【高中数学】一元线性回归模型参数的最小二乘估计（2） 高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx

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1、8.2.2 8.2.2 一元线性回归模型参数一元线性回归模型参数的最小二乘估计的最小二乘估计(2)(2)8.2 8.2 一元线性回归模型及其应用一元线性回归模型及其应用1.经验回归方程：经验回归方程：2.最小二乘估计：最小二乘估计：复习回顾复习回顾3.分析模型的回归效果分析模型的回归效果方法方法：利用残差图直观判断模型是否满足一元线性回归模型的假设。残差散点图应均匀地分布在横轴两侧，呈带状，宽度越窄，说明模型拟合精度越高。也可以利用决定系数决定系数R2判断回归模型的拟合效果。编号12345678年份18961912192119301936195619601968记录/s 11.80 10.60

2、10.4010.3010.2010.10 10.009.95问题情境 人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程 解：解：以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标,世界纪录为纵坐标作散点图,得到散点图.图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.相关系数r=-0.86 编号12345678年份18961912192119301936195619601968记录/s 11.80 10.6010.

3、4010.3010.2010.10 10.009.95问题情境 人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程 解：解：用Y表示男子短跑100m的世界纪录,t表示纪录产生的年份 根据最小二乘法,由表中的数据得到经验回归方程为：将经验回归直线叠加到散点图上。观察观察:从图中可以看到,经验回归方程较好地刻画了散点的变化趋,请再仔细观察图形,你能看出其中存在的问题吗?例如，第一个第一个世界纪录所对应的散点远离远离经验回归直线，并且前后两时

4、间前后两时间段中段中的散点都在经验回归直线的上方上方，中间中间时间段的散点都在经验回归直线的下方下方.答案：答案：散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.修正模型修正模型,以使其更好地反映散点的分布特征：仔细观察右图,可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近.函数y=-lnx的图象具有类似的形状特征.由于由于到到100100m短跑的第一个世界纪录产生于短跑的第一个世界纪录产生于18961896年年,因此可因此可设设非线性非线性回归方程回归方程为：为：y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)（其中

5、其中c1、c2为未知参数，且为未知参数，且c2 R R1 12 2 ，因此经验回归方程的刻画效果比经验回归方程的好很多.分析模型分析模型的回归效果方法：的回归效果方法：（2 2）残差平方和）残差平方和（1 1）残差分析）残差分析好的回归方程对应的残差散点图应是均匀地分布在横轴两侧的带状区域内.且带状区域越窄，说明模型拟合效果越好列残差表列残差表画画残差残差图图（3 3）决定系数）决定系数R R2 2法法残差平方和越小，说明模型拟合效果越好.R2越大，说明模型拟合效果越好.线性相关线性相关非非线性相关线性相关 对于非线性经验回归问题，可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数（幂函数、对数函

6、数、指数函数等）的图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题转化为经验回归方程问题来解决解决解决非线性回归非线性回归问题的步骤问题的步骤画散点图根据散点图,选择恰当的拟合函数恰当的拟合函数进行恰当的变换，转化成线性函数转化成线性函数，用最小二乘法求经验回归方程通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程选拟合函数根据原始数据(x,y)画散点图变换变换求解求解变换变换还原还原 得出结果后需进行线性回归分析.决定系数R2取值越大，说明模型的拟合效果越好.知识海洋非线性非线性经验经验回归方程回归方程当经验回归方程并非形如y=bx+a(a，bR）时，称之为非线性经验回非

7、线性经验回归方程归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的选择合适的曲线方程来模拟曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下：曲线方程曲线方程变换公式变换公式变换后的线性关系式变换后的线性关系式y=axb c=ln a，v=ln x，u=ln yu=c+bv c=ln a，u=ln yu=c+bxu=c+bvy=a+bln x v=ln xy=a+bvu=a+bv拓展练习拓展练习1 某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位:千万元)对年销售量y(单位:千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi(i=1,2,1

8、0)的数据，得到散点图如图所示.(1)利用散点图判断y=a+bx和y=cxd(其中c,d均为大于0的常数)哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；(2)对数据作出如下处理，令ui=lnxi,vi=lnyi,得到相关统计量的值如下.根据第(1)问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.附附:对于一组数据对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn)，其回归直线，其回归直线 的斜率的斜率和截距的最小二乘估计分别为和截距的最小二乘估计分别为解：解：(1)由散点由散点图图可知，可知，选择选择回回归类归类型型y=cxd更合适更合适.(2)

9、对对y=cxd两两边边取取对对数，的数，的lny=lnc+dlnx，拓展练习拓展练习2 某地今年上半年患某种传染病的人数y(人)与月份x(月)之间满足函数关系，模型为yaebx，确定这个函数解析式月份月份x/月月123456人数人数y/人人526168747883解：x123456u=lny3.95124.11094.21954.30414.35674.4188(1)作作GDP和年份的散点图，根和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系可据该图猜想它们之间的关系可以用什么模型描述；以用什么模型描述；(2)建立年份为解释变量，建立年份为解释变量，GDP为响应变量的一元线性回归模为响应变量的一元线

10、性回归模型，并计算残差型，并计算残差;(3)根据你得到的一元线性回归模型，预测根据你得到的一元线性回归模型，预测2017年的年的GDP，看看你的预测值，看看你的预测值与实际的与实际的GDP的误差是多少的误差是多少;(4)你认为这个模型能较好地刻画你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗和年份的关系吗?请说明理由请说明理由.课课本本120页页 2.1997-2006 年我国的国内生产总值年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下的数据如下:年份年份GDP/亿元亿元年份年份GDP/亿元亿元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.01999905

