【数学】版高考模拟分类汇编：第三章_导数及其应用.pdf

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1、第 三 章 导 数 及 其 应 用 第 一 部 分 三 年 高 考 荟 萃 2010年 高 考 题 _工(_11.(2010全 国 卷 2 理)(10)若 曲 线 丁=一 5在 点 处 的 切 线 与 两 个 坐 标 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 18,则。=(A)64(B)32(C)16(D)8【答 案】A【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 求 导 法 则、导 数 的 儿 何 意 义、切 线 的 求 法 和 三 角 形 的 面 积 公 式,考 查 考 生 的 计 算 能 力.1 _3 1 _3,3【解 析】y=2,；/=2,切 线 方 程 是 y a 2=一。2(x。)，

2、令=(),3-y=a 221 3-，令 y=0,x=3a,.三 角 形 的 面 积 是 s=a 2=1 8,解 得。=6 4.故 2 2选 A.42.(2010辽 宁 文)(12)已 知 点 P 在 曲 线 y=-上，a 为 曲 线 在 点 P 处 的 切 线 的 倾 斜 角,e+1则 a 的 取 值 范 围 是(A)0,-)(B)(C)(D)，)4 4 2 2 4 4答 案 D4ev 4 1解 析：选 D.y=_-=-r,vev+2,/.-1/0,e+2-+1 e、2+J_/e3 UP-1 tana 0,ae43.(2010辽 宁 理)(10)已 知 点 P 在 曲 线 y=-上，a 为 曲

3、 线 在 点 P 处 的 切 线 的 倾 斜 角,e+则 a 的 取 值 范 围 是(A)呜)抬)小 苧(D)件【答 案】D【命 题 立 意】本 题 考 查 了 导 数 的 几 何 意 义，求 导 运 算 以 及 三 角 函 数 的 知 识。,_Aex _4 3万【解 析】因 为 y=-=-1,即 tan a2-l,所 以 一 a7i(e+1)e+2+e 44.(2010全 国 卷 2 文)(7)若 曲 线 y=/+以+6 在 点(0/)处 的 切 线 方 程 是 x y+1=0,则(A)a=,b=(B)a=-1,b=1(C)a=,b=-1(D)a=-,b=-1【解 析】A：本 题 考 查 了

4、 导 数 的 几 何 意 思 即 求 曲 线 上 一 点 处 的 切 线 方 程.y=2x+a|x=o=a,a=l,(0,6)在 切 线 x-y+l=0,.b=15.(2010江 西 理)12.如 图，一 个 正 五 角 星 薄 片(其 对 称 轴 与 水 面 垂 直)匀 速 地 升 出 水 面，记 t 时 刻 五 角 星 露 出 水 面 部 分 的 图 形 面 积 为 S(S(0)=0),则 导 函 数 y=S(/)的 图 像 大 致 为【答 案】A【解 析】本 题 考 查 函 数 图 像、导 数 图、导 数 的 实 际 意 义 等 知 识，重 点 考 查 的 是 对 数 学 的 探 究 能

5、 力 和 应 用 能 力。最 初 零 时 刻 和 最 后 终 点 时 刻 没 有 变 化，导 数 取 零，排 除 C；总 面 积 一 直 保 持 增 加，没 有 负 的 改 变 量，排 除 B；考 察 A、D 的 差 异 在 于 两 肩 位 置 的 改 变 是 否 平 滑，考 虑 到 导 数 的 意 义，判 断 此 时 面 积 改 变 为 突 变，产 生 中 断，选 择 A。6.(2010江 苏 卷)14、将 边 长 为 1m正 三 角 形 薄 片，沿 一 条 平 行 于 底 边 的 直 线 剪 成 两 块，其 块 是 梯 形 记,;喘 喘 l 则$的 最 小 值 是【解 析】考 查 函 数

6、中 的 建 模 应 用，等 价 转 化 思 想。一 题 多 解。设 剪 成 的 小 正 三 角 形 的 边 长 为 x,贝 小 S _ G r p1.(X+1)超(1-X)4(3 5V3 1-x2(0 xl)(方 法 一)利 用 导 数 求 函 数 最 小 值。4(3-x)2 4(2X-6)-(1-X2)-(3-X)2.(-2X)s 即 忑-(2-6)(1-Y)一(3-.(-2x)_ 4-2(31)(x-3)百(1-/)2 6。_工 2)2S，(x)=0,0 x l,x=；,当 xw(0,；时，S(x)0,递 增；故 当 x=时，S 的 最 小 值 是 9 8。3 3(方 法 二)利 用 函

