-6-4解析解析如图1-6-5,作CHAB,垂足为H,则四边形HBDC为矩形,BD=CH,由题意得ACH=30,CED=30,设CD=x米,则AH=(30-x)米,在RtAHC中,HC=(30-x)米,则BD=CH=(30-x)米,ED=(30-x)-10米,在RtCDE中,=tanCED,即=,解得x=15-.答:立柱CD的高为米.图1-6-5素养呈现素养呈现(1)了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,作CHAB于H,得到RtAHC和矩形BDCH

12、.(2)由矩形BDCH得到BD=CH,设CD=x米,根据正切的定义用x表示出HC,根据题意用x表示出ED.(3)在CDE中,根据正切的定义列出方程,解方程即可.知识点一知识点一测量底部可以到达的物体的高度测量底部可以到达的物体的高度1.(2019湖南益阳模拟)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1-6-1,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交会点C的俯角为,大桥主架的顶端D的仰角为,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a米,此时大桥主架顶端离水面的高度CD为()A.(asin+asin)米B.(acos+acos)米C.(atan+atan)米D.

13、米图1-6-1答案答案C在RtABD和RtABC中,AB=a,tan=,tan=,BC=atan,BD=atan,CD=BC+BD=atan+atan,此时大桥主架顶端离水面的高CD为(atan+atan)米,故选C.2.在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD.如图1-6-2,已知李明与假山的水平距离BD为12m,他的眼睛距地面的高度为1.6m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C,此时,铅垂线OE经过量角器的60刻度线,则假山的高度为()图1-6-2A.(4+1.6)mB.(12+1.6)mC.(4+1.6)

14、mD.4m答案答案A如图所示,过点A作AFCD于点F,根据题意知5=AOE=60,1=2=3=4=90,则四边形ABDF是矩形,DF=AB=1.6m,AF=BD=12m.在RtACF中,tan5=tan60=,CF=4(m).假山的高度CD=CF+DF=(4+1.6)m.故选A.3.(2019辽宁抚顺模拟)如图1-6-3,为了测量某风景区内一座古塔AB的高度,小明分别在塔的对面CD楼的楼底C,楼顶D处,测得塔顶A的仰角分别为45和30,已知楼CD的高度为10米,则塔AB的高度为米.图1-6-3答案答案(15+5)解析解析如图,过点D作DEAB于点E,则四边形DEBC为矩形,设塔高AB=x米,则

15、AE=(x-10)米,在RtADE中,ADE=30,则DE=(x-10)米,在RtABC中,ACB=45,则BC=AB=x米,由题意得(x-10)=x,解得x=15+5.故塔AB的高度为(15+5)米.4.(独家原创试题)如图1-6-4,学习完直角三角形的边角关系这一章后,数学兴趣小组利用学校的教学楼测量旗杆的高度,旗杆在教学楼前10米处,他们在教学楼距离地面9米的窗口A处测得旗杆顶部点F的仰角为31,旗杆底部D点的俯角为45,旗杆底座台阶高1.2米,求旗杆顶部点F离地面的高度.结果保留整数,参考数据:1.41,sin31,cos31,tan31图1-6-4解析解析作AEDF于E,在RtADE

16、中,EAD=45,DE=AE=10米.在RtAEF中,FAE=31,tan31=,EF=AEtan3110=6.0米.DF=EF+DE=6.0+10=16.0米.16.0+1.217(米).答:旗杆顶部点F离地面的高度约为17米.知识点二知识点二测量底部不可以到达的物体的高度测量底部不可以到达的物体的高度5.如图1-6-5所示,从地面上C、D两处望山顶A,仰角分别为30、45,若C、D两地相距300m,则山高AB为()图1-6-5A.150mB.150mC.150mD.150(+1)m答案答案D在RtABD中,ADB=45,设AB=xm,则BD=xm,BC=(x+300)m.在RtABC中,t

17、anACB=,所以=,解得x=150(+1),即山高AB为150(+1)m.6.(2019陕西中考)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图1-6-6所示.于是他们先在古树周围的空地上选取了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45;再在BD的延长线上确定一点G,使DG=5m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方向移动,当移动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2m,小明眼睛与地面的距离EF=1.6m,测倾

18、器的高CD=0.5m.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、AB均垂直于FB,求这棵古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计)图1-6-6解析解析如图,过点C作CHAB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5.在RtACH中,ACH=45,AH=CH=BD,AB=AH+BH=BD+0.5.EFFB,ABFB,EFG=ABG=90.由题意,易知EGF=AGB,EFGABG,=,即=,解得BD=17.5,AB=17.5+0.5=18,这棵古树的高AB为18m.1.如图1-6-7,某天小明发现阳光下电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=8米,BC=20米,斜坡CD的坡

