华师大版八年级上册数学ppt课件(第14章-勾股定理).ppt

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1、第第1414章章 勾股定理勾股定理14.1 勾股定理勾股定理第第1 1课时课时 直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系 -认识勾股定理认识勾股定理1课堂讲解u勾股定理勾股定理u勾股定理与面积的关系勾股定理与面积的关系2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 你知道你知道2002年在北京召开的国际数学家大会（年在北京召开的国际数学家大会（ICM2002)吗吗?在这次大在这次大 会上，到处可以看到一个简洁优美、会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大远看像旋转的纸风车的图案，它就是大 会的会标会的会标.会标采用了会标采用了 1700多年前中国古代数

2、学家赵爽用来证多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图明勾股定理的弦图.知知1 1导导1知识点勾股定理勾股定理 本章本章导图导图中的弦中的弦图隐图隐含着直角三角形三含着直角三角形三边边之之间间的的 一种奇妙关一种奇妙关系，系，让让我我们们首先首先观观察下面的正方形瓷察下面的正方形瓷砖铺砖铺成成 的地面的地面.图图14.1.1是正方形瓷是正方形瓷砖铺砖铺成的地成的地 面，面，观观察察图图中着色的三个正方形中着色的三个正方形,显显然，两个小正方形然，两个小正方形P、Q的面的面积积之和等于大正方形之和等于大正方形R的面的面积积.即即 AC2+BC2=AB2,这说这说明，在等腰直角三角形中，两直

3、角明，在等腰直角三角形中，两直角边边的平的平方和方和 等于斜等于斜边边的平方的平方.那么在一般的直角三角形中，那么在一般的直角三角形中，两直角两直角边边 的平方和是否等于斜的平方和是否等于斜边边的平方呢？的平方呢？知知1 1导导试试一一试试观观察察图图14.1.2,如果每一小方格表示如果每一小方格表示1平平方厘米，方厘米，那么可以得到：那么可以得到：正方形正方形P的面的面积积=平方厘米；平方厘米；正方形正方形Q的面的面积积=平方厘米；平方厘米；正方形正方形R的面的面积积=平方厘米平方厘米.我我们发现们发现，正方形，正方形P、Q、R的面的面积积之之间间的关系是的关系是 .由此，我由此，我们们得出

4、得出RtABC的三的三边长边长度之度之间间存在的关存在的关 系系是是 .知知1 1导导做一做做一做 画出两条直角画出两条直角边边分分别为别为5 cm、12 cm的直角三角形，的直角三角形，然后用刻度尺量然后用刻度尺量 出斜出斜边边的的长长，并，并验证验证上述关系上述关系对这对这个直角个直角三角形是否成立三角形是否成立.勾股定理：直角三角形两直角勾股定理：直角三角形两直角边边的平方和等于斜的平方和等于斜边边的的平方；平方；数学表达式：在数学表达式：在RtABC中，中，C90，ABc，ACb，BCa，则则a2b2c2.要点精析：要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形；勾股定理适用于任何一

5、个直角三角形；(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三勾股定理的内容描述的是直角三角形三边边之之间间的数的数 量关系，已知其中任意两量关系，已知其中任意两边边可以求出第三可以求出第三边边；(3)勾股定理的勾股定理的变变形公式：形公式：a2c2b2，b2c2a2；(4)运用勾股定理运用勾股定理时时要分清斜要分清斜边边、直角、直角边边知知1 1讲讲归 纳 利用勾股定理求直角三角形利用勾股定理求直角三角形边长边长的方法：一般的方法：一般都要都要经过经过“一分二代三化一分二代三化简简”这这三步：即一分：分三步：即一分：分清哪条清哪条边边是斜是斜边边、哪些是直角、哪些是直角边边；二代：代入；二代：代入a

6、2b2c2及两及两边边之之间间的关系式；三化的关系式；三化简简知知1 1讲讲在在RtABC中，已知中，已知B90,AB=6,BC=8.求求AC.根据勾股定理，根据勾股定理，可得可得AB2+BC2=AC2.所以所以 AC=知知1 1讲讲例例1 解：解：应应用勾股定理，由直用勾股定理，由直角三角形任意两角三角形任意两边边的的长长度，可以求出第三度，可以求出第三边边的的长长度度.在在RtABC中，中，C90，A，B，C的对边分别是的对边分别是a，b，c.(1)已知已知ab6，求，求c；(2)已知已知c3，b2，求，求a；(3)已知已知a b2 1，c5，求，求b.知知1 1讲讲例例2 分清斜边和直角

