新教材人教A版高中数学选择性必修第二册全册各章节知识点考点解题方法提炼汇总.pdf

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1、人教A选择性必修第二册知识点汇总第 四 章 数 列.-2-4.1 数列的概念.-2-第 1 课时 数列的概念及简单表示法.-2-第 2 课时 数列的递推公式与小和 5.的关系.-8-4.2 等差数列.-15-4.2.1 等差数列的概念.-15-4.2.2 等差数列的前n 项和公式.-26-4.3 等比数列.-38-4.3.1 等比数列的概念.-38-4.3.2 等比数列的前n 项和公式.-48-4.4*数学归纳法.-59-第五章一元函数的导数及其应用.-64-5.1 导数的概念及其意义.-64-5.1.1 变化率问题.-64-5.1.2 导数的概念及其几何意义.-69-5.2 导数的运算.-7

2、4-5.2.1 基本初等函数的导数.-74-5.2.2 导数的四则运算法则.-74-5.2.3 简单复合函数的导数.-78-5.3 导数在研究函数中的应用.-83-5.3.1 函数的单调性.-83-5.3.2 函数的极值与最大（小）值.-89-第四章数列4.1 数列的概念第 1 课时 数列的概念及简单表示法1.数列的概念及一般形式(2)数列1,2,3,4,5 和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合 1,2,3,4,5 与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性.2.数列的分类类别含义按项的有穷数列项数有限的数列个数无穷数列项数无

3、限的数列递增数列从第2 项起，每一项都大于它的前一项的数列按项的递减数列从第2 项起，每一项都小于它的前一项的数列变化趋常数列各项都相等的数列势摆动数列从第2 项起，有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列 4 的 第n项4与它的序 号 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4.数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表:定义域正整数集N*（或它的有限子集 1,2,3,）解析式数列的通项公式值域自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值构成表示方法（1）通项公式（解析法）；（2）列

4、表法;（3）图象法【例1】（1）下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）M型 数列的概念与分类A1-41 1-2JJT 2兀 3兀B.s in-,sin-sin”-,D.1,隹木,，y/21(2)(一题多空)已知下列数列：2 013,2 014,2 015,2 016,2 017,2 018,2019,2 020；1-4J1-2J 13-52-b3J（4）1,0,1,，sin-7-,；乙2,4,8,16,32,；一1,L 1,1.其中，有穷数列是,无穷数列是，递增数列是递减数列是，常数列是，摆动数列是（填序号）.(D C A B C 为无穷数列，其中A 是递减数列，B是摆动数列，C是递

5、增数列,故选C.(2)为有穷数列且为递增数列；为无穷、递减数列；为无穷、摆动数列；是摆动数列，也是无穷数列；为递增数列，也是无穷数列；为有穷数列，也是常数列.厂.规律C方法.1 .有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.2 .数列 4 的单调性：若满足&V&+”则 是递增数列;若满足为4+”则 a 是递减数列；若满足a=%+“则 a 是常数列；若 4与 ae的大小不确定，则 4 是摆动数列.【例 2】已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式.M型27由数列的前几项求通项公式2-7Alr-1-2J

6、4-5J4)2,-(1)1,3,7,1 5,3 1,；(2)4,4 4,4 4 4,4 4 4 4,；,、1 2 3 4 5 _ 牛 3-,-5-.7-,-9 而；4诵；(5)1,2,1,2,1,2,.思路探究 观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系.解 (1)观察发现各项分别加上1 后，数列变为2,4,8,1 6,3 2,，新数列的通项为2 ,故原数列的通项公式为a“=2l.9(2)各项乘不变为9,99,999,，各项加上1 后，数列变为1 0,1 0 0,1 0 0 0,4新数列的通项为1 0 ,故原数列的通项公式为a=-(1 0n-l)

7、.(3)所给数列有这样几个特点：符号正、负相间；整数部分构成奇数列；分数部分的分母为从2 开始的自然数的平方；分数部分的分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可.由所给的几项可得数列的通项公式a=(1)2/71nn+1 2所以 a=(1)2/+3/+-1n+4 4 4数列的符号规律是正、负相间,使各项分子为4,数列变为5,二 互,44 47 7,，再把各分母分别加上1,数列又变为三，一1 1 3 6_ n+i3/7-1 ,(5)法一：可写成分段函数形式：_ 1 1,为奇数，G N*,Sn=l 2,A为偶数,S N*.法一-：3,-23+=23 即 a=-+-.4-941 2-以所-为.