11、64.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5(5)随着时间的发展，又收集到随着时间的发展，又收集到2007-2016年的年的GDP数据如下数据如下:建立年份建立年份(1997-2016)为解释为解释变量，变量，GDP为响应变量的经验为响应变量的经验回归方程，并预测回归方程，并预测2017年的年的GDP，与实际的，与实际的GDP误差是多误差是多少少?你能发现什么你能发现什么?年份年份GDP/亿元亿元年份年份GDP/亿元亿元2007270232.32012540367.42008319515.52013595244

12、.42009349081.42014643974.02010413030.32015689052.12011489300.62016744127.2(1)作作GDP和年份的散点图，和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系根据该图猜想它们之间的关系可以用什么模型描述；可以用什么模型描述；课课本本120页页 2.1997-2006 年我国的国内生产总值年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下的数据如下:年份年份GDP/亿元亿元年份年份GDP/亿元亿元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.220001

13、00280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：解：(1)画画GDP与年份的散点与年份的散点图图，如，如图图所示，可以所示，可以观观察到随察到随着年份的增加着年份的增加GDP也随之增加，也随之增加，GDP值值与年份呈与年份呈现现近似近似线线性关性关系，可以用一元系，可以用一元线线性回性回归归模型模型刻画刻画.(2)建立年份为解释变量建立年份为解释变量,GDP为响应变量的一元线性回归模型为响应变量的一元线性回归模型,并计算残差并计算残差;(3)根据你得到的一元线性回归模型，预测根据你得到的一元线性回归模型，预测2017年的年的GDP，看看你的预测值，看看

14、你的预测值与实际的与实际的GDP的误差是多少的误差是多少;课课本本120页页 2.1997-2006 年我国的国内生产总值年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下的数据如下:解：解：(2)用用y表示表示GDP的的值值，t表示年份，用一元表示年份，用一元线线性回性回归归模型模型拟拟合数据，合数据，用用统计软统计软件件计计算，得到算，得到经验经验回回归归方程方程为为残差的残差的计计算算结结果果见见下表下表.年份年份1997199819992000200120022003200420052006残差残差171267752-1734-6873-11145-15145-14296-47325892231

15、57 (3)2017年的年的GDP预报值为预报值为359684亿亿元，元，2017年的年的实际实际的的GDP为为820754亿亿元，元，预测值预测值比比实际值实际值少少461070亿亿元元.(4)你认为这个模型能较好地刻画你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗和年份的关系吗?请说明理由请说明理由.课课本本120页页 2.1997-2006 年我国的国内生产总值年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下的数据如下:解：解：(4)上面建立的回上面建立的回归归方程的方程的R2=0.9213，说说明在明在1997-2006 年内，年内，该该模模型年份能型年份能够够解解释释92.13%的的GDP值

16、变值变化，因此所建立的模型化，因此所建立的模型较较好地刻画了好地刻画了GDP和年份的关系和年份的关系.但因但因为为残差呈残差呈现现一定的一定的规规律性，中律性，中间间是是负负数，两数，两边边是是正数，所以可以考正数，所以可以考虑虑用非用非线线性回性回归归模型模型拟拟合数据合数据.(5)随着时间的发展，又收集到随着时间的发展，又收集到2007-2016年的年的GDP数据如下数据如下:建立年份建立年份(1997-2016)为解释为解释变量，变量，GDP为响应变量的经验为响应变量的经验回归方程，并预测回归方程，并预测2017年的年的GDP，与实际的，与实际的GDP误差是多误差是多少少?你能发现什么你

17、能发现什么?年份年份GDP/亿元亿元年份年份GDP/亿元亿元2007270232.32012540367.42008319515.52013595244.42009349081.42014643974.02010413030.32015689052.12011489300.62016744127.2解：解：(5)仍用仍用y表示表示GDP的的值值，t表示年份，用一元表示年份，用一元线线性回性回归归模型模型拟拟合合1997-2016年的数据，用年的数据，用统计软统计软件件计计算，得到算，得到经验经验回回归归方程方程为为 利用上述模型，利用上述模型，预测预测2017年的年的GDP值为值为704025

18、亿亿元，而元，而2017年年GDP的的实际值实际值820754亿亿元，元，预测值预测值比比实际值实际值少少116729亿亿元通元通过过两个模型两个模型预测预测2017年的年的GDP值值，发现发现第第2个模型个模型预测预测的更准确，的更准确，说说明明建立的模型自建立的模型自变变量的取量的取值值范范围围决定了模型的适决定了模型的适用范用范围围，通常不能超出太多，否，通常不能超出太多，否则则会出会出现较现较大的大的误误差差.收集数据收集数据整理数据整理数据分析数据分析数据统计推断推断研究研究统计问题的一般流程的一般流程简单随机抽随机抽样分分层抽抽样频数分布表数分布表频率分布直方率分布直方图茎叶茎叶图散点散点图.众数众数中位数中位数平均数平均数方差方差标准差准差用用样本估本估计总体体？单单一一数数据据成成对对数数据据单单一一数数据据线性相关系数性相关系数r.成成对对数数据据离散型随机离散型随机变量量.连续型随机型随机变量量（正（正态分布）分布）