19、度为1,且此时测得1米长竹竿的影长为2米,则电线杆的高度为()图1-6-7A.(14+2)米B.28米C.(7+)米D.9米答案答案A如图,过D作DE垂直于BC,交BC的延长线于E,过D作DFAB于F,斜坡CD的坡度为1,DCE=30,DE=4米,CE=4米,BF=4米,DF=(20+4)米,1米长竹竿的影长为2米,=,则AF=(10+2)米,AB=AF+BF=10+2+4=(14+2)米,电线杆的高度为(14+2)米.故选A.2.(2019河北唐山玉田一模)如图1-6-8,为了测量小河对岸大树BC的高度,小明在点A处测得大树顶端B的仰角是45,沿斜坡走2米到达斜坡上点D,在此处测得大树顶端B

20、的仰角为30,且斜坡AF的坡比为12,则小明从点A走到点D的过程中,他上升的高度为米,大树BC的高度为米(结果保留根号).图1-6-8答案答案2;(3+5)解析解析如图,过点D作DKBC于K,DHAC,交CA的延长线于H,则四边形DHCK为矩形,故DK=CH,CK=DH,在直角三角形AHD中,=,AD=2米,DH=2米,AH=4米,CK=DH=2米.设BC=x米,在直角三角形ABC中,AC=x米,BK=(x-2)米,DK=(4+x)米,在直角三角形BDK中,BK=DKtan30,x-2=(4+x),解得x=5+3,BC=(5+3)米.故答案是2;(3+5).3.某校数学课题学习小组在“测量教学

21、楼高度”的活动中,设计了以下两种方案:课题测量教学楼高度方案方案一方案二测量示意图测得数据BD=32m,ACE=BCE=31BD=32m,DAF=50,CAF=31参考数据tan310.60,sin310.52,cos310.86tan310.60,tan501.20,sin500.77请你选择其中的一种方案,求甲教学楼AB和乙教学楼CD的高度.(结果精确到0.1m)解析解析方案一:根据题意得,四边形BDCE是矩形,CE=BD=32m,CD=BE,在RtACE中,AE=ECtan31320.60=19.20(m),在RtBCE中,BE=ECtan31320.60=19.20(m),AB=AE+

22、BE38.4m,CD=BE19.2m.答:甲教学楼AB的高度约为38.4m,乙教学楼CD的高度约为19.2m.方案二:根据题意得,四边形BDCE是矩形,CE=BD=32m,CD=BE,在RtACE中,ACE=CAF=31,AE=ECtan31320.60=19.20(m),在RtABD中,ADB=DAF=50,AB=BDtan50321.2038.4(m),CD=BE=AB-AE19.2m.答:甲教学楼AB的高度约为38.4m,乙教学楼CD的高度约为19.2m.4.(2019湖南娄底中考)如图1-6-9,某建筑物CD高96米,它的前面有一座小山,其斜坡AB的坡度i=11.为了测量山顶A的高度,

23、在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为、.已知tan=2,tan=4,求山顶A的高度AE(C、B、E在同一水平面上).图1-6-9解析解析如图,作AFCD,垂足为F.设AE=x米.斜坡AB的坡度为i=11,BE=AE=x米.在RtBDC中,C=90,CD=96米,DBC=,BC=24(米),EC=EB+BC=(x+24)米,AF=EC=(x+24)米.在RtADF中,AFD=90,DAF=,DF=AFtan=2(x+24)米,DF=DC-CF=DC-AE=(96-x)米,2(x+24)=96-x,解得x=16.故山顶A的高度AE为16米.1.如图,在一次暑假旅游中,小亮在仙岛湖的游船上

24、(A处)测得湖西岸的山峰太婆尖(C处)和湖东岸的山峰老君岭(D处)的仰角都是45,游船向东航行100米后(B处)测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30、60,试问太婆尖、老君岭的高度各为多少米?(=1.732,结果精确到1米)解析解析设太婆尖的高度为h1米,老君岭的高度为h2米,依题意,有h1=50(+1)=50(1.732+1)=136.6137,h2=50(3+)=50(3+1.732)=236.6237.答:太婆尖的高度约为137米,老君岭的高度约为237米.2.图为已建设封顶的16层楼房和塔吊图,图为其示意图,吊臂AB与地面上一直线EH平行,测得A点到楼顶D的距离为5m,每层楼高3.5m,

