五年高考（2016-2020）高考数学（文）真题分类汇编：13函数与导数综合（教师版）.pdf

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1、专 题1 3函数与导数综合【2020年】1.(2 0 2 0新课标 I 文)已知函数/(x)=e*-a(x+2).(1)当a =l时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求。的取值范围.【答案】(1)减区间为(一处0),增区间为(0,+8)；(2)e(1)当 a =l 时，/(x)=ex-(x+2),f (x)=ex-1,令f(x)0,解得了 0,解得x0,所以f(x)的减区间为(-8,0),增区间为(0,+8)；(2)若f(x)有两个零点，即e*-a(x+2)=0有两个解,从方程可知，x=2不成立，即a 有两个解，x+2.，j x CX(X+2)X X(X+1)令 h(x)=-

2、(x 丰-2),则 有(x)=-5 =-r，x+2(x+2)-(x+2)-令(无)0,解得x -l,令(x)0,解得x -2或一2 c x e-1,所以函数力。)在(-8,-2)和(-2,-1)上单调递减，在(-1,+a)上单调递增,且当x 2时，/?(%)-2+时,，力(x)+8,当X +8时，(x)f+8,所以当a =，一 有 两个解时，有a (1)=,x+2 e所以满足条件的a的取值范围是：g,+o o).2.(2 0 2 0新课标H文)已知函数/(x)=2 1 ri r+l.(1)若f (x)0时，讨论函数g(x)=/。)一/(“)的单调性.x-a【答案】(1)c -l；(2)g(x)

3、在区间(0,a)和 3,”)上单调递减,没有递增区间(1)函数/(x)的定义域为：(0,+8)f(x)/(x)-2 x-c 2 1 n x4-l-2 x-c 0),则有h(x)=-2=20,X X当x l时，h(x)v0,(x)单调递减，当0v x 0,/z。)单调递增，所以当x=l 时，函 数/x)有最大值，即入(X)m a x=(l)=2 1 n l +l-2 x l-C =-l-C ,要想不等式(*)在(0,+8)上恒成立，只需人(x)m x 0 且 X。)x-a x-a，/、2(x-tz xl n x+xl n a)1因此 g(x)=-,设 m C r)=2(jc-a-xl n%+xl

4、 n a),x(x-a)则有 加(x)=2(l n a-l n x),当时，I n%l n a,所以加(x)v 0,皿幻单调递减，因此有m(x)m(a)=0,即g(x)v0,所以g(x)单调递减;当0尤 0,双龙)单调递增，因此有m(x)m(a)=0,即，(x)v 0,所以 g(x)单调递减，所以函数g(x)在区间(0,。)和3,k q)上单调递减，没有递增区间.3.(2 0 2 0 新课标I I I)已知函数/(x)=X3 一区+廿.(1)讨论了(%)的单调性;(2)若/(X)有三个零点，求左的取值范围.4【答案】(1)详见解+析；(2)(0,).(1)由题，f (x)=3JC2-k,当女0

5、时，f（x）N 0恒成立，所以f（x）在（-8,+8）上单调递增;当左0时,令f(x)=0,得 片土.,令f(x)0,得-k k3X 03 V3 4 ,解得0 女 ，2孚0 2 73 V3当042 7号,且/()=公 0,所以/（X）在 电,尿）上有唯一一个零点,同理 _1_生/(_ 1)=_ 二 _6+1)2 一(12-打=-2X T),#2 1 17令 1=0,得 =/+1 2,令y=0,得x=2t所以 S(/)=：x(r+12).兽，乙 N I，I不妨设/0 0,得r 2,由S(r)0,得0 r 2,所以S(。在(0,2)上递减，在(2,48)上递增，所以.=2时，S。)取得极小值，也是

6、最小值为S(2)=更 普 =32.O5.(2 0 2 0江苏卷)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上、桥A B与 平 行，0 0 为铅垂线(O 在A 8上).经测量，左侧曲线A O上任一点D到M N的距离4 (米)与D到0 0 的距离(米)之间满足关系式右侧曲线B O上任一点F到M N的距离为(米)与F到0 0 的距离伏米)之间满足关系式(1)求桥A B的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于0 0 的桥墩C D和E F,且C E为8 0米，其中C,E在A 8上(不包括端点).桥墩E F每米造价M万元)、桥墩C D每米造价-k(万元)(4 0).问OE为

