三年高考两年模拟——数学空间向量在立体几何中的应用.pdf

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1、第 三 节 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 第 一 部 分 三 年 高 考 荟 萃 2010年 高 考 题 一、选 择 题 1.(2010全 国 卷 2 理)(11)与 正 方 体 A B C。A 4 G o 的 三 条 棱 A B、C C.凡 9 所 在 直 线 的 距 离 相 等 的 点(A)有 且 只 有 1个(B)有 且 只 有 2 个(C)有 且 只 有 3 个(D)有 无 数 个【答 案】D【解 析】直 线 BJ)上 取 一 点，分 别 作 P。：，P。：，P0：垂 直 于&于 0：,。；，。则 P0：JL 平 面 A C，P0：_L 平 面 B：C,P0：1

2、平 面 A；B,0；，0：分 别 作 一 a.%0 里 一 C C 1 G Q-铝,垂 足 分 别 为 M,N,Q,连 PM,PN,PQ,由 三 垂 线 定 理 可 得，PN AA=PM C C1；P Q 1 A B,由 于 正 方 体 中 各 个 表 面、对 等 角 全 等，所 以 P0：=P0；=P0:,O,.V=O J/=q。，PM=PN=PQ,即 P 到 三 条 棱 AB、CG、AD.所 在 直 线 的 距 离 相 等 所 以 有 无 穷 多 点 满 足 条 件，故 选 D.2.(2010辽 宁 理)(12)(12)有 四 根 长 都 为 2 的 直 铁 条，若 再 选 两 根 长 都

3、 为 a 的 直 铁 条，使 这 六 根 铁 条 端 点 处 相 连 能 够 焊 接 成 一 个 三 棱 锥 形 的 铁 架，则 a 的 取 值 范 围 是(A)(0,V6+V2)(B)(1,272)(C)(y/b y/l,yjb+V2)(D)(0,25/2)【答 案】A【命 题 立 意】本 题 考 查 了 学 生 的 空 间 想 象 能 力 以 及 灵 活 运 用 知 识 解 决 数 学 问 题 的 能 力。【解 析】根 据 条 件，四 根 长 为 2 的 直 铁 条 与 两 根 长 为 a 的 直 铁 条 要 组 成 三 棱 镜 形 的 铁 架，有 以 下 两 种 情 况：(1)地 面 是

4、 边 长 为 2 的 正 三 角 形，三 条 侧 棱 长 为 2,a,a,如 图，止 匕 时 a 可 以 取 最 大 值，可 知 AD=JJ,SD=V2-1 1 则 有 可 G，即 cr 8+43=(V6+,即 有 a5/6+5/2A*a B(2)构 成 三 棱 锥 的 两 条 对 角 线 长 为 a,其 他 各 边 长 为 2,如 图 所 示，此 时 a0;综 上 分 析 可 知 aG(0,J6+V2)3.(2010全 国 卷 2 文)(11)与 正 方 体 ABCDA B C D 的 三 条 棱 AB、CC A D 所 在 直 线 的 距 离 相 等 的 点(A)有 且 只 有 1个(B)

5、有 且 只 有 2 个(C)有 且 只 有 3 个(D)有 无 数 个【答 案】D【解 析】：本 题 考 查 了 空 间 想 象 能 力 到 三 条 两 垂 直 的 直 线 距 离 相 等 的 点 在 以 三 条 直 线 为 轴，以 正 方 体 边 长 为 半 径 的 圆 柱 面 上,三 个 圆 柱 面 有 无 数 个 交 点，4.(2010全 国 卷 2 文)(8)已 知 三 棱 锥 S-A B C 中，底 面 A B C 为 边 长 等 于 2 的 等 边 三 角 形，S A 垂 直 于 底 面 ABC,SA=3,那 么 直 线 A 8 与 平 面 S B C 所 成 角 的 正 弦 值

6、为 也【答 案】D【解 析】：本 题 考 查 了 立 体 几 何 的 线 与 面、面 与 面 位 置 关 系 及 直 线 与 平 面 所 成 角。过 A 作 AE垂 直 于 BC交 BC于 E,连 结 SE,过 A 作 AF垂 直 于 SE交 S KSE 于 F,连 BF,.正 三 角 形 ABC,E 为 BC 中 点，Y BCAE,SABC,/.:.BCAF,AFSE,AF_L面 SBC,V ZABF为 直 线 AB与 面 SBC所 成 角，由 正 三 角 形 边 长 3,二 3 3n-sin ZABF=-AS=3,SE=23,AF=2,45.(2010全 国 卷 1文)(9)正 方 体 A