8、规律 方法.1.常见数列的通项公式归纳 数 列 1,2,3,4,的一个通项公式为a=n；(2)数列 1,3,5,7,的一个通项公式为a=2 z?1；数列2,4,6,8,的一个通项公式为an=2ir,数 列 1,2,4,8,的一个通项公式为a=2 T；数 列 1,4,9,1 6,的一个通项公式为a=仇(6)数列一1,1,1,1,的一个通项公式为4=(1)；数 列 1,J,;的一个通项公式为a=L2 3 4 n2.复杂数列的通项公式的归纳方法考察各项的结构；观察各项中的“变”与“不变”；观察“变”的规律是什么；每项符号的变化规律如何；得出通项公式.寸 型3 通项公式的应用 探究问题1 .根据通项公

9、式如何求数列中的第几项？怎么确定某项是否是数列的项？若是，是第几项？提示 根据a”求第几项，采用的是代入法，如第5 项就是令=5,求判断某项是否是数列中的项，就是解方程.令 为等于该项，解得G N*即是，否则不是.2 .已知数列 品 的通项公式为a=一/+2+1,该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项.提示 由数列与函数的关系可知，数列 4 的图象是分布在二次函数尸一*+2*+1 图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3 项往后各项为负数项.【例 3 已知数列 a 的通项公式为4=3 4-2 8写出此数列的第4项和第6

10、 项；(2)-49 是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？6 8 是否是该数列的一项呢？思路探究(1)将=4,=6分别代入为求出数值即可;(2)令 3 4 2 8=-4 9 和 3 4 2 8=68,求得是否为正整数并判断.解(1)4=3 X 4 2 2 8X 4=-64,=3 X 62-2 8X 6=-60.7(2)令 3 万一2 8=4 9,解得=7 或 刀=鼻(舍去)，O所以一49 是该数列的第7 项；3 4令 3/2 8=6 8,解得=2 或=工，均不合题意，所以6 8 不是该数列的O项.母题探究1 .(变结论)若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3 项和第8项；(2)2 0

11、是不是该数列的一项？若是，是哪一项？解 因为 a=3 z?22 8/7,所以 a=3 X3?-2 8 X3 =5 7,a=3X 62 8 X8 =-3 2.2(2)令 3 6 2 8=2 0,解得/?=1 0 或 n=一鼻(舍去)，O所以2 0 是该数列的第1 0 项.2 .(变条件，变结论)若将例题中的“a,=3 428/变为“2=2+2 一 5”，试判断数列 4 的单调性.解 a n+2/7 5,a+i an(+1)+2 (z?+1)5 (z?2+2 7 7 5)=/+2+1+2+2 5 n2 7?+5=2+3.V/7 G N*,/.2/?+3 0,/.a+i a.；数列 4 是递增数列.

12、厂.规律C方法.一1 .由通项公式写出数列的指定项，主要是对进行取值，然后代入通项公式,相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值.2 .判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项.3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集 1,2,3,，)这一约束条件.第2课时 数列的递推公式与即和的关系1 .数列的递推公式(1)两个条件：已知数列的第1 项(或前几项)；从第2 项(或某一项)开始的任一项a,与它的前一项a-(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.(2)结论：具备以上两个

13、条件的公式叫做这个数列的递推公式.2 .数列递推公式与通项公式的关系3.数列 4 的前项和递推公式通项公式区别表示为与它的前一项.(或前几项)之间的关系表示与色之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式(1)数列 4 从第L项起到第2项止的各项之和称为数列 a 的前项和，记作 S,即 S=a i +a 2+a“.(2)如果数列 4 的前n项和S 与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.(3)数列 4 的通项包与前项和S 之间的关系为 S，7 7=1,a=、SLS/?-2.【例1】已知数列 a中，a,=l