25、AE、BF、CH都垂直于地面.(1)求16层楼房DE的高度;(2)若EF=16m,求塔吊CH的高度(结果精确到0.1m).解析解析(1)根据题意,得DE=3.516=56(m).16层楼房DE的高度为56m.(2)设CG=xm.在RtACG中,tan15=,AG=.在RtBCG中,tan35=,BG=.AB=AG-BG=-,又AB=EF,-=16,解得x=6.94,CH=DE+AD+CG=56+5+6.9467.9(m).答:塔吊CH的高度约为67.9m.一、选择题一、选择题1.(2019吉林长春5月模拟,7,)当地时间2019年4月15日下午,法国巴黎圣母院发生火灾,大火烧毁了巴黎圣母院后塔

26、的塔顶.烧毁前,如图1-6-10,为测量此塔顶B的高度,在地面选取了与塔底D共线的两点A、C,A、C在D的同侧,在A处测量塔顶B的仰角为27,在C处测量塔顶B的仰角为45,A到C的距离是89.5米.设BD的长为x米,则下列关系式正确的是()图1-6-10A.tan27=B.cos27=C.sin27=D.tan27=答案答案A在A处测量塔顶B的仰角为27,在C处测量塔顶B的仰角为45,A到C的距离是89.5米,BD的长为x米,CD=BD=x米,tan27=.2.(2019湖南长沙中雅中学、南雅中学二模,11,)如图1-6-11,考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45,斜坡AD长10米,坡度

27、i=34,BD长12米,则古塔BC的高度为()图1-6-11A.25.5米B.26米C.28.5米D.20.5米答案答案B如图,过点A作AEBC于点E,过点A作AFBD,交BD的延长线于点F,由i=34,可设AF=3x,DF=4x,AD=10,9x2+16x2=100,解得x=2(舍负),则AF=BE=6,DF=8,AE=DF+BD=8+12=20,CAE=45,CE=AE=20,则BC=CE+BE=20+6=26,古塔BC的高度为26米.故选B.3.(2019北京西城期末,7,)下表是小红填写的实践活动报告的部分内容:设铁塔顶端到地面的高度FE为xm,根据以上条件,可以列出的方程为()A.x

28、=(x-10)tan50B.x=(x-10)cos50C.x-10=xtan50D.x=(x+10)sin50题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据CD=10m,=45,=50答案答案A过D作DHEF于H,则四边形DCEH是矩形,HE=CD=10m,CE=DH,FH=(x-10)m,FDH=45,DH=FH=(x-10)m,CE=(x-10)m,tan=tan50=,x=(x-10)tan50,故选A.二、解答题二、解答题(2019山东滨州滨城模拟,23,)如图1-6-12,2019年阳信梨花会期间,部分同学利用周末时间参观各景点,来到朱万祥雕像前,小明同学站在距离雕像3米的A处自

29、B点看雕像头顶D的仰角为45,看雕像底部C的仰角为30,求雕像CD的高度.(最后结果精确到0.1米,参考数据:1.7)图1-6-12解析解析在RtDEB中,DE=BEtan45=3米,在RtCEB中,CE=BEtan30=米,则CD=DE-CE=3-1.3米,故雕像CD的高度约为1.3米.(2018辽宁抚顺一模,23,)如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后,选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度,他们先在斜坡上的D处测得建筑物顶端B的仰角为30,且D离地面的高度DE=5m,坡底EA=30m,然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高.(

30、结果用含有根号的式子表示)则四边形DHCE是矩形,DH=EC,DE=HC=5m,设建筑物BC的高度为xm,则BH=(x-5)m.在RtDHB中,BDH=30,DH=(x-5)(m),解析解析过点D作DHBC于点H,如图所示,AC=EC-EA=DH-EA=(x-5)-30m,在RtACB中,BAC=60,tanBAC=,=,解得x=.答:建筑物BC的高为m.一、选择题一、选择题1.(2019广西中考,11,)小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图1-6-13,已知她的身高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65,则路灯顶端O到地

31、面的距离约为(已知sin350.6,cos350.8,tan350.7,sin650.9,cos650.4,tan652.1)()图1-6-13A.3.2米B.3.9米C.4.7米D.5.4米答案答案C如图,过点O作OEAC,交AC的延长线于点E,延长BD交OE于点F,设DF=x米,BF=3+x,tan65=,OF=xtan65,tan35=,OF=(3+x)tan35,2.1x=0.7(3+x),x=1.5,OF=1.52.1=3.15,OE=3.15+1.5=4.654.7,故路灯顶端O到地面的距离约为4.7米.故选C.2.(2019重庆中考A卷,10,)为践行“绿水青山就是金山银山”的重