7、 B C。-4 3 c A 中，与 平 面 A C。所 成 角 的 余 弦 值 为(A)(B)(C)-(D)3 3 3 3【答 案】D【命 题 意 图】本 小 题 主 要 考 查 正 方 体 的 性 质、直 线 与 平 面 所 成 的 角、点 到 平 面 的 距 离 的 求 法,利 用 等 体 积 转 化 求 出 D 到 平 面 AC。的 距 离 是 解 决 本 题 的 关 键 所 在，这 体 现.【解 析 1】因 为 BBM/DDi,所 以 B4 与 平 面 A C R 所 成 角 和 D 与 平 面 AC A 所 成 角 相 等，设 D0，平 面 AC A,由 等 体 积 法 得 yen=

8、%-A 8，即 3.设 DDi=a,贝 iJSgco,=Aai4O|Sin60=1 x(也 a y x=5 m c d=1 AZJUCD=-a2.2 2 2 2 2 2所 以 D O=,记 D D|与 平 面 AC A 所 成 角 为 6,则 c o,后 2 3sin 6-,所 以 cos 0-.D D 3 3【解 析 2设 上 下 底 面 的 中 心 分 别 为。1,0；Q O 与 平 面 ACDX所 成 角 就 是 6片 与 平 面 ACD,所 成 角，cos N OQ D=1/W=ODX 叵 36.(2010全 国 卷 1理)(12)己 知 在 半 径 为 2 的 球 面 上 有 A、B

9、、C、D 四 点，若 AB=CD=2,则 四 面 体 ABCD的 体 积 的 最 大 值 为,、2 6,、46，、c%，、8 G(A)(B)(0 2V3(D)3 3 3分 析：本 小 虺 主 要 考 杳 几 何 体 的 体 枳 的 计 算、球 的 性 质,异 面 直 线 的 距 离，/y 通 过 球 这 个 载 体 考 杳 考 生 的 空 闾 想 象 能 力 及 推 理 运 算 能 力.k/解：当 异 面 宜 线 与 C D 间 距 离 居 大，且 4 3,8 时，四 面 体 ABCD的 体 枳 A c X.大.分 别 取 4 8 与 C D 的 中 点 E.尸，连 络 E F,此 时 球 心

10、。在 线 段 EF 上，二 三 却 且 EP=2 6(入、=|AB-$皿=,2 2 显 苧.C7.(2010全 国 卷 1 理)(7)正 方 体 A B C D-A 4 G 2 中，与 平 面 力。0 所 成 角 的 余 弦 值 为(A)(B)(C)-(D)3 3 3 3分 析：本 小 题 主 要 考 查 正 方 体 的 性 质、直 线 与 平 面 所 成 的 角、点 到 平 面 的 距 离 的 求 法.突 出 转 化 思 想 的 运 用.解 法 一.8用。9，即 求/)口 与 面/C 9 所 成 角，易 知 N D Q O 即 为 所 求，8 S/%。=工=4.解 法 二：也 可 利 用 等

11、 体 积 转 化，求 出 D 到 平 面/。口 的 距 离 d=g a 求 解.故 选 D.8.(2010四 川 文)(12)半 径 为 H 的 球。的 直 径 A 8 垂 直 于 平 面 a,垂 足 为 8,ABCD是 平 面 a 内 边 长 为 R 的 正 三 角 形，线 段 A C、A。分 别 与 A球 面 交 于 点 M、N,那 么 M、N 两 点 间 的 球 面 距 离 是 1718-兀 R34()一 兀 R15【答 案】AcosZBAC连 结 0M,则 而#为 等 腰 三 角 形 4 4 2A0cosZ BAC=一 R,同 理 4 七 二 一 R,且 M N/C D而 AC=y5

12、R,CD=R故 就 CD=AN-.AC4n MN=_R,5连 结。从 ON,有 OM=ON=R于 是 cosNMON=O M2+ON2-M N22 0 M s N172517所 以 秋 N 两 点 间 的 球 面 距 离 是 Harccos一 25二、填 空 题 1.（2010江 西 理）16.如 图，在 三 棱 锥 O A B C中，三 条 棱 0 4,0 B,0 C 两 两 垂 直，且 O 4 0 8 0 C,分 别 经 过 三 条 棱 OA,O B,0 C 作 一 个 截 面 平 分 三 棱 锥 的 体 积，截 面 面 积 依 次 为 邑，S3，则 H,S2,S3的 大 小 关 系 为【