7、数 的 方 法 求 最 小 值。令 3-X=，/e(2,3),-e(一,-),贝！I：S=1-j=-t 3 2 G-入 6-8 73 _8+6_1t2 t故 当！=3,x=1 时，s 的 最 小 值 是 超 8。t 8 3 37.(2010湖 南 文)21.(本 小 题 满 分 13分)已 知 函 数/(x)=+x4-(-1)In x+15 a,其 中 ai(e是 自 然 数 的 底 数)。是 否 存 在 a,使 g(x)在 a,-a 上 为 减 函 数？若 存 在，求 a 的 取 值 范 围；若 不 存 在，请 说 明 理 由。解(I)/(x)的 定 义 域 为(0,+8).(x)=-.+l

8、+无 L(x+?x T).(1)若 T v a 0,则 当 0 x 0；当 时，/(x)v 0；当 x l吐 八 x)0.故“X)分 别 在(0,-a).(I.+)上 单 调 递 增.在(-%】)上 单 调 递 减.(2)若 仿(1)可 得/(x)分 别 在(0,】)，(-%+B)上 单 调 递 增，在(1,-。)上 单 调 递 减.(I I)存 在 明 使 g(x)在 上 为 减 函 数.事 实 上，A(x)=(-2 x3+3ax2+6ar-4aJ-6 a)e1(r e R),则 AT(x)=-2 x,+3(a-2)xI+12ax-4 0.因 此 n(a)W 0.而 m(a)=a(a+2),

9、所 以 a W-2.此 时，显 然 有 g(x)在(*-切 上 为 减 函 数，当 且 仅 当/(x)在 口.-。)上 为 减 函 数，A(x)在%上 为 减 函 数，且 做 由(I)知，当 a W-2时，X)在 1.-。上 为 减 函 数.又 入(1)券/(】)0+13a+3 w O o-3 W O W-+.不 难 如 道，Vx e a,(x)w 0 o Vxwa,l,E(X)W0.因(丫)=-寸+6(0-2+】20=-6(*+2)(1-4).令 加(x)=0,贝 ijx=。，或 x=-2,而 a 4-2,于 是(1)当 a-2 时，若 a x 0;若-2/n(-2)W O o-4a-8 W

10、 O o a W-2.又 对 6。，1,/(*)=0 只 有 当。=-2时 在 8=-2 取 得，亦 即“(x)=0 只 有 当 a=-2 时 在 x=-2 取 得.因 此.当。W-2时，A(x)在%1 上 为 减 函 数.从 而 由，知，-3W aW-2.综 上 所 述，存 在 明 使 g(x)在%-。上 为 减 函 数，且。的 取 值 范 围 为-3,-2.8.(2010浙 江 理)(22)(本 题 满 分 1 4 分)已 知。是 给 定 的 实 常 数，设 函 数 f(x)=(x-a)2(x+b)e2,b e R,x=a 是/(x)的 一 个 极 大 值 点.(1)求 6 的 取 值 范

11、 围；(11)设 玉,七 是/。)的 3 个 极 值 点，问 是 否 存 在 实 数 可 找 到 4 6 火，使 得 为 乙,为/4的 某 种 排 列 x.,xi2,x.,xi4(其 中 3邑 儿 沙=123,4)依 次 成 等 差 数 列?若 存 在，求 所 有 的 b 及 相 应 的/；若 不 存 在，说 明 理 由.解 析：本 题 主 要 考 查 函 数 极 值 的 概 念、导 数 运 算 法 则、导 数 应 用 及 等 差 数 列 等 基 础 知 识，同 时 考 查 推 理 论 证 能 力、分 类 讨 论 等 综 合 解 题 能 力 和 创 新 意 识。(I)解：f(x)=ex(x-a

12、)x2+(3-+h)x+2b-ah-g(x)=x2+(3-+b)x+2h-ah-a9令 则 A=(3-a+b)2 4(2。一)=(a+。-+8 0,于 是，假 设%2 是 8(尤)=的 两 个 实 根，且 石 气(1)当 Xi二 a 或 X2二 a 时，则 x二 a 不 是 f(x)的 极 值 点，此 时 不 合 题 意。(2)当 XiWa且 X2，a 时，山 于 x=a 是 f(x)的 极 大 值 点，故 xKa X2.即 g(x)0即。+(3-+b)a+2b-ah-a 0所 以 bV-a所 以 b 的 取 值 范 围 是(-8,-a)(H)M:lh(I)可 知.假 设 仃 在，及。满 足

