《高等数学》上册课后答案全集同济大学第六版.pdf

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1、高 等 数 学 第 六 版 上 册 课 后 习 题 答 案 第 一 章 习 题 1-11.设 A=(8,5)0(5,+00),8=10,3),写 出 及 4(AW)的 表 达 式.解 AJ B-(-,3)U(5,+oo),AcB=10,-5),AB=(,10)L(5,+CO),A(AB)=-10,-5).2.设 A、8 是 任 意 两 个 集 合，证 明 对 偶 律:(4小 8尸=”。那.证 明 因 为 XG(A n 5)co.r A n f i o xiA 或 x e B o x e A。或 o x e Ac J BC,所 以(AC 3)C=A CU B C.3.设 映 射/:X f y,A

2、 u X,3 u X.证 明(2 求 A nB)D(A)Q/.证 明 因 为 使/U)=y=(因 为 xeA 或 xeB)ye/(A)或 y/5)o y w/(A)5，所 以/(A。8)成 4)5(8).(2)因 为 y e/(A n B)n*e A c B,使/(x)=y o(因 为 xeA 月.xeB)y 且 y 4 B)n ye兀 4)2，所 以/(A nB)q/(A)M 8).4.设 映 射/:X f Y,若 存 在 一 个 映 射 g:J X,使 g o/=/x，/=/丫，其 中/x、/y分 别 是 X、丫 上 的 恒 等 映 射，即 对 于 每 一 个 x e X,有“x=x;对

3、于 每 一 个 y e Y,有 lYy=y.证 明：/是 双 射，且 g 是 4 的 逆 映 射:g y T.证 明 因 为 对 于 任 意 的 y e Y,有*=8 0)乂 且/(x)寸 gQ)=/yy=y,即 丫 中 任 意 元素 都 是 X 中 某 元 素 的 像，所 以/为 x 到 y 的 满 射.又 因 为 对 于 任 意 的 修 孙 2,必 有 於|)祖 也)，否 则 若/(X1)=/a2)ng/U l)=g师 2)=X=X2-因 此/既 是 单 射，又 是 满 射.，即/是 双 射.对 于 映 射 g：Y f X,因 为 对 每 个 y e匕 有 g(y)=xeX,且 满 足/(

4、x)/g(y)=/2=y,按 逆 映 射 的 定 义,g 是/的 逆 映 射.5.设 映 射/:X f Y,A u X.证 明：(1 尸(2)当/是 单 射 时，有/T(/U)=A.证 明(1)因 为 xeA n/(x)=y e 4)=广 七)=、守 一 领 4),所 以(2)由 知 尸 伙 A)nA.另 一 方 面，对 于 任 意 的 xe/T(/(A)n存 在 ye_/(A),使/T(y)=x=/(x)=y.因 为 九 4)且/是 单 射，所 以 X E 4.这 就 证 明 了 尸(M)U A.因 此 尸(/(A)=4.6,求 下 列 函 数 的 自 然 定 义 域：y=y/3x+2;解

5、由 3x+220得 x-,.函 数 的 定 乂 域 为+co).尸 占；解 由 I T 2M得 用 1 函 数 的 定 义 域 为(-00,-1)5-1,1)5 1,收).(3)y=-V l-x2;x解 由 x M 且 l-x2 0得 函 数 的 定 义 域 4-1,0)5 0,IL(4)y=r；V4-X2解 由 4-*0得|2.函 数 的 定 义 域 为(-2,2).(5)产 sin解 由 应 0 得 函 数 的 定 义。=0,+8).(6)?=tan(x+l);解 由 X+1日(左=0,1,2,)得 函 数 的 定 义 域 为 x k 7 i+(k=0,1,2,-)(7)y=arcsin(

6、x-3);解 由 lx-3K1得 函 数 的 定 义 域。=2,4.(8)y=y/3-x+arctan;x解 由 3-x0且 x M 得 函 数 的 定 义 域 D=(-oo,0)0(0,3).(9)y=ln(x+l);解 由 x+l0得 函 数 的 定 义 域。=(-1,+8).1(10)y=ex.解 由 x M 得 函 数 的 定 义 域。=(-00,0)50,+).7.下 列 各 题 中，函 数 人 幻 和 g(x)是 否 相 同？为 什 么？(1 加 x)=lgx2,g(x)=21g X；(2)/(x)=x,g(x)=A;(3)/(x)=Vx4-x3,g(x)=xVx-l.(4)/(x