7、2多少米时，桥 墩C D与E F的总造价最低？【答案】(1)1 2 0米(2)O E =2 0米1 ,1(1)由题意得一|OA=-X403+6X40 O A|=8 04 0 8 0 0|A B|=|O A|+1 O B|=8 0 +4 0 =1 2 0 米(2)设总造价为f(x)万元，|OO|=-X8()2=160,设|OE|=X,4 01 3 1f(x)=(1 6 0 +go。6 x)+上 160-(8 0 x),(0%4 0)R R/(x)=Zr(1 6 0 d-x3-x2),/.f(x)(-X2-%)=0 ；.*=2 0(0 舍去)当 0 x 2 0 时，/(x)0；当 2 D x 0,

8、因此当 x=2 0 时，f M取最小值，答：当O E =2 0米时，桥墩CD与E F的总造价最低.6.(2 0 2 0-江苏卷)已知关于尤的函数y =/(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,b e R)在区间 D 上恒有 f(x)h(x)g(x).(1)若 f(x)=x2+2 x,g(x)=-x2+2 x,。=(-0 0,+8),求 (x)的表达式；(2)若/(x)=-x+1,g(x)=klnx,/?(%)=kx-k,D=(0)+oo),求:的取值范围;(3)若f(x)=X4-2X2,g(x)=4 8,h(x)=4,2 T b 一 3?+2z2(O/2),D=卜 k-5 ,0 ,求证：

9、n-m y/l.【答案】(1)/(x)=2 x；(2)A:G 0,3；(3)证明详见解+析(1)由题设有一 万2 +2 x K依+2 x对任意的xe R恒成立.令x=0,则0W匕WO,所以力=0.因此依K/+2%即x2+(2 -左)x 2 0对任意的x e R恒成立，所以八=(2攵 丫 0),F(l)=0.又9(x)=Z.3.若k 0,则尸(x)在(0,1)上 一 递 增，在(1,+?)上递减，则尸(x)W尸(1)=0,即/i(x)-g(x)0时,F(x)在(0,1)上递减，在(1,+?)上递增，则尸卜)2。(1)=0,即3)-g(x)N 0,符合题意.综上所述，k 0.由 /(X)-(X)=

10、彳2 _X+_(履 _k)=彳2 _(左 +1)%+(左 +1)2 0当*=三 一0,即左 =尤2一伙+l)x+z +l在(o,+?)为增函数，因为/(0)(0)=左 +1 0,故存在后(0,+8),使/(x)-/i(x)0,即攵1时，则需八=(k+1)-4(k+l)0,解得一1(人 0,-I v f v l,止 匕 时 n y/2+,|/2 +1 v 5/7 ,当 1产 2，=8产+8 l+3=(/l-3)(3/l-l),所以4 1,2时，(几)1,求a的取值范围.2【答案】(1)(2)1,4W)e-l(1)Q/(x)=e?v-lnx+1,fr(x)=e,:.k=f(y)=e-.xQ/l)=

11、e+l,.切点坐标为(1,1+e),二函数 f(x)在点(1,穴1)处的切线方程为 y-e-l=(e-l)(x-l),BPy=(e-l)x+2,切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(三,0),e-l1 -7 2 所求三角形面积为一x2x|1=；2 e-l e-l(2)解法一：Q/(x)=aexx-In x+In a,二 (x)=-，且。x设 g(x)=fx)，则 g(x)=+-V 0,X g(x)在(0,+8)上单调递增，即f(x)在(0,+8)上单调递增,当a=l时,广 =0f(x)mjn=/(l)l,.：/(x)l成立.1 1 1 1-1当a l时，一 1，.尸 i，./(一)/=a(e

12、-l)(-l)0,使得了(x()=ae*T-=0,且当x e(0,/)时/(x)0,=,:An a+xQ-1=-n x0 f因此/(x)m i n =/(/)=-I n x。+I n a=+l n a+x0-l +l n a 2 1 n a-l +2 I-x0=2 1 n a+l l,%Y%.：/(%)1,：/(x)2 1 恒成立；当0a l时，f(1)=a+n a a ,/(I)Inx+x =e,nx+Inx,令 g(x)=e +x,上述不等式等价于g(痴+x-l)?g(/n x),显然g(x)为单调增函数，.又等价 于 痴+x1 2/n x，lna lnx-x+，令 7 z(x)=/n x