13、画 在.川(1)当 1；o-a-11 时.艮；i4 2t,-。或 t4=羽 一 a.此 时 2/a=a/?3+J(a+b 1)+8 a=a+2*/6或 x4 2%2-a=a-h-3-J(a+2-1)+8 a=a 2/6(2)当 一 a 二 一 玉 时，则/一=2(a-玉)或(a-玉)=2(x2-a)-9 旧 2于 是 Q+8 1=此 时(=.L s2a+（a-右 一 3）-3（a+小+3）,o I/U-=-6-3=u.4.u+x 2a+（q 匕 3）3（a+6+3）.1 J13此 时 x4=-j _-=-b-3=a+-综 上 所 述，存 在 b 满 足 题 意,当 b=-a-3 时，x4=a+

14、266=.”上 正 时，/=。+匕 姮 242八 一”分 时，5=+基 2 29.(2010全 国 卷 2 理)(2 2)(本 小 题 满 分 1 2分)设 函 数 f(x)=l-e x.Y(I)证 明：当 x T 时，；)x+(I I)设 当 X 2 0 时，,求 a 的 取 值 范 围.ax+1【命 题 意 图】本 题 主 要 考 查 导 数 的 应 用 和 利 用 导 数 证 明 不 等 式，考 查 考 生 综 合 运 用 知 识 的 能 力 及 分 类 讨 论 的 思 想，考 查 考 生 的 计 算 能 力 及 分 析 问 题、解 决 问 题 的 能 力.【参 考 答 案】I)当 x

15、T 时，幻 2-当 且 仅 当 e“2 i+x.令 g(x)=e-x-l,则 屋(x)=c*一】.当 x 2 0 时 g(x)20，g(x)在 0.+8)是 增 函 数：当 xWO时 g(x)&0.g(x)在(-8,OJ於 诚 函 数.於 g(x)在 x=0处 达 到 坡 小 值 因 而 当 xwR时,g(x)2g(O),即 c21+x,所 以 当 x-l时.”劝 2 后.(II)由 题 设 x 2 O.此 时/(x)为 O.当。-L 则 一 一 0,/(幻 一 一 不 成 立：a ax4*l ax+!为“2 0 时.令 Mx)=W(x)+/(x)-x,则 当 且 仅 当 A(x)WO.O X

16、+1K(x)=af(x)+W x)+八 外-1=o/，(x)-iu/(x)+a r-/(x).(i)当 OW aW；时 由(I)知 x W(x+l)/(x).A(x)W 4(x)-W(x)+a(x+l)/(x)-/(x).=(2 a-I)/(x)0.Mx)在 0.+8)是 诚 函 数.Mx)WA(O)=O,即/(x)W 一 一.ax+1-时 由(i)知/(x).2h(x)=叭 幻-W(x)+ox-/(x)of(x)-u/(x)+(x)-/(x)(2 a-l-a r)/(x).当 0 x 0,所 以 Mx)M0)=0,U P/(,)_ _.a ar+l综 上，a的 取 值 范 隔 是 0,3.2

17、【点 评】导 数 常 作 为 高 考 的 压 轴 题，对 考 生 的 能 力 要 求 非 常 高，它 不 仅 要 求 考 生 牢 固 掌 握 基 础 知 识、基 本 技 能，还 要 求 考 生 具 有 较 强 的 分 析 能 力 和 计 算 能 力.估 计 以 后 对 导 数 的 考 查 力 度 不 会 减 弱。作 为 压 轴 题，主 要 是 涉 及 利 用 导 数 求 最 值 解 决 恒 成 立 问 题，利 用 导 数 证 明 不 等 式 等，常 伴 随 对 参 数 的 讨 论，这 也 是 难 点 之 所 在.10.(2010陕 西 文)21、(本 小 题 满 分 14分)已 知 函 数 f

18、(x)-y/x,g(x)=alnx,aeRc(1)若 曲 线 y=f(x)与 曲 线 y=g(x)相 交，且 在 交 点 处 有 相 同 的 切 线，求 a 的 值 及 该 切 线 的 方 程；(2)设 函 数 h(x)=f(x)-g(x),当 h(x)存 在 最 小 之 时，求 其 最 小 值 e(a)的 解 析 式；(3)对(2)中 的 0(a),证 明：当 ae(0,+8)时，(p(a)0),2jx x由 已 知 得 c4x=alnx,Y-解 德 a=,x=e；2vx x 21.两 条 曲 线 交 点 的 坐 标 为(e；e)切 线 的 斜 率 为 k=(工.1.切 线 的 方 程 为

19、y-e=27(x-e2).(2)由 条 件 知/?(x)=-a l n x(x 0),x-2a2x 土-I.当 a.0 时，令 方 M-0,解 得 x=4cz2,所 以 当 0 x 4 时 h 6r；4/是 方 在(0,+8)上 的 唯 一 极 致 点，且 是 极 小 值 点，从 而 也 是 力 坊 的 最 小 值 点。所 以。(a)=h(4/)=2a-aln4tz2=2H.当 a W 0 时，2?6=(l/2-2a)/2x0,h(x)在(0,+)递 增,无 最 小 值。故 h(x)的 最 小 值。()的 解 析 式 为 2a(lTn2a)(ao)(3)由(2)知(a)=2a(l-ln2a)则