7、)=l,g(x)=sec2x-tan2x.解(1)不 同.因 为 定 义 域 不 同.(2)不 同.因 为 对 应 法 则 不 同,x0,1-工 2 0.因 为 当 修%2时，H 2=xx x2 _ X-X21 Xj 1 巧（1 再）（1 工 2）0,所 以 函 数)，=户 在 区 间(-00,1)内 是 单 调 增 加 的.1-X(2)对 于 任 意 的 为,元 2(0,+8),当 占%2时，有%一,2=（再+ln 司）一（巧+ln x2）=（西-工 2）+皿 二 一 立 因 为/(x)在(0,/)内 单 调 增 加 且 为 奇 函 数，所 以/(-X 2)T D,物 2)如 1),加 2)

8、的)，这 就 证 明 了 对 于 八 1,也(-/,0),有 於 1)g(T)寸(xg(x)=b(x),所 以 F(x)为 偶 函 数，即 两 个 偶 函 数 的 积 是 偶 函 数.如 果/(X)和 g(x)都 是 奇 函 数，则 F(T)MTg(-x)=Mx)-g(x)4(xg(x)=F(x),所 以 F(x)为 偶 函 数，即 两 个 奇 函 数 的 积 是 偶 函 数.如 果/(X)是 偶 函 数，而 g(x)是 奇 函 数，则/T)4 xg(x)n(x)|-g(x)=/xg(x)=/(幻，所 以 尸(x)为 奇 函 数，即 偶 函 数 与 奇 函 数 的 积 是 奇 函 数.12.下

9、 列 函 数 中 哪 些 是 偶 函 数，哪 些 是 奇 函 数，哪 些 既 非 奇 函 数 又 非 偶 函 数？(1)尸 2(1一？)；(2)y=3x2-x3;尸 京(4)y=x(x-l)(x+l);(5)y=sin x-cos x+1;尸 贮 尸 解 因 为/(T)=(T 尸 1-(-刈 2=/(1-小)寸，所 以/(X)是 偶 函 数.(2)由/(-X)=3(-X)2-(-X)3=3X2+X3可 见 段)既 非 奇 函 数 又 非 偶 函 数.(3)因 为 了(l-(-X)2 _ l-x2T)=l+(-x)2 1+x2=/(x),所 以/(x)是 偶 函 数.(4)因 为 A-x)=(-

10、x)(-x-1)(-%+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x),所 以/是 奇 函 数.由/(-x)=sin(-x)-cos(-x)+l=-sin x-cos x+1可 见“)既 非 奇 函 数 又 非 偶 函 数.(6)因 为/(T)J i y O=豆 严=w),所 以 人 幻 是 偶 函 数.13.下 列 各 函 数 中 哪 些 是 周 期 函 数？对 于 周 期 函 数，指 出 其 周 期：(l)y=cos(x-2);解 是 周 期 函 数，周 期 为/=2花(2)y=cos 4x;解 是 周 期 函 数，周 期 为/=5.(3)y=l+sin 加；解 是 周 期 函 数，周 期 为

11、/=2.(4)y=xcos x;解 不 是 周 期 函 数.(5)y=sin.解 是 周 期 函 数，周 期 为/=.14.求 下 列 函 数 的 反 函 数：(l)y=Vx+T；解 由 尸 历 T得 尤=/_1,所 以 产 乱 币 的 反 函 数 为 尸？-1.尸 解 由 尸 公 得 户 公，所 以 尸 岩 的 反 函 数 为 尸 篙 y=1A(ad bcM);cx+d解 由 产 丝 4得 户 也 也，所 以 产 竺 4的 反 函 数 为 尸 土 2cx+d cy-a cx+a cx-a(4)y=2sin3x;解 由 y=2sin 3%得 了=garcsi吟，所 以)=2sin3x的 反 函

12、 数 为 y=；arcsi吟.(5)y=l+ln(x+2);解 由 y=l+ln(x+2)得 x=T-2,所 以 y=l+ln(x+2)的 反 函 数 为 产 产-2.尸 工.-2*+1解 由 y=2”得 x=log2 7,所 以 y=二 一 的 反 函 数 为 y=log)丁 匚.21+1 1-y 2*+1 1-x15.设 函 数/(x)在 数 集 x 上 有 定 义，试 证：函 数 人 功 在 x 上 有 界 的 充 分 必 要 条 件 是 它 在 x 上 既 有 上 界 又 有 下 界.证 明 先 证 必 要 性.设 函 数 x)在 X 上 有 界，则 存 在 正 数 M,使 人 即 这

