同济大学线性代数第五版课后习题答案.pdf

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1、第 一 章 行 列 式 1.利 用 对 角 线 法 则 计 算 下 列 三 阶 行 列 式:2 0 1(1)1 4 1-1 8 32 0 1解 1 4 1-1 8 3=2 x(-4)x 3+0 x(-l)x(-l)+lx lx 8-Ox 1 x 3-2 x(-l)x 8-l x(-4)x(-l)=-24+8+16-4=-4.9cab=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3cibca，cQbbc4。caa匕 c 解 解 lbZ21aQ1A/721=bc2+ca2+ab2-a c2-b a2-c b2=(a-b)(b-c)(c-a).%y%+y(4)y x+y x.x+y x yx y

2、 x+y解 y x+y xx+y x y=%(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3_Q+y)3_x3=3 孙(x+y)-y3 一 312/_%3_,3_83=-2(x3+y3).2.按 自 然 数 从 小 到 大 为 标 准 次 序，求 下 列 各 排 列 的 逆 序 数：(1)1 2 3 4;解 逆 序 数 为。(2)4 1 3 2;解 逆 序 数 为 4:41,43,42,32.(3)3 4 2 1;解 逆 序 数 为 5:3 2,3 1,42,4 1,2 1.(4)2 4 1 3;解 逆 序 数 为 3:2 1,41,43.(5)1 3-(2 n-l)2 4-(2 n);解

3、逆 序 数 为 攻 守：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)7 2,7 4,7 6(3 个)（2九 一 1）2,（2 一 1）4,（2 一 1）6,（2八 一 1）（2 一 2）（一 1 个）（6）1 3（2”一 1）（2）（2 2）2.解 逆 序 数 为 及（-1）：3 2（1 个）5 2,5 4（2 个）（2 1）2,（2 n-l）4,（2 n-l）6,（2 n-l）（2/i-2）（n-1 个）4 2（1 个）6 2,6 4（2 个）(2)2,(2)4,(2)6,(2H)(2H-2)(n-1 个)3.写 出 四 阶 行 列 式 中 含 有 因 子 411。23 的 项.解 含 因 子。

4、11。23 的 项 的 一 般 形 式 为(一 1)。11。23。3 4 4.”其 中 r s是 2 和 4 构 成 的 排 列，这 种 排 列 共 有 两 个，即 24和 42.所 以 含 因 子。1心 23 的 项 分 别 是(-1)%11。23。32。4 4=(-1)1 23。32。4 4=一 11。23。32 44,(-1)%11。23 34。4 2=(1 1。23。34。4 2=。11。23。34。42 4.计 算 下 列 各 行 列 式:ll l8bcd。.。1 3 2。2 2 10 3 2 40 0 2no0.翦 0 2 一 6 3 2 45 1 3 2。2 工 16 3 2 4

5、2 0 2 05 1 3 2s5 3 2O 2 1 i己 一 II46 3 2 42 2 i i3 2 1 142。1q+2|1a+$3 0 9工 0 90。-41 5 2 11 2 0 2翦 0。-41 5 2 1-2 0 27 0 2 4H-*I h 4 2。IIO2-3 21 2 14 3 2 40 0 2 07 0 2 4。3 2 11 2 0 2。1214 OIIK-43 2 L4i 2 i。Xiooldo1c-1rpToqTOOoold 1cTwJn-o0 11100Tooluo1c111JptoQTOO解 1+ab a=(1)(1产-1 c0-1c3+dc21-f-a a ad,

6、-1 c+cd0-1 0=(-1)(-1产 1 中 abcd+ab+cd-ad+l.5.证 明:标 cib b2(1)2a a+b 2b=(-/?)3;1 1 1证 明 a?ab b-c2-c,L2 a b-a-h2-a22a a+h 24 12a b-a 2b-2a1 1 1 1|1 0 0二（一 1 严 a b-a1b-ab-a12b-2a=(b a)(b a);ba=(a-b.Q)ax+hyay+hzaz+bxay+hzaz+bxax+byaz+bxax+byay+hzx=(a3+h3)yzy zz%y证 明 ax+hy ay+hz az+bxay-bz az+bx ax+byaz+bx