20、“(a)=-21n2a,令“(a)=0 解 得 a=1/2当 00,所 以(。)在(0,1/2)上 递 增 当 al/2时，。(4)0,故 f(力 在(0,+8)单 调 增 加;当 a 一 1时，r(x)V 0,故 f(x)在(0,+8)单 调 减 少;当 一 l a 0；2a(空,+8)忖，f x)f(xi)+4xi.令 g(x)=F(x)+4”,则，/、a+1 Cg(x)=-4-2ax+4x_ 2ax2+4x+a+1x于 是 g(x)W+4 1=(2xT)：wo.X X从 而 g（x）在（0,+8）单 调 减 少，故 g（xi）W g（/2）,即 f（刘）+4 x W F（&）+4用,故

21、对 任 意 xi,及 右（0,+oo）,|/巴）一/（12）|2 4卜-引.12.（2010辽 宁 理）（21）（本 小 题 满 分 12分）已 知 函 数/（x）=（+l）lnx+6fx2+1（I）讨 论 函 数/（x）的 单 调 性；（II）设 0,故/（X）在（0,+8）单 调 增 加;当。工 一 1时，fx)0；x e(、W,+8)时，/(x)4|x,-x2|等 价 于 VX1,x2 e(0,+oo),/(X2)+4X2/(xJ+4 令 g(x)=f(x)+4x,则 g(x)-+2ax+4x 等 价 于 g(x)在(0,+8)单 调 减 少，即 a+2ax+4 0.xu 而-4x l(

22、2X-1)2-4 X2-2(2X-1)2 2/+1 2X2+1 2X2+1故 a 的 取 值 范 围 为(-8,-2.12分 13.(2010全 国 卷 2 文)(21)(本 小 题 满 分 12分)已 知 函 数 f(x)=x3-3ax2+3x+l,(I)设 a=2,求 f(x)的 单 调 期 间；(11)设 f(x)在 区 间(2,3)中 至 少 有 一 个 极 值 点，求 a 的 取 值 范 围。【解 析】本 题 考 查 了 导 数 在 函 数 性 质 中 的 应 用，主 要 考 查 了 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 区 间、极 值 及 函 数 与 方 程 的 知 识。(1)求

23、 出 函 数 的 导 数，由 导 数 大 于 0,可 求 得 增 区 间，由 导 数 小 于 0,可 求 得 减 区 间。(2)求 出 函 数 的 导 数 尸(回，在(2,3)内 有 极 值，即 为 尸(X)在(2,3)内 有 一 个 零 点,即 可 根 据 r(2)r(3)0)。(1)当 a=l时，求/(x)的 单 调 区 间。若“X)在(0,1 上 的 最 大 值 为:，求 a 的 值。【解 析】考 查 函 数 导 数 运 算、利 用 导 数 处 理 函 数 最 值 等 知 识。解：对 函 数 求 导 得：f(x)=-+a,定 义 域 为(0,2)x 2-x(1)单 调 性 的 处 理，通

24、 过 导 数 的 零 点 进 行 穿 线 判 别 符 号 完 成。当 a=l 时，令 _f(x)=0得,L+=0 n：x+2=0 x 2-x x(2-x)当 x e(0,V2),/,(x)0,为 增 区 间；当 x w 诋 2),广 0)0,为 单 调 递 增 区 间。x 2-x最 大 值 在 右 端 点 取 到。/叫=/(I)=4=:。15.(2010安 徽 文)20.(本 小 题 满 分 12分)jr设 函 数/(x)=sinx-cosx+x+l,0 x y,求 函 数/(x)的 单 调 区 间 与 极 值。【命 题 意 图】本 题 考 查 导 数 的 运 算，利 用 导 数 研 究 函

25、数 的 单 调 性 与 极 值 的 方 法，考 查 综 合 应 用 数 学 知 识 解 决 问 题 的 能 力.【解 题 指 导】(1)对 函 数/(x)=sinx cosx+x+1求 导，对 导 函 数 用 辅 助 角 公 式 变 形，利 用 导 数 等 于 0得 极 值 点，通 过 列 表 的 方 法 考 查 极 值 点 的 两 侧 导 数 的 正 负，判 断 区 间 的 单 调 性，求 极 值.解：由 f(x)=sinx-cosx+x+1,0 x2肛 知 fx)=1+V2sin(x+).4令 广(x)=0,从 面 sin(x+5)=等，得 工=万，或 工=当，当 X变 化 时，f-(x)

