【高中数学】全概率公式 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册).pptx

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1、第七章 随机变量及其分布7.1 7.1 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式 7.1.2 7.1.2 全概率公式全概率公式 一二三学习目标利用概率的加法公式和乘法公式归纳得到全概率公式掌握全概率公式能用全概率公式计算较复杂的概率问题复习回顾1.条件概率：条件概率：在事件在事件A发发生的条件下，事件生的条件下，事件B发发生的概率称生的概率称为为条件概率条件概率，即，即由条件概率公式可得由条件概率公式可得2.概率的乘法公式：概率的乘法公式：3.条件条件概率的性质：概率的性质：条设条设P(A)0,则则(1)P(|A)=1;(2)如果如果B和和C是两个是两个互斥事件互斥事件,则则P(BC|A)=P

2、(B|A)+P(C|A);设设A和和B是两个是两个独立事件独立事件,则则P(B|A)=P(B)或或P(A|B)=P(A).求复杂事件的概率求复杂事件的概率常常分成分成两个两个(或多个或多个)互斥的较简单的事互斥的较简单的事件之和的概率。件之和的概率。注意顺序！先发生注意顺序！先发生的事件，写在前面的事件，写在前面新课导入 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法和乘法公式求其概率。本节，我们再根据一个求复杂事件概率问题出发学习。新知探究问题1 从有从有a个红球和个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出个蓝球的袋子中，每次随机摸出

3、1个球，摸出的球不再放个球，摸出的球不再放回回.显然，第显然，第1次摸到红球的概率为次摸到红球的概率为 ，那么第，那么第2次摸到红球的概率是多大次摸到红球的概率是多大?如如何计算这个概率呢何计算这个概率呢?下面我们给出严格的推导.因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 .但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.事件事件R2可可按第按第1次可能的摸球结果次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即的并，即P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)利用概率的利用概率的加法公式加法公式和和乘法公

4、式乘法公式，得，得用用 Ri表示事件表示事件“第第i次摸到红球次摸到红球”，Bi表示事件表示事件“第第i次摸到蓝球次摸到蓝球”，i=1,2.新知探究R2=R1R2UB1R2.说明抽签是具有公平性的 按照某种按照某种标标准准,将一个复将一个复杂杂事件表示事件表示为为两个互斥事件的并两个互斥事件的并,再由再由概率概率的加法公式和乘法公式的加法公式和乘法公式，求得求得这这个复个复杂杂事件的概率事件的概率.R2新知探究上述过程采用的方法是:新知探究问题2 按照某种标准,将一个复复杂杂事件事件表示为多个互斥事件的并个互斥事件的并,根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复复杂杂事件事件的概率？()=()

5、+()+()加法公式 乘法公式求和求和符号符号概念生成全概率公式我们称上面的公式为我们称上面的公式为全概率公式全概率公式全概率公式是概率论中最基本的公式之一全概率公式是概率论中最基本的公式之一.全概率公式使用条件:A1,A2,An是一组两两互斥的事件；A1A2An=；P(Ai)0,且 .对公式的理解：某一事件某一事件B的发生可能有各种的原因，如果的发生可能有各种的原因，如果B是由是由原因原因Ai(i=1,2，,n)(Ai 互斥，构成一个完备事件互斥，构成一个完备事件)所引起所引起，则，则B发生的概率是发生的概率是BAi(i=1,2，,n)发生概率的总和。发生概率的总和。可以形象地可以形象地把全

6、概率公式看成为把全概率公式看成为“由原因求结果由原因求结果”，每个原因对结，每个原因对结果的发生有一定的果的发生有一定的“作用作用”.”.概念生成 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各原因发生的概率是各原因Ai引起引起，BAi(i=1,2,n)发生概率的总和，即全概率公式发生概率的总和，即全概率公式.例4 某学校有某学校有 A，B两家餐厅，王同学第两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第如果第1天去天去A餐厅，那么第餐厅，那么第2天去天去A餐厅的概率为餐厅的概率为0.6；如果第；如果第1天去天去B餐厅，那么第餐厅

7、，那么第2天去天去A餐厅餐厅的概率为的概率为0.8.计算王同学第计算王同学第2天去天去A餐厅用餐的概率餐厅用餐的概率.典例解析设设A1“第第1天去天去A餐餐厅厅”,B1“第第1天取天取B餐餐厅厅”,A2“第第2天去天去A餐餐厅厅”,则则 解：=0.50.6+0.50.8=0.7设事件设事件写概率写概率代公式代公式方法归纳全概率公式求复杂事件概率的步骤：全概率公式求复杂事件概率的步骤：1.设事件设事件：把事件把事件B(结果事件结果事件)看作某一过程的结果看作某一过程的结果,把把A1,A2,An 看作看作导致结果的若干个导致结果的若干个原因；原因；2.写概率写概率：由已知，写出：由已知，写出每一原

8、因发生的概率每一原因发生的概率(即即P(Ai),且每一原因对结且每一原因对结果的影响程度果的影响程度(即即P(B|Ai)；3.代公式代公式：用全概率公式计算结果发生的概率用全概率公式计算结果发生的概率(即即P(B).P(A1)，P(A2)P(An)P(B|A1),P(B|A2).P(B|An)由因求果巩固练习课课本本52页页 1.现有现有12道四选一道四选一 的单选题，学生张君对其中的单选题，学生张君对其中9道题有思路，道题有思路，3道题完全没有思道题完全没有思路路.有思路的题做对的概率为有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜

9、对答案的概率为的概率为0.25.张君从这张君从这12道题中随机选择道题中随机选择1题，求他做对该题的概率题，求他做对该题的概率.解：解：设事件设事件写概率写概率代公式代公式典例解析例5 有有 3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为台加工的次品率为6%，第，第2，3台加工台加工的次品率均为的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零台车床加工的零件数分别占总数的件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是

