全国硕士研究生考试真题及答案解析《数学一》（2013年、2014年共2套）.pdf

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1、2014年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题（本题共8小题，每小题 4分，共3 2分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)下列曲线中有渐近线的是（(A)y=x+sin x.(B)y=x2+sin x.1(C)y=x+sin.X 1(D)y=x2+sin.X(2)设函数f(x)具有2阶导数，g(X)=/(0)(I-X)+/(1)X,则在区间0,1 上（）(A)当f(x);:O时，f(X);:g(X).(B)当f(x);:O时，f(x)g(x).(C)当f(X);,:Q时，f(X);:g(X).(D)当f(X);,:Q 时，f(x)冬 g(x).

2、(3)设J(x,y)是连续函数，则叫0-f(X,y)dx=()(A)L d xL无一1/(x,y)dy+l1d xf卢八x,y)dy(B)L dxL一无f(X,y)dy+ll d x l歹f(x,y)dy.厂fos/Jsin/J(C)0 d0 0/(rcos 0,rsin 0)dr+ff d0 L/(rcos 0,rsin 0)dr.广厂/Jsin/J(D)d0/(rcos 0,rsin 0)rdr+f 叫1/(rcos 0,rsin 0)rd r.0 0(4)若fir(x-a1 cos x-b1 sin x)2 dx=min fir(x-acos x-bsin x)2 d x,则a1cos

3、x+b1 sin x=()a bER(A)2sin x.(B)2cos x.(C)27rsin x.(D)27rcos x.0 a b O(5)行列式a O O b 0 C d 0 I=c C O O d,(A)(ad-bc)2.(B)-(ad-bc)2.(C)a2d2-b2c2.(D)b2c2-a2d气(6)设归生，U3 均为3维向量，则对任意常数kl,向量组 a1+k也立尸厄 线性无关是向量组 a1a2,a3线性尤关的（）(A)必要非充分条件.(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件(7)设随机事件A 与B相互独立，且P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则 P(

4、B-A)=()(A)0.1.(B)O.2.(C)O.3.(D)O.4.(8)设连续型随机变蜕X1与X2相互独立且方差均存在，X1与X2概率密度分别为/1(x)与儿(X)随机变量yl的概率密度 为/(Y1 y)=2(A)E(Y1)E(凡），D(Y1)D(Y2).(C)E(Y1)=E(Y2),D(Y1)D(Y2).二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）(9)曲面z=x 气1-sin y)+y2(1-sin x)在点(1,0,1)处的切平面方程为(10)设J(x)是周期为4的可导奇函数，且J(x)=2(x-1),xE 0,2,则/(7)=.(11)微分方程xy+y(I

5、n x-In y)=0满足条件y(l)=e3的解为y=.(12)设L是柱面x2+y2=1 与平面y+z=0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分fzdx+ydz=(13)设二次型J(x1,X2,x3)=xi 一式+2ax1 x3+4x2x3的负惯性指数为1则a的取值范围是 2x 0 x 20(14)设总体X的概率密度为f(x;/J)=i 芷0,其他，其中0是未知参数，X1,X2,，xn为来自总体X的简单随机样本，若心：对是矿的无偏估计，则c=.i=1 三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(15)(本题满分10分）r t2(e+-1)-t

6、 dt 求极限li mx-+00 x2 ln(1+).(16)(本题满分10分）设函数Y=f(x)由方程 y3+xy2+x2 y+6=0 确定，求f(x)的极值(17)(本题满分10分）和和设函数八u)具有二阶连续导数，z=f(e冗cosy)满足+2=(4z+ex cos y)e2无若f(O)=0,祁2 切f(O)=0,求八u)的表达式2:8999*():89999*():89999*():8*(:8*(:8*(:8999*():8999*():8*(:8*(:8*(:8*(:8999*():8999*()4231111一、选择题(1)D 解 用洛必达法则1 l x arctanx 1+x 2

