参数估计与假设检验课件.ppt
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1、第五章第五章 参数估计与假设检验参数估计与假设检验样样样样本本本本总体总体总体总体样本统计量样本统计量如:样本均值、如:样本均值、比例、方差比例、方差总体均值、比总体均值、比例、方差等例、方差等6/2/20231 1统计推断统计推断(Statistical inference)统计推断统计推断就是根据随机样本的实际数据,就是根据随机样本的实际数据,对总体的数量特征作出具有一定可靠程度的估对总体的数量特征作出具有一定可靠程度的估计和判断。统计推断的计和判断。统计推断的基本内容基本内容有有参数估计参数估计和和假设检验假设检验两方面。概括地说,研究一个随机变两方面。概括地说,研究一个随机变量,推断它
2、具有什么样的数量特征,按什么样量,推断它具有什么样的数量特征,按什么样的模式来变动,这属于估计理论的内容,而推的模式来变动,这属于估计理论的内容,而推测这些随机变量的数量特征和变动模式是否符测这些随机变量的数量特征和变动模式是否符合我们事先所作的假设,这属于检验理论的内合我们事先所作的假设,这属于检验理论的内容。参数估计和假设检验的共同点是它们都对容。参数估计和假设检验的共同点是它们都对总体无知或不很了解,都是利用样本观察值所总体无知或不很了解,都是利用样本观察值所提供的信息,对总体的数量特征作出估计和判提供的信息,对总体的数量特征作出估计和判断,但两者所要解决问题的着重点及所用方法断,但两者
3、所要解决问题的着重点及所用方法有所不同。有所不同。6/2/20232 2主要内容主要内容5.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 5.2 一个一个总体参数的区间估计总体参数的区间估计5.3 必要抽样数目的确定必要抽样数目的确定5.4 假设检验的基本问题假设检验的基本问题5.5 一个总体参数的假设检验一个总体参数的假设检验6/2/20233 35.1 5.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 5.1.1 参数估计的含义参数估计的含义5.1.2 估计量与估计值估计量与估计值5.1.3 点估计与区间估计点估计与区间估计5.1.4 评价估计量的标准评价估计量的标准6/2/20234 4 所谓参
4、数估计,就是以样本统计量(即样本数字特征)来估计未知的总体参数(或参数的函数)。实际工作中一般首先进行概率抽样得到随机样本,然后通过对样本单位的实际观察取得样本数据,最后计算样本统计量的取值对未知的总体参数进行估计。5.1.1 参数估计的含义参数估计的含义1、什么是参数估计、什么是参数估计6/2/20235 52、参数估计的特点和逻辑思想、参数估计的特点和逻辑思想(1)以随机样本为基础;(2)以分布理论为依据;(3)推断的只是一种可能的结果;(4)是归纳推理和演绎推理的结合。归纳推理 从样本 总体 大前提 小前提 (分布规律)(样本信息)结果演绎推理5.1.1 参数估计的含义参数估计的含义6/
5、2/20236 63、参数估计的主要问题、参数估计的主要问题(1)如何得到总体参数的估计值?(解决估计方法问题)(2)如何在保证样本对总体具有充分代表性的前提下,使样本的调查成本最低?(解决样本容量问题)5.1.1 参数估计的含义参数估计的含义6/2/20237 7 1)估计量估计量:用于估计总体参数的统计量:用于估计总体参数的统计量如样本均值,样本比例、样本方差等如样本均值,样本比例、样本方差等例如例如:样本均值就是总体均值样本均值就是总体均值 的一个估计量的一个估计量 2)参数用)参数用 表示,估计量表示,估计量用用 表示表示 3)估估计计值值:估估计计参参数数时时计计算算出出来来的的估估
6、计计量量的的具具体数值体数值如果样本均值如果样本均值 x=80,则,则80就是就是 的估计值的估计值1、什么是估计量与估计值、什么是估计量与估计值(estimator&estimated value)5.1.2 估计量与估计值估计量与估计值6/2/20238 82、统计估计的基本过程、统计估计的基本过程1)首先对所要研究的总体进行概率抽样,通过首先对所要研究的总体进行概率抽样,通过随机样本获取相关统计量,然后利用这些随机样本获取相关统计量,然后利用这些统计量统计量与总体参数之间的联系与总体参数之间的联系(获得统计量的分布),(获得统计量的分布),利用有关统计方法计算估计量,估计总体参数。利用有
7、关统计方法计算估计量,估计总体参数。2)由此可以看出,统计量与总体参数、估计量由此可以看出,统计量与总体参数、估计量的不同:总体的不同:总体参数参数通常是未知的通常是未知的常数常数,是待估计是待估计的量的量;统计量统计量是根据样本计算的函数,通常是随是根据样本计算的函数,通常是随机变量(对于总体而言);机变量(对于总体而言);估计量估计量是是用来对总体用来对总体参数进行估计的统计量。参数进行估计的统计量。5.1.2 估计量与估计值估计量与估计值6/2/20239 91、参数估计的方法、参数估计的方法矩估计法矩估计法矩估计法矩估计法最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法最大似然法最大似然法最大