7、边因为分清斜边和直角边因为a，b，c分别是分别是RtABC的三边，所以可以用勾股定理解决的三边，所以可以用勾股定理解决问题问题导引：导引：知知1 1讲讲(1)C90，ab6，由勾股定理，得由勾股定理，得c(2)C90，c3，b2，由勾股定理，得由勾股定理，得a(3)a b2 1，a2b.又又C90，c5，由勾股定理，得由勾股定理，得(2b)2b252，解得，解得b 解：解：已知直角三角形的两边长分别为已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第，求第三边的长三边的长知知1 1讲讲例例3 第三边的长为第三边的长为错解：错解：由于习惯了由于习惯了“勾三股四弦五勾三股四弦五”的说法，因此的说法，因此将题

8、意理解为两直角边长分别为将题意理解为两直角边长分别为3和和4，于是，于是斜边长为斜边长为5.但这一理解的前提是但这一理解的前提是3，4为直角为直角边长，而题中并没有任何说明，因而所求的边长，而题中并没有任何说明，因而所求的第三边长可能为斜边长，也可能为直角边第三边长可能为斜边长，也可能为直角边长所以需要分情况求解长所以需要分情况求解错解分析：错解分析：知知1 1讲讲(1)当两直角边长分别为当两直角边长分别为3和和4时，第三边的长时，第三边的长 为为(2)当斜边长为当斜边长为4，一直角边长为，一直角边长为3时，第三边时，第三边 的长为的长为正确解法：正确解法：总 结 运用勾股定理求第三运用勾股定

9、理求第三边边的的长时长时，一般都要，一般都要经过经过“一分二代三化一分二代三化简简”这这三步；若通三步；若通过题过题目中的条件目中的条件找不到斜找不到斜边边，则则需要运用分需要运用分类讨论类讨论思想求解思想求解知知1 1讲讲知知1 1练练 1 在在 RtABC 中，中，AB=c，BC=a，AC=b,C90.(1)已知已知 a=6,c=10,求求 b;(2)已知已知 a=24,c=25,求求 b.知知1 1练练 若一个直角三角形的两直角边的长分别为若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为斜边长为c，则下列关于，则下列关于a，b，c的关系式中不正的关系式中不正确的是确的是()Ab2c2

10、a2 Ba2c2b2Cb2a2c2 Dc2a2b22 知知1 1练练 3已知一个直角三角形的两条边长分别为已知一个直角三角形的两条边长分别为3和和4，则，则第三条边长的平方为第三条边长的平方为()A25 B7 C7或或25 D不确定不确定 知知2 2讲讲2知识点勾股定理与面积的关系勾股定理与面积的关系基本思想方法：勾股定理把基本思想方法：勾股定理把“形形”与与“数数”有机地有机地结结合起来，即把直角三角形合起来，即把直角三角形这这个个“形形”与三与三边边关系关系这这一一“数数”结结合起来，它是数形合起来，它是数形结结合思想方法的典合思想方法的典范范观观察察图图14.15中的中的图图形，回答形，

11、回答问题问题：(1)如如图图，DEF为为直角三角形，正方形直角三角形，正方形P的面的面积为积为9，正方形正方形Q的面的面积为积为15，则则正方形正方形M的面的面积为积为_；(2)如如图图，分，分别别以直角三角形以直角三角形ABC的三的三边为边为直径向三角直径向三角 形外作三个半形外作三个半圆圆，则这则这三个半三个半圆圆形的面形的面积积之之间间的关系的关系 式是式是 (用用图图中字母表示中字母表示)；(3)如如图图，如果直角三角形两直角，如果直角三角形两直角边边的的长长分分别为别为3和和4，分分别别以直角三角形的三以直角三角形的三边为边为直径作半直径作半圆圆，请请你利用你利用(2)中得出的中得出

12、的结论结论求阴影部分的面求阴影部分的面积积知知2 2讲讲例例4 24S1S2S3知知2 2讲讲(1)根据正方形的面积公式结合勾股定理可得根据正方形的面积公式结合勾股定理可得DF2 DE2EF2，即正方形，即正方形M的面积的面积91524；(2)S1 ，S2 ，S3 ，另外由勾股定理可知，另外由勾股定理可知AC2BC2 AB2，所以，所以S1S2S3；(3)阴影部分的面积两个小半圆形的面积和直阴影部分的面积两个小半圆形的面积和直 角三角形的面积大半圆形的面积，由角三角形的面积大半圆形的面积，由(2)可知可知 两个小半圆形的面积和大半圆形的面积，所两个小半圆形的面积和大半圆形的面积，所 以阴影部分