7、 ax+by ay+bz%ay+bz az+bx=ay az+bx ax+byz ax+by ay+bzx ay+bz z=a2 y az+bx xz ax+by yy+b zxy ay+bz az+bx+bz az+bx ax+byx ax+by ay+bzz az+bxx ax+byy ay+bzx=Q3 yzy zyzXz X+b3z XyXyXyzy zz x%yX=a3yzX+b3yzy zz x%yx y z=(a3+b3)y z xz x y a2b2c2d23+1)2 3+2)2 3+3)2(Z?+l)2(b+2)2(Z?+3)2(c+l)2(C+2)2(C+3)23+1)2

8、3+2)2(d+3)2证 明 b2c2(a+1)2(a+2)2(a+3)2(H l)2(b+2)2(0+3)2(C+1)2(C+2)2(C+3)23+1)2 3+2)2 3+3)2(C 4-C 3,c3-c2,C2-C 得)a2 2a+l 2a+3 2a+5b2 2h+2Z?+3 2b+5c2 2c+l 2c+3 2c+5d2 2d+l 2d+3 2d+5(C 4-C 3,C3-C2 得)IId e b d2 2 2 22 2 2 22 2 2 2IIOJl4 b)(4IC)(皂 d)(blc()b d)(cls(l+b+c+dblab(ba)IIo o0b，(brlajc 1d ac(clq

9、)d(dla)C2(C2IR)d2(d21a2)1一 一 乂 b a)(cIa)(dIa)bed5B+a)C2(c+a)d2(0+a)I11u(bI3(cI3(dIaocIbdIb0c(cB)(c+B+a)d(db)(d+b+a)ea)(ca)(da)(n)c(d)d(d+llu(a B)(alc)(a s(B c)(B s(c d)(a+B+c+s.o xx LL。O Oo og3-nil-ux+alx+:+WLX+9.。X1-a=anilan12:.白 2x+al证 明 用 数 学 归 纳 法 证 明.当 场=2 时，2=0)2 人 r Z*zv _i=x+a x+an_2X+an-i,则

10、 a 按 第 一 列 展 开，有-1 oDn=xDn,+(-i r+1%T1 1 _+4“=X+GX.因 此，对 于 阶 行 列 式 命 题 成 立.OO-OO-X6.设 阶 行 列 式。=det(徇)，把。上 下 翻 转、或 逆 时 针 旋 转 90。、或 依 副 对 角 线 翻 转，依 次 得 R=%-ann,D2=即 见，。3=ann ana,ana anan aM（n-I）证 明 A=2=（T）k D,D.=D.证 明 因 为 D=det（旬），所 以=(-l)l+2+-+(-2)+(-l)D=(一)2 D.同 理 可 证 2=(-1)丁.=(-1)丁 加=(一 1)丁。.an ann

11、n(n-)n(n-)n(n-l)2=(-1 产-3=(-1 尸 一(一 尸。=(-1)2。=。.7.计 算 下 列 各 行 列 式（2 为 攵 阶 行 列 式）：a 1（1）2=,其 中 对 角 线 上 元 素 都 是 a,未 写 出 的 元 素 1 a都 是 0；解（按 第 n行 展 开）oQo-oo oo-o1-ooQ1OO-OQooO-40oooooooQoQolooooo0 0 0a+(-1产.”a 0(.一 1、/1、1)x(-I)“（Z7-1）X（Z：-1）C l=(-1 产(-1)a(n-2)(n-2)+a=a an 2-an 2a1 1).X D=。aa ax aa x解 将

12、第 一 行 乘(-1)分 别 加 到 其 余 各 行，得 Dn=aoo-X oQ-Go一 oQ一 ooX一 一 一 再 将 各 列 都 加 到 第 一 列 上，得 a00D.=x+(n-V)a00ax-a0a0 x-a x-a=x+(-1)a(x-a)T.0 0 0 0a(-ir(a-n)n(a-1)T(a-n)/!-1%=a Q 1 a-n1 1 1解 根 据 第 6 题 结 果，有(+i)a1a1a 1(tz-ir13*ia-n(a-ri)nx(a-ri)n此 行 列 式 为 范 德 蒙 德 行 列 式.%=(T 尸 n1(n+li j 伽+1)=(T)F n fW+l/J1(+l)+(T

