信号与线性系统治鱿疤獯鸢信号与线性系统分析习题答案.pdf

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1、信号与线性系统课后答案第一章信号与系统（一）1-1画出下列各信号的波形【式中E）=杷Q）】为斜升函数。(2)/(f)=e f 8(4)/(f)=(sinf)(7)/(f)=2匕(k)解：各信号波形为(2)f(t)=e,-ooroo(3)/(f)=sin(m)(f)(5)f(t)=r(sinf)(10)/(/;)=1+(-1)4W)(h)(3)/(t)=sin(m)(f)(4)/Q)=(sinf)(5)/(O=r(sinr)/Q)(c)Cd)(7)/=2 7伏)(10)/(Z：)=l +(-l/W)/C?)MBr2 n-次MB L八2”37 T2 3 4(g)，/21 2 3 4 6 工1-2画

2、出下列各信号的波形 式中r(r)=t(t)为斜升函数0(1)/(o =2s(t+1)-3s(t-1)+(t-2)(5)/)=心)(2 T)k冗(11)/()=si n()-7)o(2)f(t)=r(t)-2 r(t-I)+r(t-2)(8)f(k)=ks(k)-k-5)(12)f(k)=2k -k)-c(-k)解：各信号波形为(1)/。)=2皿1)3(1)+”2)(T(N)3a:sJ(g)(1)士sisJ(z)(8)/(%)=垃=%)/5)44k九(11)/W =s i n(-)-7)o2)s寸m【(7)3(7s)31zug)j(=)o1-3写出图1-3所示各波形的表达式。1/G)2 _1 -

3、._ _-i O 1 2 上(a)/()o 1 i(c)解图示各波形的表示式分别为：(a)/(f)2e(f+1)e(f 1)e(z(b)/(r)=(r+l)e(r+l)-2(r-E(c)/(f)=l O si n(穴 X)e(Z 1)_(d)/(?)=1 +2(?+2)_ e(?+2)5 I O 1 2 3(b)*/(/)(d)-2)e(t 1)+(t 3)e(f 3)J+1)_ +(2 1)_ e(f+1)e(，-1)_1-4写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。III2 3 4 k(a)川山J-3 -2-1 0 2 3 4 ik解图示各序列的闭合形式表示式分别为：(a)/(8 =(A +

4、2)(b)/()=(4-3)式左-7)(c)/()=(6+2)(d)/(公=(1)%(Q1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。（2）力（%）=cos（网 4+石）+cos（工女+工）（5）八（/）=3cosf+2sin（R）4 4 3 6解：（2）该 序 列 的 周 期 应 为 叼 乎 十 日 和cos（辛+日的最小公倍数cos序 族+年 产 周 期 为8,cos信”看）的 周期 为6 该序列的周期为24。（5）该序列不是周期的,cost的周期为2msin（江）的周期为2.若序列周期为T,则T是2的整数倍，也是27r的整数倍,这不成立，不是周期的。1-6 已知信号/)的波形

5、如图1-5所示，画出下列各函数的波形。(1)/(?-1)(0df(i)F(2)/(r-lW-1)(5)f(l-2 0(6)/(0.5r-2)(8)Jf-00f(x)dx解：各信号波形为(1)(NI 3=/+3/(，)+2(%),上式右端等于/(，)-2r G),故得/(，)+3 1)+2丁口)=/(r)-2/(?)此即为系统的微分方程。（b）系统框图中含有三个积分器，则该系统为三阶系统，设最下方积分器输出为工（八，则各积分器输入为/，/一 。左端加法器的输出为/=/（，）一2 7（，）一3/即一（，）+2/（，）+3彳（，）=/由右方加法器的输出得y=W）4x（r）由上式得Z（r）=/（，）了

6、 一4一（，）2/（r）=了一 412i （，）3y（z）=3（）二 一413N（Z）将以上三式相加得/（，）+2，（，）+3）（，）=父”（，）+2z （，）+31r（，）4卜（，）一2x （?）3JT（?）_即/（2）+2/（，）+3（，）=/（r）-4/（r）此即为系统的微分方程，(c)系统框图中有两个迟延单元,因而该系统为二阶系统。设上方迟延单元的输入为*4),则各个迟延单元的输出为/-1)，晨 k-2)a左方加法器的输出为式 4)=/(4)+2工(4-1)-4 4 4-2)即 1 )一2工(4-1)+4*4 2)=f(k)右方力口法器的输出为y(k)=2*4 1)一1(4一2)由上式