13、答 案】S.S2 S,【解 析】考 查 立 体 图 形 的 空 间 感 和 数 学 知 识 的 运 用 能 力，通 过 补 形，借 助 长 方 体 验 证 结 论,特 殊 化，令 边 长 为 1,2,3 得 邑 5 2=/（X）,则/（x）的 最 小 正 周 期 为;U p-A xy=fx）在 其 两 个 相 邻 零 点 间 的 图 像 与 x 轴 所 围 区 域 的 面 积 为 0【答 案】4%+1说 明：“正 方 形 PABC沿 x 轴 滚 动”包 含 沿 x 轴 正 方 向 和 沿 x 轴 负 方 向 滚 动。沿 x 轴 正 方 向 滚 动 是 指 以 顶 点 A 为 中 心 顺 时 针

14、 旋 转，当 顶 点 B 落 在 x 轴 上 时，再 以 顶 点 B 为 中 心 顺 时 针 旋 转,如 此 继 续，类 似 地，正 方 形 PABC可 以 沿 着 x 轴 负 方 向 滚 动。3.（2010北 京 理）（14）如 图 放 置 的 边 长 为 1 的 正 方 形 PABC沿 x轴 滚 动。设 顶 点 p（x,y）的 轨 迹 方 程 是 y=/（x）,则 f（x）的 最 小 正 周 期 为；y=f（x）在 其 两 个 相 邻 零 点 间 的 图像 与 X 轴 所 围 区 域 的 面 积 为【答 案】4 万+1说 明：“正 方 形 处 比 1沿 轴 滚 动”包 括 沿 力 轴 正

15、方 向 和 沿 力 轴 负 方 向 滚 动。沿 力 轴 正 方 向 滚 动 指 的 是 先 以 顶 点 A 为 中 心 顺 时 针 旋 转，当 顶 点 6 落 在 力 轴 上 时，再 以 顶 点 B 为 中 心 顺 时 针 旋 转，如 此 继 续。类 似 地，正 方 形 为 回 可 以 沿/轴 负 方 向 滚 动。4.（2010四 川 文）（15）如 图，二 面 角 1 一/一 4 的 大 小 是 60,线 段 A B u a.Bel,A 8 与/所 成 的 角 为 30.则 A B 与 平 面 夕 所 成 的 角 的 正 弦 值 是.【答 案】4【解 析】过 点 4 作 平 面 的 垂 线，

16、垂 足 为 C,在 内 过 作/的 垂 线.垂 足 为 连 结 和，有 三 垂 线 定 理 可 知 故 为 二 面 角 1 一/一/?的 平 面 角，为 60又 由 已 知，/劭=30连 结 纲 则，为 A 8 与 平 面 夕 所 成 的 角 设 力 片 2,则=G，=1AB=A Dsin 30=4sinAABC=A C _yf3AB-V5.（2010湖 北 文 数）14.圆 柱 形 容 器 内 盛 有 高 度 为 3cm的 水，若 放 入 三 个 相 同 的 珠（球 的 半 么 与 圆 柱 的 底 面 半 径 相 同）后，水 恰 好 淹 没 最 上 面 的 球（如 图 所 示），则 球 的

17、半 径 是 _cm.【答 案】44【解 析】设 球 半 径 为 r,则 由 3唳+V水=%可 得 3 X%/+乃，乂 8=乃/*6乙 解 得 r=4.6.（2010湖 南 理 数）13.图 3 中 的 三 个 直 角 三 角 形 是 一 个 体 积 为 20cm3的 几 何 体 的 三 视 图,则=c m.【解 析】由 三 视 图 可 知 该 几 何 体 为 三 棱 锥，此 三 棱 锥 的 底 面 为 直 角 三 角 形，直 角 边 长 分 别 为 5cm、6cm：三 棱 锥 的 高 为 hem：”则 三 棱 锥 的 体 积 为 V=g；5 6吆=2 0,解 得 A=4（cw）p【命 题 意

18、图】本 题 考 查 蔺 星 几 何 体 的 三 视 图，三 棱 锥 的 体 积，考 察 空 间 想 象 能 力，属 中 档 题，7.（2010湖 北 理 数）13.圆 柱 形 容 器 内 部 盛 有 高 度 为 8cm的 水，若 放 入 三 个 相 同 的 球（球 的 半 径 与 圆 柱 的 底 面 半 径 相 同）后，水 恰 好 淹 没 最 上 面 的 球（如 图 所 示），则 球 的 半 径 是 cm。【答 案】44 解 析】设 球 半 径 为 r,则 由 3%+匕=%可 得 3 x-r3+r x8=兀，x 6r,解 得 r=4.8.（2010福 建 理 数）12.若 一 个 底 面 是