13、)+1.=(-1 尸-(-I)2.Y(i-j)n+l/jl=!(，)n+i janbnax bxq 4C n dn解 anhnD2=2%(按 第 1行 展 开)441T%0CLnal 4q 4*0d T0od0。一 1 bn-+(-1产 匕 a bci d再 按 最 后 一 行 展 开 得 递 推 公 式 于 是 D 2=。/D2n-2/?金。2-2,即 D 2n=(。温 bnC)I)2n 2,Q 2”=n(M W c M 2 而 D2=i=2q 瓦 q d=%d bg,所 以。2”=口 3,4-%*3Z=1(5)D=det(初),其 中 劭=吃|；解 困=1 川,=det(%)=0123n-

14、n-210112.21103210.1234.-.彳 一 4r 2 T 3-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1n-3 n-41 1 1 1 n-n-2 n-3 H-4 0111100 2+q。3+9 1 1 1 1000-2OO-2-2)222c-=(一 1)75 一 I/41+4(6)2=I11 1l+a2 11 1+。“解 D“=1+q111 1+11 1+。“q 一 一 20一 0。2一。300a3C2 C3000000=axa2-an1-1001-10010 0 00 0 00000-其 中。口 2。,产 0.0 0 10 0 10 0 1an-an-10-an+an0 0

15、“J0 0 封 0 0 寸 0-1 1+靖=4%,q1 0 0-0 00 1 0-0 00 0 1-0 00 0 0-0 10 0 0.-0 0“J魅 1怒 1an-1+%Ti=l=(。2.%)(1+2),=1 ai8.用 克 莱 姆 法 则 解 下 列 方 程 组:(1)%1+2%2-七+4%=-2.2 x j 3%2 _ 七 _ 5工 4=_23%+2工 3+1 卜 4=。解 因 为 42114-511111A,-2D=-142,1t5l4-15-2-2O12-323111123314+5114-12-35I-2I-O22=-426,D.=2。11110314+5114-15-2-2O2再

16、 以 所5%+6%2=1玉+5+6%3=0(2)A：2+5X3+6X4=0.X3+5X4+6X5=0、X4+5X5=1为 因 解=-1 1 4 5,00065006510651011C(IAc(ll1151000=395,00065nIlcc)ll)cn-1106510651005 66=00065006510651065100=1507,D、=51000=00065006510651065100ILcn cn)110006500651nclI)cll)cn-116510051000D、=2=2 27CIMU(00651065106510051000A-所 以 _1507 _ 1145 _70

17、3 _-3 9 5一 量 马-葡，毛 一 砺/一 研 212665,pk1+%2+%3=09.问 4 取 何 值 时，齐 次 线 性 方 程 组 再+3；+%3=。有 非 X1+2/ZX2+A3=0零 解?解 系 数 行 列 式 为 2 1 1D=1 1.1 2 1令。=。，得*0 或&1.于 是，当 修。或 送 1 时 该 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解.(1 2)%2%2+4乃=010.问 4 取 何 值 时，齐 次 线 性 方 程 组 2%+(3-田%2+%3=。4+X)+(1 1)%3=0有 非 零 解？解 系 数 行 列 式 为 1-2-2 4 I 11-/1-3+2 4

18、D=2 3-A 1=2 1-2 11 1 1-2|I 1 0 1-A=(1-/l)3+(-3)-4(1-2)-2(1-)(-3-)=(l-/l)3+2(l-2)2+/l-3.令。=0,得 2=0,加 2 或 2=3.于 是，当 A=0,&2 或 2=3 时，该 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解.第 二 章 矩 阵 及 其 运 算1.已 知 线 性 变 换:玉=2%+2%+%2=3,+%+5%，刍=3乂+2%+3%求 从 变 量 为,2,%3到 变 量 y I,乃,V3的 线 性 变 换.解 M%为 9-7r-67-34=3 2!,|7、2 王 退 y%l内 152 333一 一 7H

19、H715321223371,?!22yyy故 K=-7%4%+9退 2=6玉+3%2 7天.必=3%+2工 2-4%32.已 知 两 个 线 性 变 换%=2%+%4=-2%+3%+2),3,J3=4%+%+5%W=_3Z+Z2化=2亦 3,为=-Z 2+3 Z3求 从 ZI,Z2,Z3到 修,X2,%3的 线 性 变 换.解 知 已 由/I42223|XI=-621+Z2+33所 以 有%2=12Z 4Z+9Z3A:3=-1 0-2+16Z3fi i n3.设 4=1 1-111-1 1J(1 2 31B=-1-2 4,求 3AB-2A 及 4 例.I。5 1J解 3A32 A=,；1114