13、 就 证 明 了/(x)在 X 上 有 下 界-M 和 上 界 M.再 证 充 分 性.设 函 数/U)在 X 上 有 下 界 K和 上 界 K2,即 Kxfx K2.取 M=maxIK I,K2,贝 U-M K讶 x)V K2MM,即 l/U)lM.这 就 证 明 了 r)在 X 上 有 界.16.在 下 列 各 题 中，求 由 所 给 函 数 复 合 而 成 的 函 数，并 求 这 函 数 分 别 对 应 于 给 定 自 变 量 值 为 和 X2的 函 数 值：(/1l)y=2，=s,i nx,=7T,xT C2=y；解 y=sin2x,y1=sin2-=(-1)2,y2=sin2y=()

14、2=1.(2)y=sin u,u=2x,x,=,x2=4；8 4解 y=sin2x,=s in(2)=s in=y-,y2=sin(2)=s in-=l.(3)y=Ju 9 u=1+x2,%i=l,X2=2;解 y=V l+x2,%=J1+12=应,y2=V14-22=5/5.(4)y=e,=./,X=0,X2=l;解 y=1,%=，=1,乃=/2=0.(5),u=ex,x i=l,x-l.解 y=e2x,y=e2=e2,y2=e2(l)=e2.1 7.设/U)的 定 义 域。=0,1,求 下 列 各 函 数 的 定 义 域：(1)危 2)；解 由 得 伙 口，所 以 函 数 兀 2 的 定

15、义 域 为 T,1/(sinx);解 由 0 sin x l 得 2n7ix 0);解 由 0 4+“4 1 得-a,所 以 函 数/(x+a)的 定 义 域 为-a,(4)於+a)他-a)(a 0).解 由 0幺+。4 1且 0&得：当 0 a 时，axW l a;当 a 时，无 解.因 此 当 0 a W 时 函 数 的 定 义 域 为 口，1-初 当 a g 时 函 数 无 意 义.1 lxll解/g(x)=0-1levllg(x)=e x)=x 01 x 1=1,即 g/(x)=1lxll19.已 知 水 渠 的 横 断 面 为 等 腰 梯 形，斜 角 方 40。(图 1-3 7).当

16、 过 水 断 面 ABCD的 面 积 为 定 值 S0寸，求 湿 周 L(L=A5+8C+C0与 水 深 力 之 间 的 函 数 关 系 式，并 指 明 自 变 量 的 取 值 范 围 应 由 不 等 式 组 h0,务 cot40 力 0确 定，定 义 域 为。/zs()cot40.2 0.收 敛 音 机 每 台 售 价 为 9 0 元，成 本 为 6 0元.厂 方 为 鼓 励 销 售 商 大 量 采 购,决 定 凡 是 订 购 量 超 过 100台 以 上 的，每 多 订 购 1台，售 价 就 降 低 1分，但 最 低 价 为 每 台 7 5元.(1)将 每 台 的 实 际 售 价 P 表

17、示 为 订 购 量 x 的 函 数；(2)将 厂 方 所 获 的 利 润 P 表 示 成 订 购 量 x 的 函 数；(3)某 一 商 行 订 购 了 1000台，厂 方 可 获 利 润 多 少？解(1)当 0卷 4100 时,p=90.4O.O1(X O-1OO)=9O-75,得 沏=1600.因 此 当 XN1600 时,p=75.当 100 x1600 时,P=90-(X-100)X0.01=91-0.Olx.综 合 上 述 结 果 得 到 90p-91-0.0lx750 x100100 x160030 x(2)P=(p-60)x=(31x-OOM15x0 x100100 x1600(3

18、)P=31 x 1000-0.01 x 10002=21000(元).习 题 1-21.观 察 一 般 项 X”如 下 的 数 列 招 的 变 化 趋 势，写 出 它 们 的 极 限:(1)土=/；解 当+0 时，当=*f O,lim-=O.(2)x.=(-iy；n解 当“f oo时 一，r=(-l)z,-0,lim(-ir-=0.n n(3)X=2+4；n解 当 f 8 时，x=2+1-2,lim(2+4r)=2.N n-c o M V;解 当-8 时，x=7=1 Y-0,lim-7=l.(5)再 产(一 1)”.解 当 8 时,xfl=n(-l)n没 有 极 限.co s-2.设 数 列/

19、的 一 般 项/=.-.问 limx,广？求 出 N,使 当 心 N 时,x 与 其 n foo极 限 之 差 的 绝 对 值 小 于 正 数%当=0.001时，求 出 数 M解 limxn=0.Icos n 冗 lx oi=V 0,要 使 院-01,只 要 L,也 就 是 L 取 n n n sN=p,贝 有 0 Ol 0 0 几，分 析 要 使|4-01=3 1.n g 肥 证 明 因 为 X/Q0,mN=l4,当 心 N 时，有 Uy oi 8(c2)hr m3-+l 3-82+l 2分 析 要 使 卜 23,+l 3 1J+l 只 须/即 证 明 因 为 吐,当 心 N 时 筌 4 G