26、,f(x)变 化 情 况 如 下 表：(0,-TT)-7 T(3 1 7 S f,y)3 n2(y,2寸)尸 0 0+/(:丁)单 调 递 增/1 7+2单 调 递 减 X3单 调 递 增/因 此,由 上 表 知 f(x)的 单 调 递 增 区 间 是(0,兀)与 芋 2禽,单 调 递 增 区 间 是(小 红)，极 小 值 为 f(包)=红，极 大 值 为 f3)=万+22 2 2【思 维 总 结】对 于 函 数 解 答 题，一 般 情 况 下 都 是 利 用 导 数 来 研 究 单 调 性 或 极 值，利 用 导 数 为。得 可 能 的 极 值 点，通 过 列 表 得 每 个 区 间 导 数

27、 的 正 负 判 断 函 数 的 单 调 性，进 而 得 出 极 值 点.16.(2010重 庆 文)(1 9)(本 小 题 满 分 12分),(I)小 问 5 分，(H)小 问 7 分.)已 知 函 数/(%)=。/+%2+笈(其 中 常 数 a,beR),g(x)=/(x)+/(x)是 奇 函 数.(1)求/(刈 的 表 达 式;(I I)讨 论 g(x)的 单 调 性，并 求 g(x)在 区 间 1,2 上 的 最 大 值 和 最 小 值.解:(I)由 题 索)广(*)=3修+2x+6.因 此 式 工)=/(*)+/*(*)=ax1+(3a+i)2+(b+2)M+6.因 为 函 数 或

28、m)是奇 的 数，所 以 以-X)-g),即 对 任 意 实 效 X.有 a(-x)J(3a 4 1)(x)2+(6*,2)(x)b,(ox1+(3a 4 l)x(6+2)无*6 j.从 而 3a+I=0,A n。.解 得 a-y.i=0,因 此“G 的 解 析 表 达 式 为/Q)-#+，.(1)曲(1)知 6(%)=-a+儿 所 以/(力=/+2,令 4 s=0,解 得 所=-，%=G.则 当 X。时 道 6)0,从 而 双 外 在 区 间(-8,-&,1戊,00)上 是 减 函 数;当-G 0,从 而 g(Q 在 区 间-O.A 上 是 增 函 数.山 灼 面 讨 论 知,g G)在 区

29、 间 1,2 上 的 最 大 值 与 最 小 值 只 能 在 X=1,2时 取 得，而&f.fiCV?)乎.以 2)=/.因 此 式 外 在 区 何”,2】上 的 最 大 值 为 J 式 a)-竽，最 小 值 为 八 2)-1.17.(2010 浙 江 文)(21)(本 题 满 分 15 分)已 知 函 数 x)=(x-a)2(a-b)(a,Z?e/?,a#/,()(-1)(31-5).故/2)-I.乂 2）-0.所 以/U）在 以（2.0）处 的 切 战 力 科 为，-2.（II）证 明：囚 为 广 门）*3 c o）（x V 均.j e 26故 a v-r-f4 X K D 笛 的 张 极

30、 例.点 为 不 妫=*h，气 弛.因 为、外 小 足/U）的 考 点.故 盯&,乂 因 炉 宇 2（6-亨 力.上 内 弓 药，J J北 时“.怨 上”空.6依 次 成 等 无 效 利 所 以 存 位 实 收 J 满 足 的 2.H%警 号 18.（2010重 庆 理）（18）（本 小 题 满 分 13分，（I）小 问 5 分，（II）小 问 8 分）已 知 函 数/（x）=匹-+ln（x+l）,其 中 实 数 a*1。（I）若 a=-2,求 曲 线 y=/（x）在 点（0,/（0）处 的 切 线 方 程；（II）若/（x）在 x=l处 取 得 极 值，试 讨 论/（x）的 单 调 性。解

31、C）广*）+*当 a=2 时，r（0）=（：；+告=、,而/（0）=-4，因 此 曲 线，=H）在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为 y-(-)=Y(*-0),R P 7 x-4 y-2=0.(n)因。，-1,由(i)知，(D=7：+%+告=士+.(1+a)1+1 窃 1 2又 因，)在=1处 取 得 极 值，所 以/(D=0,即 一 7T+；=0,解 得 a=-3.此 时，幻=y+ln(x+1),其 定 义 域 为(-1,3)U(3,+8),且/=(X-3)2+X+1 1-#(：+?),由/)=01#*,=1,X,=7,当-1 7 时./，(工)0；当 1 X V 7 且 工 K 3