19、正 三 角 形 的 三 棱 柱 的 正 视 图 如 图 所 示,则 其 表 面 积 等 于 第 12题 图【答 案】6+2行【解 析】由 正 视 图 知 I：三 棱 柱 是 以 底 面 边 长 为 2,高 为 1 的 正 三 棱 柱，所 以 底 面 积 为 2x x4=2V3,侧 面 积 为 3x2x1=6,所 以 其 表 面 积 为 6+2 6。4【命 题 意 图】本 题 考 查 立 体 几 何 中 的 三 视 图，考 查 同 学 们 识 图 的 能 力、空 间 想 象 能 力 等 基 本 能 力。三、解 答 题 1.（2010辽 宁 文）（19）（本 小 题 满 分 12分）如 图，棱 柱

20、 A B C 4 4 的 侧 面 BCC,4 是 菱 形，4 C，4 3（I）证 明：平 面 A B C J_平 面 A 3 G；（II）设。是 4 c 上 的 点，且 4 8 平 面 BC D,求 4 O：z）G 的 值.解：（I）因 为 侧 面 BCC冏 是 菱 形，所 以 用 C _ L 8 G又 已 知 5 c _L A B 且 A B c B C=B所 又 用 C_L平 面 A B C,又 用 C u 平 面 AB,所 以 平 面 A81C_L平 面 ABG.（II）设 BG交 B 于 点 E,连 结 DE,则 DE是 平 面 A B C 与 平 面 BD的 交 线，因 为 AB 平

21、 面 BiCD,所 以 A.B/DE.又 E 是 B G 的 中 点，所 以 D 为 A C 的 中 点.即 AiD：DCi=l.2.（2010辽 宁 理）（19）（本 小 题 满 分 12分）已 知 三 棱 锥 P-ABC 中，PA1ABC,ABXAC,PA=AC=%AB,N为 AB上 一 点，AB=4AN,M,S 分 别 为 PB,BC的 中 点.（I）证 明：CMSN；（II）求 SN与 平 面 CMN所 成 角 的 大 小.证 明：图。设 PA=1,以 A 为 原 点，射 线 AB,AC,AP分 别 为 x,y,z 轴 正 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 3.（2010全

22、国 卷 2 文）（19）（本 小 题 满 分 12分）则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M4 分 1 1 1(I)C M=(1,-1,-),SN=0),1 1因 为 C M S N=+0=0,2 2所 以 CMLSN 6 分 1(ID/VC=(-,l,0),设(x,y,z)为 平 面 CMN的 一 个 法 向 量，x-y+；z=0,则 2 令 冗=2,得 a=(2,1,-2).x+y=0.因 为 COSa,S/V|=-y=-|=y-所 以 SN与 片 面 CMN所 成 角 为 45。1,0,),N(,0,0),S(1,0).2 2 29 分 12分,如 图，直 三 棱

23、柱 ABC-A|B|C|中，AC=BC,AA,=AB,D 为 BB1的 中 点，E 为 AB 上 的 一 点,AE=3 EB,（I）证 明：DE为 异 面 直 线 AB,与 CD的 公 垂 线；（II）设 异 面 直 线 AB】与 CD的 夹 角 为 45,求 二 面 角 A-AC1-B1的 大 小【解 析】本 题 考 查 了 立 体 几 何 中 直 线 与 平 面、平 面 与 平 面 及 异 面 直 线 所 成 角 与 二 面 角 的 基 础 知 识。（1）要 证 明 DE为 AB1与 CD的 公 垂 线，即 证 明 DE与 它 们 都 垂 直，由 AE=3EB1,有 DE与 BA1平 行，

24、由 A1ABB1为 正 方 形，可 证 得，证 明 CD与 DE垂 直，取 AB中 点 F。连 结 DF、FC,证 明 DE与 平 面 CFD垂 直 即 可 证 明 DE与 CD垂 直。（2）由 条 件 将 异 面 直 线 ABI,CD所 成 角 找 出 即 为/FDC,设 出 AB连 长，求 出 所 有 能 求 出 的 边 长，再 作 出 二 面 角 的 平 面 角，根 据 所 求 的 边 长 可 通 过 解 三 角 形 求 得。4.（2010江 西 理）2 0.（本 小 题 满 分 12分）如 图 aBCD与 aMCD都 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，平 面 MCD_L平 面 B

25、CD,AB J_ 平 面 BCD,A B=273（1）求 点 A 到 平 面 MBC的 距 离；（2）求 平 面 ACM与 平 面 BCD所 成 二 面 角 的 正 弦 值。【解 析】本 题 以 图 形 拼 折 为 载 体 主 要 考 查 了 考 查 立 体 图 形 J/的 空 间 感、点 到 直 线 的 距 离、二 面 角、空 间 向 量、二 面 角 平 面 角 的 判 断 有 关 知 识，同 时 也 考 查 了 空 间 想 象 能 力 和 推 理 能 力 解 法 一：（1）取 切 中 点。，连 阳 OM,则/_ L5 以 效 又 平 面 平 面 B C D,则 加，平 面 B C D,所

