全国硕士研究生考试真题及答案解析《数学一》（2019年、2020年共2套）.pdf

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1、2019年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题（本题共8小题，每小题 4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(I)当X-+0时，若x-tan x与 xk是同阶无穷小，则k=(A)l.(B)2.(C)3.、丿(D)4.(2)设函数f(x)=XIX IX 冬 O则 X=0是 f(x)的（）xl n x,x 0,(A)可导点，极值点(B)不可导点，极值点(C)可导点，非极值点(D)不可导点，非极值点(3)设飞是单 调增加的有界数列，则下列级 数中收敛的是（）CB)Ic-1 尸1 u;(C)(i-2:;)(D)(u!.,一式）(4)设函数 Q(

2、x,y)=今如 果对上半平面(y O)内的任意有向光滑封闭曲线C 都有乎P(x,y)dx+Q(x,y)d y=0,那么函数P(X,y)可取为（）(A)y-子1 x2(B)-1 1(C)-.1(D)x-.y y(5)设A是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵若A2+A=2E,且IA I=4,则二次型xTAx的规范形为（）00 u(A)I 二n=l n(A)Yi+y;+y;(B)Yi+y;-y;(C)Yi-y;-Yi(D)-Yi-y;-y;(6)如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程ail x+ai2y+ai3z=d;(i=l,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A

3、,A,则（(A)r(A)=2,r(A)=3.(B)r(A)=2,r(A)=2.(C)r(A)=1,r(A)=2.(D)r(A)=1,r(A)=1.(7)设A,B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件 是（）(A)P(A U B)=P(A)+P(B).(B)P(AB)=P(A)P(B).(C)p(A B)=p(B A).(D)p(AB)=p(A B).(8)设随机变豐X与Y相互独立，且都服从正态分布N(,矿），则 Pl IX-YI 1 f()(A)与 无关，而与矿有 关.(B)与 有关，而与矿无关(C)与,矿都有关(D)与,矿都无关1 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答

4、案填在题中横线上）(9)设函数八u)可导，z=/(sin y-sin x)+xy,则 一-.-+.一1加1加COS X 彻c osy切(10)微分方程2yy-r2-2=0满足条件y(O)=1的特解y=(11)幕级数2(-1)几=O(2n)!x在(0,+oo)内的和函数S(x)=(12)设凶设为曲面x2+y2+4z2=4(z0)的 上侧，则ff J4-x2-4z2dxdy=(13)设A=(a1,a2,a3)为3阶矩阵若a1a2线性无关，且a3=-a1+2a2,则线性方程组Ax=0的通解 为(14)设 随机变掀X的概率密度为八x)=(fO x E(X)-1 l,三、解答题（本题共9小题，共94分，

5、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(15)(本题满分10分）设函数y(x)是微分方程y+xy=e寻满足条件y(O)=0的特解(I)求y(x);(II)求曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点(16)(本题满分10分）设a,b为实数，函数z=2+ax2+by2在点(3,4)处的 方向导数中，沿方向l=-3i-4j 的方向导数最大，最大值为10.(I)求a,b;(II)求曲面z=2+ax2+by2(z;,:0)的面积2(17)(本题满分10分）求曲线y=e 一允sin x(x 0)与x轴之间图形的面积(18)(本题满分10分）1 设a,.=L xJl了五x(n=0,1,2,）(I)证明数列叮单调递

6、减，且a,.=一n-1 n+2 a 几 一2(n=2,3,-);(II).a 求hm n.n-+oo a 几 一1(19)(本题满分10分）设0是由锥面忒+(y-z)2=(l-z)2(0 z1)与平面z=0围成的锥体，求0的形心坐标(20)(本题满分11分）设向量组a(1 2 1，）平=(1,3,2)T,a3=(1,a,3尸为R3的一个基，/J=(l,1,l)T在这个基下的坐标为(b,c,1)飞(I)求a,b,c;(II)证明生立3/J为 R3的一个基，并求生立3/J到叮生立3的过渡矩阵3(21)(本题满分11分）已知矩阵A=厂。-2=lJ与B=一相似(I)求x,y;(II)求可逆矩阵P使得p-1A P=B.(22)(本题满分11分）设随机变量X与Y 相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率 分布为PjY=-If=p,PjY=If=1-p(O p 1).令Z=XY.(I)求 Z的概率密度；(II)p为何值时，X与Z不相关；(ill)X与Z是否相互独立？(23)(本题满分11分）设总体X的概率密度为J(x;矿）尸e亏，X3,。X 0是未知参数，A是常数.X1,凡，xn是来自总体X的简单随机样本(I)求A;(I)求矿的最大似然估计量4