13、 _x +l,则=-在(0,1)上h,单 调 递 增；在(1,+8)上h3 0,即a Nl,工的取值范围是1,+8).8.(2 0 2 0.天 津 卷)已 知 函 数/(乃=丁+-n x 伏 eR),/为 f(x)的导函数.(I )当k=6 时，(i)求曲线y =/(x)在点(1 J)处的切线方程；9(i i)求函数g O)=f(x)-/(x)+一的单调区间和极值；X(I I)当2.,一 3时，求证：对任意的内，x2 el,+oo),且百 入2，有/(%)+/(%):1(%)一/2 X 1 -【答案】(I )(i)y=9 x-s.(i i)g(x)的极小值为g(l)=l,无极大值;(I I)证

14、明见解+析.(I)当 仁6时,/(x)=x3+6 1 n x,(%)=3%2+一.可得=l,/=9,所以曲线=力在 点 处 的 切 线 方 程 为y-l=9(x-l),即y =9 x 8.(i i)依题意，g(x)=x3-3 x2+6 1 n x +(0,+oo).从而可得 g(x)=3尤2 6X+9 -W，X整理可得：g(x)=3。二 1),(廿 1).x令g x)=O,解得x =l.当x变化时，g(x),g(x)的变化情况如下表:X(0,1)x=(1,+?)g(x)0+g(x)单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+0 0)；g(x)的极小

15、值为g(l)=l,无极大值.k(H)证明：由/(x)=x 3+8 n x,得/(%)=3%2+.x对任意的玉，口，+8),且X 九2，令 五 =，”1)，则X2(为一)(/(司)+/()一2(石)一 马)=(4 一%)X +1-2 x；一 石+女I n土I%2)I 引=-x 3XX2+3 X j%2 +k -2 A:I n =(？-3r+3r-l)+L-y-2 1 nz令/z(x)=x-2 I n x,x el,+oo).xi?(1 Y当X 1 时，A(x)=l +一=1 一一 0.厂 x I x J由此可得/z(x)在1,+8)单调递增，所以当,1时，即2 1 n f 0.因为 2 1,/_

16、 3 r+3 r 1 =Q 1)3 0,k -3,所以石(广一3/+3 f 1)+小 一；一2 1 n,.(/3 产+3 r 1)31一；一2 1 n f)3=广 一3 y+6 1 n f+二一1.t3由(l)(i i)可知，当t l 时，g(r)g(l)，即/一 3/+6 1 n r+7 l,故/一3 产+6 1 n r+?-l 0 t由可得(%)(/(X)+/(X2)-2(/(X1)-/(A2)0.所以，当 2 3 时，任意的王,el,+x ),且 ，有/(%)+/(%)/(X)-/(%)2 x-x29.(2 0 2 0 浙江卷)已知1 0,e*1,/.f(x)0,f(x)在(0,+8)上

17、单调递增，Q 1 a e2-4 0,/(0)=1-a 0,所以由零点存在定理得了(x)在(0,+e)上有唯一零点：UI)(i)Q/(A)=0,en-x0-a =0)J a -1 4 2(a-1)e -1 a)=-x-i-A o x 2),/1a)=e-J：-i-i-(o x 0,h(x)()=0,：.h(x)在(0,2)单调递增，./(x)/?()=0.2cx x 0,2(e*x 1)x,另一方面：QI 6Z 2/.a 1 x=In2当X(0,ln2)时，g；(x)0，所以，(x)vmax，(O),g(l),Qg(O)=O,g(l)=e-3 v O,，(x)vO,g)在(0，l)单调递减,.g

18、(x)vg(O)=O,./一%一1%2,综上，:.e 0 XQ 1K 2(e 0 /1),/.y/ci 1 /J2(a-1),(ii)%)=xQf(ex)=%/(入0+a)=%(，-l)x0+a(ea-2),Q t XQ)=2(e l)%0+a(e 2)0,J a-1 /W J2(a-1),/./(%()2%(Jq-1)=J a-l(e-1)A/CI-1+a(e-2)=(e-1)(。-1)+a J a-1 (e-2),因为l v a e,a N 2(a-l),r(x 0)之(e-l)(a 1)+2(a 1)J a-l(e -2)，只需证明 2(。-l)V ol(ew-2)(e-l)(a-I)2

19、,即只需证明 4(e-2)2 N(e-1)2(“一1),令s(a)=4(e -2)2-(e-1)(a-1),(1 8e(e-2)-(e-l)2 0,s(a)5(1)=4(e-2)2 0 ,即 4(ea-2)2 2 (e-1)2(。一 1)成立，因此 x0/(ex )(e-l)(a-l)a.【2019年】1.2 0 1 9 全国 I 卷】已知函数/(x)=2 s i n x-x c o s x-x,f(x)为/(x)的导数.(1)证明：f 3 在 区 间(0,n)存在唯一零点；(2)若x G 0,兀 时，f(x)ax,求a的取值范围.【答案】(1)见解+析；(2)a o o,0.(1)设 g(x