14、,a z=2,以后各项由a=a-i +a-2(z?3)R型1由递推公式求数列中的项给出.(1)写出此数列的前5项；(2)通 过 公 式 构 造 一 个 新 的 数 列 4，写出数列 4 的前4项.1 解 a“=a-i +a,一(心3),且 a =1,必=2,3 =a 2 3.=3，a、=a、+a 2=3 +2 5，3=,=L +=5 +3 =8.故数列 4 的前5项依次为a =l,包=2,a3=3,&=5,3 5=8.(2)bn,且 a=1,Sj-:2,己3=3,&=5,备=8,12 3 5故 0 的前4项依次为a=/,&=-,&=M，&=厂.规 法.由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写

15、出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如 a =2 a +1.若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如 a+i=4【例2】已知数列 4 的通项公式是&=(+2)*(胃(A N*),试问数列 4 1送 型 数列的单调性是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.思路探究 判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设a”是数列的最大项，解不等式.解 法一：作差比较a 与 2 的大小，判断 4 的单调性.+1a”+i a=(+3)X当 0,即 4+J晶；当=5 时，a 0+i-

16、3=0,即 a”+尸 a”；当 5 时，a+l a 0,即 a+1 a .故 a1 a2 a3 ai a7 as-,76所以数列 a,有最大项，且最大项为a$或桀，且 a 5=a=下.法二：作商比较a +i与 a的大小，判断 4 的单调性.=错 误!=错 误!.a 又 a 0,令包1 ,解得7 7V5；令包匚=1,解得=5；令色匚 5.a”a”故 a V 4 a?，76所以数列 4 有最大项，且最大项为a s 或桀，且 a 5=a e=于.法三：假设 4 中有最大项，且最大项为第项，则勺 a”-”.a 2a”+i，即错误!W 6,解 得、即5 W W 6.7 7 2 5,、76故 数 歹!a,

17、J 有最大项a$或即 且 a5=a=5.厂.规律 方法.一求数列 4 的 最 大 小项的方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二 f 对任意的A6N*且 A 22都成立，解不为 三 为+1，等式组即可.利用a=5i,n=l,6f，通 求 通 项【例 3】根据下列数列的前项和S 求通项/(1)，=2方一+1；(2)=2 32.思路探究 先 写 出 时，4=5 S-表达式，再求出n=时 a=S，验证 是 否 适 合 时 表 达 式.如 果 适 合 则 a,=S S,7(eM),否 则 a尸S,A=1

18、,5,5-i,n22.解 (1)由 S=2 4 +1,当 时，an=S一S(2z?+l)2(/?1)(7 7 1)+1=4/7-3.当=1 时，ai=S=2W4X 1 3.2,77=1,4-3,22.(2)由 5=2 3”2,当2 2 时，a”S“S-1=2 3”2一(2 3n-1-2)当=1 时，al=S1=2X 3-2=4=4 31-,：.a=4 3T(WN*).规律 方法、用心与S.的关系求的步骤先确定力2 时a尸SSn_的表达式；再利用S 求 出 国3,S ；验证国的值是否适合an=S Sn-x的表达式;写出数列的通项公式.K类型”根据递推公式求通项 探究问题1.某剧场有30排座位，从

19、第一排起，往后各排的座位数构成一个数列E),满足句=2 0,4+i=a+2,你能归纳出数列 4 的通项公式吗？提 不 一！由团=20,&+i=a+2 得为=且+2 22,a=a+2 =24,&=&+2=2 6,悬=4+2=2 8,，由以上各项归纳可知为=20+(-1)2=2+18.即 4=2 +18 (N*,7730).2.对于任意数列 4 ,等式4+(昆一a)+位一a)+=4 都成立吗？若数列&满足：31=1,劣+i a=2,你能求出它的通项为吗？提示 等式 d+(刈-4)+(&a)H-F(a/_)=4 成立，&=&+(%2+2+,+2一4)+(备 2),将这些式子两边4 囱 2 方3 a-