26、以 MO A/AB,/、B、0、”共 面.延 长/、80相 交 于 笈 则/仍 就 是 4/X X与 平 面 6（力 所 成 的 角.吩 航 t J L 版?46,MO 面 ABC,M、0 至 U/平 面 ABC的 距 离 相 等，作 0HLBC于 H,连 MH,则 MHBC,求 得：0H=0Csin60=,MH=,利 用 体 积 相 等 得：/OF C匕-M8C=V M-ABC5(2)四 是 平 面 A C M 与 平 面 B C O的 交 线.由(1)知，。是 跖 的 中 点，则 以 功 是 菱 形.作 BFEC于 F,连 M AFLEC,N4照 就 是 二 面 角 止 吩 6 的 平 面

27、 角，设 为 夕 因 为/6 层 120,所 以/阅 三 60.BF=B C s in 6 0n=V 3，ta n=2,sin=-BF 5所 以，所 求 二 面 角 的 正 弦 值 是 上 5【点 评】传 统 方 法 在 处 理 时 要 注 意 到 辅 助 线 的 处 理，一 般 采 用 射 影、垂 线、平 行 线 等 特 殊 位 置 的 元 素 解 决 解 法 二：取 制 中 点。，连 OB,0M,则 OBLCD,OMLCD,又 平 面 MCO _ 1 平 面 BCD,贝 IJ加 LL平 面 8 c o.以。为 原 点，直 线。C、80,犷 为 x 轴，y 轴，z轴，建 立 空 间 直 角

28、坐 标 系 如 图.0B=0M=6,则 各 点 坐 标 分 别 为 0(0,0,0),/3).n.C M-x+也 z=0设 平 面/C V的 法 向 量 为 勺=(x,y,z),由 _ 得 彳 L r-.解 得 _ L CA x J 3 y+2J3z=0zx=&,y=z,取 I=(G,1,1).又 平 面 颜 的 法 向 量 为=(0,0,1)，则 _ _ n,n 1cos=r|=j=设 所 求 二 面 角 为 6,贝 U sin 8=2亚【点 评】向 量 方 法 作 为 沟 通 代 数 和 几 何 的 工 具 在 考 察 中 越 来 越 常 见，此 类 方 法 的 要 点 在 于 建 立 恰

29、 当 的 坐 标 系，便 于 计 算，位 置 关 系 明 确，以 计 算 代 替 分 析，起 到 简 化 的 作 用，但 计 算 必 须 慎 之 又 慎 5.（2010重 庆 文）（20）（本 小 题 满 分 12分，（I）小 问 5分，（II）小 问 7分.）如 题（20）图，四 棱 锥 P ABC。中，底 面 A B C D 为 矩 形，PA_L底 面 A3CO,PA=AB=&,点 E 是 棱 P 8 的 中 点.（I）证 明：AE_L平 面 尸 B C；（II）若 AO=1,求 二 面 角 6 EC。的 平 面 角 的 余 弦 值.K 9 2 八）解 法 一：（1）证 明:如 答（20）

30、图 1,由 P4 J.底 面.48CD,得 P4 J.碗.又 4=4 8,故 为 等 版 直 角 三 角 形，而 点 E是 棱 P 8的 中 点，所 以 X PB.由 随 苣 知 乂 是 PB在 面/IBC0内 的 射 影.由 三 垂 线 定 理 得 BC 1 PB,从 而 BC X 平 面 PAB,故 HC LAE.18 1 PB,AE 1 6C,所 以 dE 平 而 PBC.答(2 0)图 1(I I)解：由(1)知 8C _ L 平 面 n itt,又 A 0 8C,用 40_L 平 面 AM8,故 4。1 AE.在 RtAP/lB 中,PA=AB=区 AE=:黯+48=1.4 4 a从

31、 而 在 R Q D 4E中,DE=-fk科+心 立.在 HldCbE中,CE=4 产 二 双/L 又 C0=&,所 以 A C E D 为 等 边 三 附 形.取 C E 的 中 点 凡 连 接 OF,则 DF 1 CE.因 8E=8C=I,旦 8C j.BE.Wl A E B C 为 等 腹 直 角 三 角 形，连 接，则 BF 1 CE,所 以 4 8F。为 所 求 的 二 面 角 的 平 面 角.山|而|1,秘。(0,1.0)(准,1,0).连 接 8”,在 中.0尸=CD r in 半=弟 尸=yC D p+BF-BD&所 以 2 勿 3 故 二 面 角 R-E C-D 的 平 面