8、似然法最大似然法顺序统计量法顺序统计量法顺序统计量法顺序统计量法估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计5.1.3 点估计量与区间估计点估计量与区间估计6/2/202310102、点估计、点估计(point estimate)1)用用样样本本统统计计量量的的某某个个取取值值直直接接作作为为总总体体参参数数的估计值的估计值例如:用样本均值直接例如:用样本均值直接作为作为总体均值的估计总体均值的估计例例如如:用用两两个个样样本本均均值值之之差差直直接接作作为为总总体体均均值值之差的估计之差的估计2)没有给出估计值接近总体参数程度的信息没有给出估计值接近总体参数程度的信息3)点点估估计
9、计的的方方法法有有矩矩估估计计法法、顺顺序序统统计计量量法法、最大似然法、最小二乘法等最大似然法、最小二乘法等5.1.3 点估计量与区间估计点估计量与区间估计6/2/202311113、区间估计、区间估计(interval estimate)(1)有关概念有关概念l点估计是通过样本估计量的某一次估计值来推断总体参数的可能取值;l区间估计则是根据样本估计量以一定的可靠程度推断总体参数所在的区间范围。l人们在得到点估计值的同时,自然希望知道 与到底相差多少?这就引出了区间估计问题。即希望对的取值估计出一个范围,并希望知道这个范围包含 的可靠程度。即 P =1-其中 是置信区间;是置信区间下、上限;
10、1-是置信水平、置信度或置信系数;是估计不准的概率,通常取=0.05,或0.01。l由上式可知,要想求出被估计参数的置信区间,必须找到一个和被估计参数相关联的统计量,并知其概率分布。5.1.3 点估计量与区间估计点估计量与区间估计6/2/20231212(2)置信区间的构造)置信区间的构造当总体服从正态分布N(,2)时(2已知),来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布,x 的数学期望为,方差为2/n。即xN(,2/n)0 0 0临界值临界值临界值-z-z-z值值值 /2/2 /2/2/2 统计量统计量统计量1-1-1-置信水平置信水平置信水平置信水平置信水平置信水平5.1.3 点
11、估计量与区间估计点估计量与区间估计3、区间估计、区间估计6/2/20231313(3)区间估计的图示)区间估计的图示 x95%95%的样本的样本的样本的样本 -1.96-1.96 x x +1.96+1.96 x x99%99%的样本的样本的样本的样本 -2.58-2.58 x x +2.58+2.58x x90%90%的样本的样本的样本的样本 -1.65-1.65 x x +1.65+1.65 x x5.1.3 点估计量与区间估计点估计量与区间估计3、区间估计、区间估计6/2/20231414 2)1-可以认为是用样本估计值 代替总体真值时误差在某一范围内的“可能性”,则 可认为是用 代替时
12、误差超过这一范围的“可能性”。3)用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间,我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值。我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个,但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个。总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的。总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的。1)置信区间的直观意义为:n次抽样形成的n个置信区间中,有n(1-)个区间包含总体参数真值。5.1.3 点估计量与区间估计点估计量与区间估计3、区间估计、区间估计注意:注意:(3)区间估计的图示)区间估计的图示6/2
13、/20231515 5.1.3 点估计量与区间估计点估计量与区间估计3、区间估计、区间估计(3)区间估计的图示)区间估计的图示6/2/20231616(4)影响区间宽度的因素)影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度,总体数据的离散程度,用用 来测度来测度2.样本容量样本容量 n 3.置信水平置信水平(1-),影响,影响 z /2的大小的大小4.抽样方法抽样方法5.抽样的组织方式抽样的组织方式5.1.3 点估计量与区间估计点估计量与区间估计3、区间估计、区间估计6/2/20231717置信区间与置信水平(置信区间与置信水平(1-)的关系)的关系70%80%90%95%99%置信区间宽度5.1.