20、匕-22 43、-2(1 111人。5 U 1-11 11、70025-598601 1111 117f-2 13 22)-2-17 20I 4 29-2)4.计 算 下 列 乘 积:(3 1丫 7、(1)1-2 3 2;(5 7解(4 3 1丫 71(4x7+3x24-1x1 1-2 3 2=lx7+(-2)x2+3xl、5 7 0)5x7+7x24-0 x1?(35、6(2)(1 2 3)2;解(1 2 3)2=(lx3+2x2+3xl)=(10).1(-1 2);解 1(-1 2)=0-1 21-1 3 4j 1-3 1(4 0-2)f 6-7 8(20-5-6)（5）（百 x2%3）(

21、au an ZI3VQ33 人 解（玉 x2月）ai3 a23 a33A.Xi J=(41工+。2%2+4133 4211+。22%2+4233 232+3/3)=q+a22xl+133%；+2q 2x1x2+2q+2a23x2x3.5.设 A=0 9,3=(；9,问:A B=B A 吗？解 ABBA.因 为=(；,6 A=Q 针,所 以 AB曲.(2)(A+B)2=A2+2AB+B2 吗？解(A+B)2A2+2AB+B2.因 为 A+8=(：(A+B)2=22YA25221429814但 245+叫；以 汽 卜(卜(比 所 以(A+4)2为 42+243+32.(3)(A+B)(A-B)=A

22、2-B2 吗？解(A+B)(A-B)A2-B2.因 为 A+B=C|(A+B)(A-3)=2 W211oo69oo而 加-叫*K*)，故(A+3)(A-8)，屋 屋 6.举 反 列 说 明 下 列 命 题 是 错 误 的:若 屋 句,则 4=0；解 取 A=(W o T 贝 但 AWO.若 心，贝|JA=O或 A=E；解 取 4=,贝 I屋=4,但 A M 且 AwE.(3)若 AX=AY,且 A M,贝 l X=Y.解 取 A=，X=,丫=则 4X=AY,且 4 M,但 XwY.解 价=7.设 4=2 A 1 1 1A?，,求 屋,屋,.一,心 A3=A2A=03Ak=1?(X 1 0、8.

23、设 4=0 2 1,求 屋.0 0 2J解 首 先 观 察(XA2=00伊 0,01丸 02 01222220120 122,7U 3招 A3=A2-A=0 无 0 0343矛，oO点 oO4矛 622)力 423,0 24 J5力 10曲 尤 5尤 0 犬 尤 尤 O左 无 oOz/mkx-屋 用 数 学 归 纳 法 证 明：当 k=2时，显 然 成 立.假 设 左 时 成 立，则 上+1 时,71无 女 龙 T）（左 一 1）尤-2、1 01Ak+l=Ak-A=0 无 k非 T 0 2 10 0 无【。0(k+Dk2/(A+l)，i龙+1龙+1%+1)龙 T=0 无+10 0由 数 学 归

24、 纳 法 原 理 知:九 JAk=0 尤 0k(k-V)尤 _2、-1尤 79.设 A,B为 阶 矩 阵，且 A为 对 称 矩 阵，证 明/A 5 也 是 对 称 矩 阵.证 明 因 为 川=人 所 以 从 而 是 对 称 矩 阵.10.设 A B都 是 阶 对 称 矩 阵，证 明 是 对 称 矩 阵 的 充 分 必 要 条 件 是 4 8=3 4证 明 充 分 性：因 为=人 夕=3,且 AB=8A,所 以(,AB)T=(BA)T=ATBT=AB,即 AB是 对 称 矩 阵 必 要 性：因 为 川=人 夕=民 且(AB)7=AB,所 以 ABAB)T=BTAT=BA.11.求 下 列 矩 阵

25、 的 逆 矩 阵：25A*=(&)=(5-212 22J 2 1故 正 出 入 已 彳)解 4=(；.=1,故 A 7存 在.因 为 cos。-sin。）,sin。cos。解 A=（潞 言 阶=艮。，故 存 在.因 为 所 以 cos。sin。-sin。cos。A-i-A*=I川 cosO sin。)-sin。cos。Jfi 2-n(3)3 4-2(5-4 1Jfl 2-li解 A=3 4-2.L4l=2w0,故 存 在.因 为 15-4 1 J123444123444123AA4zrk-*f-4 2 0、=-13 6-1-32 14-2.(-2 1 0、所 以 3 I-I Al，1-16 7