7、 1+x 21 1 X l im=l im=l im=hm=c#-O,x 丑 X,一-o kx k-lx-0 kx k-l(1+X z)k x 勺xk-11 因此k-1=Z,一-c,即k=3,c-一故应选D.k 3 CZ)A 解F:=zx-ysin(xy)+L F:=-xsin(x y)+z,F:=y.曲面 x2+cos(xy)+yz十X=0在点(0 1,1)处的切平面的法向晕n=l,-1,1,切平面方程为：1(x0)(y1)+1(z+1)=0,即xy+z-Z.故应选A.(3)C解 观察到S(x)是f(x)的正弦函数，对J进行奇延拓，其周期为z.故S(x)f(x).9 1 1 s(-)=S(-

8、s-=-1 1 4 4)(4)1(了）勹一 故应选C(4)D解 由格林公式得I,-f(y+f)山+(Zx-)dy=(1x2-f)心dy其中 D1:xz+yz冬1,D2:x2+y2z,D3:f+y2冬1,y D口 xz+l.z显然在 几内 有y y l-x2-O,在队外有l-x2-I1,I4Iz.y 又D4=几+D4D 5,几=D5+D3D 5,在 D3D 5 上l-x2-O,2013年（数一）真题答案解析故J4=II(1-x 2f)dx dy+II(1X 2-f)dx dyD5 D八Ds13=(1y x 2勹）dxdy+II(1.亢2飞）dxdy.故应选D.D5 D叭D5(5)B解 由 千AB

9、=C,那么对矩阵A,C按列分块，有，、丿，“，2”,，1”,（nnn 12n bbb 222 12”bbb 111 12n bbb-l），2，1（Y1=b1 1a 1+b心+b.1a.,即了:,b,a,+b心+b.,a.,r.=b1na1+b z.az+bn.an.这说明矩阵 C 的列向最组r 口 rz,r.可由矩阵A 的列向量组a1,a 2,a.线性表出又矩阵 B可逆，从而A=CB飞那么矩阵A的列向量组也可由矩阵C的列向械组线性表出由向量组等价的定义可知，应选B.(6)B解 记A:考察矩阵A的特征值为 2,b,O的条件首先，显然1At:,因L是A 的特征值其次，矩阵A 的迹tr(A)=2-t

10、-b,因此如果 2 是矩阵 A的特征值，则 b就是矩阵A的另一个特征值于是“充要条件”为2 是A的特征值由lzEAl=a 2-ba=4a2=O气=O.l-a l 因此充要条件为a=O,b为任意实数，故应选B.(7)A解 将随机变量义和x3化成标准正态后再比较 其大小P 1=P 2 X 12=P(2)-中(2)2 Xz 2 Pz=P-2 X三2=P 气(1)-P(-1)2 2 2 p 3=P-2 X 3 2-25 x35 2-5=P3 32=iP(-1)叶习=P行）-Pz p 3.故应选A.x 7l3(8)C解 当X-t(n)时，X2-FO,n),又Y-FO,n),故Y与xz同分布当 C 0时，

11、由 t分布的对称性有PYc2=PX2c2=P X c=PXcUXc=2a.故应选C.二、填空题(9)1解 把 X=O 代入方程有 八0)=1.方程y-X=exO-y)两端 同时对x 求导有f(工)-1=el-f(x)1-f(x)-x f(x)J.把 X=O 代入上式得厂(0)=2-f(O)=l.又 limf 釭）-=f(O)=l,x-o X 1 三卢 1飞巴!(-;l气尸 1n OO)C 1 e立+cz产-xe红解 由常系数非齐次线性微分方程解的性质可 得Y 1-Y 3=e3x,Y 2-Y 3=ex 是相应二阶齐次线性微分方程 的两个特解故相应二阶齐次线性微分方程的通解为YO=C I e3x+