20、1分别相乘可得色 .=2 2.2.&2 3则里=2 T,所以&=3 2T(WN*).【例 4】(1)已知数列 a 满足a =1,a+=&+1 一，N*,求通n 4 十项公式a“；(2)设数列 a 中，a)=l,a=(l1)4 一 1(22),求通项公式 a .思路探究(1)先将为+1=%+1 一 变 形 为 a+i-a 尸上 一，照此n n+n n+递推关系写出前项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解.(2)先将4=(1-变 形 为 旦=口，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解.解(1)a,=V ，n n+._ _ _ _ _ _ 1_ 包 国 x 2

21、 ；1a3-a2=2 X 3;1a,-a3=3 X 4;以上各式累加得，11 A Zn-n%.a=-2).n又.=1时，句=1,符合上式,.k T).(2)V at=l,力a“_|(心2),.a“A1 当 一一 i ，n2 1 1X-X-X-X 1=-3 2 n又时，a)=l,符合上式，.4=-(N*).n 母题探究1.(变条件)将例题(1)中的条件“&=-1,a+1=a+上 一，“W N，”变n n+为&=：,a“a-产a“_ a“(n22)”,求数列&,的通项公式.乙an an-an-2 为 a?n-i n z noa尸一X X X X-X-X&=-X-X-3n-3，n-2 4一3 改 句

22、 n n-1 n-Z(n-1)个 1=z?+L/.a=7(7 7 2),又时，a=1,N*),即&T=&(4*+1)(1,W N*),/.3n=4%+1(Z 7 1,7?N*),1 4 4-1 +1 ,1 /、T*.=-=4+-(z?l,N),：.-=4(7 7 1,6 N*),a -i数列|工 是等差数列且公差为4,首项为5.、工壮一 I k,UN*H 一 _2 4 一 1+1 1 -2 a _2 4 一 1+1 1 _ .证法.：当 1,N 时，一z =-=-2 2 T1一&1L 14,且一=5.a“一i 4 S是等差数列，且公差为4,首项为5.(2)由(1)及等差数列的通项公式得%5+(

23、-l)X 4=4+1,a,尸 高.规箧方法等差数列的三种判定方法定义法：an+a=d常数 G N*=aj 为等差数列；等差中项法：2 a+i =a4-a+2 N*=4 为等差数列；通项公式法：a,.=a n+b a,6 是常数，N*=4 为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.第2课时 等差数列的性质1 .等差数列的图象等差数列的通项公式an=a,+(7 7 1)d,当 d=0 时,是一个固定常数；当出气时，4相应的函数是一次函数；点(，a)分布在以 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.2 .等差数列的性质(1)4 是公差为d 的等差数列，若正整数加，n

24、,p,q 满 足 叶=p+q,则a+a“=特别地，当 m+n=2k(m,n,A G N*)时，am+a=2 ak.对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的独，即 a+&=a+1=4+Qn-k+1=(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为笠差数列.(3)若 a是公差为d 的等差数列，则 c+&(。为任一常数)是公差为d 的等差数列；c a,(c 为任一常数)是公差为次的等差数列；a+&+(为常数，A 6 N*)是公差为组的等差数列.若 4，仇分别是公差为4,“的等差数列，则数列 p a.+a(Q,q 是常数)是公差为国土皿的等差数列.(5)a的公差为d,则d

25、 0o&,为递增数列:为)=4 为递减数列；d=O=a.为常数列.丛 型 灵活设元解等差数列【例 1】已知递减等差数列仿“的前三项和为1 8,前三项的乘积为6 6,求数列的通项公式，并判断一3 4 是否为该数列的项.思路探究 前三项可以设为ad,a,a+d,也可以直接用“通法”解决.解 法一：设该等差数列的前三项为ad,a,a+d,则(a d)+a+(a+o)=3 a=1 8.解得a=6.又前三项的乘积为6 6.6X(6+中(6近=66,解得5.由于该数列单调递减，所以占 一 5,且首项为1 1,所以通项公式为a,=ll+(n-1)X(-5)=-5/7+16.令-5/?+16=3 4,解得=1