26、-1J(4 a2 0、(4)3。2,4 W0).”0、解 A=4.,由 对 角 矩 阵 的 性 质 知 0f l 14 J_ 04-1 _ a20.J_kan12.解 下 列 矩 阵 方 程：(1)(2 5Yf4 3-5Y4 6_(2-23 1 3 j 2 1 J l-1 2 卜 1 J l o 8(2 1 X 2 11-1-n1-1 3Y?飞 4 3 2/1 7解 720 1 A 13 1 0 解 X=1 4-1 21(2-4Y3 1 1 012U 1 0-1A111-2JOpo7317-1OoO1=OAlc?11-4zr40-2looVIA3-1OoO1O2=OA1c?-4O-2looY1

27、3To631-2oO1rloe,X0o21Y.oo0-27looo OOloo1orolX=o解 o1 3.利 用 逆 矩 阵 解 下 列 线 性 方 程 组:西+2.+3天=1(1)2X+2X2+5=2;3%+5%2+演=3故 解 方 程 组 可 表 示 为 有 而 从(2)2X1-X2-3 X3=1.3X+2X2-5 X3=0解 故 故 有 方 程 组 可 表 示 为 f l-12-1(3 2一 1丫 7 2)-3 1=0-5 0 3%-5 工 2=0 七=31 4.设 屋=0（攵 为 正 整 数），证 明（-人 尸=+4+履+.+人 1证 明 因 为 屋=。，所 以 E-Ak=E.又 因

28、 为 E-Ak=(E-A)(E+A+A2+-+Ak11所 以(E-A)(E+A+A2+.-+Ak-l)=E,由 定 理 2 推 论 知(E-A)可 逆，且(E-A)-1=E+A+A2+-+A*-1.证 明 一 方 面，有 E=(E-AYE-A).另 一 方 面，由 屋=0,有 E=(E-A)+(A-A2)+A2-1+(屋 7 屋)=(E+A+A2+-+Ak-)(E-A),故(E-A尸(-4)=(+4+不+.+屋 7)(-4),两 端 同 时 右 乘(E-人 尸，就 有(E-AyE-A)=E+A+A2+-+A*-1.15.设 方 阵 A 满 足 A2 A_2E=O,证 明 A 及 A+2后 都

29、可 逆，并 求 A-及(A+2E)证 明 由 A2T1-2七=。得 A2-A=2E,即 A(A-E)=2瓦 或 A-1(A-E)=E,由 定 理 2 推 论 知 A 可 逆，且 AT=；(A-E).由 A2-A-2EO 得 A2-A-6E=-4E,gp(A+2E)(A-3E)=-4E,或(A+2E)-1(3E-A)=E由 定 理 2 推 论 知(A+2E)可 逆，且(A+2E尸=；(3E-A).证 明 由 T-人-2=。得 42-4=2,两 端 同 时 取 行 列 式 得 A2-A=2,即 L4 1=2,故 切，所 以 A 可 逆，W A+2E=A2,IA+2EI=IA2l=L4l20,故 A

30、+2E 也 可 逆.由 A2-A-2E=O=A(A-E)=2A-A(A-E2A-E=A-=A-E),又 由 A2-A-2E=O(A+2E)A-3(A+2E)=-4En(A+2E)(A-3E)=-4 E,所 以(A+2E)-i(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E f1,(A+2E)-=1(3E-A).16.设 A 为 3 阶 矩 阵，求 l(2A尸-5A*I.解 因 为 小=裳/*,所 以 IA II(2A)T 54*日!A-1_5|A|AT I=|人 一】一 4一 1|2 2 2=1-2AT|=(-2)3|AF=-8IA|T=-8X2=-16.17.设 矩 阵 A 可 逆，证 明 其 伴

31、 随 阵 A*也 可 逆，且 证 明 由 A T=2/*,得 A*=L4IA，所 以 当 A 可 逆 时，有 IA I14*1=14114=於 尸。0,从 而 A*也 可 逆.因 为 A*=L 4L 4所 以(A*)T=L4 A.又 A=(A T)*T A I(A T)*,所 以 IA I(A*r1=IAr1A=IArlIAI(A-|)*=(A-1)*.18.设”阶 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵 为 A*,证 明：(1)若=0,则 IA*l=0;IA*I=L4I T.证 明 用 反 证 法 证 明.假 设 则 有 A*(A*r，E,由 此 得 A=4 A*(4*)T=IAIE(A*)T=0,