12、C 2 e.所以所求非齐次方程的通解可表示为y=C 1 ex+C 2芒X e2x(11)心解 dx dy=cost,-=t cost,dt dt.dy tcost-=t,dx cost 叶店）d2 y d dy dt-=-()一 1 c!x 2 dx cl x clx cost c!t 心1从而dx2,-f=亢迈cos 4(12)ln Z 解厂l nx2 dx=_ l nx+=+厂dx=O+l n x 1+=Ol n_l=l n2 1 O+x)l+x 1 2 l+x 1 1 O+x)x(13)-1解 题设条件a;+A;=0 即 AT=A*于 是A=Al可见A 只可能是0或1.又r(A)=r(A

13、T)=r(-A*)=r(A天），则rC A)只可能 为3或0.而A为非零矩阵，因此r(A)不能为o,从而r(A)=3,A#-0,A=-1.或，用特例法取一个行列式为1 的正交矩阵满足AT=-A勹故应填-1.1 0 4)1 e 解 由于XE(l),aO,则由指数分布的分布函数有PY冬a+IYa=PYa,Y,s;:;a+l=Paa 1PY冬a1-e 一(a+)0-e-)e-ae-a-11=le-1=1 l(1e-a)-ae e 三、解答题05)解 由条件显然有J(l)=O,J(x)=由分部积分法及换元积分法有八x)dx=2f J(x)d左。石。ln(x+1)X=2左f(x)11 2f rx 厂(x

14、)dx=2f In釭+Dr。X dx=-4f ln(x+Dd 五。=4左ln(x+1)+4石山o o 1+X 令 t=石-4ln 2+sft2 2dt 0 1+t=-4l n2+8 I:(1lt2)dt=-4ln 2+8-Sarctan t/1。=-4ln2+82 兀=06)CI)证 S飞x)=na 占n-1,SCx)=区 n(n-l)a nXn-Z,nl 又,a n-2=n(nl)a n(n2),=:.S(x)=a n-zXn-Z=幻x=S(x),n-2 n-0n-Z:.S11(x)-S(x)=0得证C II)解 S(x)S(x)=O为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为入21=O,从而

15、入士 1,于是S(x)=C 1 亡+c飞 又S(O)=a。=3,S(O)=a 1=l,代入上式得厂1+C 2=3-C 1+C2=l 解得C 1=l,C2=2,所以S(x)=e-x+2 e 气(17)解 先求驻点，令厂(x+Y+lx)eoJ Y=(l+y+3x3)产=0解得二 或:=为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数1 fxx=(归+2x 2+y+3 X 3)e+y 1 fxy=(X 2+1+Y+了X3)ex+y 儿=(2+y+卢）ex+y在点(-1,2 3)处，A=fxx(-1,-f)=-e 主，B=fxy(-1,f)=e-l-C=fyy(-1,f)=e宁，因为A o,ACB2 O,所

16、以(1 2 3)不是极值点类似地，在点(14，一了）处，4 A=fxx(1,了）=3 e 叶，B=fxy(1,勹=e-C=fyy(1,勹=e-因为 Ao,ACB2=2 e气O,所以(1.-f)是极小值点，极小值为!(1,：片）=(-+)e=-e勹(18)证 C I)设F(x)=f(x)-.1:,x E 1,l.;f(x)是奇函数，:.f(O)=0.从而 F(l)=J O)1=0,F(O)=f(O)-0=0,且 F(x)在0,1 上连续，在(01)内可导由罗尔中值定理，存在 f E C O,l)使得 JCO=JCO1=0.且fl.f co=1.II)设 G(x)=厂(x)+J(x)x,:J(x)