26、0.一 34是数列 4 的第的项.法二：依题意得 a2 a=66,3a+3d=18,Va+d&+2d=66,8=11,a=1,解得L 或L匚 :数 列 是递减等差数列，、d=-5,1d=5.0.故 功=11,d=-5./.4=11+(7 7 1)X(5)5/?+16,即等差数列 a 的通项公式为4=-5/7+16.令 为=-3 4,即一5+1 6=3 4,得=10.一 34是数列伯的第10项.厂.规律c方法.-等差数列的设项方法与技巧当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为国，公差为a利用已知条件建立方程求出国和式即可确定数列.当已知数列有2 n项时，可设为a n d,a 3

27、d,a d,a+d,a-3 d,a-n-d,此时公差为 2a当已知数列有2+l 项时，可设为a/?&a-n d,a d,a,a+d,，a+n d,a+nd,此时公差为d【例 2】某公司2017年生产一种数码产品，获利200万元，从 2018 年起,出 型2等差数列的实际应用预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品,也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？思路探究 根据条件可以构造等差数列，由条件可知首项和公差都已知，利用等差数列解决该问题.解 记2017年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年 获 利18 0万元，第3年 获

28、利160万元，则该公司每年获得的利润构成等差数列 为,且当a V 0时，该公司生产此产品将出现亏损.设第年的利润为an,因 为&=2 0 0,公 差d=-20,所以 a a+(n 1)d=220 20/7.由题意知数列 4 为递减数列,令4 V 0,即220 20 11,即从第12年起，也就是从2028年开始，该公司生产此产品将出现亏损.厂.规律c方法.一解决等差数列实际问题的基本步骤将 已 知 条 件 翻 译 成 数 学 数 列 问 题；构 造 等 差 数 列 模 型 明 确 首 项 和 公 差；利用通项公式解决等差数列问题；将所求出的结果回归为实际问题.寸 型9 _等_差_数_列的性质 探

29、究问题1.在等差数列 a 中，若a0=3+l,那 么4+35=02+4吗？。2+戊=为+&成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？提示 由a=3 +1可 知&与 金+a=&+a均成立，由此有若m,n,p,qN*且加+=p+q,则&+a=&+a”对于任意等差数列 4 ,设其公差为d.则 a”+an=a1+(m-1)d+a+(z?1 1)d=2a1+n2)d,ap-a,a-(p-1)d+ai+(q 1)d=2ai+(/?+q2)d,因 为/+=p+q,故a+a=a,+a“对任意等差数列都适用.2.在等差数列&,中，如 果m+n=2r,那 么a,+a“=2a是否成立？反过

30、来呢？提示 若 m+n=2r5,n,rd N*),则 aa+an=ax+(zz?1)d-a+(z;1)d=2a,+(/+/?-2)d=2a+(27-2)t/=2 ai+(i-1)d=2ar,显然成立；在等差数列 a,)中，若&,+an=2ar,不一定有m+n=2 r,如常数列.3.已知一个无穷等差数列 4 的首项为a,公差为d,则：(1)若将数列中的前加项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？(3)如果取出数列中所有序号为7 的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？提示(1)、(2)、(

31、3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为d,(2)中的公差为2,(3)中的公差为7d【例 3】已知等差数列 a 中，&+&=8,则 5a+a=()A.32 B.27 C.24 D.16(2)若关于x 的方程*一2叶力=0和/一2叶=0(碍血的四个根可组成首项为;的等差数列，则|加 一 川 的 值 是.思路探究(1)运用“卬+=0+。则&,+a=。+且0”求解.(2)考虑两个方程都具备特点“两根之和是2 ，结合根与系数的关系求解.(1)C(2)|法一：设等差数列 4 公差，则&+a=2 a+7d=8,所以 5al+a?=6a1+21t7=3(2a,+7=24.法二：在等差数列中，/