7、移位可得一 2 y(l)=2-2x(.k-2)-2x(k-3)4?&-2)=24(-3)-4x(-4)将以上三式相加得y(4)-2 3 -1)+打(4 一2)=2x(k 1)2x(k 2)+4 z (3)一(4一2)2x(k 3)4-4彳(4 4)二考虑到式1(4)一2(4一1)+4 与4-2)=/(4)及其迟延项可得y(k)-2y(k-1)+4y(k-2)=2/(4 1)一 f(k-2)此即为框图中系统的差分方程。(d)系统框图中有两个迟延单元，因而该系统为二阶系统。设上方迟延单元的输入为%(4),则各个迟延单元的输出为x(.k 1)2)左方加法器输出为力(4)=/(4)+2(4 2)即*4

8、)-2*4 2)=/(/?)右方加法器输出为y(k)=21(4)+3(-1)4/(左一2)由上式移位得-2y(k-2)=2 2式h-2)+31 2x(k-3)-4-2x(k-4)将以上两式相加得y(k)-2y(k-2)=21JC(4)2x(.k 2)1+3JT(4 1)2x(.k-3)_ 2)2x(k 4)_考 虑 到 式 工&)-21a -2)=J X k)及其迟延项,可得y(k)-2y(k-2)=2/()+3 f(k-1)-4 f(k-2)此即为框图中系统的差分方程。1-23设系统的初始状态为x(0),激励为/(),各系统的全响应 0与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。(

9、1)y。)=%(0)+jsi n V(x)d x (2)y)=/(r)x(。)+(3)y)=s i n%(0)+(4)y()=(0.5)A x(0)+f(k)f(k-2)(5)好)=履(。)+/(/)j=o解 用），（，）表 示 零 输 入 响应,%）表 示 零 状 态 响 应。（1）%（，）=e-r （0）,j7（f）=si n jr/（jr）d jr J o则=%（，）+“（%）满 足 可 分 解 性。又），（?），“（，）分 别 满 足 零 输 入 线 性 和 零 状 态 线 性,则系 统 是 线 性 系 统。（2）由系统表示式可知%（%）=0,37（，）=J o可得 y（f）羊/（，）

10、+“（，）因此系统不是线性系统（3）由系统表示式可知%（?）=s i n i（O），1，乂（，）=/（jr）d jrJ o可得 y（t）=/G）+y/G）,系 统 满 足 分 解 特 性。但%（，）+%2（，）#s i n （4（0）+4（0）,打即 以（，）不 满 足 零 输 入 线 性.因 此 系 统 不 是 线 性 系 统。（4）由系统表示式可.知-）=（9）弓（0）,山（氏）=/&）/&-2）可得丁（左）=%（4）+”（）满足可分解特性但”】（左）+“2（。#力&）+%H）口 为 2）+/2 2）：|即yf（k）不满足零状态线性因此系统不是线性系统。（5）由系统表示式可知k%（4）=菽

11、（0），37（4）=/（，）J=0可得y ）=%&）+4）,系统满足可分解特性又有%：（4）+）攵”）=也H1（）+2（。）口k3年 ）+372（）=SC/i J）+/2（J）j=0则 以 ）,“）分别满足零输入线性和零状态线性.因此系统为线性系统。1-25设激励为/（），下列是各系统的零状态响应先$（.）。判断各系统是否是线性的、时不变的、因果的、稳定的？%。）=等（2）yzs（t）=f（t）（4）yzs（t）=f（-t）（5）yzs（k）=f（k）f（k-i）（7）y，k）=f（j）（8）%（左）=/（1一%）J=o解（1）系统满足齐次线性和可加性，则系统为线性系统。.（，一，d）=沙 一

12、，d）系统为时不变系统。(3)%)=/Q)cos(2加)(6)九*)=*一2)，*)当,V时，/(，)=0,则此时有yz%(?)=(Z)=(),则系统为因果系统dr当/()=(，)时,外=6 d),，=0时，/晨1)-8,则系统为不稳定系统。(2)(，)+)*(/)=八 十 力(，)#1力(八十力(，)I，系统为非线性系统。以(，一 心)=/(，一G I 系统为时不变系统。当，V%时/)=0,有%，=f(t);=0,则系统为因果系统n若/(?)8,有.=/(r)8,则系统为稳定系统(3)系统满足齐次和可加性，则系统为线性系统。yK(?rd)=/(t h)cos2兀(f d)1#td)cos(2