13、的面积直角三角形的面积以阴影部分的面积直角三角形的面积导引：导引：知知2 2讲讲设两个小半圆形的面积分别为设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆形的面积为大半圆形的面积为S3，三角形的面积为，三角形的面积为S，由由(2)知，知，S1S2S3，则则S阴影阴影S1S2SS3S 346.解：解：总 结 与直角三角形三与直角三角形三边边相关的正方形、半相关的正方形、半圆圆形及正形及正多多边边形都具有相同的形都具有相同的结论结论：两直角：两直角边边上上图图形面形面积积的的和等于斜和等于斜边边上的上的图图形面形面积积本例考本例考查查了勾股定理及了勾股定理及正方形的面正方形的面积积公式，半公式，半圆圆

14、形面形面积积的求法，解答此的求法，解答此类类题题目的关目的关键键是仔是仔细观细观察所察所给图给图形，面形，面积积与与边长边长、直、直径有平方关系，就很容易径有平方关系，就很容易联联想到勾股定理想到勾股定理知知2 2讲讲知知2 2练练 如图，字母如图，字母B所代表的正方形的面积是所代表的正方形的面积是()A12 B13 C144 D1941 知知2 2练练 如图，直线如图，直线l上有三个正方形上有三个正方形a，b，c，若，若a，c的面的面积分别为积分别为3和和4，则，则b的面积为的面积为()A3 B4 C5 D72 知知2 2练练 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都如图是一株美丽的勾股树

15、，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形方形A，B，C，D的边长分别是的边长分别是3，5，2，3，则，则最大正方形最大正方形E的面积是的面积是()A13 B26 C47 D943 第第1414章章 勾股定理勾股定理14.1 勾股定理勾股定理第第2 2课时课时 直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系-验证勾股定理验证勾股定理1课堂讲解u勾股定理的验证勾股定理的验证u勾股定理的应用勾股定理的应用2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升知知1 1讲讲1知识点勾股定理的验证勾股定理的验证读读一一读读 我国古代把直角

16、三角形中我国古代把直角三角形中较较短的直角短的直角边边称称为为勾，勾，较长较长的直角的直角边边称称为为股，斜股，斜边边称称为为弦弦.“弦弦图图”最早是由三最早是由三 国国时时期的数学家期的数学家赵赵爽在爽在为为周髀算周髀算经经作注作注时给时给出的，出的，它它标标志着中国古志着中国古代的数学成就代的数学成就.图图14.1.3是是2002年在年在 北京召开的北京召开的国国际际数学家大会数学家大会(ICM2002)的会的会标标，其，其图图 案正案正是由是由“弦弦图图”演演变变而来而来.知知1 1讲讲做一做做一做 用四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形，还还可以拼成如可以拼成如图图 14.1.

17、5所示的所示的图图形形.与上面的方法与上面的方法类类似，根据似，根据这这一一图图 形，也能形，也能证证明勾股定理明勾股定理.请请你你试试一一试试，写出完整的，写出完整的证证明明过过程程.图图 14.1.5知知1 1讲讲1.命命题题1：如果直角三角形的两条直角：如果直角三角形的两条直角边长边长分分别为别为a，b，斜斜边长为边长为c，那么，那么a2b2c2.2.常用常用证证法：通法：通过过拼拼图图法利用求面法利用求面积积来来证证明；明；这这种方法种方法 以数形以数形转换为转换为指指导导思想、思想、图图形拼形拼补为补为手段，以各部分手段，以各部分 面面积积之之间间的关系的关系为为依据达到目的依据达到

18、目的知知1 1讲讲3用拼用拼图图法法证证明命明命题题1的思路：的思路：(1)图图形形经过经过割割补补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面 积积不会改不会改变变；(2)根据同一种根据同一种图图形的面形的面积积的不同表示方法列出等式；的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性利用等式性质变换证质变换证明明结论结论成立，即拼出成立，即拼出图图形形写出写出 图图形面形面积积的表达式的表达式找出等量关系找出等量关系恒等恒等变变形形推出推出 命命题题1的的结论结论 图图14.11是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是是a，b，斜边长为，斜边长为