32、n+n=p+Q,则备+4=&+/.4+a=a?+决=2，54+禺=%+&+&+日 5 +a+又 4+&=&?+a=&+%.:.5&+&=3(刍+&)=3X8=24.(2)设 8 6 为方程*2x+/=0 的两根，则 a+8=2,c,d为 方 程 2x+=0 的两根，则 c+d=2,而四个根可组成一个首项为%勺等差数列，现假定a=；,1 7则 b=2-=-根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和,1 7.这个等差数列的顺序为 c,d,-nI3 5则 c=Z，d=715in=ab=,n=cd=.lb lbT6-16=2 母题探究L（变条件，变结论）本例（1）中条件变为“在等差

33、数列 a 中，若 a=8,a10=20”,求国5.解 法一：因为加 须，句 5成等差数列，所以念+15=251（）.所以 5=20-55=2X20-8 =32.法二：因为 4 为等差数列，设其公差为&12所以8 0=a+5 ，所以20=8 +5 ,所以=三.512所以 45=8。+5=20+5乂胃=32.52.（变条件，变结论）本例中条件变为“在等差数列 4 中，悬+勃+痣+4+a=450,&,解 法一：在等差数列 4 中4+4 =国+备=2恁，（a+&）+（&+a）+&=5戊=450.解得a =90.&+公=2 悬=18 0.法二：设等差数列 4 的 首 项 为 公 差 为 a 根据a=&+

34、（一 D,/.?3+国 +舄+呆+37=5句+20d=5（国+4中450.a+44=90而 a2+as=2ai+8 d=2(ai+4#=2 X90=18 0.厂.规律c方法.一等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：若 m+n=p+q m,n,p,则 4+&=。0+为其中8,an,ap,国是数列中的项.该性质可推广为：若加+z=p+q+A m,n,z,p,q,则&+&,+&=%+&+&.若加+=20 m,n,z?N*,则 为+0产？%.4.2.2 等差数列的前 项和公式第 1 课时 等差数列的前

35、n 项和公式1.等差数列前项和公式是用倒量1加法推导的.2.等差数列的前项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式c n a+a“SL 2n nSnnax+之 C3.等差数列前项和S的最值 若aKO,dQ,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得 的最小值.(2)若&0,K 0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值.特别地，若团0,d 3则瓦是$的最小值；若 水0,水0,则&是 的 最大值.【例1】在等差数列&,中，(1)已知a=1 0，W=5,求 a；_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

36、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _等差数列前A项和的有关计算(2)已知 a2+a=,求&.5 思路探究(1)由于有两个已知条件，所以可以通过列方程组求出基本量a,d 来解决问题，也可以运用等差数列前项和公式求解；(2)由于只有一个已知条件，需要结合等差数列的通项公式和前n项和公式求解，也可以利用等差数列的性质和前项和公式求解.解(1)法一：W=5,+5 6 7 10,3 5,：.解得_513|+10 7=5,7=3.a=a(i+2d=16.法二：.加=星+a=15,.15=，即 3(4+10)=15.di=5 9 d=-比 一 国5=3.戊=a +2d=16.48 24法一：:a2+

37、a4=ai+6/+ai+36/=,a1+2d=.5 524.W=5&+10d=5(a,+2抄=5X=24.、.48?去 一*：刘 2+&=a+戊,a+a =匚5W=5 48=2XT=2 4-8 +%2厂.规律C方法.求数列的基本量的基本方法求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理，知三求一 ：a”d,称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个 知三求二”：五个量a”d,n,a 0,S 中可知三求二，一般列方程组求解.等差数列前项和公式的实际应用 例2 某抗洪指挥部接到预报，2 4小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥

38、部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用2 0台同型号翻斗车，平均每辆车工作2 4小 时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每 隔2 0分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集2 5辆，那么在2 4小时内能否构筑成第二道防线？思路探究 因为每隔2 0分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明2 4小时内可完成第二道防线工程.解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：小时）依次设为国，。2 5.由题意可知，此数列为等差数列，且a =2 4,公 差d=一）2 5辆翻斗车完成的工作

39、量为：4 +必+%=25义2 4+2 5义1 2 4 8 0,.在2 4小时内能构筑成第二道防线.厂.规律C方法.-遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.深入分析题意，确定是求通项公式为，或是求前项和S，还是求项数n.探究问题1.5=4/+物的函数特征怎样？出 型3等差数列前项和S的函数特征 提示（1）当4=0,3=0时（此 时a,=0,d=。），S,=0,此 时S,是 关 于n的常数函数;(2)当力=0,身0时(此时aW：,d=o),Sn=B n,此时S是关于的一次函数(正比例函数)；(3)当4