32、所 以 A*=0,这 与 L4*lw0矛 盾，故 当 141=0时，有 L4*l=0.(2)由 于 笛=6 4*,贝！JAA*=L4IE,取 行 列 式 得 到 A L4*I=L4I.若 M,则 IA*I=L针 T;若 1X1=0,由 知 IA*l=0,此 时 命 题 也 成 立.因 此 L4*I=L4IT.(0 3 3119.设 4=1 1 0,ABA+2B,求 注 1-1 2 3)解 由 ABA+2E 可 得(A-2 E)B=A,故(-2B=(A-2 E)A=1、T3 3丫 丫 0-1 0 12 V 1-13 311 02 3)03 3、2 31 oj(1 0 1、20.设 4=0 2 0

33、,AB+EA2+B,求 区 J。解 由 AB+E=A2+B得(A-E)B=A2-E,即(A E)8=(A E)(A+E).因 为 IA-EI=looo1oOOI=-I/O,所 以(A-E)可 逆，从 而(2B=A+E=0uIy1o20302 1.设 4=diag(l,-2,l),A*BA=25A-8瓦 求 A解 由 A*3A=23A-8E 得(A*-2E)5A=-8,5=_8(4*_2七)-4 1=-8A(A*-2E)-1=-8(A4*-2A)T=-8(IAIE-2A)-1=-8(-2E-2A)-1=4(石+A尸=4diag(2,-1,2)-4d iag(1,-1,1)=2diag(l,-2,

34、1).2 2.已 知 矩 阵 A 的 伴 随 阵 A*=；SL ABA-1=BA-1+3E,求 5.解 由 IA*I=L4|3=8,得=2.由 ABA-i=BA+3E 得 AB=B+3A,B=3(A-E)T A=3 A(2)i A=3(E-1 A*)-=6(2E-A*)-10008oo1oo10-3mu7oo0-1006006036060=oo0-6001001031oTo/672 3.设 A P=A,其 中 尸=（一），A=（7 2 求 解 P lAP=A,A=PAP-l,所 以 A=A=PA“pT.而 故(2731 2732、1-683-684),24.fl 1 A f-1设 A P=P

35、A,其 中 P=1 0-2,A=I T V 求 奴 A)=48(5E_6A+A2).解 A)=A8(5E-6A+A2)=diag(l,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)=diag(l,1,58)diag(l 2,0,0)=12diag(l,0,0).改 A)=尸 板 A)P”o o 2-2-p*以 111Y 3To2o o oo o1021-O-2T 一-25.设 矩 阵 A、B 及 A+B 都 可 逆，证 明 A-+B-1也 可 逆，并 求 其 逆 阵.证 明 因 为 而 A-l(A+B)B-是 三 个 可 逆 矩 阵 的 乘 积，所 以

36、A-A+B)B-l可 逆,117歹!+(A-1 10010算 计 2 610202100O1oO1ooO、/1133-3220解 设 A=3 4=(：3/-1/2=(o-1A E N E B.(A A.B.+B.、o 4(0 BJ4 片+修 4 1 B-l X-0-3)=(2-4为 42 O2 O3 3-4O以 所 A。E4。A4A A 4+J?2o A.B2QOO102OO4O八 4392439-524-0210032201ooo(-10202100o1oo1ooorloow27.M A=B=-C=D=*验 证?夕 w 楙 罂 U 1 J L L/I _ z I I L y I解 A BC

37、Do1o-1oTo而 故 o2oo2oo1oIA I B 1ICI D1=0,IAI IBToo11oOT_ 2 0=4,o1o1 00 111ICI ID I28.设 人=f3 44-3、o02j求 朋 及 MO解 令 A=（；1）A=（；）,则 故 A=A。仆%I A 8|T 4 8|制 日 4|8|甸 8=1 0 1 6.A4=fA4叽 I。川 厂 f54 00 54O、o24 026 22 9.设”阶 矩 阵 A 及 s 阶 矩 阵 B 都 可 逆，求(1)O AB 0解 嵋 部 登 则(O A(Q C A J A C.A C A(En。B O)C3 C4J-BC.BC2)-O EJ由