32、时,/工)0.由 以 上 讨 论 知，/(X)在 区 间(-1,1,7,+8)上 是 增 函 数,在 区 间 1,3),(3,7上 是 减 函 数.19.(2010山 东 文)(21)(本 小 题 满 分 12分)(I已 知 函 数 f(x)=lnx-ax+-1(。G R)x(I)当。=1时，求 曲 线 y=/(x)在 点(2J(2)处 的 切 线 方 程；(II)当 时，讨 论/(x)的 单 调 性.【命 题 意 图】本 小 题 主 要 考 查 导 数 的 概 念、导 数 的 几 何 意 义 和 利 用 导 数 研 究 函 数 性 质 的 能 力,考 查 分 类 讨 论 思 想、数 形 结

33、合 思 想 和 等 价 变 换 思 想。2【解 析】解：(I)当。二 一 1 时，f(x)=nx+x+l,x G(0,+oo),X丫 2 4-X-2所 以/(X)=:Z,XG(0,+8),因 此，/,(2)=1,即 曲 线 y=/(x)在 点(2,/(2)处 的 切 线 斜 率 为 1,.又 f(2)=ln2+2,所 以 曲 线 y=/(x)在 点(2,”2)处 的 切 线 方 程 为 y-(ln2+2)=x-2,即 x-y+ln 2=0.I Cl(II)因 为 f(x)=x.x-ax-1,xbr、r rt/、1 Cl CLX X+1-tZ/八、所 以 f(X)=-Cl H-=-X G(0,4

34、-CO),X X X令 g(x)=收-x+l-a,x w(0,+8),(1)当 a=0 时，g(x)=-x+l,xG(0,+8),所 以，当 xe(0,1)时，g(x)0,此 时/(x)0,函 数 f(x)单 调 递 减；当 X(l,+oo)时，g(x)0,此 时/(x)0,函 数 f(x)单 调 递 增。(2)当 aWO 时，由/(x)=0,B|J ax2-x+1=0,解 得 xt=l,X2=l/a-l 当 a=l/2 时，xi=X2.g(x)NO恒 成 立，此 时/(x)W 0,函 数 f(x)在(0,+)上 单 调 递 减；当 0al0 xW(0,1)时，g(x)0,此 时/(x)0,函

35、 数 f(x)单 调 递 减；xG(L 1/a-l)时,8(力 0,函 数 上)单 调 递 增；x(i/a-l,+8)时，g(x)0,此 时/(x)0,函 数 f(x)单 调 递 减。当 a 0 时，由 于 l/aT0,此 时/(x)0,函 数 f(x)单 调 递 减；x(1,oo)时、g(x)0,函 数 f(x)单 调 递 增。综 上 所 述：当 a g O 时,函 数 f(x)在(0,1)上 单 调 递 减；函 数 f(x)在(1,+8)上 单 调 递 增。当 a=l/2时，函 数 f(x)在(0,+8)上 单 调 递 减 当 0a l/2时,函 数 f(x)在(0,1)上 单 调 递 减

36、；函 数 f(x)在(1,1/a-1)上 单 调 递 增；函 数 f(x)在(1/a-1,+co)上 单 调 递 减。20.(2010北 京 理)(18)(本 小 题 共 13分)已 知 函 数/(x)=ln(l+x)-jc+x2(k NO)。(I)当 人=2时，求 曲 线 y=/(x)在 点(1,/(D)处 的 切 线 方 程；(H)求/(x)的 单 调 区 间。解：(I)当 k=2 时，/(x)=ln(l+x)-x+x2,f(x)=-l+2x1+x3由 于/=ln2,/(1)=-.所 以 曲 线 y=/(x)在 点(1,/(1)处 的 切 线 方 程 为 3y-ln2=(x-1)即 3x-

37、2y+21n2-3=0/TT、r,/、X 3+Z-l),.、(II)f(x)=-，xe(-l,+oo).l+xx当 女=0 时，/(%)=.l+x所 以，在 区 间(-1,0)上,/(%)0；在 区 间(0,+8)上，/(x)0.故/(x)得 单 调 递 增 区 间 是(-1,0)，单 调 递 减 区 间 是(0,+oo).当 0%0；在 区 间(0,)上,k k/V)1 时，/(X)=0,得=二(1,0),=0.l+x k1 一*1-k所 以 没 在 区 间(-1,)和(0,+8)上，f x)0；在 区 间(一,0)上，k k/V)0.(I)若 a=l,求 曲 线 y=f(x)在 点(2,f