13、r)则系统为时变系统n当，V 4时,/a)=o,则此时有,a)=/a)cos(2浦)=o,则系统为因果系统。若 一 力 时，%（，）=/（-r）=0,因此系统为非因果系统。若/8 则有 九/八=fj）8,因此系统为稳定系统（5）系统不满足可加性，则系统为非线性系统。T o ,faM，=/a Q）/a 4 d-i）=一 相），则系统为时不变系统。若 V M 时（）=0,则此时外（6）=/（）/-1）=0,则系统为因果系统。若 f（k）8,则|.（4）=|8 则系统为稳定系统。（6）系统满足齐次线性和可加性则系统为线性系统。丁 0 ,/（4储）=-2）八卜一心）手（k-kd-2）f（k-kd）=）

14、羽（右 一熊），则系统为时变系统。若6 V M时，/&）=。，则此时 有.a）=a-2）/a）=o,则系统为因果系统。若 f（k）8,则当8 时,%（4）=（4一2）/）不一定为有限大，则系统为不稳定系统n（7）系统满足齐次线性和可加性.系统为线性系统。kf7 0 ，/“一储）1 =/（，一心）#=%储），则系统为时变系尸。尸0统。k若/V即 时,/&）=0,则此时有6（4）=（_/）=0,则系统为因果系统。j =0k若 f（k）=小）则%.（4）=/（，）=&+1）,则当归 f 8 时，31 (A)f 8,则系统为不稳定系统。(8)系统满足齐次线性和可加性，系统为线性系统nn o ,/(-)

15、=#1一4 一的)r =八 1 一4+七)，则系统为时变系统。若 6 及时 f(k)=0,则 1 一4 V 即，即 1 一即时，%()=f C l-k)=0,则系统为非因果系统。若 f(k)X,则当4 8 时,以=/(1-4)0（4）已知方程的特征方程为A2+1 =0其特征根为为=j，筋=一 1微分方程的齐次解为yh =C i cost C2s i n r由于激励为零.故有%（0+）=%（0 _）=5*（0-）=2y 工（0+）=1（0 一）=了 （0 一）=0即必（0 _）=C 1 =2）工（0 一）=C=0则系统的零输入响应为（力=2co s r,r 02-2已知描述系统的微分方程和初始状

16、态如下，试求其。+值 y（0+）和了（。+）。（2），”Q）+6），+8），Q）=/1“,），（0一）=1（0 _）=1,/）=附（4）y”（r）+4 y a）+5）C）=r（r）,y（0 _）=W Q）=2 J）=e 2Z Q）解：（2）/（r）+6/（r）+8（r）=*（，）设，U）=城（，）+/（，）+比（，）十%（，）则有 y（r）=姐（/）+/（，）+力”）%（,）=8（/）I 九 也同 理）（，）=说（，）一 片（，）7 2（，）=生（，）一 7（?）d rJ 8整理得 说U）+（6 a+），（，）+（8 a+6 +c）6（，）+8/2（r）+6 y）（r）+y0（r）J=*（，）

17、（U=严=1，J 6 a+=0 =b=6.8 a+6 +c=O c=28有 j!(0-)j,(0-)-y(r)d r-6 -6(，)出+0_ J o_ J 0_/i (r)d r=6y(0+)=y(0 _)6 =5(。+)j?(0-)山 一6-3 山+28 飞(，)山+0_ J 0_ J 0_y0(t)dt=2 8/.y(0+)=29(4)/(?)+4y(r)+5j(r)=-2e-e(Q+3G)令=a8(t)+/o(z)则有y(f)=y:(?)y(f)=，2(Q城(？)+_/()()-4%。)+3万(r)二=2e-z,(z)-.a=1f 0+,/.j(0+)j(0-)=|Xi (z)d?=0J

18、 o _.R(0+)=1yf(0+)(0 _ )=|-%()&=1J o _ J o _.,.Z(0+)=32-4 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应、零状态响应和全响应。(2)尸+4/(0+4X 0=尸+3/(0,y(0_)=1,/(0_)=2,/(0 =eO)解：(2)由零输入响应的性质可知.要求零输入响应即求解微分方程1上”。)一4%(r)=0.%(0 _)=1,/,(0+)=2解此方程得/U)=C y2t+C2tZt代人初始值得%(0 _)=C)=1/工(0 _)=2(；+C2=2解以上两式得C,=1C?=4.则系统的零输入响应为%。)=e-2/-4 re-2 z

19、0由零状态响应性质可知.求零状态响应即求解微分方程，/(f)+4(力=6(?)+2e-eU)a(。-)=J7(。-)=o方程右端含有冲激项.两端对0_到0+积分+)(，)&+41 +J/(f)4 +4|y-(f)dfJ 0_ J 0_ J 0_*Q J。=6(f)df+2 e-e(/)ck4。一 C _考虑到山(f)的连续性得/(0+)，/(0)1 /(0+)=1得J)+1 =1 *yf(0+)=y r(0-)=0当f 0时，微分方程可化为y(/)-4;y/()-4y/(f)=2e:此方程全解为/(f)=C：e-2f-C?/e-2-2e-r,r 0代人初始值得)/(0+)=C l +2=0a(