19、c的全等的直角三角形和一个的全等的直角三角形和一个边长为边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明的正方形，请你将它们拼成一个能证明命题命题1的图形的图形(1)画出拼成的这个图形的示意图；画出拼成的这个图形的示意图；(2)证明命题证明命题1.知知1 1讲讲例例1 图图14.11知知1 1讲讲可以以边长为可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补的正方形为基础，一在形外补拼拼(不重叠不重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形的正方形导引：导引：知知1 1讲讲(1)解：如图解：如图14.12.(2)证明：因为大正方形的证明：因为大正方形的 面积可表示为面积可表示为(

20、ab)2，也可表示为也可表示为c24 ab，所以所以(ab)2c24 ab，即，即a2b2 2abc22ab，所以所以a2b2c2，即命题，即命题1成立成立 方法一方法一(补拼法补拼法)：图图14.12知知1 1讲讲(1)解：如图解：如图14.13.(2)证明：因为大正方形的证明：因为大正方形的 面积可以表示为面积可以表示为c2，也可以表示为，也可以表示为 ab4 (ba)2，所以，所以c2 ab4(ba)2，即即 c22abb22aba2，所以，所以a2b2c2，即命题即命题1成立成立 方法二方法二(叠合法叠合法)：图图14.13总 结 命命题题1的的证证明主要是通明主要是通过过拼拼图图法利

21、用面法利用面积积的关的关系完成的，拼系完成的，拼图图又常以又常以补补拼法和叠合法两种方式拼法和叠合法两种方式进进行；行；补补拼拼时时要无重叠，叠合要无重叠，叠合时时要无空隙；用面要无空隙；用面积积法法验证验证命命题题1的关的关键键是要找到一些特殊是要找到一些特殊图图形形(如直角三如直角三角形、正方形、梯形角形、正方形、梯形)的面的面积积之和等于整个之和等于整个图图形的面形的面积积，从而达到，从而达到证证明的目的明的目的知知1 1讲讲知知1 1练练 用四个边长均为用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是图所示的图形，则下列结论中正确的是(

22、)Ac2a2b2 Bc2a22abb2Cc2a22abb2 Dc24(ab)21 知知1 1练练 2历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的两边形，其中两个全等直角三角形的两边AE，EB在一在一条直线上证明中用到的面积相等关系是条直线上证明中用到的面积相等关系是()ASEDASCEBBSEDASCEBSCDECS四边形四边形CDAES四边形四边形CDEBDSEDASCDESCEBS四边形四边形ABCD 知知1 1练练 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀周髀算经算

23、经中就有中就有“若勾三，股四，则弦五若勾三，股四，则弦五”的记载图的记载图是是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图积关系验证勾股定理图是由图是由图放入长方形内得到的，放入长方形内得到的，BAC90，AB3，AC4，点，点D，E，F，G，H，I都都在长方形在长方形KLMJ的边上，则长方形的边上，则长方形KLMJ的面积为的面积为()A90 B100 C110 D1213 知知2 2讲讲2知识点勾股定理的应用勾股定理的应用勾股定理是一个重要的数学定理，它将勾股定理是一个重要的数学定理，它将图图形形(直角直角三角形三角

24、形)与数量关系与数量关系(三三边边关系关系)有机地有机地结结合起来在合起来在几何及日常生活中都有着广泛的几何及日常生活中都有着广泛的应应用勾股定理用勾股定理应应用的前提条件是直角三角形，在用的前提条件是直角三角形，在应应用用时时，对对于非直于非直角三角形的几何角三角形的几何问题问题及及实际实际生活生活问题问题都要将它都要将它们转们转化成直角三角形化成直角三角形问题问题；常；常见应见应用主要有如下用主要有如下类类型：型：(1)已知直角三角形的两已知直角三角形的两边边求第三求第三边边；知知2 2讲讲(2)已知直角三角形的一已知直角三角形的一边边确定另两确定另两边边的关系；的关系；(3)证证明含有平

25、方关系的几何明含有平方关系的几何问题问题；(4)作作长为长为n(n1，且，且n为为整数整数)的的线线段；段；(5)一些非直角三角形的几何一些非直角三角形的几何问题问题、日常生活中的、日常生活中的 应应用用问题问题，对对于于这这些些问题问题，首先要将它，首先要将它们转们转化，化，建立直角三角形模型，然后利用勾股定理构建方建立直角三角形模型，然后利用勾股定理构建方 程或方程程或方程组组解决解决如如图图，Rt ABC的斜的斜边边AC比直角比直角边边 AB长长2cm，另一直角，另一直角边边BC长为长为6 cm.求求AC的的长长.知知2 2讲讲例例2 由已知由已知AB=AC 2,BC=6cm，根据勾股定