38、(2)处 的 切 线 方 程；(II)若 在 区 间 一,上，f(x)0恒 成 立，求 a 的 取 值 范 围.L 2 2【解 析】本 小 题 主 要 考 查 曲 线 的 切 线 方 程、利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 极 值、解 不 等 式 等 基 础 知 识，考 查 运 算 能 力 及 分 类 讨 论 的 思 想 方 法.满 分 12分.3(I)解：当 a=1 时，f(x)=x3 一 一 x2+l,f(2)=3；(X)=3X2-3 X,ff(2)=6.2所 以 曲 线 尸 f(x)在 点(2,f(2)处 的 切 线 方 程 为 y-3=6(x-2),即 y=6x-9.(

39、II)ft?：f(x)=3。/-3x=3x(x-l).令 f(x)=0,解 得 x=0 或 x=a以 下 分 两 种 情 况 讨 论：(1)若 0 a W 2,则 当 x 变 化 时，f(x),f(x)的 变 化 情 况 如 下 表：a 2解 不 等 式 组 得-5a5.因 此 0 a 2,则 0，0等 价 于 _ 2 2.解 不 等 式 组 得 注 a 5或 a-2 22乙 即 0,a.因 此 2a5.综 合(1)和(2),可 知 a 的 取 值 范 围 为 0 a 5.22.(2010天 津 理)(21)(本 小 题 满 分 14分)已 知 函 数/(x)=xcf(xeR)(I)求 函 数

40、/(x)的 单 调 区 间 和 极 值；(II)已 知 函 数 y=g(x)的 图 象 与 函 数 y=/(x)的 图 象 关 于 直 线 x=l对 称，证 明 当 xl 时，f(x)g(x)(III)如 果 片 2，且/(xj=/()，证 明 西+2【解 析】本 小 题 主 要 考 查 导 数 的 应 用，利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 极 值 等 基 础 知 识，考 查 运 算 能 力 及 用 函 数 思 想 分 析 解 决 问 题 的 能 力，满 分 14分(I)解：f(无)=(1 x)e-,令，(x)=0,解 得 x=l当 x 变 化 时，/(x),f(x)的 变

41、化 情 况 如 下 表 X(-00,1)1(1,+8)f(X)+0-f(x)极 大 值 所 以 f(x)在(00)内 是 增 函 数，在(1,+8)内 是 减 函 数。函 数 f(X)在 X=1处 取 得 极 大 值 f(l)且 f(1)=1e(II)证 明:由 题 意 可 知 g(x)=f(2-X),得 g(x)=(2-x)令 F(x)=f(x)-g(x),即 F(x)=xe-x+(x 2)e-2于 是 尸 口)=(xl)(e2A2_1卜-，当 xl 时,2x-20,从 而 e2x-2l0,又 eT0,所 以 F(x)0,从 而 函 数 F(x)在 而,+8)是 增 函 数。又 F(l)=e

42、 e-=0,所 以 xl时,有 F(x)F(l)=0,即 f(x)g(x).(Ill)证 明:(1)若(X1-1)(彳 2-1)=0,由(I)及 f(X)=f&2),则 X=尤 2=1.与 无 尸 2矛 盾。(2)若(-1)(2-1)0,由 及 f(Xj=f 邑),得=与%产 彳 2矛 盾。根 据(1)(2)得(阳 一 1)(Z一 1)0,不 妨 设 占 1.由(H)可 知，f(X2)g(X2),!fllJg(X2)=f(2-X2),所 以 f(X2)f(2-X2),从 而 f(xJ f(2-X2).因 为 X2 l,所 以 2-马 2/，即 玉+超 2.23.(2010福 建 文)22.(本

43、 小 题 满 分 14分)已 知 函 数 f(x)-X?+ax+/?的 图 像 在 点 P(0,f(0)处 的 切 线 方 程 为 y=3x-23(1)求 实 数 a,b的 值；(H)设 g 6)=&)+匕 是 2,+8上 的 增 函 数。X 一 1(i)求 实 数 m 的 最 大 值；(ii)当 m 取 最 大 值 时，是 否 存 在 点 Q,使 得 过 点 Q 的 直 线 若 能 与 曲 线 y=g(x)围 成 两 个 封 闭 图 形，则 这 两 个 封 闭 图 形 的 面 积 总 相 等?若 存 在，求 出 点 Q 的 坐 标；若 不 存 在，说 明 理 由。22.本 小 题 主 要 考

44、 查 函 数、导 数 罐 基 础 知 识,考 查 推 理 论 证 能 力、抽 象 概 括 能 力、运 算 求 解 能 力，考 杳 函 数 与 防 火 思 想、数 形 结 合 思 想、化 归 与 转 化 思 想、分 类 与 僵 合 思 想.满 分 14分.解 法 一：r/(0)=3.7=3,(D 由/(x)=Y-2 x+a 及 题 设 得 二,；、即、/(0)=-2.6=-2.口)rhg(x)=x3-x1+3x-2+-3 x-1得 g(x)=x2_2x+3-式 了.g(x)是 2+8)上 的 增 雨 故，二 旦(.丫)2 0 4 2-8)上 怕 成 工即/-2 x+3-m(x-1)2 0 6 2