40、W0,6=0时 此时a=*dW0),S=A rf,此时S是关于的二次函数；(4)当力W 0,挣0时(此时&W*dW0),S=A ti+B n,此时S是关于的二次函数.2.已知一个数列4 的前项和为5=25,试画出S关于的函数图象.你能说明数列a 的单调性吗？该数列前项和有最值吗？H2 OR一了，它的图象是分布在函数y=*5 x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了4 前项为负数.由s的图象可知，S有最小值且当=2或3时，S最小，最小值为一6,即数列a 前2项或前3项和最小.例3 数列a 的前项和S=33-(1)求4 的通项公式；(2)则a 的前多少项和最大

41、？思路探究 利 用 与a的关系求通项，也可由S的结构特征求&,d,从而求出通项.(2)利用S,的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解.解(1)法一：(公 式 法)当 时，4=S S-=342A,又当 A=1 时，&=S=32=342X 1,满足 4=3 4 2/7.故 4 的通项公式为a 4=3 4 2 .法二：(结构特征法)由S=2+3 3 知 S是关于 的缺常数项的二次型函数,(d2 =-b所以 4 是等差数列，由S的结构特征知da,-=3 3,解得 a】=3 2,d=-2,所以 a=3 4 2(2)法一：(公式法)令 420,得 3 4 2 2 0,所以 1 7,故数列

42、2 的前1 7 项大于或等于零.又&尸0,故数列%的前1 6 项或前1 7 项的和最大.法二：(函数性质法)由尸一宗+3 3*的对称轴为*=5，3 3距离了最近的整数为1 6,1 7.由2=4+3 3 的图象可知：当时，a会0,当时，a 0,故数列 4 的前1 6 项或前1 7项的和最大.母题探究1 .(变条件)将例题中的条件“，=3 3 一 2”变 为“在等差数列 4 中，且 产25,S”=区”，求其前项和S的最大值.:解.法一：.国=5 7，0,a=2+2720,a +i =z?+27W0,启 1 3),得，1启 1 2万，又 可,.当A=1 3时,S有最大值1 6 9.法三：a i o+

43、3 t+*+3 1 7=0.由等差数列的性质得a1 3+aH=0.V a 1 0,(KO./.a1 3 0,a,4 0.当=1 3 时，有最大值1 6 9.法四：设 四=加+胡.w=s“9+1 7.二次函数对称轴为刀=二 丁 =1 3,且开口方向向下，.当=1 3 时，S,取得最大值1 6 9.2.(变结论)本例中条件不变，令 4=|品,求数列 4 的前项和二 解 由数歹U 4 的通项公式为=3 4 2知，当 1 7 时，a会0；当 时，a ,S一构成等差数列.(2)数歹1J 4 是等差数列Q S=a/+加(a,b为常数).(3)在等差数列 a 中，(3i+a2,a2+a3,+也成等差数列，a

44、 i +a2+a3,昆+4 3+&,a+&+全，也成等差数歹(J.S(4)在等差数列 4 中，数歹U ；为等差数列.【例1】在等差数列 a 中,5,0=1 0 0,S w=1 0.求S u。.思路探究(1)可利用方程(组)思想求解.逮 型1“片段和”的性质(2)可利用性质求解，如看作 a 中，依次取1 0 项的和所得新数列前1 1 项的和求解.解 法一：设等差数列仿)的首项为囱，公差为d,1 0 a,+-d=1 0 0,则 _1 0 0 3 1+-d=1 0.1 0 99a 1=1 0 0解得J 4 一 为e-5 1 0=1 1 0 3,4-d2=110X1 0 99,1 1 0 X1 0 9