14、3 点估计量与区间估计点估计量与区间估计3、区间估计、区间估计(4)影响区间宽度的因素)影响区间宽度的因素Neyman原则:原则:即在保证置信度的前提下,尽可能提高估计的精确度。即在保证置信度的前提下,尽可能提高估计的精确度。6/2/202318181、点估计、点估计以样本指标直接估计总体参数。以样本指标直接估计总体参数。评价准则评价准则的数学期望的数学期望等于总体参等于总体参数,即数,即该估计量称该估计量称为无偏估计。为无偏估计。无偏性无偏性有效性有效性 当当 为为 的的无偏估计时,无偏估计时,方差方差 越越小,无偏估计小,无偏估计越有效。越有效。一致性一致性对于无限总体,对于无限总体,如果
15、对如果对任意任意 ,则称则称的一致估计。的一致估计。是是充分性充分性估计量如估计量如能包含样能包含样本中关于本中关于未知参数未知参数的全部信的全部信息,即为息,即为充分量。充分量。估计量估计量5.1.4 评价估计量的标准评价估计量的标准6/2/202319192、区间估计、区间估计估计未知参数所在的可能区间。估计未知参数所在的可能区间。评价准则评价准则随机区间随机区间置信度置信度精确度精确度随机区间随机区间包含包含(即可靠程度即可靠程度)越大越好。越大越好。的概率的概率的平均长度的平均长度(误差范围误差范围)越小越好。越小越好。5.1.4 评价估计量的标准评价估计量的标准6/2/2023202
16、0 5.2 一个总体参数的区间估计 5.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计5.2.2 一个总体比例的区间估计一个总体比例的区间估计5.2.3 一个总体方差的区间估计一个总体方差的区间估计6/2/202321211、有关符号、有关符号总体参数总体参数样本统计量样本统计量均均值值比例比例方差方差5.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计6/2/20232222(1)总体服从正态分布总体服从正态分布,且且方差方差()已知已知;或者总体不是正或者总体不是正态分布但大样本态分布但大样本(n 30)时总体均值的区间估计时总体均值的区间估计 该条件下使用标准正态分布统计量 z
17、下面通过标准正态分布构造总体均值的置信区间5.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计2、一个总体均值的置信区间、一个总体均值的置信区间6/2/20232323 给定置信度1-,可由标准正态分布表查得临界值Z/2,使得从而可得置信度为1-时总体均值的置信区间:在大样本(n30)条件下,不论总体分布形式如何,均可用上述方法进行总体均值的区间估计。如果总体方差未知,则直接用样本方差代替。注意:注意:5.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计6/2/20232424 (2)小样本下小样本下总体方差未知总体方差未知时,正态分布总体均时,正态分布总体均值的区间估计值的区间估计
18、如果是小样本,但总体为正态分布,在总体方差未知如果是小样本,但总体为正态分布,在总体方差未知而需用样本方差代替时,则下式而需用样本方差代替时,则下式服从自由度为服从自由度为n-1n-1的的t t分布分布。5.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计2、一个总体均值的置信区间、一个总体均值的置信区间6/2/202325 注意:注意:如果小样本下总体分布非正态,则无法进行区间估计,唯一的解决方法就是增大样本。从而可得置信度为1-时总体均值的置信区间:于是,给定置信度为1-,可由t分布表查得临界值t/2(n-1),使得5.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计6/2/202
19、326指在指在指在指在一定的置信水平下,抽样误差不允许超过的最一定的置信水平下,抽样误差不允许超过的最一定的置信水平下,抽样误差不允许超过的最一定的置信水平下,抽样误差不允许超过的最大给定范围,也称作大给定范围,也称作大给定范围,也称作大给定范围,也称作允许误差、误差范围允许误差、误差范围允许误差、误差范围允许误差、误差范围等。等。等。等。5.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计3、极限误差(、极限误差(允许误差)允许误差)允许误差)允许误差)(1)含义)含义(大样本条件下)(大样本条件下)(2)极限误差的计算公式极限误差的计算公式样本平均数的极限样本平均数的极限样本平均数的极