20、0+)=-2 G+C z 2=1解以上两式得G=-2,0=-1 则系统的零状态响应为=2e-2f t e 21-2e-r Z 0系统的全响应为y(t)=%(/)+,/(，)=+3一+2e-“202-8 如图2-4所示的电路，若以。)为输入，犬。)为输出，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响应。图2-4+解 由 KCL得 i s）=诂（/）+。（，）又由各元件端电流和端电压的关系可得 R（Z）=K，R（f）=（，）ic（，）=（c（，）由以上三式可解得C-j yUR(t)一-77 K (f)=is(，)代人数值得=（/）+2 狈（，）=2is（t）设系统单位冲激响应为从，）则满足“+2/】=

21、0 八（0 _）=2解方程得 A（r）=GeW O代人初始值得 A（0 _）=Ci=2则系统的冲激响应为 h =2 e-2 fe（r）系统的阶跃响应为g（r）=|7J（J-）d j*=|2 e-2 j（T）d j,=（1 e-2 ,）e（r）-R2 T 2如图2-6所示的电路，以电容电压c）为响应，试求其冲激响应和阶跃响应。解 由KV L与KC L得s（Z）=/.（，）U c（t ）（r）=（?）+ic（Z）各元件端电流和端电压的关系为“L（，）L S L atUR（?）=R iR（，）（，）=C c（，）联立以上各式解得L C f）一 j&c（f）=s（f）代人数值得U VC（?）3 c（，

22、）+2 c（，）=2 ws（r）当激励u s Ct）=e（r）时，方程右端不含有冲激项，则c（0+）=0c（0+）=0方程的解为 c(Q=Cie-r+C2e _2 f+1,r 0代人初始值得MC(O_)=G+。2 +1 =0c(0-)=-G-2 C2=0解得a=-2,G=i,则系统的阶跃响应为g(r)=c(r)=(-2 e-+e T+l)e d)系统的冲激响应为A(r)=4g =(2 e-,-2 e-2,)e(r)d r2T 6各函数波形如图2-8 所示，图2-8(b)、(c)、(d)均为单位冲激函数，试求下列卷积，并画出波形图。(1)/*力(2)/,(0*/3(0 (3)/i(0*/4(0(

23、4)/.(0*/2(0*/2(0(5)力(。*2 力(1 3)解 由已知可得/(r)=yr(r-2)-r(?)+yr(z+2)(r(r)=te(/)为斜升函数)/2(r)=6(，-2)+。(，+2)力 =6(，-l)+6(，+l)f*=6(，-2)6(，-3)+6(，-4)(l)/i(r)*/2(O=九*6(，-2)+6(，+2)=力(，一 2)+f(t+2)=+4)-r(，+2)+厂(1)r(t-2)-r(t-4)波形图如图2-9 (a)所示。(2)力(，)*%)=力(，)*-1)+6 +1门=力 -1)+力(/+1)=+厂(1 41)-r(t-1)4 -r(t-3)乙 乙 乙 乙波形图如图

24、2-9 (b)所示。(3)力 *八(，)=力(力*6(，一2)6(f 3)+双，一4)=力(，-2)一 力(，-3)+力(，-4)=-yr(z)-r(t-1)-r(z-2)r(f 3)-r(f -4)-r(f -5)-rJ J J J J8-6)波形图如图2-9(c)所示。(4)力 *f2(t)*/2(r)=力(，)*6(，-2)+6(，-2)_ *6(2 2)6(，-2)_=力(，)*6(，-4)+2 6(，)+6(，-4)_=力(，+4)+2力(，)+力(？-4)1 3 3=方r(t+6)r(t-r 4)Tz-r(t+2)2 r(r)T-r(t 2)Nt 4)一一 一 一yr(r+6)波形

25、图如图2-9(d)所示。(5)/1(r)*L2/4(n-/3(r-3)=力(z)*2Mr-2)-28Ct-3)+25(r-4)-8(t-2)一6(，一4力=f i(t)*6(z 2)26(t 3)-8(t 4)_=力 d 2)2/1(r-3)+/1(r-4)=-r(z)r(t 1)-r(f 2)2r(z 3)-r(?4)r(t 5)一J J J卷4 6)波形图如图2-9(e)所示。6，zE(p)2-2 0 已知力（。二后，力）=一（2）,求。）=力 0）*/2 0-1）*3 -2）解/2（?-1）*6（，-2）=/2r-3）-=6a）6a 2）力（，-3）=6（1一 3）6（，-5）.y（t）