32、角 的 余 弦 值 为-亨.解 法 二：(1)证 明:如 答(2 0)图 2,以 d 为 坐 标 原 点，射 线 AB、A、4P：立 空 间 直 角 坐 标 系 4设(0,%0)，jB(VT,0,0),C(7I,a,0),打 0.0.而,停,0.哥 于 是 茂-停 O.g).就-(O,a.O).PC=(&,%-g),则 送 就 0,需 圮 0,所 以 AE 1 平 面 P8c.(1 1)解：设 平 间 0EC的 法 向 盘 为 小，的(1)知,4K_L平 而 HEC,故 可 取 就.(冬，鼻.设 平 刚。C的 法 向 编(的，力,，则 如 比.0,rtj,於*0.:=与.即=JBC+CD1=/

33、.分 别 为*轴、了 轴”轴 正 半 轴.建 答(20)092从 而 流=(&.0.0),M-保-嘲，故 rX j 0,行 力 所 以。=0.x,2.2*一 力+j5!-0.可 取 力=1,则%=(0,1,。).从 而 cos d,%=-j-/I nl I*所 以 二 而 加 B-EC-D 的 平 面 角 的 余 弦 值 为 6.(2010浙 江 文)(20)(本 题 满 分 14分)如 图,在 平 行 四 边 形 ABCD 中，AB=2BC,ZABC=120。E 为 线 段 AB的 中 点，将 4ADE沿 直 线 DE翻 折 成 AA DE,使 平 面 A DEL平 面 BCD,F 为 线

34、段 A，C 的 中 点。（I）求 证：BF 平 面 A DE；（II）设 M 为 线 段 DE的 中 点，求 直 线 FM与 平 面 A DE所 成 角 的 余 弦 值。（|冲 点 c.汽 端 C F.C R由 条 件 Yfej.4.R/（：n.HE 所 14 K/R E.tC HE.月 肥 兴/V/沙 C故 W力 形 砥 K M h 四 边 影/断 以 H 救./-jf J i：ADE.BKZ f Ai A/2 J）寿,%l*，牙 面*”（口：第 C 河 边 形 对 归 中 武 巩-a.捌 A/=m=2 a.A=A=*%4 C.闪 力 Z.AC=在 八 欣：中.可 柑（：=.（A A，：中

35、I W，：=!.（r，/）,:中/9 5 E 3 欣.所 以*：X.任 正 为 E V A.ffiW 4 V I.（.町 T U 7*广 甲 阿 BCD.AM I CE.的 e 点 v.n tA所 N F AM内 为 交“r所 以 NF.平 面 1.则 4 FW.V 为 C M r v 一*0 所 成 你（必 卜“，中.、/=g。.M，Y=%FM s,所 I1“娘 F.W*7 f（*i 所 成 角 的 余 弦 仇 为!7.（2010重 庆 理）（19）（本 小 题 满 分 12分，（I）小 问 5 分，（II）小 问 7 分）如 题（19）图，四 棱 锥 P-ABCD中，底 面 ABCD为 矩

36、 形，PAJL底 面 ABCD,PA=AB=J，点 E是 棱 PB的 中 点。（I）求 直 线 AD与 平 面 PBC的 距 离；（II）若 A D=G，求 二 面 角 A-EC-D的 平 面 角 的 余 弦 值。（I）如 答（19）图 1,在 矩 形 4B CO中*0 8 C,从 而 4 0 平 面 PBC,故 直 线 4。与 平 面 PBC的 距 离 为 点 A到 平 面 P8C的 距 离.因 PA J.底 面 4BCZ）,故 P4 J.4 B,由 P4=4 8 知 H4B 为 等 腰 直 角 三 角 形，又 点 是 棱 P 8的 中 点，故 4E 1 PB.又 在 矩 形 4 B C 0

37、中，BC 1 4 8,而 4 8是 PB在 底 面 4 8 c o内 的 射 影，由 三 垂 线 定 理 得 8C J.P B,从 而 8C 1 平 面 PAB,故 BC 1 AE.从 而 4E 1 平 面 P 8 C,故 4 E之 长 即 为 直 线 4。与 平 面 P B C 的 距 离.答（19）图 1在 Rt APAB 中,PA=AB=历，所 以 AE=y P B=y/P A2+AB1=4.（U）过 点。作。尸！CE,交 CE于 尸，过 点 P作 FG1.C,交 力 C于 C,则 乙 0%为 所 求 的 面 角 的 平 面 角.由（I）知 8C _L平 面 PAB,又 40 BC,得