20、)=/(x),则 g(x)=c o s x +x s i n x I,g (x)=x c o s x.T T T T 1 JT当X (0,5)时，g (x)();当光 W 1 5，兀 J 时，g (x)v(),所以 g(x)在(0,万)单调递增，在兀)单调递减.又 g(0)=0,g C)0,g(?i)=-2,故 g(x)在(0,兀)存在唯一零点.所 以/(X)在(0,兀)存在唯一零点.(2)由题设知/(兀).。兀,/(兀)=0,可得困).由 知，/*)在(0,兀)只有一个零点，设为司，且当X(O,X()时，f (x)0；当(%,兀)时，f x)0,所以/(x)在(0,%)单调递增，在(毛,兀)

21、单调递减.又/(0)=0(兀)=0,所以，当x e(),兀 时，f(x).O.又当 0,x w 0,兀 时,ax0,故/(x).a x.因此，”的取值范围是(一o o,0.2.1 2 01 9 全 国H卷】己知函数/(x)=(x-l)l n x-x-1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)/(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】(1)见解+析；(2)见解+析.(1)/(x)的定义域为(0,+o o ).f(x)=-+l n x-l =l n x-.x xI大I为y =l n x单调递增，y =工单调递减，所 以/(无)单调递增，又=1 0,故存在唯一x e(l,2),

22、使得/,(%)=0.又当时，r(x)x 0时，f(x)0,/(x)单调递增.因此，/(x)存在唯一的极值点.(2)由 知/(%0)(D=，又/(e2)=e2-3 0,所以/(x)=0在5,(%1 得,v 1%.a又=1 =小 =0,故 工 是/(乃=0在(0,毛)的唯一根.a)a )a a a a综上，/(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.3.1 2 01 9 天津】设函数/(x)=l n x-a(x-l)ev,其中a eR.(1)若 把0,讨论了(x)的单调性；(2)若0 a2.【答案】(1)f(x)在(。,+8)内单调递增.；(2)(i)见解+析;(i i)见解+析.(1)解：

23、由己知，/(X)的定义域为(0,+8),且尸(x)=L +a(x -l)e*=I k e X L J X因此当dO时，1一口21 0,从 而/*)(),所以/(X)在(0,+8)内单调递增.1-Z7V2pA 1(2)证明：(i)由(I )知广(8)=.令g(x)=1 ,由0 0,且故g(x)=0在(0,+o o)内有唯一解,从而f(x)=0在。*0)内有唯一解,不妨设为飞,则l x 0 四&I=0,所以/(X)在(0,%)内单调a x x递增；当X 6(不，”)时，/。)=皿1时，0)=,一1 1时，h(x)h(l)=0,所以In元1.从而/fi n-In l n -tz fl n -1 e1

24、n =l n l n -In +1 =/z fl n 1 /(1)=0,所以/(九)在5,+8)内有唯一零点.又/(%)在(0,占)内有唯一零点1,从而，/(x)在(0,+8)内恰有两个零点.(i i)由题意，；八 即/从而l n%=y-e i而，即炉 二 纪 吧 因为当%i时，i n x%1,故工二!1 =焉，X j-1x-1两边取对数，得l n e E l n x：,于是不一天 2 1。/2.4.1 2 01 9 全国m卷】已知函数/(%)=2%3-依2 +2.(1)讨 论 的 单 调 性；(2)当0 0,则当(-00,0)时，(X)0:当时，ff(x)0.故/(X)在(一8,0),(三,

25、+8)单调递增，在(0,三)单调递减；若4=0,/(X)在(-8,+8)单调递增；若 0；当X E/()0.故/(X)在-8 q J,(0,+o o)单调递增，1(2)当0。3时，由(1)知,以/(x)在 O,1 J的 最 小 值 为=一；a3 f4-,0 6m =-1-2 ，M=2 7 2,2a：Q*2-a-i-,0a2 7所以M _2 =4 小生|j,o j单调递减./(x)在 o,单调递减，在 存1卜 调 递增，所-+2,最大值为/(0)=2或/(1)=4一a.于是 2,k:2,当0 a2时，可知2 a +里 单调递减，所以一机的 取 值 范 围 是2 1.2 7 2 7 ),3 Q当2