45、2*=-1 1 0.法 二:V 51 0=1 0 0,5,0 0=1 0,SooSo=4 +a +aiooa”+3ioo90,2 a”+3ioo=-2.又 ai+auo=au+ai0o=-2,510 5io=100,5ioo=10_ _ _ U1004+108=100,元110 000/1+1005=10,解得j 111B=.,.5llo=H O2/l+llO=llO2X11Too+110X=-1 1 0.1.规B1 2 思 路 探 究 根 据 a,为 等 差 数 列 求 出 其 前 项 和，根 据9的 通 项 特 征，利用裂项相消法求和.解 等 差 数 列 4 的 首 项a=3,公 差d=2

46、,n n-前项和-dn n-=3刀+-X 2=n+2(N*),._1 _*S n n+2n n n+=单 n+2),3 2+34 n+n+厂.规律c方法 一裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项裂 项 之 差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前项和.探究问题类 型3)有限项等差数列前项和的性质及比值问题1.在等差数列&,中，如果项数为2”，那 么S倘与S奇之间存在哪些关系？提示,._ z?a?+题 _ z?X 2 a+1.5 偶=o =Q=a+19厂n&+nX 2nS 奇=Q-Q=刀 a?，S 偶-S 奇=(a+1 -a

47、)=nd.际 4+i2.在等差数列 4 中，若项数有2+1 项，S 奇与S 偶具有什么关系？提示 V 5 =2&+&1=5+1)%”_ n 2+比 5 偶=2 =i f S 奇-S 偶=(+1)为+1 a?+i =a+i,_+l n 3.若数列 4 ,4 均为等差数列，且前项和分别是S,T,那么仔怎么用b1 a前项和形式表示？R 国 +a2 k l 土 日 -1 a*_ 2 am _ 2 _ S kL 旋 小-五=拓=加 一 匕+从：=至二2【例3】数列，均为等差数歹U，前项和分别为5,北，若楙=石黄，则塔=()4 1 2 3 1 1 1 1A-2 6 B-1 4 C 7 D-T(2)一个等差

48、数列的前1 2 项的和为3 5 4,前 1 2 项中偶数项的和与奇数项的和之比为3 2 ：2 7,则 该 数 列 的 公 差 为.思路探究 利用房二狞.D n i 2 n-(2)利用5 曲 一 5 奇=大项数为2 项时).(D A (2)5 (1)因为数列 4 ,仇 均为等差数列，且 S,北分别为它们的前项和，囱+如义1 3.3 7-2 3 7 _2 _凡 3 X1 3 +2 4 1一=跖=4+%1=年=2 X1 3 =而o X 1 3 法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多3 2+2 7，其值为6&则 d=3 5 4 X(3 2-2 7)4-(3 2+2 7)4-6=5.法二：设偶数项的

49、和为x,奇数项的和为外(x+y=3 5 4,则x 3 21 7=2 7，解得x=1 9 2,尸 1 6 2.6(7=1 9 2-1 6 2 =3 0,：.d=5.法三：由题意知,1 2 X1 11 2 a,+-7=3 5 4,乙,6 X5ai +7 +-2d3 2,6 X56 ai+2d-2 7 由知6 4 =1 7 7 3 3 ,将此式代入得(1 7 7 3抄 3 2=(1 7 7+3 4 -2 7,解得d=5.母题探究1.(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求 恚 厂+义 厂 的 值&+力8 A+6 1 5 解:&+瓦=8+瓦=瓦+力”，.弋 国。+国1 国 +/。S o 3 X 2

50、0 +2 3 1,原”=4。+4=4+4=7=2 X 2 0 =丽2.(变结论)在本例(1)条件不变时，求总的值.解 由条件，令 S=4(3+2),T=2kn.:a=(6 n l)k,b,=(4/7 2)k.a n k _ _ _ _竺A)k3 4.厂.规律0法.等差数列前项和计算的两种思维方法3.（变条件、变结论）把本例（1）中条件变为“亮=Dn3+2,2n求 部 值.h9,+4 砌 S _ 2c i +a7 2 a l 国 3*4 +2 7御 A b、+&b -b j 2 Z?i b 2 X 4 4 2整体思路：利用公式=,设法求出整体a +品，再代入求解.待定系数法：利用S是关于的二次函