38、40 1 平 面 PAB,故 A D 上 AE,从 DE=/AE2+AD1=网.在 R tC BE中,C E=6.由 CO=声，所 以 COE为 等 边 三 角 形，故/为 C E的 中 点，且。尸=CD-sin-=挈.因 为 4E 1 平 面 P 8C,故 4E 1 C E,又 FG 1 CE,知 尸 G幺;AE,从 而 FG=g，且 C点/乙 为 4 c 的 中 点.连 接 0 C,则 在 RtZ4OC 中,DC=9 c=；J 2+CD5=之.gcp.n r r D产+F-DC2 R所 以 cos DFG=2.”FG=3-解 法 二：（I）如 答（19）图 2,以 4 为 坐 标 原 点，

39、射 线 48、4。、4/分 别 为 x轴、y轴、z轴 正 半 轴,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 4x y z.设 D（0,a,0），则 8（历,0,0）,C（而,a,0）,（0,0,笈）,七（亨,0,纵 因 此 m=（冷,0,纵 就=（0,a,0）,元=（历,a,-历），答（19）图 2则 於 觉=0,求 卮=0,所 以 4E 1 平 面 P8C.又 由 4 0 8 c 知 4 0 平 面 P 8C,故 直 线 AD与 平 面 PBC的 距 离 为 点 A到 平 面 PBC的 距 离，即 为|n|=6.（n）因 为 出|=万，则。（0后 0）,c（而 收 0）.设 平 面 A C的 法

40、向 盘 名 二（航，九，%i）,则 叫 祀=0,%彳=0.辰、+=o.又 能=（国 6,0）,n=像 o,例,故 冬=0,所 以 力=-任 I，Z=可 取 与=-&,则 ni=(-&2,&).设 平 面 0 C的 法 向 量%=(七,力 用)，则 叫 比=0,叫 仍=0.又 觉=(历,0,0),励=(*有 闱 澈 x2=0,冬 2-A rj+冬 2=0.所 以 孙=。，Z?=可 取 力=1,则/=(0,1,6).1 叫 R故 co s=瓦 卜|叫|=7-所 以 二 面 角 4-E C-0 的 平 面 角 的 余 弦 值 为 4.8.(2010北 京 文)(18)(本 小 题 共 14分)设 定

41、 函 数/(幻=/丁+法 2+5+4 S 0),且 方 程/(9x=0 的 两 个 根 分 别 为 1,4。(I)当 a=3且 曲 线 y=/(x)过 原 点 时，求/(x)的 解 析 式；(II)若/(X)在(-8,+8)无 极 值 点，求 a 的 取 值 范 围。解：由/(%)+/?/+cx+d 得 fx)=ax2+2bx+c,。+2b+c 9=0因 为/(外 一 9九=以 2+2区+。-9x=0 的 两 个 根 分 别 为 1,4,所 以 16a+8Z?+c-36=0(I)当。=3 时，又 由(*)式 得 2。+c-6=08b+c+12=0解 得=3,c=12又 因 为 曲 线 y=/(

42、x)过 原 点，所 以 d=0故/（X）=-3*2+12%(I I)由 于 a 0,所 以“/(x)=+/?/+cx+d 在(-8,+co)内 无 极 值 点”等 价 于/(%)=以？+2 X+C2 0 在(-8,+OQ)内 恒 成 立”。由(*)式 得 2/?=9-5。,。=4。又=(2b)2-4ac=9(a-l)(a-9)a 0解 A=9(a l)(a 9)0即 a 的 取 值 范 围 1,9得”1,99.(2010北 京 理)(16)(本 小 题 共 14分)如 图，正 方 形 4及 力 和 四 边 形/呼 所 在 的 平 面 互 相 垂 直，CELAC,EF AC,A B C E=E

43、F=1.(I)求 证：4F 平 面 晒(II)求 证：6FL平 面 BDE；(III)求 二 面 角 跖-2的 大 小。证 明：(I)设 AC与 BD交 与 点 G。因 为 EF AG,且 EF=1,AG=-AC=1.2所 以 四 边 形 AGEF为 平 行 四 边 形.所 以 AF 平 面 EG,因 为 E G U 平 面 BDE,AF(Z平 面 BDE,所 以 AF/平 面 BDE.(II)因 为 正 方 形 ABCD和 四 边 形 ACEF所 在 的 平 面 相 互 垂 直，且 CEJ_AC,所 以 CEJ_平 面 ABCD.如 图，以 C 为 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系

44、 C-孙 z.则 C(0,0,0),A(V2,V2,0),B(0,J I,0).所 以 而=(贝，也，1),而=(0,正)，5E=(-V2,O,I).所 CfTlBE=0 1+1=0,C F O D E=-1+0+1=0以所 以 C b _ L 8 E,C F 工 DE.所 以 Cf_LBDE.(I l l)由(I I)知,)是 平 面 BDE的 一 个 法 向 量.设 平 面 A B E 的 法 向 量=(x,y,z),则 nDBA=0,nOBE=0.即(x,y,z)lJ 2,0.)=0(x,y,z)RO,-收,1)=0所 以 x=0,且 2=Jly,令 y=1,则 z=血.所 以=(0,1