26、 V a 3时，空 单 调 递增，所以一根的取值范围是上,1).2 7 2 7Q综上，的取值范围是 点,2).5.1 2 01 9 北京】已知函数/(x)一一+.4(1)求曲线V=/(x)的斜率为1的切线方程；(2)当 x e|-2,4 时，求证：x-6 /(%)=%与y =%一药.(2)g(x)=f(x)-x,xe-2,4.I 3由 g(x)=T 一 /得 g，(x)=_%2-2 x.4 4Q令8(%)=0得x =。或X=.g (x),g 0)的情况如FX-2(-2,0)0畤38(1.4)4g 3+所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.g(x)-60_ 642 70故-6 W g(x)0,

27、即(3)由(2)知，当 a F(O)=|g(O)-|=-a 3；当 a -3 时，M(a)F(-2)=|g(2)“|=6+a 3；当。=3时，M(a)=3.综上，当Af(a)最 小 时,a 3.6.12 019 浙江】已知实数。0,设函数f(x)=a江x +J x+l,x 0.(1)当。=一3时，求函数/(x)的单调区间：4(2)对任意x w-U+8)均有/(幻 正，求a的取值范围.e-2a注:e=2.7 18 2 8 为自然对数的底数.(J2【答案】(1)/(%)的单调递增区间是(3,内),单调递减区间是(0,3)：(2)I 0,-(1)当 a =-3 时，f(x)-lnx +VT+x,x

28、0.4 4,/、3 1 (Vl+-2)(2 7 17 +1)J(x)=+-)=-7-4x 2 /l+x 4x ll+x所以，函数/(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+o o).(2)由/(1)4，f 0 a .2a 4当0 lyf l，g(r)g(2 0)=Syfx-4V2y/+x-2In x.记 (4)=4五 一 2夜J l+x-In x,x 2 g,则,2/2 1 2,/x/x+l f2x/x+lP(X)FE丁-g-(%-l)l+Vx(V2x+2-l)x jx +l(+l)(Jx+1 +5/2%)故X7g l)1(l,+8)p(x)0+(x)m g)单调递减极小值P(D

29、单调递增所以，p(x)p(l)=0.因 止 匕，g)2 g(2拒)=2(x)N0.(ii)j x 7,一1时,e-7jg)g-2 ln 光-(x+1)2fx令 4(尤)=2 ln x +(x+l),xw ,e2 7则 4(%)=lnx+2+l 0,(3故虱x)在-4,-上单调递增，所以q(x),qe 7由(i)得，q2s小A一一p(l)=o.所以，q(x)v().由(i)(ii)知对任意工,/G 2/2,+00),g(t).0,即对任意x e J，+)，均有/(x)“雪.(5综上所述，所求的取值范围是I 0,4 J.7.12 019 江苏】设函数/(%)=(%。)(%。)0 。),。,仇。区、

30、尸(x)为/(x)的导函数.(1)若 a=b=c,f(4)=8,求 a 的值；(2)若群b,b=c,且f(%)和 r(x)的零点均在集合-3,1,3 中,求/(%)的极小值;4(3)若 a =O,(),f x)=3(%+3)(x-1).令广(x)=0,得 x =3 或 x =l.列表如下：X(-00,-3)-3(-3,1)1(1,+0)所以/(x)的极小值为/(1)=(1-3)(1+3)2=-32 ./(X)十0-0+/(X)极大值极小值(3)因为 a =O,c=l,所以/(x)=x(x-b)(x-l)=x 3 (6+1)/+灰,f x)-3x2-2(b+l)x +Z?.因为0 0,则尸(x)

31、有2个不同的零点，设为玉,马(为 )由尸,(x)=c0，Z得B 西=b-+-i-y3jb-2-b-+-l,xb+l+Jb2-b+2=-、-列表如下:X(一 8,X|)X|(xpx2)工2(x2,+oo)f i x)+00+f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值M=/(%).解法一：M=/(%)=%；-(力+1濡 +如、。八八八八2(/-6+1)地+1)=3内 -2(8 +1)司 +加牙 一I-玉 +-2(Z?2-/?+1)(/?+1)2 7+炉+品目可+1)2 7空产十 余而E,励+i)2 72 4 4H-W .因此 M .2 7 2 7 2 7解法二:因为O v b K l,所以M(O,1