20、 所 以 胆 舞 H 而 正 运=1；一 8 分 析 要 使 p g 逐 一 上 病 71-=-之 0TN=Q,当 V NIH,有 W+M _|oo(4)limO.999 9=1.一 8 个 分 析 要 使 10.99 9 H=Lr,只 须 一 l+lgL.证 明 因 为 X/0,mN=l+lgJ,当 V”N 时，有 10.99 9-11 o ox 个 4.Iim“=a,证 明 limlwl=lal.并 举 例 说 明：如 果 数 歹 UhJ有 极 限，但 数 列 与 未 必 有 极 限.证 明 因 为 所 以 VO,mNeN,当 心 N 时，有 山,-ake,从 而/?00un-aun-ao

21、o数 列 lx“l 有 极 限，但 数 列/未 必 有 极 限.例 如 liml(-但 lim(-1)不 一 8 一 8存 在.5.设 数 列%“有 界,又 lim%=0,证 明：limx“y”=0.一 8 一 8证 明 因 为 数 列&”有 界，所 以 存 在 M,使 有 建 M.又 limy”=0,所 以 V Q O T N CN,当 心 N 时，有 二.从 而 当 N 时，有 lx y“-O N x y.言=,所 以=0.，T86.对 于 数 列 斯,若 X2-ifa(kf0),-00),证 明：X-证 明 因 为 X2bi-a(A-8),X2-a6-8),所 以 V Q O,3AI,当

22、 2女 12K 1 时，有 I x”-al;BK2,当 2k 2K2 时，有 I X2L I N,就 有 k“-al 3分 析 因 为 l(3x-l)-8l=l3x-9h3Lc-3l,所 以 要 使 I(3X-1)-8I,只 须 I 尤-3畤.证 明 因 为 当 0lx 3lb时，有 1（3元 1）81,所 以 lim(3x-l)=8.x 3(2)lim(5x+2)=12;1 2分 析 因 为 l(5x+2)-12l=l5x-10l=5Lx-2l,所 以 要 使 l(5x+2)-12l,只 须 lx-2I 0,m 5=k,当 0k-2I5时，有 5l(5x+2)12I 2(3)lim A%-2

23、 x+2分 析 因 为 U H*T x+21T x-(2)I,所 以 要 使|芒 号-(-4)|,只 须 以-(-2)1o,当 0卜 一(一 2)1-2 X+2(4)，fli2mx+l=2.分 析 因 为|-2|dl-2x-2l=2lx-(-1)l,所 以 要 使 I F 4 2|,只 须 lx(4)l0,暴，当 0疝-(-J k b 时，有 14/2x+l-2 1所 以，吧 寓 22.根 据 函 数 极 限 的 定 义 证 明:期 第 a分 析 因 为 I l+x3 1|_|1+工 3一 九 3 I 1I 22 门 2x3 21”所 以 要 使 器 弓 卜,只 须 点 福 即 如 古.证 明

24、 因 为 70,三 乂=霜，当 闭 XU寸，有 挈 一*所 以 limXT8l+xl2x3-2 lim半=0.1+0 0Jx分 析 因 为 所 以 要 使|乎-0卜,只 须=-.证 明 因 为 VQ O凸 X=-V，当 xX时，有 2时，0,故 可 设 仅 一 211,即 lx3.要 使 lx2-4l=Lr+2lk-2l5bc-2l0.001,只 要 lx 21=0.0002.取 8 0.0002,贝 I J 当 0k-2lb 时，就 有 l?_4kO.001.4.当 xfoo时，尸 辛 1 3 1,问 X等 于 多 少，使 当 X时,ly-ll0.01?/+3解 要 使|牛 二-I|=Y F

25、 O.OI,只 要 i x 屋 口=屈 二 故 乂=屈 7.1 x2+3 1 x2+3 V 0.015.证 明 函 数/(x)=NI当 x-0 时 极 限 为 零.证 明 因 为 l/(x)-OI=IW-OI=kl=lx-OI,所 以 要 使!/(X)-01,只 须 1%1 因 为 对，便 当 0k-O l a时 有 贝 X)01=3 0106.求/(幻=工 e(x)=里 当 x-0 时 的 左、右 极 限，并 说 明 它 们 在 x-0时 的 极 X X限 是 否 存 在.证 明 因 为 lim/(x)=lim=lim 1=1,x 0-/()-X x f 0-lim f(x)=lim=lim