38、 此 得/。3=纥 心。BC,=O=B C2=ESC3=A-Q=oc,=o，C2=B-1所 以(O A Y _ f o B-yB O)T o)-解 设 值 3-1=(S S 则(A 0丫。J AD,A D,纥 Oc B D3 D J CDX+BD3 CD2+BD4)O ESBT-o-3lu-.夕 fAAA1BIn1rc纥。瓦 为 T=-+WW。8得 此 以 由 所 3 0.求 下 列 矩 阵 的 逆 阵6o-3 8则 3 2_ 一 1o D13 8-2 53 28=5B-2 5-2o o 2 5-225 o oo oBM1-1=Ano则 22 11oc4BoB-OBAc0 02J5 22o 7

39、3 2o 2o oo oo10A-设 5 2o o 8 56o o4J-01r.0 0 40 0 32 o oo o 3f52o 2 2)zIX/12A设 o 2I2Lz/m 解 是 于 解 G o oo oo 1-2 1 6 524J241 1-2 1-2 1-8-_/I第 三 章 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组 1.把 下 列 矩 阵 化 为 行 最 简 形 矩 阵:(下 一 步:2+(-2),3+(3)门.)5、/113-234ooo123zr113_-234ooo123/I解 ooOMO2-r-1 3(下 一 步：/2+(-1),3+(-2).)-2 Oj(下 一

40、步:r3-r2.)(下 一 步:n+3.)P3133-211210ooOZMooooorlo(下 一 步：ri+(-2)f2,ri+4)(下 一 步：万+3%)210 1、-3210-n0V010o)0ooolooooooooloolooz/解-3 n-4 3;-7-1J2-3 1、3 4 3(下 一 步:r2x2+(-3)rb 厂 3+(-2)人)4 一 7-rro oo311-200r3(下 一 步 r3+r2,r+3r2.)一 3,o/o3(下 一 步:n+2.)ojrooo1oo2oo1 0 0(0 01 30 oj(1-1(3)3-3 2-2、3-33-4 3、5-4 13 2 0

41、4 2 1,解 fl3213 1-3-2-3353444-2-23)10-I(下 一 步：r2-3ri,r3-2rh r4-3f|.)1ooo113435_4860o3、oo 86(下 一 步：，2+(-4),/3+(-3)/4+(-5).)(下 一 步：3r2,r3-r2,r4-r2.)222222-11-oooooo(下 一 步：r2+2 r i,r3-8/-,r4-7 r i.)了 2oo-7403-_3234108732232200o1oo70001ooo2132/I7403-32341087322-3213a解 1421-111298-1087428701oo(下 一 步：r i 0

42、 厂 2,r 2 X(-1),4 3.)A求 3692581244-1111111200400001（下 一 步：生+盯.）2 0-2、-1-1-10 1 40 0o；h/-234OoO1O2-1OOO1oO14-7711o1oloozfAMVo17oo1。“009loo/rolo2解 l o oro l w0、0是 初 等 矩 阵 风 1,2),其 逆 矩 阵 就 是 其 本 身.是 初 等 矩 阵(1,2(1),其 逆 矩 阵 是 2 2 2A _ 7T o lo 1 on o(1,2(1)=w1 7V3 6 92 5 8HH7-1 O 1o 1 ol o o4 7O O Il o oA=

43、-。oo 1 ol o o6 3 95 2 8r4 1 d3.试 利 用 矩 阵 的 初 等 变 换，求 下 列 方 阵 的 逆 矩 阵:A 71 5 32 1 23 3 31 1MV o 1/o 1 o11 11 111 4 22 T o3 0 0/IMV o 17o 1 ol o o1 5 32 1 2白 3 3、解 7/2 2 一 9/2)1 1-2-1/2 0 1/2Jo O 10 7 03 0 0z/mlvx3/2 0-l/21 1-2-2 T or3 oeI100 0 7/61 0-10 1-1/22/3 一 3/21-1 20 1/2)故 逆 矩 阵 为 3-221-22-37O

44、7-671-272 O2)O 2 221-32-211O解 3010-2-21Z1OOO.2142O-2O1OOP2100oOO21000-12 1-3-22 1-3-22 19 52 1-3-22 11 1-2-1-3-22 11 10 10 0-10 0 01 0 10 1 21 0 0 010 1 0 00 0 1 00 0 0 17O1oO1O-3OooO1oO1O0 0 1 0)0 0 0 11 0-3-40 1 0-2什 143一 T103-6ooO100122460-T20364460-T2o3-6111A 111-1oT2ooo1oo1oo1oo1ooorI故 逆 矩 阵 为