45、,扬.从 而 cos&CF)n X F _ V3 n C F T因 为 二 面 角 A B E。为 锐 角，所 以 二 面 角 A-B E-。的 大 小 为 工.610.(2010广 东 文)1 8.(本 小 题 满 分 14分)如 图 4,弧 AEC是 半 径 为。的 半 圆，AC为 直 径，点 E为 弧 AC的 中 点，点 B和 点 C为 线 段 AD的 三 等 分 点,平 面 AEC外 一 点 F 满 足 FC 平 面 B ED,FB=J?a(1)证 明：EB1FD(2)求 点 B到 平 面 FED的 距 离.(1)证 明：.点 E为 弧 AC的 中 点:.A B E=三,g P BE

46、AC又 FC-平 面 BED,BE 平 面 B E D/.FC BE又 FC、ACe平 面 FBD,FCcAC=C二 BE一 平 面 FB D.FDe平 面 FB DEBFD(2)解：FC=B F-B C2=V5a2-a2=laSRtEBD=B E,B D=a2 a=a在 上 AE3E 中，FE=YBE+B F=湿 由 于：F D=E D=M a所 以 S 即 E J FE-=9&a x 卜 一(，=/由 等 体 积 法 可 知：7 S iEBD.F C=-S 河 冗 h3 30n即 a 2-2、a 屈 1 I.一 4 0 1=-a-h=h=-a21即 点 B 到 平 面 FED的 距 离 为

47、 芈 11.（2010福 建 文）2 0.（本 小 题 满 分 12分）如 图，在 长 方 体 ABCD-A B C D 中，E,H 分 别 是 棱 AB,D C 上 的 点（点 E 与 R 不 重 合）,且 EH AD。过 EH的 平 面 与 棱 BBi,CC相 交,交 点 分 别 为 F,G。（I）证 明：AD 平 面 EFGH；（II）设 AB=2AAi=2a。在 长 方 体 ABCD-ABCD内 随 机 选 取 一 点,记 该 点 取 自 于 几 何 体 AABFE-DDCGH内 的 概 率 为 p。当 点 E,F分 别 在 棱 AB,B B上 运 动 且 满 足 EF=a时，求 p

48、的 最 小 值。2 0.2 小 题 主 要 号 点 直 线 与 直 线 n 直 二 与 平 面 的 位 置 关 系.以 及 儿 何 体 的 体 积、儿 何 微 型 等 毡 础 知 识,与 杳 空 川 也 象 他 力、推 理 论 怔 能 力、运 算 求 解 能 力,号 置 画 数 与 方 程 思 想、一 形 结 合 思 想、化 k 与 转 化 思 想、必 然 与 或 妙 思 想.满 分 1 2分.解 以-：I)；叫:在 长 方 ABCD AJBICIDJ1!.AD A：Dt.乂.EHYAiD：,，AD TEH.W Z T：i.:l EFGH.E H c T EFGH.：.AD T EFGH.n

49、设 B O b,3长 斤 体 ABCD AJBICL D I 的 体 枳 V=AB-AD A A i=2/6.几 何 体 EBiF HCiC 的 体 枳 匕=(-5.B Q=E B.BF.5,-B.F EB 二=i L仅 当 珞=尸=丝。时 等 号 通 从 而，匕 4-.4当 且 仅 当 即=鸟 尸=”破 醺 闹 所 以，p 的 最 小 值 等 J g712.（2010湖 南 理）18.（本 小 题 满 分 12分）“如 图 5所 示，在 正 方 体 ABCD-ABiCiD：中，E 是 棱 D D：的 中 点.“（I）求 直 线 B E 与 平 面 ABB；A：所 成 的 角 的 正 弦 值；

50、“（II盛 棱 G D 上 是 否 存 在 一 点 F,使 B J 平 面 A：BE?【解 析】.解 法 1 设 正 方 体 的 棱 长 为 1，如 图 所 示，以 前，与，石 为 单 位 正 交 基 底 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 G(I)依 题 意，得 B(b 0,0),E(0,1,-),A(0,0,0),D(0,1,0),所 以 2-1 _3E=(-LL彳),X0=(O,LO)，在 正 方 体 ABCD-A】BiCiD】中，因 为 ADL平 面 ABB：A，2所 以 A D是 平 面 ABB】A：的 一 个 法 向 量.“设 直 线 BE与 平 面 ABB：A】所 成 的 角 为