26、 1=1,x f 0+x fo+x x-o+lim/(x)=lim f(x),X f 0-X f o+所 以 极 限 lim/(x)存 在.x-0因 为 lim e(x)=lim=lim=-l,x 0 x-0-X x-0 Xlim(p(x)=lim=lim=1,1 o+X T 0+x x-0+xlim e(x)w lim e(x),x f(T x fO+所 以 极 限 limp(x)不 存 在.x-07.证 明：若 xf+oo及 x f-o o时，函 数/U)的 极 限 都 存 在 且 都 等 于 A,则 lim f(x)=A.X-8证 明 因 为 lim f(x)=A,lim f(x)=A,

27、所 以 VQ O,3X1 0,使 当 x-Xi 时-，有-X)-AI0,使 当 x X2 时:有!/(X)-AIX 时,有 财-Ake,即 limf(x)=4.X 88.根 据 极 限 的 定 义 证 明：函 数 人”)当 x f x o 时 极 限 存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 左 极 限、右 极 限 各 自 存 在 并 且 相 等.证 明 先 证 明 必 要 性.设/(x)fA(xfxo),则 V Q O,3 0,使 当 Olx-xol时,有 心)一 A l.因 此 当 Xo-&XXo和 XoXX()+b时 都 有 f(x)-A0,使 当 刀 0-石。()时，有 I/(X)-A；

28、30,使 当 Xoxxo+&时，有 1 於)-4.取 应 minbi,，则 当 0k-x()lb时，有 x()-b e 及 飙+,从 而 有 JX)-A0 及 M0,使 当 HX 时,lf(x)l4(x+o),则 对 于=l,mX0,当 klX 时，有|/(X)-AI=1.所 以 贝 x)l=/(x)A+A K 叭 x)A 1+0及 M0,使 当 LdX时,其 中 M=1+L4L习 题 1-41.两 个 无 穷 小 的 商 是 否 一 定 是 无 穷 小？举 例 说 明 之.解 不 一 定.例 如，当 x-0 时，o(x)=2x,&c)=3x都 是 无 穷 小，但 lim/，款 不 是 无 i

29、 o J3(x)3 p(x)穷 小.2.根 据 定 义 证 明：(1)y=-当 x f 3 时 为 无 穷 小；冗+3(2)y=xsinl当 x f 0 时 为 无 穷 小.X证 明 当 存 3 时 I止|3 口 31.因 为 V 0 T,当 0k 315时，有ly h*2 个 士 3IS=,x+3所 以 当 X f 3 时 为 无 穷 小.x+3 当 混 o 时 lylT xllsin、4 x-O I.因 为 V Q O,三 应,当 0反 一 O k b时,有 Xlyh lxllsin l l（）4?证 明 分 析 旧 耳 必 卜 合+!上!一？，要 使 域 M,只 须 2 M,即 X X

30、IX I IXIlxl O,m b=,使 当 0lx Ol10tJ I I 4 X I 44.求 下 列 极 限 并 说 明 理 由：18 X（2）1加 工 1 0 1-X解 因 为 空 1=2+L 而 当 X f o o 时 1是 无 穷 小，所 以 1沁 丝 口=2.X X X XT8 X（2）因 为 宫=1+X（H 1）,而 当 X f OH寸 X 为 无 穷 小，所 以 l i m F=l.l-x 1 0 1-X5.根 据 函 数 极 限 或 无 穷 大 定 义，填 写 下 表:/W-A 网-8y(x)-+ooX x（）的 0,使 当 0Lr-xd 附，有 恒 网 X）-AI.解 x-

31、%0+X Xo-X-0 0W Q O,mxo,使 当 lxlX 时，有 恒!X-4-0 0X-0 0共 幻 8/)-+8 r)f 8X-XQV Q O,3苏 0,使 当 0k-x()l闻 寸，有 恒！/a)T i0,眸 0,使 当 OM.v o,m苏 0,使 当 Olx-xol 0 0,使 当 0lx-x()l X o+V Q O石 苏 0,使 当 0a-xo5B寸，有 恒 欧)-AI0,3 5 0,使 当 Ox-xoM.VM0凸 苏 0,使 当 OO,m O,使 当 Ox-xoXQV Q O7 苏 0,使 当 Oxo-x(5 H 寸，有 恒|/(X)-A I 0,m&0,使 当 Oxo-xM