26、理，可得根据勾股定理，可得 AB2+BC2=(AC 2)2+62=AC2,解得解得AC=10(cm).解：解：如如图图14.1.7,为为了求出位于湖两岸的点了求出位于湖两岸的点A、B之之间间的距离，一名的距离，一名观测观测者在点者在点C设桩设桩，使，使ABC恰好恰好为为 直角三角形直角三角形.通通过测过测量，得到量，得到AC的的长为长为160米，米，BC的的长为长为128米米.问问从点从点A穿穿过过湖到点湖到点B有多有多远远？知知2 2讲讲例例3 知知2 2讲讲如图如图14.1.7,在在RtABC中，中，AC=160 米，米，BC=128 米，米，根据勾股定理，可得根据勾股定理，可得AB=96

27、(米米).答：从点答：从点A穿过湖到点有穿过湖到点有96米米.解：解：如图所示，一根旗杆在离地面如图所示，一根旗杆在离地面5米处断裂，旗米处断裂，旗杆顶部落在离底部杆顶部落在离底部12米远处，则旗杆断裂前米远处，则旗杆断裂前有多高？有多高？知知2 2讲讲例例4 因为旗杆与地面是垂直的，所以因为旗杆与地面是垂直的，所以ACB90，即即ABC是直角三角形根据勾股定理可得是直角三角形根据勾股定理可得AB ，从而求出，从而求出AB的长，再计的长，再计算算BCBA即为旗杆断裂前的高度即为旗杆断裂前的高度导引：导引：知知2 2讲讲在在ABC中中，ACB90.BC5米米，AC 1 2米米，根根 据据 勾勾

28、股股 定定 理理 可可 得得：A B 13(米米)，BCBA51318(米米)，即即旗旗杆杆断断裂裂前前的的高高度度为为18米米解：解：总 结 本本题题运用建模思想解运用建模思想解题题，根据，根据实际问题实际问题画出直画出直角三角形，再运用勾股定理解答当角三角形，再运用勾股定理解答当图图形不是直角形不是直角三角形三角形时时，常常通，常常通过过作垂作垂线线构造直角三角形构造直角三角形知知2 2讲讲如图，有一张直角三角形纸片，两直角边如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，现将直角边，现将直角边AC沿沿AD折折叠，使点叠，使点C落在斜边落在斜边AB上的点上的点E处，试求处，

29、试求CD的长的长知知2 2讲讲例例5 利用折叠前后重合的线段相等、重合的角相等，利用折叠前后重合的线段相等、重合的角相等，通过勾股定理列方程，在通过勾股定理列方程，在RtBDE中求出线段中求出线段DE的长，从而得到的长，从而得到CD的长的长导引：导引：知知2 2讲讲 在在RtABC中，中，AC6 cm，BC8 cm，AB2AC2BC26282100，AB10(cm)由折叠的性质，可知由折叠的性质，可知CDEA90，ACAE6 cm，故故BE1064(cm)设设CDx cm，则，则DEx cm，BD(8x)cm.在在RtBDE中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得x242(8x)2，解得解得x3.

30、CD的长为的长为3 cm.解：解：总 结 关于折叠关于折叠问题问题，要，要紧紧扣折叠前后的扣折叠前后的对应边对应边相相等、等、对应对应角相等；其解角相等；其解题题步步骤为骤为：利用重合的利用重合的图图形形传递传递数据数据(一般不用重合的一般不用重合的图图形形进进行行计计算算)；选选择择直角三角形，直角三角形，这这个直角三角形一般已知一个直角三角形一般已知一边边，另，另两两边边可通可通过过重合重合图图形找到数量关系，利用勾股定理形找到数量关系，利用勾股定理列方程求解列方程求解知知2 2讲讲知知2 2练练 如图，一个长为如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚的梯子，一端放在离墙脚1.5 m

31、处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚()A0.2 m B0.4 m C2 m D4 m1 知知2 2练练 将一根长为将一根长为24 cm的筷子置于底面直径为的筷子置于底面直径为15 cm，高为高为8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外的长度为在杯子外的长度为h cm，则，则h的取值范围是的取值范围是()Ah17 Bh8C15h16 D7h162 知知2 2练练 如图所示，已知如图所示，已知RtABC中，中，AB4，分别以，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则，则S1S2的