32、).当x w(0,1)时，/(x)=x(x-b)(x-1)x(x-I)2.令 g(x)=x(x l)2,x e(0,l),则 g (x)=3(尤令g (x)=O,得x =；.列表如下：X畤3事)g (x)4-0g(x)极大值所以当=,时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(X)ma x=g4 4所以当x e(0,l)时，/(%)?(%)0.【答案】(1)2 x y 1=0；(2)见解+析.(1)f x)=+(2a1)%+2,尸(0)=2.ex因此曲线y =f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2 x y -1 =0.(2)当时，/(x)+e(x2+x-1 +eA+l)e.令g(x)=x2+x

33、-l+ev+l,贝!|g (x)=2 x+1 +ev+l.当尤 一1时，g (x)一1时，g (x)0，g(x)单调递增;所以 g(x)N g(l)=O.因此 f(x)+eN O.2.【2 018 全 国I卷文数】已知函数x)=a e*lnx 1.设x =2是 的 极 值 点，求。，并求/(x)的单调区间；证 明：当aN：时,f(x)0.【答案】(1)在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增；(2)见解+析.(1)/(%)的定义域为(0，+8),/(x)=a e -.X由题设知，f(2)=0,所以。=5.从而 f(1)=2 e -I nx 1,f(x)=?.e*.当 0 a 2 时，fr(

34、x)2 时，/(x)0.所以/(x)在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增.1(2)当 a 时，f(x)-l nx-1 .e eX X 1设 g (x)=-l nx-1,则 g (%)=-e e x当0a vl时，gf(x)1时，gf(x)0.所以A 1是g (x)的最小值点.故当X 0时，g (x)泰(1)=0.因此，当42,时，/(%)0.e3.【201 8 全国H卷文数】已知函数/(x)=+x +l).(1)若a =3,求/(x)的单调区间；(2)证明：/(x)只有一个零点.【答案】在(-8,3-28)，(3+2省,+8)单调递增，在(3-2省,3+2百)单调递减；(2)见解+析.

35、(1)当 a=3 时，f(x)=x3 3x2 3x 3，f (x)-x2-6x-3-3令 广(x”0解得43-26或 户3+2 6.当x w(-00,3-2/3)U(3+2百，+8)时，f (x)0；当xG(3-2百，3+2百)时，尸(X)0,所以/(幻=0等价于-3a =0.X+X +1、X3设 g(x)=-5-3 a，X +X +1r2(r+2x+3)则 g (x)=-0,仅当 x=0 时 g(x)=0,(x2+x+l)2所以g (x)在(-8,4-00)单调递增.故g(X)至多有一个零点，从而/(X)至多有一个零点.一 1 ,1 ,1又 f(3-1)=-6 a +2a =6(。)0 ,故

36、/(x)有一个零点.综上，/(%)只有一个零点.4.1 201 8 北京文数】设函数/(x)=ox 2(3a +Dx+3a +2 e*.(I)若曲线y =/(x)在点(2,7(2)处的切线斜率为0,求“；(I I)若/(x)在x =l处取得极小值，求“的取值范围.【答案】(I )。=,；(H)(l,4 w).2(I )因为/(%)=双2(3a +l)x +3a +2 e”,所以 fr(x)=ax2 一 (Q+l)x+l jer.-2)=(2。-1把2,由题设 知/(2)=0,即(2。一1把20 =0,解得。=1.(I I)方法一：由(I )得/(幻=改2一(。+1)工+1 =(以一1)。一1)

37、.若 1,则当 时，fx)0.所以/(X)在 4 1处取得极小值.若“1,则当xe(O,l)时，6 Z X-l x-l 0.所 以 1不是/(x)的极小值点.综上可知，。的取值范围是(1,+8).方法二：f (x)=(axl)ev.(1)当 a=0 时，令/(x)=0 得 x=l./(x),/(x)随 x 的变化情况如下表：X(-00,1)1(L+O 0)/(X)+0/(%)/极大值/./(x)在 尸 1处取得极大值，不合题意.(2)当“0 时，令/(x)=0 得玉=1.a-当王=x,即 a=l 时，f x=(x-l)2ev 0,二,(x)在 R 上单调递增，./(x)无极值，不合题意.当王

38、/，即 0兴 1时，f (x f(x)随 x 的变化情况如下表:/(x)在 户 1处取得极大值，不合题意.X(-00,1)1(1,-)aa(一,+00)a/(X)+00+/(%)/极大值极小值/当王 l时,fr(X),f(X)随 x 的变化情况如下表:Xaa(-,1)a1(1,+c o)f Xx)+00+/(%)/极大值极小值/./（x）在k1处取得极小值，即a 满足题意.（3）当 /3，B+G )匕+6(改+/3,+8)f (x)+00+f i x)/极大值极小值/匕+G)=(6)3-9 x(-/3)=-6A/3.(I l l)解：曲线产/与直线产-(尸-有三个互异的公共点等价于关于元的方程