26、=力 *力（，-2）*（/-2）=力（，）*力（，-3）=力（，）*6（，一3）6 5）口=力（，-3）一 力（，-5）=（/3）e（f -3）e（t 5）-2e（t 5）=（r-3）e（r-3）-（r-5）e（r-5）2-2 2 某 L TI 系统，其输入/）与输出y（O的关系为二2。-2）公求该系统的冲激响应力Q）。解 令/=6(，)，则_/(1一2)=6(-2),由 输 入 输 出 的 关 系可得 n oo cA(r)=e-2 7故(_ 2)=|e-2e-(?-1)(Jr-2)djrJ LiJ-K=e-i)2 (r 1)=e-2e(-f 3)工=2则 系 统的冲激响应为h=e_2试求序列

27、的差分纣(k)、Vf(k)和/(i)。2 J i=8解 /&)的闭式表达式为/W =(/)、()Af(k)=/(+1)f(k)=(；)*%+1)(；)%()0,k V 1=(y)*ye(+l)-e()=1 k =1一(”0/W =f(k)-f(k-l)=(y)*e(J t)-(1)0,E0=(4-)*E()-2 e(Zi-l)=J 1 =/1-04 4又 h(k)=8(k)-4h(k-)-8h(k-2)则 A(0)=5(0)+4/i(-1)-8A(-2)=1A(l)=Ml)+4/i(0)-8/(-1)=4将初始值代人得A(0)=C=1无 =(2(G 考+C 2考)=4解以上两式得3=hC2=1

28、,则系统的单位序列响应为()=用 2%o s67t _ 7TT-Z（左）3.9、求图所示各系统的单位序列响应。(c)系统输出即为左端加法器的输出,因此易得系统的差分方程,令八4)=)(2),则系统的响应为单位序列响应人(),同时初始条件为人(-1)=/i(-2)=/?(%+1)=0。(1)由左端加法器的输出为近力可知相应的迟延单元输出为丁Q 1)。由加法器的输出可知系统的方程为=f(k)+1)o令 f g=3(A),则系统的单位序列响应满足h(k)=B(k)+1)以及初始条件/0将初始值代入.得/(0)=C)=1则系统的单位序列响应为 h(k)=()*(4)O(3)由左端加法器的输出为y(幻可

29、知，相应的迟延单元输出为y 凌一 2)。由加法器的输出可知系统的方程为y(,k)=f(k)1)+2)6 o令/(A)=H Z r).则系统的单位序列响应满足h(h)=6(4)-h(k 1)+-h(k 2)0 0以及初始条件/“-1)=/(-2)=0。则有/i(0)=5(0)+4-/04 O将初始值代入.得/(o)=c,+c2=1H l)=-j G +-1-C2=-y由以上两式可解得C=1.则系统单位序列响应为h(k)=春(-5)*+春(！)。(/)0 L 0 63.10、求图所示系统的单位序列响应。根据系统框图可得出系统的差分方程,令方程右端只有3(A)作用时，可求得此时系统的响应为九(Q.根

30、 据 LT1离散系统的线性性质和时移不变性可求得系统的单位序列响应。(1)设左端加法器的输出为工凌)，则相应延迟单元的输出为工(6 1)uU 2)。由左端加法器的输出可得1r(A)=/(A)+4 z(4-1)-3J(-2)即/(A)=1!()4 (-1)+3x(.k 2)由右端加法器输出可得y(.k)=3x(k)1)由上式可得一 4 y(l)=3-2)3y(k-2)=33H(6-2)-3工(左-3)将以上三式相加可得y(.k)4y(,k 1)+3y(,k 2)=3 左)-4z(A 1)+3(氏 一2)一 _r(Zr 1)4z(A 2)+3 才(6 3)考虑到f(k)=1()一41(-1)+3*

31、4 2),可得系统的方程y(k)-4y(k-1)+3y(k-2)=3/U)令右端只有6(k)作用时，系统的单位序列响应为儿(Q,它满足方程h(k)一 4(&-1)+36(-2)=S(k)以及初始条件/(-1)=A(-2)=0。则有儿(0)=5(0)+4/11(-1)-3/1)(-2)=13.11、各序列的图形如图所示，求下列卷积和。（1）工（幻*力也）（2）人（*力（3）于 式k）*L*）（4）力（外寸/）*力（6由各序列的波形图可得出其表示式分别为：-a)=8(6+1)+2a)+6(/一 D人(为)=8 a+2)+8(2+1)+8G)+以左一 1)+8(上一 2)=(6+2)(3)f式 k)