32、值等于的值等于()A2 B4 C8 D163 用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面积的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形面积的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理进行代数变形即可推导出勾股定理 它一般都经过以下几个步骤：拼出图形它一般都经过以下几个步骤：拼出图形写出图写出图形面积的表达式形面积的表达式找出相等关系找出相等关系恒等变形恒等变形导出勾导出勾股定理股定理第第1414章章 勾股定理勾股定理14.1 勾股定理勾股定理第第3 3课时课时 直角三角形直角三角形 的判定的判定1课堂讲解u勾股定理的逆定理勾

33、股定理的逆定理u勾股数勾股数2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 古埃及人曾古埃及人曾经经用下面的方法画直角：将一根用下面的方法画直角：将一根长绳长绳打打 上等距离的上等距离的13个个结结，然后如，然后如图图14.1.8那那样样用用桩钉钉桩钉钉成成 一一个三角形，他个三角形，他们认为们认为其中一个角便是直角其中一个角便是直角.你知道你知道这这是什么道理是什么道理吗吗？知知1 1导导1知识点勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理试试画出三画出三边长边长度分度分别为别为如下数据的三角形，看看它如下数据的三角形，看看它 们们是是一些什么一些什么样样的三角形：的三角形：(1)a=3

34、,b=4,c=5；(2)a=4,b=6,c=8；(3)a=6,b=8,c=10试试一一试试知知1 1讲讲勾股定理的逆定理：如果三角形的三勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长边长a、b、c有关系有关系a2b2c2，那么，那么这这个三角形是直角三角形，且个三角形是直角三角形，且边边c所所对对的角的角为为直角直角要点精析：要点精析：(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在没有确定直角三角形法，在没有确定直角三角形时时，只能，只能说说三角形的三角形的边边，不，不能能说说斜斜边边或直角或直角边边；(2)如果三角形的三如果三角形的三边长边长a、b、c满满足足a2

35、b2c2，那么，那么这这个三角形同个三角形同样样是直角三角形，只是是直角三角形，只是这时这时a为为斜斜边长边长知知1 1讲讲已知已知:如如图图 14.1.9(1)，在，在ABC 中，中，AB=c,BC=a,AC=b,a2+b2=c2.求求证证：C90.例例1 知知1 1讲讲如如图图 14.1.9(2),作作 ABC，C 90,AC =b,BC =a,则则 AB 2=a2+b2=c2,即即AB=c.在在ABC和和 ABC 中，中，BC=a=BC，AC=b=AC，AB=c=AB，ABC ABC.C=C=90.证明：证明：知知1 1讲讲判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：判断满足下列条件的三角

36、形是不是直角三角形：(1)在在ABC中，中，A25，C65；(2)在在ABC中，中，AC12，AB20，BC16；(3)一个三角形的三边长一个三角形的三边长a、b、c满足满足b2a2c2.例例2 判断一个三角形是否是直角三角形，如果条件与判断一个三角形是否是直角三角形，如果条件与角相关，则考虑用定义判断；如果条件与边相关，角相关，则考虑用定义判断；如果条件与边相关，则考虑用勾股定理的逆定理判断第则考虑用勾股定理的逆定理判断第(1)题可以直题可以直接根据直角三角形的定义判断；第接根据直角三角形的定义判断；第(2)(3)题可以依题可以依据勾股定理的逆定理来判断据勾股定理的逆定理来判断导引：导引：知

37、知1 1讲讲(1)在在ABC中，中，ABC180，B180256590，ABC是直角三角形是直角三角形(2)在在ABC中，中，AC2BC2122162202 AB2，ABC是直角三角形，且是直角三角形，且C为直角为直角(3)三角形的三边长满足三角形的三边长满足b2a2c2，即即b2a2c2，此三角形是直角三角形，且此三角形是直角三角形，且b是斜边长是斜边长解：解：总 结警示：判断一个三角形的形状警示：判断一个三角形的形状时时，除考，除考虑虑是直角三是直角三角形外，角形外，还还要考要考虑虑是否是否为为等腰三角形等腰三角形拓展：若最拓展：若最长边长边的平方比的平方比较较短两短两边边的平方和大，的平