39、-d)+(x-t2)+6 5/3=0 W三个互异的实数解，令u=x-t2,可得加+(1 -西+6 =0.设函数g(x)4+(1 -d 5+6 6，则曲线y=/u)与直线y=-(x-Z2)-6 6有三个互异的公共点等价于函数尸g(x)有三个零点.(g,(x)=3x3+(l-J2).当法0时，g (x)K)，这时g(x)在R上单调递增，不合题意.q r2当c t 时，g (x)=0,解得X=-尸 ，2=-尸.v3 A/3易得，g(x)在(-8,为)上单调递增，在 乃，及 上单调递减，在3,+8)上单调递增._ _ _ _ _ 3g(x)的极大值 g(x i)=g(-7=)=-H 6y 3 0.J

40、3 9,/E 7 I/士 A/屋-1 2A/3(J2 I)2 N Gg(x)的极小值 g(X 2)=g(-7=-)=-+6 V 3.V 3 9若g(X 2)K)，由g(x)的单调性可知函数尸g(x)至多有两个零点，不合题意.3若g(9)2 7,也就是|刈 如，此时|引 ，g()=|+6 6 0,且一2|“再送(一2|4|)=-6|d一2 1 d l用#-62而+6 6 8-8 1 n 2；(I I )若a&3-4 1 n 2,证明：对于任意fc 0,直线广履+。与曲线产/(*)有唯一公共点.【答案】(I )见解+析；(I I )见解+析.(I )函数f(x)的导函数广。)=7=一 ，1111由

41、 小)7缶)得书一丁 定一“1 1 1因为大工工2，所以/=+/=；.占5 2由基本不等式得g 5*=嘉+新兀因为玉片x2,所以王 龙2 2 5 6 .由题意得/(内)+/(%2)=嘉-I n%+ylx-nx2=g J%/T n Oi/)-设 g(x)=g&-l n x,贝 叱(幻=；(-4)，4x所以X(0,16)16(16,+oo)g(x)0+g(x)2-4 1 n 2/所以g(x)在2 5 6,+8)上单调递增,故 g(g)g(2 5 6)=8 8 1 n 2,即/U,)+/(2)8-8 1 n 2.(I I)令?=e Y H),=(曲史)2 +1，则k/(m)-ktn-aa+k-k-a

42、0,/(7?)-kn-aa,、J a|+1-k)n(尸k)0,n-yjn所以，存在 x()W )使/(次)=A x o+t/所以，对于任意的。R及%(0,+8),直线尸质+与曲线)可(x)有公共点.由,f (z x).=k.x+a/得日 k，=-y-j-x-n-x-a-x设g)=G M X则 (%)=.4x.I n x-+Q/、12 _ g(x)l +a.2XX2其中 g(x)=-I n x -由(I )可知g(x)*(1 6),又把3-4 l n 2,故-g(x)1+aS-g(1 6)-1+t z=-3+4 1 n 2+6!0,所以(x)0,即函数/?(x)在(0,+8)上单调递减，因此方程

43、f(x)-la-a=G至多 1 个实根.综上，当a3-4 1 n 2 时，对于任意k X),直线产质+a 与曲线产炉(%)有唯一公共点.7.【2 0 1 8 江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆。的一段圆弧M P N (P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为4 0 米，点 P到MN的距离为5 0 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大 棚 I 内的地块形状为矩形ABCC,大棚I【内的地块形状为要求A,8 均在线段M N上，C,。均在圆弧上.设0 c 与 MN所成的角为0.(1)用6 分别表示矩形4 3 8 和4 口 的面积，并确定sin。的取值范围；(2)若大棚 内种植

44、甲种蔬菜，大棚H 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当6 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【答案】(1)矩形A B C D的面积为800(4sin(9cos6H-cos6)平方米，/XCDP的面枳为1600(cos0-sin6cos。)平方米，sin。的 取 值 范 围 是，1；(2)当仇:二时，能使甲、乙两种蔬4 6菜的年总产值最大.(1)连结PO 并延长交MN于，则所以OH=10.过 O 作 OE_L8c 于 E,则 OEMM 所以/COE=。，故 0E=4Ocosa EC=40sin仇则矩形 A8c。的面积为 2x40cos(9(40sin6+1