20、限样本平均数的极限误差:误差:误差:误差:边际误差边际误差样本成数的极限样本成数的极限样本成数的极限样本成数的极限 误差:误差:误差:误差:6/2/20232727 Z与相应的置信水平存在一一对应关系,与相应的置信水平存在一一对应关系,常用常用的置信水平及相应的的置信水平及相应的Z值如下:值如下:z值值 置信水平置信水平1.00 0.6827 1.65 0.9000 1.96 0.9500 2.00 0.9545 2.58 0.9900 3.00 0.99735.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计3、极限误差、极限误差6/2/20232828计算计算样本样本统计量统计量确定样
21、确定样本统计本统计量分布量分布由置信由置信水平求水平求临界值临界值确定确定置信置信区间区间4、区间估计步骤、区间估计步骤 (以大样本下估计(以大样本下估计 为例)为例)其中:其中:5.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计6/2/20232929【例例】某企业生产某种产品的工人某企业生产某种产品的工人有有10001000人,某日采用不重复抽样从人,某日采用不重复抽样从中随机抽取中随机抽取100100人调查他们的当日人调查他们的当日产量(数据见下张幻灯片),要求产量(数据见下张幻灯片),要求在在9595的置信水平下,的置信水平下,估计该厂全估计该厂全部工人的日平均产量和日总产量的部
22、工人的日平均产量和日总产量的置信区间置信区间。5.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计5、例题分析、例题分析6/2/20233030按按 日产量分组日产量分组(件)(件)工人数工人数(人)(人)组中值(件)组中值(件)11011411411811812212212612613013013413413813814237182321186411211612012412813213614033681221602852268823768165605887006489284648600784合计合计100126004144100100名工人的日产量分组资料名工人的日产量分组资料5.2.1
23、 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计5、例题分析、例题分析6/2/202331315.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计5、例题分析、例题分析6/2/20233232即在即在即在即在95959595置信水平下置信水平下置信水平下置信水平下,该企业工人人均产量在,该企业工人人均产量在,该企业工人人均产量在,该企业工人人均产量在124.80124.80124.80124.80至至至至127.20127.20127.20127.20件之间,其日总产量在件之间,其日总产量在件之间,其日总产量在件之间,其日总产量在124797124797124797124797至至至至127
24、303127303127303127303件之间。件之间。件之间。件之间。则该厂全部工人日平均产量和日总产量的置信区间分别为则该厂全部工人日平均产量和日总产量的置信区间分别为则该厂全部工人日平均产量和日总产量的置信区间分别为则该厂全部工人日平均产量和日总产量的置信区间分别为5.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计5、例题分析、例题分析6/2/20233333例:由例:由532名名商业周刊商业周刊订阅者订阅者组成的样本表明,其每周使用因特网的组成的样本表明,其每周使用因特网的平均时间为平均时间为6.7小时。如果总体标准差为小时。如果总体标准差为5.8小时,求该周刊订阅者总体每周平
25、均小时,求该周刊订阅者总体每周平均花费在因特网上时间的花费在因特网上时间的95置信区间。置信区间。则该置信区间为:则该置信区间为:5.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计5、例题分析、例题分析6/2/202334345、例题分析、例题分析8.2.1 一个总体均值的区间估计一个总体均值的区间估计 从某证券市场抽取一个由从某证券市场抽取一个由10只股只股票组成的样本,其市盈率分别为:票组成的样本,其市盈率分别为:5 7 9 10 14 23 20 15 3 26试求该市场全部股票平均市盈率试求该市场全部股票平均市盈率的置信度为的置信度为95的置信区间(假定的置信区间(假定股票市盈率
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