32、=3 6(A)+28(为-1)+8(-2)fi(k)=8(.k)k 1)+S(6 2)8(k 3)(1)ft(k)*f2(k)=a+1)+2a)+8(足 -i)1*&a+2)-(4一3)1=(4 +3)+2e(4 +2)+e(6+l)(-2)-2(&-3)一 觉 4)=，0,1,3,4,4,4,3,1,0,力 *八=+2)e(-3)*()+23()1)+5(J t-2)j=3E(A+2)+2e(,k+1)+e(k)3 e(Z r 3)2e(.k-4)e(k 5)=，0,3,5,6,6,6,3,1,0,(3)fAk)*/(A+2)双4+1)-2S&)-8(-1)*33(A)+23(4 1)+8(

33、4-2)=台(6+2)6(k)+S(6-2)*3J(k)+23(-1)+8(4 2)=38(k+2)+28(k+1)-26(k)-26(k-1)+26(k-2)+28(k-3)+双 -4)=，0,3,2,3,2 2,2 1 0.)3.13、求题3.9图所示各系统的阶跃响应。(a)y(k)=fCk)+Ck 1)y(6)1)=fh)o对于单位序列响应，有h(k)-h Ck-1)=受k)o/MO)=-1)+8(0)=1o特征方程为入一J=0,特征根为入o13g(k)-1)=w(k)g(0)=(1)+e(0)=1o又特解为 gv(k)=y乙1 k q令 g(k)=C 优)+y /0代 入 g(0)=1

34、 得3 1C+y =1 今 C=-yJ J,4*)=rf(c)y(h)=g y(6 1)+3y (6 2)+f(k)6 6对于单位阶跃响应g()+-1)2)=e(k)6 6g(0)=11 5g(l)=三8(0)+1=-7-6 6特 解 为 gp()=1特征方程M +4;I-5 =O,6 o特征根为 A i=-。乙 O1、A 1令 g(h)=1+C-y)+D(-y代 入 g(0)，g(D得(1 +C +D =1 f c =i.C ,D _ 5 J 1y _ 万+可=百 D=-1o.g()=1+/(一3.14、求图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。设迟延单元的输入为H 柒)，则相应的输出为工(4

35、一1)。由左端加法器输出可得D=/()+y X(-l)即 f(k)=由右端加法器输出可得 由 右=(6)-w(6 -1)由上式可得一-1)=-k 1)一:(A 2)J将以上两式相加得y(k)-1)=z(4)1)z(A -1)2)乙乙乙则有 y()一十，(4 1)=f(k)f(k 1)令方程右端只有 a 及)作用.此时系统的响应为心(6),它满足方程/1 1 (k)h1 (.k 1)=8(4)及初始条件/)(-1)=0。则有A,(0)=8(0)+:阳(-1)=1方程的解为 儿(4)=G(+)t(6)将初值代入，得,(0)=C,=1则有 储()=(9)*()系统的单位序列响应为h(k)=储&)一生

36、(-1)=2 8(6)(；)%(-1)=2 3(4)(：)*(/：)乙乙系统的阶跃响应为g(h)=之 2 3(，)一弓”(出t=-i-oo C=2 N A)2(乙乙3.15、若LTI离散系统的阶跃响应g=(0.5)%仕)，求其单位序列响应。解 由已知可得h(k)=V g()=g(k)g(k 1)=(y)*e()-(y)*-,e(-l)=Mk)+(；)%(-1)一(：尸 (6-1)乙 乙=W(；)i (l)乙=2 3(6)-(十)、)3.16、如图所示系统，试求当激励分别为(1)/伏)=出(2)“1)=(05)%时的零状态响应。1(山),3)+(g MH Z E hj 1 2(a)(a)迟延单元

37、输入为y(k)，则相应的输出为)(6 1),由加法器的轴出可得系统的差分方程y(k)=(1)当激励/(Q =e(4)时方程的解为1 9yf(k)=6(一/+：40L i O又由 J 7(1)=。/(0)(0)=1,可得J/(0)=/(O)-Jz(-l)=19则有 JZ(O)=C,+y=1解 得G=4，则此时系统的零状态响应为O3 7&)=)打(6)O O乙3.18、如图所示的离散系统由两个子系统级联组成，已知(k)=2cos印 为化)=/(攵)，激励k)=S(k)-好-1),求该系统的零状态响应上型)。(提示：利用卷积和的结合律和交换律，可以简化运算。)解 复合系统的冲激响应为h（k）=鼠 *