32、.VM 0,眸 0,使 当 Oro-x 0,m&0,使 当 Ovo-x0,3 X 0,使 当 lxlX时，有 恒)一 川 0,使 当 lxlX时,有 恒 V60,3 X 0,使 当 MX时，有 恒 fMM.Vfi0,3 X 0,使 当 M X 时，有 恒 X+8Vfi0,m x0,使 当 xX时，有 恒 f(x)-A0,3 X 0,使 当 x X 时，有 恒 婚)1 设 V60,3 X 0,使 当 x X 时-，有 恒 於)M.v o m o,使 当 x X 时，有 恒 段)0,3 X 0,使 当 x-X 时，有 恒 贝 X)-4I.V Q O,小 0,使 当 x0,3 X 0,使 当 x0,

33、3 X 0,使 当 x-X 时，有 恒 於)0,在(-oo,+oo)内 总 能 找 到 这 样 的 x,使 得 ly(x)lM.例 如 y(2%m=2k;rcos2km2k万(k=0,1,2,)，当 人 充 分 大 时，就 有 ly(2女 乃)1.当 x f+o o 时，函 数 y=xcos x 不 是 无 穷 大.这 是 因 为 V M 0,找 不 到 这 样 一 个 时 刻 N,使 对 一 切 大 于 N 的 x,都 有 例 如 y(2壮+乡=%万+9 3(2氏+乡=0(女=0,1,2,)，对 任 何 大 的 N,当 女 充 分 大 时，总 有 x=2版+但&(x)l=O0,在(0,1 中

34、 总 可 以 找 到 点 距 使 例 如 当 4=!(h0,1,2,.)2k兀+12时，有 灭 xQ=2k兀 吟,当 k 充 分 大 时,y(Xk)M.当 x f 0+时，函 数)，=sinL不 是 无 穷 大.这 是 因 为 X XVM0,对 所 有 的&0,总 可 以 找 到 这 样 的 点 以 使 0 u*a 但 y(4)例 如 可 取 当 女 充 分 大 时,Xk8,但 y(Xk)-2k7isin2k7=02 x 3 2 3v2 _Q 卷 曷;解 身 舄=嚼 亲*苧解 lim 工 2 旦 L l i m(七 D=lim上 L&=0X T 1 x2-l(x-l)(x+l)i l x+l

35、2(4)1面 生 三 亚；i o 3 X2+2X解 l i m4A-3-2A-2+.r=l i m4-2+l=lx-o 3X2+2X 1。3x+2 2 hm(x+_NA-0 h解 lim回 叫 三 L limA-0 h 力 T Ox2+2hx+h2-x2=lim(2x+/i)=2x.D lim(2-+3);x-8 x x解 lim(2-+4 r)=2-lim+lim=2.x 8 x XZ X-8 X x o c x2 l i m/T;x 2 x-x-lr2_i解 lim-=limX f co 2-X-8l-X2 _191 1-2,乙-yX xz(8)lim;x-8 X4-3 X2-12解 li

36、m年=0(分 子 次 数 低 于 分 母 次 数，极 限 为 零).X f o o X4-3xZ-l或*4：工 l i mT匚 12+T13=0 X f 8 2 _ 1_ 嚅 尖 解！桔 给 咂 籍 需 十 妈 门 x-2 4-2 一 2 3.(10)lim(l+i)(2-4)；x-8 X X解 lim(l+-)(2V)=lim(l+-)-lim(2L)=lx2=2.A-CC X X X 1 8 XL(ll)lim(l+!+n-oo 2 4=2.解 lim(l+!+d-F)=lim/?co 2 4 2”78(12)l i m 1+2+3+-+(-1).一 8 几 2(n-l)n解 Ap hV

37、m-1-+-2-+-3-H-F(721).9 1 1.一 I 1彳 一-=lim 气 二 彳 lim 一 1二 彳.8 几 2 7 7 00 2，-8 2r(九+1)(+2)(+3)(13)lim-;T8 5解|i m(n+l)(/7+2)(/7+3)l(分 子 与 分 母 的 次 数 相 同，极 限 为-8 5 5最 高 次 项 系 数 之 比).T(II+1)(/2+2)(77+3)1 1.八 1 2/i 3 1或 lim-廿 1-=lim(l+-)(l+-)(14-)=-.8 5-8 n n n 5(14)呵(丁 L-4)；1-X 1-X*解！呼 士 一 1S)1吧 者 餐 事=-lim