32、要思想,某森林保护区开展了寻找古树活动.如图1-6-14,在一个坡度(或坡比)i=12.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰角AED=48(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为(参考数据:sin480.74,cos480.67,tan481.11)()图1-6-14A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米答案答案C如图,过C作CFEA,交EA的延长线于F,=12.4=,设CF=5k,AF=12k,AC=13k=26,k=2,CF=1

33、0,AF=24,AE=6,EF=6+24=30,DEF=48,tan48=1.11,DF33.3,CD=33.3-10=23.3.故古树CD的高度约为23.3米.二、解答题二、解答题3.(2019湖北襄阳中考,21,)襄阳卧龙大桥横跨汉江,是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)进行了测量.如图1-6-15所示,最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m,拉索AB与桥面AC的夹角为37,从点A出发沿AC方向前进23.5m,在D处测得塔冠顶端E的仰角为45.请你求出塔冠BE的高度(结果精确到0.1m,参考数据:sin370.60,

34、cos370.80,tan370.75).图1-6-15解析解析在RtACB中,AC=121m,A=37,tanA=0.75,BC90.75m,由题意知AD=23.5m,CD=AC-AD=97.5m,在RtDCE中,EDC=45,tanEDC=1,EC=97.5m,BE=EC-BC=97.5-90.75=6.756.8(m).答:塔冠BE的高度约为6.8m.4.(2019江苏泰州中考,21,)某体育看台侧面的示意图如图1-6-16所示,观众区AC的坡度i为12,顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角=1830,竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水

35、平距离AF为3m.求:(1)观众区的水平宽度AB;(2)顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18300.32,tan18300.33,结果精确到0.1m)图1-6-16解析解析(1)观众区AC的坡度i为12,顶端C离水平地面AB的高度为10m,AB=2BC=20(m).答:观众区的水平宽度AB为20m.(2)如图,作CMEF于M,DNEF于N,则四边形MFBC、MCDN为矩形,MF=BC=10m,MN=CD=4m,DN=MC=BF=23m,在RtEND中,tan=,则EN=DNtan7.59m,EF=EN+MN+MF=7.59+4+1021.6(m).答:顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6

36、m.5.(2019山西中考,20,)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).课题测量旗杆的高度成员组长:组员:,测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量示意图说明:线段GH表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m,测点A,B与H在同一条水平直线上,A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A

37、,B,C,D都在同一竖直平面内,点C,D,E在同一条直线上,点E在GH上测量数据测量项目第一次第二次平均值GCE的度数25.625.825.7GDE的度数31.230.831A,B之间的距离5.4m5.6m任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是m;任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度;(参考数据:sin25.70.43,cos25.70.90,tan25.70.48,sin310.52,cos310.86,tan310.60)任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是

38、什么?(写出一条即可)解析解析任务一:由题意可得,两次测量A,B之间的距离的平均值是5.5m.任务二:设EG=xm,在RtDEG中,DEG=90,GDE=31,tan31=,DE=.在RtCEG中,CEG=90,GCE=25.7,tan25.7=,CE=,CD=CE-DE,-=5.5,x=13.2,GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7.答:学校旗杆GH的高度为14.7米.任务三:答案不唯一:没有太阳光或旗杆底部不可能到达等.1.(2018重庆中考A卷,10,)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部

39、到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=10.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为(参考数据:sin580.85,cos580.53,tan581.6)()A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米答案答案B如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J,则四边形BMJC是矩形,MJ=BC=1.在RtCJD中,=,设CJ=4k,DJ=3k,则有9k2+16k2=4,k=,BM=CJ=,在RtCJD中,可得DJ=,EM=MJ+DJ+DE=.在RtAEM中,tanAEM=,1.6=,解得AB13.1.故旗杆AB的高度约为

40、13.1米.2.(2019湖北黄冈中考,22,)如图,两座建筑物的水平距离BC为40m,从A点测得D点的俯角为45,测得C点的俯角为60.求这两座建筑物AB,CD的高度.(结果保留小数点后一位,1.414,1.732)解析解析如图,延长CD交AE于点E,则DEAE,在RtAED中,AE=BC=40m,EAD=45,ED=AEtan45=40m.在RtABC中,BAC=30,BC=40m,AB=4069.3m,则CD=EC-ED=AB-ED=40-4029.3m.答:这两座建筑物AB,CD的高度分别约为69.3m和29.3m.3.(2019湖南岳阳中考,22,)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖

41、南省保存最好的古塔建筑之一.如图,小亮的身高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角ACG为45,小琴的身高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角AEH为62.3.(点D、B、F在同一水平线上,参考数据:sin62.30.89,cos62.30.46,tan62.31.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.解析解析(1)由题意得,四边形CDBG、HBFE为矩形,GB=CD=1.7,HB=EF=1.5,GH=0.2.在RtAHE中,tanAEH=,则AH=HEtanAEH1.9a,AG=AH-GH=

42、1.9a-0.2,在RtACG中,ACG=45,CG=AG=1.9a-0.2,BD=1.9a-0.2.答:小亮与塔底中心的距离BD为(1.9a-0.2)米.(2)由题意得,1.9a-0.2+a=52,解得a=18,则AG=1.9a-0.2=34,AB=AG+GB=35.7.答:慈氏塔的高度AB为35.7米.4.(2019江苏南京中考,24,)如图,山顶有一塔AB,塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27、22,从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45.求隧道EF的长度.(参考数据:tan220.40,tan270.51)解析解

43、析延长AB交CD于H,则AHCD,在RtAHD中,D=45,AH=DH,在RtAHC中,tanACH=,AH=CHtanACH0.51CH,在RtBHC中,tanBCH=,BH=CHtanBCH0.4CH.由题意得,0.51CH-0.4CH=33,解得CH=300,EH=CH-CE=220,BH=120,AH=AB+BH=153,DH=AH=153,HF=DH-DF=103,EF=EH+FH=323.答:隧道EF的长度为323m.5.(2019四川成都中考,18,)2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处

44、,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35,底部D的俯角为45,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米.参考数据:sin350.57,cos350.82,tan350.70)解析解析如图,作CEAB于E,则四边形CDBE为矩形,CE=DB,CD=BE,在RtADB中,ADB=45,AB=DB=20.在RtACE中,tanACE=,AE=CEtanACE200.7014.0,CD=BE=AB-AE6.答:起点拱门CD的高度约为6米.1.如图1-6-17,兰州市某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中,欲测量某公园内一棵古树DE的高度,他们在这棵古树的正前方一

45、座楼亭前的台阶上A点处测得古树顶端D的仰角为30,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得古树顶端D的仰角为60.已知ABBE于点B,且AB为4米,台阶AC的坡度为1,且B、C、E三点在同一条直线上.(根据以上条件求解下列问题时测角器的高度忽略不计)(1)请求出台阶AC的水平宽度BC;(2)请求出古树DE的高度.图1-6-17解析解析(1)在RtABC中,ABBC=1,AB=4米,BC=4米.答:台阶AC的水平宽度BC为4米.(2)如图,过点A作AFDE于F,则四边形ABEF为矩形,AF=BE,EF=AB=4米.设DF=x米.在RtADF中,tan30=,AF=x米,CE=(x-4)米.在Rt

46、DCE中,tan60=,DE=CE,x+4=(x-4),x=8,DE=DF+4=8+4=12米.答:古树DE的高度为12米.2.阅读材料:关于三角函数有如下的公式:sin()=sincoscossin,tan()=.利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.例:tan15=tan(45-30)=2-.根据以上阅读材料,请选择适当的公式解决下列问题:(1)计算sin15;(2)乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一,如图1-6-18.如图1-6-18,李华站在距离塔底A为7m的C处,测得塔顶的仰角为75,李华的眼睛离地面的距离DC为1.62m,请帮助李华求出乌蒙铁塔的高

47、度.(结果精确到0.1m.参考数据:1.732,1.414)图1-6-18解析解析(1)sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30=-=-=.(2)在RtBDE中,BED=90,BDE=75,DE=AC=7m,BE=DEtanBDE=DEtan75.tan75=tan(45+30)=2+,BE=7(2+)=(14+7)m,AB=AE+BE=1.62+14+727.7m.故乌蒙铁塔的高度约为27.7m.关于三角函数有如下公式:sin(+)=sincos+cossin,cos(+)=coscos-sinsin,tan(+)=(1-tantan0),利用这些公式可以

48、将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,如tan105=tan(45+60)=-(2+).根据上面的知识,你可以选择适当的公式解决下面的实际问题:如图,直升机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角为60,底端C点的俯角为75.此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42米,求建筑物CD的高.解析解析如图,过点D作DEAB于点E.依题意,在RtADE中,ADE=60,AE=EDtan60=BCtan60=42米.在RtACB中,ACB=75,AB=BCtan75.tan75=tan(45+30)=2+,AB=42(2+)=(84+42)米,CD=BE=AB-AE=84+42-42=84(米).答:建筑物CD的高为84米.