38、方和大，则则三角形三角形为钝为钝角三角形；若最角三角形；若最长边长边的平方比的平方比较较短两短两边边的平方和小，的平方和小，则则三角形三角形为锐为锐角三角形角三角形知知1 1讲讲总 结判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：(1)利用定利用定义义，即如果已知条件与角度有关，可借助，即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；三角形的内角和定理判断；(2)利用勾股定理的逆定利用勾股定理的逆定理，即若已知条件与理，即若已知条件与边边有关，一般通有关，一般通过计过计算得出三算得出三边边的数量关系来判断，看是否符合的数量关系来判断，看是否符合较较

39、短两短两边边的平方的平方和等于最和等于最长边长边的平方的平方知知1 1讲讲知知1 1讲讲下面给出几组数：下面给出几组数：7，8，9；12，9，15；m2n2，m2n2，2mn(m，n均为正整数，均为正整数，mn)；a2，a21，a22(a1)以它们为以它们为边长的三角形一定是直角三角形的是边长的三角形一定是直角三角形的是()A BC D例例3 B知知1 1讲讲看最长线段的平方是否等于其他两条线段的看最长线段的平方是否等于其他两条线段的平方和平方和显然显然728292，中中92122152，中中(m2n2)2(m2n2)2(2mn)2，当当a23时，时，三数为三数为3，4，5，满足，满足(a2)

40、2(a21)2(a22)2，但取其他值时不能满足，所以选，但取其他值时不能满足，所以选B.导引：导引：总 结 判断三条线段能否组成直角三角形的方法：解判断三条线段能否组成直角三角形的方法：解此类题时，先确定每组中最大的数，再看最大数的此类题时，先确定每组中最大的数，再看最大数的平方是否等于较小的两个数的平方和；若相等，则平方是否等于较小的两个数的平方和；若相等，则以这三个数为边长的三角形是直角三角形；否则，以这三个数为边长的三角形是直角三角形；否则，不是直角三角形不是直角三角形知知1 1讲讲易错题易错题已知已知a、b、c为为ABC的三边长，且的三边长，且满足满足a2c2b2c2a4b4，试判断

41、，试判断ABC的形状的形状知知1 1讲讲例例4 先将等式两边同时分解因式，然后通过对分先将等式两边同时分解因式，然后通过对分解后的式子的讨论，得出解后的式子的讨论，得出ABC的形状的形状导引：导引：知知1 1讲讲a2c2b2c2a4b4，c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)即即(a2b2)(a2b2c2)0.(1)当当a2b20时，则有时，则有c2a2b2.ABC是直角三角形是直角三角形(2)当当a2b20，即，即ab时，时，若若a2b2c20，则，则ABC是等腰三角形是等腰三角形 若若a2b2c20，则，则ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形 综上所述，综上所述，ABC是直角三角形或等

42、腰三角形或是直角三角形或等腰三角形或 等腰直角三角形等腰直角三角形解：解：总 结 两个因式的积为两个因式的积为0，有只有一个因式为，有只有一个因式为0和两个和两个因式都为因式都为0两种情况；判断三角形形状时，不仅要考两种情况；判断三角形形状时，不仅要考虑直角三角形，还要考虑等腰三角形本题易丢掉虑直角三角形，还要考虑等腰三角形本题易丢掉情况情况(2)，在化简过程中没有考虑到，在化简过程中没有考虑到a2b20的情况的情况就直接在等式两边除以一个可能为就直接在等式两边除以一个可能为0的式子，从而导的式子，从而导致了错误致了错误知知1 1讲讲知知1 1讲讲如图，如图，E、F分别是正方形分别是正方形AB

43、CD中中BC和和CD边边上的点，且上的点，且AB4，CE BC，F为为CD的中的中点，连结点，连结AF，AE，EF，问：，问：AEF是什么三是什么三角形？请说明理由角形？请说明理由例例5 知知1 1讲讲直接判断直接判断EF2AF2与与AE2的关系不太容易，的关系不太容易，但由于但由于“AB4，CE BC，F为为CD的中的中点点”，因此可以很容易求出，因此可以很容易求出AF，EF，AE的的长，然后判断长，然后判断EF2AF2与与AE2的关系，从而的关系，从而得到三角形的形状得到三角形的形状导引：导引：知知1 1讲讲四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，CDABBC4，BDC90.CE BC，F

44、为为CD的中点，的中点，CE1，CFDF2，BEBCCE3，EF AF AE 5.又又()2()252，EF2AF2AE2，AEF是直角三角形是直角三角形解：解：总 结 当要判断的三角形三边都未知时，首先要借助当要判断的三角形三边都未知时，首先要借助题目中给出的一些数量关系分别求出三角形三边的题目中给出的一些数量关系分别求出三角形三边的长，然后利用勾股定理的逆定理来判断长，然后利用勾股定理的逆定理来判断知知1 1讲讲总 结利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：(1)比较三边比较三边a、b、c的大小，找出最长边；的大小，找出最长边；(2)计算两短边的