38、+2 芍=_1.v-ll+x+X22.计 算 下 列 极 限：小 r X3+2x2(1)lim-vI 2(X-2)2解 因 为！脸/脸 二,所 以 物 兴 洋=r2 limi s 2x4-12解 lim=8(因 为 分 子 次 数 高 于 分 母 次 数).x-8 2x4-1(3)lim(2x3-x+l).X-0 0解 lim(2X3 x+l)=oo(因 为 分 子 次 数 高 于 分 母 次 数).3.计 算 下 列 极 限：(l)lim x2sin-;x-0 X解 lim A in L o(当 x-0 时,*是 无 穷 小，而 sin 是 有 界 变 量).XTO x x(2)lim 查

39、皿.X-8 X解 lim里 里 里=lim Larctanx=O(当 xfoo时，工 是 无 穷 小，18 x is x x而 arctan x 是 有 界 变 量).4.证 明 本 节 定 理 3 中 的(2).习 题 1-51.计 算 下 列 极 限:1 2 X-3解 limx-2 x-3V+5 22+52-3=-9.雪 舄 Y2-3;解 卑 二 XT百/+(/3)2+1=0./公、./2x+l.(3)lim;1 1 xz-l解 四 看 詈=1吧(二(X)(；l)2+1)=1吧 号=3=8(4)Hm 4 T 二+xx.o 3X2+2X解 H m 宜*士 工=iim44W l=!i o 3X

40、2+2X X-O 3x+2 2，o h A o h/z-o(6)lim(2-H-y);x78 x x解 lim(2-+4 r)=2-lim+lim=2.XT8 X X2 X f 8 X XT8%2 lim;XT82x2-x-lr2_i解 lim-=limXT8 2x X XT81-XX2-19_ 1 _ X 2乙 7X XZ(8)lim J R;IS%4-3X2-12解 lim 41+f=0(分 子 次 数 低 于 分 母 次 数,极 限 为 零).x-8 x4-3 xz-l或+lim/七=lim x；=()A-0 0 x4-3 x2-l X f 00 2 1一 lim4 钙;x-4 Xz-5

41、 x+4解 缶 翳=理 缶 留=妈 尸 x-2 1 一 4 4-T 2 一 2 3.(10)lim(l+-)(2-4-)；1 8 X X解 lim(l+-)(2-4r)=lim(1+-)-1 1 1 1 1(2)=1x2=2.X f 8 X XZ XT8 X XT8 X2(11)lim(l+J+=)；-8 2 4 2=2.解 lim(l+!+)=lim8 2 4 2-8o r 1+2+3+(-1)(12)h m-5-；一 8 乙(w-l)n伟 解 花 lr im-1-+-2-+-3-H-5-F-(-n-1)=Iri m 2=1 lri m-n-=1.-8 M 2，-8 n 2/e r(+D(+

42、2)(+3)(13)lim-;解 H m(+l)(+?m+3)=!(分 子 与 分 母 的 次 数 相 同，极 限 为-8 5最 高 次 项 系 数 之 比).或 H m(+D(+2)(/?+3)=|l i m(1+l)(1+2)(1+3)=l 一 8 5晨 5-8 5(14)lim(J-2-)；xfl l-x 1 一 炉 解！呼 上 一 金 口 图 者 黑 亳=一!吧 总*=-lim，+2)Xf 11+X+X，=-l.2.计 算 下 列 极 限:x3+2x2(1)lim-2 a 2)2解 因 为 则 詈 妥 哈=，所 以 则=.?(2)1 8 2%+12解 lim=8(因 为 分 子 次 数

43、 高 于 分 母 次 数).x-8 2x+l(3)lim(2x3-x+l).x 00解 lim(2x3-x+l)=oo(因 为 分 子 次 数 高 于 分 母 次 数).X 003.计 算 下 列 极 限：(1)limx2sin;X T O X解 l i m A i n L o(当 x.0 时,产 是 无 穷 小，而 sin是 有 界 变 量).1 0 X X(2)lim卫 皿.XT8 X解 lim空 皿=limLarctanx=O(当 x/o 时，上 是 无 穷 小,1 8 X x-0 0 X X而 arctan x 是 有 界 变 量).4.证 明 本 节 定 理 3 中 的(2).习 题

44、 1-71.当 x f O 时,2 x-f 与 相 比，哪 一 个 是 高 阶 无 穷 小？解 因 为 1而 已 芸=1由 曰=0,x-0 2x-X1 X-O 2-x所 以 当 x J 0 时,x2-x3是 高 阶 无 穷 小，即 X2-X3=O(2X-X2).2.当 X f l时，无 穷 小 1 T 和 3,(2)；(1-2)是 否 同 阶？是 否 等 价?解(1)因 为 lim上=lim 支 NK且 匕 2=im(l+x+x2)=3,x-I 1 X Xfl X A 1所 以 当 X f 1时，l-x 和 1-4是 同 阶 的 无 穷 小，但 不 是 等 价 无 穷 小.(2)因 为 lim