38、h2 g则当激励为/4）时,复合系统的零状态响应为“（A）=f（k）C*h 2 g=f（k）*心（）*h g=3（6）a8（k 1）*ake （k）*2 co s（粤）4=_ake（6）c i a e（k 1）*2 co s（第）4=，（k）*2 co s（）=2 co s（第）4 43.22、如图所示的复合系统有三个子系统组成，它们的单位序列响应分别为九（攵）=仪。，%（攵）=仅-5）,求复合系统的单位序列响应。解 复合系统的冲激响应为h(k)=鼠 *h2 g则当激励为/4)时,复合系统的零状态响应为“(A)=f(k)C*h 2 g=f(k)*心()*h g=3(6)a8(k 1)*ake

39、(k)*2 co s(粤)4=_ake(6)c i a e(k 1)*2 co s(第)4=，(k)*2 co s()=2 co s(第)4 4第四章习题4.6求下列周期信号的基波角频率Q和周期T。(1)(2)co s|(r-3)(3)co s(2 r)+s i n(4 r)(4)C O S(2R)+co s(3 m)+co s(5 加)(5)c os(t)+singt)(6)C O S(t)+C O S(y t)+C O S(y t)解 角 频 率 为。=100 r a d/s,周 期T=曹=言s(2)角频率 为。=r a d/s,周 期7 =答=4 s乙A it(3)角频率为0=2 r a

40、 d/s,周 期T=z s(4)角频率为Q =r a d/s,周 期T=等=2 sd Ln(5)角频率为。=与r a d/s,周 期7 =3=8 s412(6)角频率为。(r a d/s,周 期T =60 sJUil L4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求图4“5 所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。图 4-15解（1）周 期 T=4.C=，则有1,4 A 1 4 r 4 4 4 +1:,0,凝+1 V r V 4 4 +3由此可得a=7T/(t)co s(n Qt)df =-y j/(r)co s()drJ-J 丁/J 2 /=!co s()dr =-s i n/-7 7,w=0

41、,l,2 Z J-i L mt Z /b =Wf s i n(n Q t)&=-1-1/(r)s i n(y)dr1 J k 4 J 2 4F”=0,1,+2 一f(t)=周 期 T=2.Q =竿=兀,则有s i n(7 t r),2&r 42 4-10,2k l r V 2 4 +2由此可得F=I f(r)e-dr =-i-1 s i n(7 r r)e-J,l f l,dr/J-T 4 J-l Z J 04.10利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。(c)(d)图 4-18解（1）由 力（?）的波形可知T力 =力（7）=-/1（r,4 什 ,一|出，=亍|/（

42、r）c o s（7 i Qr）d r则有 。，”=0,1,2,=0a0=U2 =a4=伍=仇=0则 力（D的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。（2）由/,（?）的波形可知力 =一 力1）产“=0则有1 46,=1,2,I b =/（r）s i n（n O r ）d rI 1 J o则/2（r）的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波。（3）由3 的波形可知/3（力=/3（-r）则有=0J j r f ,n =0,1 -2,|an=亍|/（z）c o s（n n r ）d r即/3（r）的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波。（4）由 九（/）的 波 形 可 知 为 奇 谐 函 数 即T=/

43、4（y）则有 a0=a2=at=仇=8=仇=0即 人（r）的傅里叶级数中只含有奇次谐波.包括正弦波和余弦波。4-11某 1。电阻两端的电压”如图4-19所示,(1)求“的三角形式傅里叶系数。(2)利 用(1)的 结 果 和 求 下 列 无 穷 级 数 之 和S-3 5(3)求电阻上的平均功率和电压有效值。(4)利 用(3)的结果求下列无穷级数之和图 4-19解(1)由(z)的波形图可知T =2,0 =穴,则,1,2 4 W f -sin(At乙=11 c。叭i Q)Vmt1x 口 一(一 1)叮sin(=n)则有 S-=f念 n 4即2 1一5+=自则可得无穷级数 s=1-4-+4-4-+-=

44、v3 5 7 4(3)1 Q电阻上的平均功率为P=(f)dr=1 u2(t)dt=4d?=1 J T Z J-i Z J o N则电压有效值为(4)由(r)的波形图可知U有效=专u(t)=Z/2(?)则1 r f 1 ri i ri iP=-=T”2 c=_ i z(f)d r =N()d z =将U的傅里叶级数代人上式得1 cosG吟 in(等)a=1m t 2即得即4.17根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换，.、s i n L 2 -(/-2)Jt(t)=-,1 0-2)“、2 a(2)/)=t一 1 o，/.s i n(2 m)-(3)%)=a解（l）由于宽度为r.幅 度 为 1