10、次品，计算它是第如果取到的零件是次品，计算它是第i(i1，2，3)台车床加工的概率台车床加工的概率.典例解析例5 有有 3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为台加工的次品率为6%，第，第2，3台加工台加工的次品率均为的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零台车床加工的零件数分别占总数的件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第如果取到的零件是次品，计算它是第i(i1，2，3)台车床

11、加工的概率台车床加工的概率.A1A2A3A3BA1BA2B 设设B“任取一个零件任取一个零件为为次品次品”,Ai“零件零件为为第第i台台车车床加工床加工”(i1,2,3),则则 解：解：典例解析例5 有有 3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为台加工的次品率为6%，第，第2，3台加工台加工的次品率均为的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零台车床加工的零件数分别占总数的件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如

12、果取到的零件是次品，计算它是第如果取到的零件是次品，计算它是第i(i1，2，3)台车床加工的概率台车床加工的概率.（2 2）“如果取到得零件是次品如果取到得零件是次品,计算它是第计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率台车床加工的概率”,就是就是计算在计算在B发生的条件下发生的条件下,事件事件Ai发生发生的概率的概率.新知探究已知原因求结果已知结果求原因 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 就分别是第1,2,3台车床操作员应承担的份额.概念生成将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式.*贝叶斯公式：设设A1,A2,An是一组两两互斥的事件，是一组两两互斥的事件，A1A

13、2An=，且且P(Ai)0，i=1,2,n，则对任意的事件，则对任意的事件 ，P(B)0，有，有对对分子用乘分子用乘法法公公式式对对分母用全概率公式分母用全概率公式 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在观察到它是在观察到事件事件B已发已发生的条件生的条件下，寻找下，寻找导致导致B发生发生的的每个原因每个原因的概率的概率.贝叶斯公式的应用步骤：贝叶斯公式的应用步骤：2.确定先验概率与有关条件概率；3.代入公式计算.如果已知事件如果已知事件B已经发生，要求此时是由第已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，个原因引起的概率，则用则用Bayes公式公式概念

14、生成我们把事件B看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式*贝叶斯公式的使用：执果寻因解：解：2.两批同种规格的产品，第一批占两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为，次品率为5%；第二批占；第二批占60%，次品率，次品率为为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取将两批产品混合，从混合产品中任取1件件.(1)求这件产品是合格品的概率；求这件产品是合格品的概率；(2)已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.设设A

15、“取到合格品取到合格品”,Bi“取到的取到的产产品来自第品来自第i批批”(i1,2),则则巩固练习课课本本52页页典例解析例6 在数字通信中，信号是由数字在数字通信中，信号是由数字0 0和和1 1组成的序列组成的序列.由于随机因素的干扰，由于随机因素的干扰，发送的信号发送的信号0 0或或1 1有可能被错误地接收为有可能被错误地接收为1 1或或0.0.已知发送信号已知发送信号0 0时时,接收为接收为0 0和和1 1的概率分别为的概率分别为0.90.9和和0.10.1；发送信号；发送信号1 1时，接收为时，接收为1 1和和0 0的概率分别为的概率分别为0.950.95和和0.05.0.05.假设发

16、送信号假设发送信号0 0和和1 1是等可能的是等可能的.(1)(1)分别求接收的信号为分别求接收的信号为0 0和和1 1的概率；的概率；(2)(2)已知接收的信号为已知接收的信号为0 0，求发送的信号是，求发送的信号是1 1的概率的概率.发送发送0(0(A)接收接收0(B)0(B)典例解析例6 在数字通信中，信号是由数字在数字通信中，信号是由数字0 0和和1 1组成的序列组成的序列.由于随机因素的干扰，由于随机因素的干扰，发送的信号发送的信号0 0或或1 1有可能被错误地接收为有可能被错误地接收为1 1或或0.0.已知发送信号已知发送信号0 0时时,接收为接收为0 0和和1 1的概率分别为的概

17、率分别为0.90.9和和0.10.1；发送信号；发送信号1 1时，接收为时，接收为1 1和和0 0的概率分别为的概率分别为0.950.95和和0.05.0.05.假设发送信号假设发送信号0 0和和1 1是等可能的是等可能的.(1)(1)分别求接收的信号为分别求接收的信号为0 0和和1 1的概率；的概率；(2)(2)已知接收的信号为已知接收的信号为0 0，求发送的信号是，求发送的信号是1 1的概率的概率.解:典例解析例6 在数字通信中，信号是由数字在数字通信中，信号是由数字0 0和和1 1组成的序列组成的序列.由于随机因素的干扰，由于随机因素的干扰，发送的信号发送的信号0 0或或1 1有可能被错

18、误地接收为有可能被错误地接收为1 1或或0.0.已知发送信号已知发送信号0 0时时,接收为接收为0 0和和1 1的概率分别为的概率分别为0.90.9和和0.10.1；发送信号；发送信号1 1时，接收为时，接收为1 1和和0 0的概率分别为的概率分别为0.950.95和和0.05.0.05.假设发送信号假设发送信号0 0和和1 1是等可能的是等可能的.(1)(1)分别求接收的信号为分别求接收的信号为0 0和和1 1的概率；的概率；(2)(2)已知接收的信号为已知接收的信号为0 0，求发送的信号是，求发送的信号是1 1的概率的概率.解：解：P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)0.475=0.50.05=11925由因求果执果寻因 1.设事件设事件2.写概率写概率3.代公式代公式全概率公式全概率公式P(B)P(BA1)P(BA2)P(BAn)=P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(An)P(B|An)条件概率条件概率P(B|A)*贝叶斯公式贝叶斯公式课堂小结乘法公式乘法公式P(AB)P(A)P(B|A)