45、.+x)|-恒 成 立.设(x-1)-,/x e 2.-x r e,即 不 等 式，+2 学 之 0在 1 田)卜 恒 成 仁“i m S 0 时,设 j=r+2 2 0 在 1+8)上 忤 成 立.11 in 0 11,设 J-,t l.+x).因 为 1，：=1-M 0,所 以 函 数 J=+2 在 L+X 用-学 时 通 博.r t因 此 丁 皿=3-ni.*i 0.3-w 0.即 7 W 3又 ni 0,故 0 方 7 3.综 hr m 的 最 大 值 为 3.ii)1 1 i)得 g(x)=x?+3 x-2+=-J：图 象 关 于 点。(1二)成 中 心 对 称 3 x-1 3证 明

46、 如 下：(x)=-x3-加 2+3 x-2+-3 x-11 4 a 3/.g(2 _ x)=_&-x)3-(2-x)+3(2-x)-2+-3 2-x-l这 也 就 表 明.存 在 点 0 Q：)，使 得 过 点 Q 的 直 线 若 能 与 函 灵 敏 g(x)的 图 象 闱 成 两 个 封 闭 图 形，则 这 两 个 封 闭 图 形 的 面 枳 总 相 等。24.(2010全 国 卷 1理)(20)(本 小 题 满 分 12分)已 知 函 数/(幻=(1+1)111%-冗+1.(I)若 灯。)尤 2+工+1,求。的 取 值 范 围;(I I)证 明：(工 一 1)/(%)2 0.分 析：本

47、小 题 主 要 考 查 函 数、导 数、不 等 式 证 明 等 知 识，通 过 运 用 导 致 知 识 解 决 函 数、不 等 式 问 题,考 查 了 考 生 综 合 运 用 数 学 知 识 解 决 问 题 的 能 力 以 及 计 算 能 力，同 时 也 考 查 了 函 数 与 方 程 思 想、化 归 与 转 化 思 想.Y 1 1 1解：(I)/r(x)=-+lnx-l=lnx+,(x 0)，.;切(x)=xlnx+l.由 切(x)Inx-x,x x4-(x)=lnx-x,则 g(x)=L-1,当 0(工 0；当 工 1 时，g(x)0,.,.工=1是 最 大 x值 点，g(x)2=g(l)

48、=T，Q 上 一 1，的 取 值 范 围 为 一 1，+)。(口)由(I(x)=lnx-x(l)=-l,lnx-x4-l0.(&：充 分 利 用 第(I)是 快 速 解 决 口)的 关 维)当 0 工 1 时，f(x)=(x+l)lnx-x+1=xlnx+lnx-x+1 0X X综 上，(x-l)/(x)0.25.(2010湖 北 文)21.(本 小 题 满 分 14分)1 a设 函 数/(x)=x3-x2+bx+c,其 中 a 0,曲 线 y=/(x)在 点 P(0,7(0)处 的 切 线 方 程 为 y=l(I)确 定 b、c 的 值(II)设 曲 线 y=/(x)在 点(Xp/(x,)及

49、 lx2,f(x2)处 的 切 线 都 过 点(0,2)证 明:当 x尸 X?时，尸(鸟)(III)若 过 点(0,2)可 作 曲 线 丁=/(x)的 三 条 不 同 切 线，求 a 的 取 值 范 围。W；1)由/(x A；x-g/+M+c n h/(O)=tf.r(x)=/or人 r(O”b.又 由 曲 或 y=/(x)在 点(O./CO)处 的 切 我 方 程 为 y=1,得/(。)=I,/(0)=0.故 b，；0.c I,(I I)+f x-a x.由 于 点 a 处 的 切 线 方 稗 为 而 点(0,2)在 切 线 上,所 以 2-/a)=/(o(T),化 演 得。Y 八=0,则

50、满 足 的 方 程 为 2/，八 1=0.3 2 3 2下 面 用 反 证 法 证 明.假 设 八 天)=八 七)，由 于 曲 或 y=/。)在 点(小 及(与,/(小 处 的 切 战 都 过 点(0,2),则 下 列 等 式 成 立：26.(2010湖 南 理)20.(本 小 题 满 分 13分)已 知 函 数/(x)=/+bx+c(b,c R),对 任 意 的 X R,恒 有/(x)/(x)o(I)证 明：当 x N O 时,/(x)+1-1于 是 C O 1,且 c 22即 W b，因 此 2c b=c+(c b)0/故 当 K N 的，W(x+c)2-/(x)=(2 c-d)x+c(c