45、 iXfl l-x如(1+止 1,2犬.1所 以 当 X f 1时，1-x和 3(1-/)是 同 阶 的 无 穷 小，而 且 是 等 价 无 穷 小.3.证 明：当 x 3 0 时，有：(1)arctan x x;r2(2)secx-1 证 明 因 为 lim 胆 也 工=l i m=l(提 示：令 尸 arctanx,则 当 x f O 时,a o x y-o tan yy-0),所 以 当 x 0 时,arctaarx.i 2sin2-2sin-因 为 iims e c x=l=2 l i ml-cosx=l i m_/_=H m(1)2=i,X f0 1 v2 COSX x _ 0 X

46、Xr 2 2v2所 以 当 x 0时、secx-1 亍.4.利 用 等 价 无 穷 小 的 性 质，求 下 列 极 限:lim sm(x?(”,m为 正 整 数);io(sinx)”，(3)tanx-sinxsin3xsin x-tan x(4)lim o j-3 劭+，-l)(71+sinx-l)解 噤=!吧 工 一；器 n-mnmn0 sinx cosxsin2%i o cosx 2(4)因 为 sinx-tanx=tan x(cosx-l)=-2tanxsin2-2x-(-)2=-x3(x0),-2 i%+N-1=/#(D),/(1+X2)2+y/l+X2+1 3Jl+sinx-l=/吊

47、 工-sinxx(x-0),Vl+sinx+1_j_x3所 以*sin nx _ 一 m 2 _=_3x-咽 1+尤 2 l)(Jl+sinx 1)lOl9.x35.证 明 无 穷 小 的 等 价 关 系 具 有 下 列 性 质:a a（自 反 性）;若 a0,则。o（对 称 性）；若 ap,p-y,则 aM传 递 性）.证 明(l)lim包=1,所 以 a a;a(2)若 a 以 则 从 而 lim 2=l.因 此 e a;p a(3)若 a 以 上%lim=lim.因 此 a/Y Y P习 题 1-81.研 究 下 列 函 数 的 连 续 性，并 画 出 函 数 的 图 形：八、/*)、凡

48、 lx 2 0 x“l；2-x 1%i X T I*x-r所 以 lim/(x)=l,从 而 函 数 Ax)在 x=l处 是 连 续 的.X f 1综 上 所 述，函 数/(x)在 0,2 上 是 连 续 函 数.(2)/(x)=：看 下 解 只 需 考 察 函 数 在 X=T和 4 1 处 的 连 续 性.在 X=1处，因 为 人 1)=1,并 且 lim/(x)=lim 1=/(-1),lim f(x)=lim x=-l=/(-I),所 以 函 数 在 4-1 处 间 断，但 右 连 续.在 4 1 处，因 为 4)=1,并 且 lim f(x)=lim x=l 三/，lim/(x)=li

49、m 1=1=(1),x-r x-r X T I*x-i+所 以 函 数 在 x=l处 连 续.综 合 上 述 讨 论，函 数 在(-8,-1)和(T,+8)内 连 续，在 X=-1处 间 断，但 右 连 续.2.下 列 函 数 在 指 出 的 点 处 间 断，说 明 这 些 间 断 点 属 于 哪 一 类，如 果 是 可 去 问 断 点，则 补 充 或 改 变 函 数 的 定 义 使 它 连 续：尸 1 3x+2,x=l,x=2;解 产，,T 产+空？因 为 函 数 在 x=2和 x=l处 无 定 义，所 以 x=2和 x2-3x+2(x-2)(x-l)m l 是 函 数 的 间 断 点.因

50、为 limy=l i m=8,所 以 x=2是 函 数 的 第 二 类 间 断 点；1 2，1 2 2 3x+2因 为 limy=lim?=-2,所 以 x=l是 函 数 的 第 一 类 间 断 点，并 且 是 可 去 间 断 x 1(X 2)点.在 处，令 y=-2,则 函 数 在 x=l处 成 为 连 续 的.(2)y=7-，x=%x=k冗 吟(女=0,1,2,)；tanx 2解 函 数 在 点 x=b啾 eZ)和 x=Jbr+号 依 Z)处 无 定 义，因 而 这 些 点 都 是 函 数 的 间 断 点.因 lim-=oo(后 0),故 x=Jbz(ZM)是 第 二 类 间 断 点；xT