垂直关系的判定ppt课件(北师大版必修).ppt

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1、1.直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的_直线都_，那么称这条直线和这个平面垂直任何一条 垂直文字语言 图形语言 符号语言如果一条直线和一个平面内的两条_直线都_，则该直线与此平面垂直相交垂直l al babAa，b(2)直线与平面垂直的判定定理推论：若ab，a，则b；若，a，则a.要特别注意在空间中线线垂直有两种情况，即“垂直”=“相交垂直”+“异面垂直”.题型一、直线与平面垂直的概念的理解 答案：C解：前面的四个命题是直接利用线面垂直的定义与判定定理，显然正确，错误；命题说明：如果一个平面与两条平行线中的一条垂直必与另一条直线也垂直；命题中直线m，n确定平面时，直线m，n有

2、相交与平行两种情况，当相交时得l，当平行时不一定得到l.变式训练1、若直线l 与平面 内的两条直线都垂直，则l 与 的位置关系是()A 平行 B 垂直C 相交 D 无法确定答案：D解析：只知道l垂直于内的两条直线，而没有指出两条直线的关系，l与的位置关系无法确定题型二、线面垂直的判定 小结 1.利用直线和平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，证明它和这两条直线垂直；(2)说明这个平面内的两直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论2证明线面垂直时，需要先证线线垂直，而线线垂直关系的获得往往是先证得线面垂直，从而根据线面垂直的定义得出线线垂直，因此证明过程通

3、常是反复利用线面垂直的定义及线面垂直判定定理的过程变式训练2（1）在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：EF 平面BB1O.证明：如图所示，连接AC，BD，则O是AC和BD的交点，四边形ABCD是正方形，AC BO，B1B 平面ABCD，AC 平面ABCD，BB1AC.E、F分别是棱AB、BC的中点，AC EF，EF BO，EF BB1.又BOBB1B，EF 平面BB1O.（2）若在本题中E、F 分别是棱AB、BC 的中点改为“点M 为CC1的中点”这一条件，其他条件不变，试证明：A1O 面MBD.2.平面与平面垂直(1)二面角

4、及其平面角半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成_，其中的_都叫作半平面二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的_，这两个半平面叫作二面角的_两部分每一部分两个半平面棱面二面角的记法以直线AB 为棱，半平面、为面的二面角，如图，记作：二面角_ 二面角的平面角以二面角的棱上_为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 AB 任一点垂直于棱直二面角：_的二面角叫作直二面角平面角是直角(2)平面与平面的垂直定 义：两 个 平 面 相 交，如 果 所 成 的 二 面 角 是_，就说这两个平面互相垂直画法：把表示直立平面的平行四边形

5、的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直(如图)，记作：_直二面角 两个平面互相垂直的判定定理：文字语言 图形语言 符号语言如果一个平面_另一个平面的一条_，则这两个平面互相垂直经过垂线aa 题型三、平面与平面垂直的判定例3、如图，ABC为正三角形，EC 平面ABC，BD CE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDM 平面ECA；(3)平面DEA 平面ECA.【小结】用平面与平面垂直的判定定理证明两平面垂直，关键是在一个平面内寻找垂直于另一个平面的直线在处理具体问题时，应先从已知入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手，分析要证明的垂直关系，从而架起已知与

6、未知之间的“桥梁”变式训练3.如图，在空间四边形ABCD中，DA 平面ABC，ABC90，AE CD，AF DB.求证：(1)EF DC；(2)平面DBC 平面AEF.证明：(1)AD平面ABC，BC 平面ABC，ADBC.又BCAB，DAAB A，BC平面ABD.AF 平面ABD，BCAF.又BDAF，BDBC B，AF平面BCD.CD 平面BCD，AF CD.又AE CD，AEAFA，CD 平面AEF.EF 平面AEF，CD EF.(2)在(1)中已证AF 平面BCD，且AF 平面AEF，平面DBC 平面AEF.题型四、简单的二面角问题解：(1)取BD的中点O，连接CO、C1O，则C1OC

7、即为二面角C1BDC的平面角 因为BD是二面角C1BDC的棱，ABCDA1B1C1D1为正方体，O是底面正方形ABCD对角线BD的中点，所以CO BD，又C1DC1B，所以C1O BD.因此，C1OC即为二面角C1BDC的平面角(2)取BD的中点O，连接AO、CO，则AOC为二面角ABDC的平面角因为BD是二面角ABDC的棱，又ABAD，所以AOBD；BCCD，所以COBD.因此，AOC为二面角ABDC的平面角【小结】求二面角平面角的常用方法：(1)定 义 法：在 二 面 角 的 棱 上 找 一 特 殊 点，在 两 个 半 平 面 内分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面