17、在-1,1 上是奇函数，:.J(x)在-1,1上是偶函数，G Cl)=JCl)+f(1)-1=J(1),1冬 X l_ G(-1)=JCl)+f(1)+1=厂（1)=JC l).故 G(l)=G(-1),且G(x)在-1,l 内连续，在(-1,1)内可导由罗尔中值定理，3 TJ E(1,1)使得G(r;)=J Cr;)+J(r;)-1=o.即广(r;)+J(r;)=1.另解1:设G(x)=e(J、I(X)-1)则 由(1):G仿）=O.又由于 f(x)为奇函数，故 J(x)为偶函数，可知 G()=0.则五EC一名的C(-1,1)使 G(r;)=O,即 e厂(r;)l+e/Cr;)=0.亦即广(

18、r;)+J、(r;)=l.另解2:令 GC.d=eCJ、(x)-1),则 G伶）=0.由于 J 釭）为奇函数，故 j气x)为偶函数，得 G(-$)=0.G位）在-,JC-1,l 上可导，由罗尔定理知五EC-尽的E(-1,1)心(r;)=O,即广(r;)+J(r;)=1.(19)解 C I)AB=1,1,1X-1 Y Z L:=-=-1 1 1 VM(x,y,之)E 1:,对应于L上的点M。位。，Yo,之汃则艾2十y?=亡+y x 0=l-乏由Yo=z得 2:X2+沪=(1-之)2+z2 即 2:X2+沪=2 之2-2乏+1.err J 显然 xo,yo,zJ之dvJdv记D z=(x,y)尸+

19、y22 z2-2 z+1,dv=J:dz山dy=穴f:(2z2-2 z+l)dz=六（气 4+2)=1t,Jzdv=fdzd xdy=穴J:(2 z3 2 z2十z)dz=穴(s+2)=n:,，7_5-Z:.形心坐标(o,o,一7 5)X1 Xz(2 0)解 设C=(X3 XJ则AC-CA=B成立的充分必要条件为,+ax,O ax 1+x 2-t-ax 4=l,(*)X3-x41,-a x 3=b.对方程组的增广矩阵施以初等行变换得-1 a。J1。-1l 11。a。1 a。）。-1-1。+11-a。b当a c:j=l或b#0时，方程组（）无解当a=l,b=0时，方程组（）有解，通解为x i l

20、+k(+k,j,k,如为任 意常数综上，当且仅当 a=1,b=0时，存在满足条件的矩阵C,且(2 1)证2 于 k 由，l）ll23k k xxx(+l,=x C已i）I（丿，如心为 任意常数 f(x 1,工，X z)=2(a 1x 1+a 江 2+a 3X3)2+(b心 I+b 2X2+b 3X3)2 2(x,x,xJ(a,a,a,:+(兀x,x,)l(/,b,b:l=2x1(a 矿）X+x cpp勹 x=x 气2 a矿仰勹x,又2 a矿仰T为对称矩阵，所以二次型 J对应的矩阵为2 aa1+PP1.C II)记A=ZaaT+P PT,由于a,p 正交且均为单位向晕，所以Aa=(ZaaT+pp

21、 勹a=Za,AP-(Za矿仰T)P=P 于是入=Z,幻=l 是矩阵A的特征值，又r(A)=r(ZaaT+PP勹 r(Za矿）十rCPP勹 Z,所以从=O是矩阵 A的特征值，故 J在正交变换下的标准形为 Zyi+y:.(22)解 C I)由题设条件知，Pl Y乏 2=1 记Y的分布函数为F凶y)则当 yl时，凡(y)=0 当ly 2时，凡(y)=PYy=PY=l+Pl Y炙y=J:x2dx+厂x2dxy3+1 827 当 y 2时，凡(y)=1.o,所以Y的分布函数 为F凶 y)勹18,1,yl,l乏yZ,y歹2.(II)PX冬 Y=PXO,当其他n 1n X 1,X 2,，X n 0时，ln L(0)=2nln0-0 3 ln x,.i-1 X,-1 令dlnL(0)=竺n上 2nd0 0=0,得0的最大似然估计值为iJ-,-1 X,-1 X,所以0的最大似然估计量为0=Zn 2 工,1 X,