45、 的门函数g，（D 的频谱函数为rS a（台），即sin（等）治 一 rS a（券）=L32取 r=2.幅度为十.根据傅里叶变换线性性质有2 g 2（八=y X 2S a（0）=S a（cd）即1 g2（?）*,S a（cu）注 意 到g2（r）是偶函数根据对称性可得S a（t）V-27r X J g 2（3）=7rg2（s）根据时移性和尺度变换性可知煲 S a二 2式（。-2）二=4 g s*（3）eT2V由 f(t)sin 27r(1-2)7r(Z 2)=2S a2；r(z 2)二可知金-j 28/=g(s)eT2”=；aT 27r rad/s（2）由于2a可知 2-2rre-0=2.钉”

46、a+r即f&)=2q-7 oc r V 4 n r a d/s乘 彳出43)*彳？/)=J 2 L nI。，|o|4 n r a d/s即f=-吗答，-8 vrv 8的傅里叶变换为LTttI y 1 -f-3 4;t r a d/s4.1 8求下列信号的傅里叶变换(1)f(t)=e-J3(t-2)(2)/(0 =e-3(,_ 1)(r-l)(3)/(r)=s g n(r2-9)(4)/Q)=e-2 2 Q+1)%)=(；-1)解(1)已知台*1由时移性质可得S(t-2)-e-小再由频移性质可得f(r)的傅里叶变换e-i，5(r-2)/2 1 即F(j s)=e-(2)f(t),d z =匈)J

47、 -8 J 3 3冤 1二=2芯(3)则有久/=2苴(3)-3卬)(5)由利用时移特性可得eCt 1)再 由尺度变换特性可得e(o 1)v 2_大 力(2 a)/2 V即/(r)的傅里叶变换为F(4.19试用时域微积分性质，求 图4-23示信号的频谱。_ Jzl_M 一(a)：Ct）-芯（3）+.w1 _Q-R_7T （3）：_e 一 初 =T t S Ccu）+-J0-J3=苜（3）+-e-i2w3 CDJeu）=7 T 3（3）+T e -J-F(jai)Jdf det)daj(5)由频域微分特性可得4 一 j g F(j s)d o 由反转特性可得 ft)_ 一j；F(一j”)又由时移性

48、质可得(-r +l)/(-r+l)?尸(一讪)d s即1-r)/(l -?)=-j e-j(udo)(8)由尺度变换特性可得f(-2 D ；F(一i由时移特性可得 f(3-2t)-j e-F(-j号)又由频移特性可得丫八3-2?)*e-;F(j即MeV(3 -2力=le-F(j 号 外(9)由时域微分特性可得一 jsF ljs)又有 jsgn(cu)7 t t则由时域卷积定理可得冬/*j a；F(ja;)(-j)sg n(o；)at T t t即 方旦/(?)大_ _ _ =O)F(jcu)dr T t t4.21求下列函数的傅里叶变换(1)E(jo)=i，3|g(3)F(a)=2 cos(3

49、G)(5)F(j6)=y 2s i n6Jcj(2n+i Kt,=0 3解(1)傅里叶逆变换为/(。)=1 F(jcu)e如1 A(D=I 铲1 da；N 7t J 8 4 7tJ 0=_(%/_ e f d)=s i n ac，r2日 旌（3）F（jo）的傅里叶逆变换为/(?)=；2cos(3s)廿；(e海+广海)乃/山NTTJ 8 NTCJ 8 z-3)dr由台I 产1,得 8(，)=61 don 则有NltJ-8/(r)=8C+3)+台(z 3)(5)FCJOJ)=V 2出一 八2 1)3 _ +e fa+ef53ri 3 3 _由于 g2(Z)一 在 辿，则由时移特性可知3g2(r-1

50、)在四%一加3g2(r-3)在 坨 3“3g2(Z _ 5)-包 厂5“3则F(ja)的傅里叶逆变换为f(t)=歹 _F(jo)_=g2(t 1)g2(，-3)+g 2(f 5)4.2 3试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数(1)利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果)。(2)利用时域的积分定理。(3)将/看作门函数g 2。)与冲激函数加+2)、/，-2)的卷积之和。图 4-253解 已 知gr(D-rS a(步.将T=2代入,得如 )(e-e)=-3(2)由f(t)的波形图可得其闭合表示式为/(f)e(t 3)一 (，-1)e(t 1)e(t-3)则有 f(t)=8(f-3)8(