45、0)=800(4sin0cos6+cos(9),CDP 的面积为 1x2x40cos6(40-40sin6)=1600(cos 0,所以/(6)为增函数；6当 ec q,3)时，/(e)(),判断是否存在 0,X使函数/(X)与 g(x)在区间(0,+8)内存在“S点”，并说明理由.【答案】(1)见解+析：(2)-；(3)见解+析.2(1)函数/(x)=x,g(x)=f+2 x-2,则/(x)=1,g (x)=2x+2.由y(x)=g(x)且/(x)=gr(x),得x =x2+2 x-2l=2 x+2,此方程组无解,因此，f(X)与 g(x)不存在“5”点.(2)函数/(X)=or之 一 ,g

46、(x)=lnx,则/(x)=2 or,g(x)=-.X设 松 为/(X)与 g(1)的 S 点，由/(沏)=g(犬 0)且了(.V 0)=g (&),得1 -1得I n/=，即玉)=e 2 ,则 =-j 22(e 力 2当。=时，玉)=-2 满足方程组(*),即与为f(x)与g(x)的“S”点.P因此，。的值为土.2(3)对任意。0,设(幻=3 -3/-a x+a .因为丸(0)=4 0,(1)=1 一3-。+“=2 0,存在b 0,使函数F(x)与 g(x)在区间(0,+00)内存在“S点”.【2 01 7 年】1.【2 01 7 全 国 I 卷文数】已知函数/(x)=e，(e，J a)-“

47、2 x.(1)讨论/(幻 的单调性；(2)若/(x)2 0,求“的取值范围.【答案】(1)当。=0 时，/(%)在(-oo,+o。)单调递增；当a0 时，/(x)在(8/na)单调递减，在(I na,长。)单调递增；当 0时，/(x)在(ro/n(9)单调递减，在3(ln(0),+oo)单调递增；(2)-2/川.2(1)函数/(x)的定义域为(-8,+oo),f (x)-2 e2 A-aex-c r-(2 ev+a)(el-d),若a =0,则/(x)=e2，在(-oo,+oo)单调递增.若 a 0,则由 f x)=0 得 x=I n a.当 x (-8 n a)时，f x)0,故/(%)在(

48、-oo,I n a)单调递减，在(I n a,+oo)单调递增.若Q 0,则由/(%)=0 得 工二叭一方.当 x w (8/n(I)时，f x)0 故/(%)在(-oo,ln(-)单调递减，ffi(ln(-),+oo)单调递增.2 2(2)若a =0,则二e 2所以f(尤)N O.若。0,则 由(1)得，当工二皿4时。，/(%)取得最小值，最小值为/(I n a)=-a2 I n a.从而当且仅当一储 InaNO,即 a K l 时,f(x)0.若a0,则 由(1)得，当x=ln()时，/(x)取得最小值，最小值为/(ln(-)=a2-ln(-).从而当且仅当/之一如(_当 之0,即aN 2

49、 e 0.3综上，a的取值范围为-2 丁,1.2.12 017 全 国 H卷文数】设函数/(x)=(l-x2)e(1)讨论了(幻的单调性；(2)当x NO时，f(x)ax+i ,求a的取值范围.【答案】在(-8,-1 0)和(一1 +逝,+8)单调递减，在(一 1-0,-1 +0)单调递增；(2)1,+).(1)/,(x)=(l-2 x-x2)ev.令 1f(x)=0 得 x=_l0,x=1+V L当 xe(-8,1 血)时，/r(x)0；当xe(-l+6+8)时，r(x)0.所以/(x)在(-00,-1 一 J I)和(一 1 +0,+8)单调递减，在(一 1 一0,-1+0)单调递增.(2

50、)/(%)=(l+x)(l-x)ex.当 此 1 时，设函数/?()=(l-x)e S h(x)=-xe 0),因此(x)在 0,+o o)单调递减,而(0)=1,故(大闫,所以7W二(x+1)A(x)r+l a x+l.当 0 a 0 (x 0),所以 g(x)在 0,+o o)单调递增，而以0)=0,故 e +l.当 O VxVl 时，/(x)(1 x)(l+x)2,(l-x)(l+x)2-ax-=x(l-a x-x2),取则 x0 e (0,1),(1-X o)(l+x0)2-0X()T =0,则(x0)a r0+l.当a SO时，取 X。=非;1,则/G(0,1),/(X0)(1-X0