45、4460-12036IL111111(4 1-2)4.(1)设 4=2 2 1,B=13 1-1Jf l-3)2 2,求 X 使 AX=8;(3-1J解 因 为(1-2(A,B)=2 2 1I 3 1-1公-3I4J05211111OOIo1o|i,求 X 使 XA=3.公 I-34J05211111zfkx以 所 il713-42T3o2-3(2)设 A=解 考 虑 A T X T=B 5 因 为 4A7勾-2TTOOIo1o1oz/n二 23-112(，*)=333413o所 以 从 而(2 一 4)乂 7=(匣)-卸=-1 7 1 4x=w=(却 力A设 O4L/,AX=2X+A,求 X

46、.解 原 方 程 化 为(A-2石)X=4 因 为 f-1-1 0 1-1 0)(A-2E,A)=0-1-1 0 1-1、一 1 0-1-1 01 0 0 0 1-1-0 1 0-1 0 1,、0 0 1 1-1 0,所 以 X=(A-2EYlA=T101oToT116.在 秩 是 厂 的 矩 阵 中，有 没 有 等 于。的 广 1阶 子 式？有 没 有 等 于。的 r阶 子 式？解 在 秩 是 r的 矩 阵 中，可 能 存 在 等 于 0 的 r-1阶 子 式，也 可 能 存 在 等 于 0 的 阶 子 式.例 如，A=。OOJoO1O1O1oO/?(A)=3.00ooOoO1O1是 等 于

47、。的 2 阶 子 式,O是 等 于 0 的 3 阶 子 式.7.从 矩 阵 A 中 划 去 一 行 得 到 矩 阵 乱 问 4 3 的 秩 的 关 系 怎 样？解 R(A)注(B).这 是 因 为 B 的 非 零 子 式 必 是 4 的 非 零 子 式，故 4 的 秩 不 会小 于 B 的 秩.8.求 作 一 个 秩 是 4 的 方 阵，它 的 两 个 行 向 量 是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解 用 已 知 向 量 容 易 构 成 一 个 有 4 个 非 零 行 的 5 阶 下 三 角 矩 阵：GoO00JooO1OoO1oO04000此 矩 阵 的 秩 为 4,其 第

48、 2 行 和 第 3 行 是 已 知 向 量.9.求 下 列 矩 阵 的 秩，并 求 一 个 最 高 阶 非 零 子 式:(下 一 步:厂 1 r 2.)2T4024-113112T4024 解 204-113131-r2（下 一 步:T3ri,人）4J（下 一 步:r3-r2.）T5526-6-1441oOzfxk-A 5071A6O4-O矩 阵 的 秩 为 2,:=-4是 一 个 最 高 阶 非 零 子 式.(3 2-1-3-1(2)2-1 3 1-3;(7 0 5-1-8J(3 2-1-3-2、解 2 1 3 1 3(下 一 步:厂 1-广 2,厂 2-2厂 1,厂 3-7人)(7 0

49、5-1-8J-5(下 一 步：r3-3r2.)3704904-10-5I07八 3 2矩 阵 的 秩 是 2,2 _-7 是 一 个 最 高 阶 非 零 子 式.3)7500-37828053320-7500-3782805313202解（下 一 步：r2+3RI,r3+2 f|.）7500-73222643-1320-ooIX(下 一 步：2 16-4,小 一 16r2.)76401111ToO220031ooOoOIV7foo O o oo o o o oOJO 262o 11o3200o1oorloo=70w0是 一 个 最 高 阶 非 零 子 式.-5Oo78205矩 阵 的 秩 为

50、3,31 0.设 A、B 都 是 mxn矩 阵，证 明 A-B的 充 分 必 要 条 件 是 R(A)=R.证 明 根 据 定 理 3,必 要 性 是 成 立 的.充 分 性.设 R(A)=R,则 A 与 B 的 标 准 形 是 相 同 的.设 A与 B 的 标 准 形 为 D,则 有 A。D B.由 等 价 关 系 的 传 递 性，有 A R，1 一 2 3 A?H.设 人=-1 2k-3,问 人 为 何 值，可 使 1-2 3)1R A=1;2 R 4=2;3 R 4=3.f l-1 k、0 k k 1Q 0-(k-r)(k+2)y 当=1 时,R(A)=1;(2)当 女=-2 且 后 1