45、平方和，看它是否与最长边的平方计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方 相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对 的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三 角形角形知知1 1讲讲知知1 1练练 1已知已知ABC的三边长分别为的三边长分别为5，12，13，则，则ABC的面积为的面积为()A30 B60 C78 D无法确定无法确定 2在在ABC中，中，A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，且，且(ab)(ab)c2，则，则()AA为直角为直角BB为直角为直角CC为直角为直角DABC不是直角三角形不是直

46、角三角形知知1 1练练 如图，每个小正方形的边长均为如图，每个小正方形的边长均为1，则，则ABC是是()A直角三角形直角三角形 B锐角三角形锐角三角形C钝角三角形钝角三角形 D等腰三角形等腰三角形3 知知2 2讲讲2知识点勾股数勾股数勾股数：能勾股数：能够够成成为为直角三角形三条直角三角形三条边长边长的三个正整的三个正整数常数常见见的勾股数有：的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；.要点精析：要点精析：(1)勾股数有无数勾股数有无数组组；(2)一一组组勾股数中各数的相同正整数倍数得到一勾股数中各数的相同正整数倍数得到一组组新新 的勾股数如的勾股

47、数如3，4，5是勾股数，是勾股数，则则6，8，10和和 9，12，15也是勾股数；即如果也是勾股数；即如果a，b，c是一是一组组勾股勾股 数，那么数，那么na，nb，nc(n为为正整数正整数)也是一也是一组组勾股数勾股数归 纳判断勾股数的方法：判断勾股数的方法：(1)确定是否是三个正整数；确定是否是三个正整数；(2)确定最大数；确定最大数；(3)计计算：看算：看较较小两数的平方和是否等于最大数的平方小两数的平方和是否等于最大数的平方知知2 2讲讲已知已知 ABC，AB=n2 1，BC=2n，AC=n2+1(n为为大于大于1的正整数的正整数).试问试问 ABC是直角三角是直角三角 形形吗吗？若是

48、，哪一条？若是，哪一条边边所所对对的角是直角？的角是直角？请说请说明理由明理由.知知2 2讲讲例例6 知知2 2讲讲AB2+BC2=(n2 1)2+(2n)2 =n4 2n2+1+4n2 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 =AC 2ABC是直角三角形，边是直角三角形，边AC所对的角是直角所对的角是直角.解：解：想一想，想一想，为为什么什么选择选择AB2+BC2？AB、BC、CA的的大小关系是怎大小关系是怎样样的？的？观观察下面的表格所察下面的表格所给给出的三个数出的三个数a，b，c，其，其中中abc.知知2 2讲讲例例7 3，4，53242525，12，13521221327，24，257

49、22422529，40，4192402412a，b，ca2b2c2(1)试试找出它找出它们们的共同点，并的共同点，并说说明你的明你的结论结论；(2)当当a21时时，求，求b，c的的值值知知2 2讲讲 只要能够发现每组三个数之间的规律即可，只要能够发现每组三个数之间的规律即可，这就需从不同的角度去观察、分析，运用从这就需从不同的角度去观察、分析，运用从特殊到一般的思想来解答特殊到一般的思想来解答导引：导引：(1)各组数的共同点是：各组数的共同点是：各组数均满足各组数均满足a2b2c2；最小数最小数a是奇数，其余的两个数是奇数，其余的两个数b，c是连续是连续 的正整数；的正整数；最小数的平方等于另

50、外两个连续正整数的最小数的平方等于另外两个连续正整数的 和和解：解：知知2 2讲讲由以上特点可猜想并说明这样一个结论：设由以上特点可猜想并说明这样一个结论：设x为大于为大于1的奇数，将的奇数，将x2拆分为两个连续正整数之和，即拆分为两个连续正整数之和，即x2y(y1)，则，则x，y，y1就能构成一组勾股数就能构成一组勾股数证明：证明：x2y(y1)(x为大于为大于1的奇数的奇数)，x2y2y(y1)y2y22y1(y1)2.x，y，y1是一组勾股数是一组勾股数运用以上结论，当运用以上结论，当a21时，时，212441220221.b220，c221.(2)总 结 寻寻找与大于或等于找与大于或等