8、，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一找，二证，三求变式训练4(1)正方体AC1中，二面角B1AD B 的平面角是()A B1BA B BAD C B1DB D B1AB(2)三棱锥P ABC 中，PA 平面ABC，AB AC，则二面角P AB C 的平面角是()A PAC B PCAC APC D PAB 答案(1)D(2)A课堂小结（略）习题课1如果直线l 与平面 不垂直，那么在平面内()A

9、 不存在与l 垂直的直线B 存在一条与l 垂直的直线C 存在无数条与l 垂直的直线D 任意一条都与l 垂直 答案 C 解析 设l是与l垂直的直线，在平面内的所有与l平行的直线与l都垂直2下列结论正确的是()A 若直线a与平面M 内两条直线垂直，则aMB 若直线a与平面M 内的无数条直线垂直，则aMC 若直线a与平面M 内的一个三角形两边垂直，则aMD若直线a与平面M内的一平行四边形两边垂直，则aM 答案 C 解析 A中漏掉相交两字，B中无数条不等价于任何一条，D中同样不能保证两边是相交3.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有()(A)0个(B)1个(C)无数个(D)1个或无数个解：选D

10、.当两点连线与垂直时，过此直线的所有平面都与垂直，故有无数个.当两点连线与不垂直时，过平面外的此点向平面作垂线，所作垂线与平面内的点确定平面，则，故只有一个.4.已知二面角-l-和异面直线n，m，n，m且异面直线n与m所成的角为30，则二面角-l-的平面角为()(A)30或150(B)60或120(C)90(D)无法确定解：选A.以下面两个图为例说明，过点P作PAn，PBm，可证二面角的棱垂直于平面PAB，AOB为二面角-l-的平面角，因此可将二面角的平面角和两条异面直线所成的角放到同一个平面内研究.由图可知这两个角相等或互补.5设m，n 是两条不同的直线，、是两个不同的平面()A 若m n，

11、n，则m B 若m，则m C 若m，n，n，则m D 若m n，n，则m 答案 C6.如图，在三棱锥P-ABC中，已知PCBC，PCAC，点E、F、G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()(A)平面EFG平面PBC(B)平面EFG平面ABC(C)BPC是直线EF与直线PC所成的角(D)FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角解：选D.A正确,由三角形的中位线的性质可证EGBC，FGPC，进而可证平面EFG平面PBC.B正确,由PCBC，PCAC可证PC平面ABC，又因为PCFG，所以FG平面ABC，所以平面EFG平面ABC.C正确,因为E、F分别为所在棱的中点，所以EFPB，所以

12、BPC是直线EF与直线PC所成的角.D错误,因为AB与平面EFG不垂直.7.在正四面体P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()(A)BC平面PDF(B)DF平面PAE(C)平面PDF平面ABC(D)平面PAE平面ABC解：选C.D、F分别是AB、CA的中点,DFBC.又BC 平面PDF,DF 平面PDF，BC平面PDF.AB=AC，E是BC的中点,BCAE.同理可证BCPE，且PEAE=E,BC平面PAE.又DFBCDF平面PAE.又BC 平面ABC,平面PAE平面ABC.PAPE，G是AE的中点,PG与AE不垂直.又二面角P-DF-E的平面角是PGE

13、,平面PDF与平面ABC不垂直.8、如图所示，已知直角三角形ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC.求证：点S与斜边AC的中点D的连线SD平面ABC；解：取AB中点E，连接DE、SED是AC的中点.ED BC，又BC AB，DE ABSA=SB，E是AB的中点,SE AB.DESE=E,AB平面SED.又SD 平面SED,ABSDSA=SC，D为AC中点，SDAC又AB 平面ABC，AC 平面ABC，ABAC=A,SD平面ABC解(1)证明：连接OC，OA OC 且D 为AC 中点，ACOD.又PO底面O，AC 底面O，ACPO.POOD O，且PO 平面POD，OD 平面POD，AC平面POD.又AC 平面PAC，平面PAC平面POD.(2)在平面POD中，过O作OHPD于H，由(1)知：AC 平面POD，则AC OH，又OHPD，OH平面PAC，PA 平面PAC，PA OH.在平面PAO中，过O作OG PA于G，连接GH.PA OG，且OG 平面OGH，OH 平面OGH，OGOHO.PA 平面OGH，PA GH，又OHPA.OGH为二面角BPAC的平面角.