离散数学第六章-PPT.ppt

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1、离散数学第六章6.1 半群与群半群与群半群、可交换半群和独异点半群、可交换半群和独异点定义定义6.1 设设V=是代数系统是代数系统,为二元运算为二元运算,如果如果是可是可结合的结合的,则称则称V为半群为半群 如果半群如果半群V=中的二元运算含有幺元中的二元运算含有幺元,则称则称V为含幺为含幺半群半群,也可叫做独异点也可叫做独异点.定义定义6.2 如果半群如果半群V=中的二元运算中的二元运算是可交换的是可交换的,则称则称V为可交换半群为可交换半群.注注:为了强调幺元的存在为了强调幺元的存在,有时将独异点记为有时将独异点记为6.1.1 半群与独异点半群与独异点2例例6.1 是半群是半群,都是半群和

2、独异点，都是半群和独异点，其中其中+表示普通加法表示普通加法,幺元是幺元是0,是半群和独异点是半群和独异点,其中其中表示矩阵乘法表示矩阵乘法,矩矩阵乘法的幺元是阵乘法的幺元是n阶单位矩阵阶单位矩阵E.记作记作 是半群和独异点是半群和独异点,其中其中 表示集合的对表示集合的对称差运算称差运算,其幺元是其幺元是,记作记作 是半群和独异点是半群和独异点,其中其中Zn=0,1,n-1,表示模表示模n加法加法,模模n加法的幺元是加法的幺元是0.其中其中:为可交换半群为可交换半群.6.1.1 半群与独异点半群与独异点36.1.1 半群与独异点半群与独异点例例6.2 判断下述论断正确与否判断下述论断正确与否

3、,在相应的括号中键入在相应的括号中键入“Y”或或“N”.(1)在实数集在实数集R上定义二元运算上定义二元运算*为：对于任意的为：对于任意的a,bR,a*b=a+b+ab (a)是一个代数系统；是一个代数系统；()(b)是一个半群；是一个半群；()(c)是一个独异点。是一个独异点。()(2)在实数集在实数集R上定义二元运算上定义二元运算为为,对任意对任意 a,bR,ab=|a|b(其中其中表示数学的乘法运算表示数学的乘法运算)(a)是一个代数系统；是一个代数系统；()(b)是一个半群；是一个半群；()(c)是一个独异点。是一个独异点。()NYYYYY4子半群和子独异点子半群和子独异点定义定义:半

4、群的子代数叫做子半群半群的子代数叫做子半群,即即:如果如果V=是半群是半群,就是就是V的子半群的子半群,需要满需要满足如下两个条件足如下两个条件:T是是S的非空子集的非空子集;T对对V中的运算中的运算是封闭的是封闭的.定义定义:独异点的子代数叫做子独异点独异点的子代数叫做子独异点,对独异点对独异点V=,构成构成V的子独异点的子独异点,需要满需要满足如下条件足如下条件:T是是S的非空子集的非空子集;T要对要对V中的运算中的运算封闭封闭;eT.6.1.1 半群与独异点半群与独异点5群的定义群的定义定义定义6.3 6.3 设设G,是代数系统是代数系统,为二元运算为二元运算.如果如果是可结是可结合的合

5、的,存在幺元存在幺元eG,eG,并且并且G G中的任意元素中的任意元素x,x,都有都有x x-1-1G,G,则称则称G G是群是群.例例6.3 6.3 ,都是群都是群;P(B),是群是群,其中其中 表示集合的对称差运算表示集合的对称差运算,任意任意元素的逆元是其自身元素的逆元是其自身;Z,0是群是群,其中其中Z Zn n=0,1,n-1,=0,1,n-1,表示模表示模n n加加法法,0,0的逆元是的逆元是0,0,非非0 0元素的逆元是元素的逆元是n-x.n-x.6.1.2 群的定义与性质群的定义与性质66.1.2 群的定义与性质群的定义与性质e为为G中的幺元中的幺元,是可是可交换的交换的.任何

6、任何G中的元素与自己中的元素与自己运算的结果都等于运算的结果都等于e.在在a,b,c三个元素中三个元素中,任任何两个元素运算的结果何两个元素运算的结果都等于另一个元素都等于另一个元素.一般称这个群为一般称这个群为Klein四元群四元群.例例6.4 设设Ge,a,b,c,为为G上的二元运算上的二元运算,它由它由以下运算表给出以下运算表给出,不难证明不难证明G是一个群是一个群.7大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流86.1.2 群的定义与性质群的定义与性质群的术语群的术语(1)若群若群G中的二元

7、运算是可交换的中的二元运算是可交换的,则称群则称群G为交换群为交换群,也也叫做阿贝尔叫做阿贝尔(Abel)群群例例,都是群都是群,也是阿贝尔也是阿贝尔(Abel)群群;是群是群,也是阿贝尔也是阿贝尔(Abel)群群;是群是群,也是阿贝尔也是阿贝尔(Abel)群群.Klein四元群也是阿贝尔群四元群也是阿贝尔群(2)若群若群G中有无限多个元素中有无限多个元素,则称则称G为无限群为无限群,否则称为有否则称为有限群限群,只含幺元的群为平凡群只含幺元的群为平凡群.例如例如,都是无限群都是无限群.是有限群是有限群.Klein四元群也是有限群四元群也是有限群.96.1.2 群的定义与性质群的定义与性质群的

8、术语群的术语(3)(3)群的阶群的阶:对于有限群对于有限群G,GG,G中的元素个数也叫做中的元素个数也叫做G G的阶的阶,记作记作|G|.|G|.例如例如:Z:是有限群是有限群,其阶是其阶是n;Kleinn;Klein四元群也是有限四元群也是有限群群,其阶是其阶是4.4.(4)x(4)xn n定义定义:x:x0 0=e,x=e,xn+1n+1=x=xn nx,xx,x-n-n=(x=(x-1-1)n n(5)(5)元素元素x x的阶的阶:设设G G是群是群,xG,xG,使得使得x xk ke e成立的最小的正成立的最小的正整数整数k k叫做叫做x x的阶的阶(或周期或周期).).如果不存在正整

9、数如果不存在正整数k,k,使使x xk ke,e,则称则称x x是无限阶元是无限阶元.注注:对有限阶的元素对有限阶的元素x,x,通常将它的阶记为通常将它的阶记为|x|.|x|.在任何群在任何群G G中幺元中幺元e e的阶都是的阶都是1 1106.1.2 群的定义与性质群的定义与性质群的术语群的术语例例.在在Klein四元群中四元群中,|a|=?,|b|=?,|c|=?,|e|=?返回返回116.1.2 群的定义与性质群的定义与性质群的性质群的性质定理定理6.1 设设G为群为群,则则G中的幂运算满足中的幂运算满足(群中元素的幂群中元素的幂)(1)xG,(x-1)-1x(2)x,yG,(xy)-1

10、y-1x-1(3)xG,xnxmxn+m(4)xG,(xn)mxnm(5)若若G为交换群为交换群,则则(ab)n=anbn126.1.2 群的定义与性质群的定义与性质群的性质群的性质定理定理6.2 G为群为群,a,bG,则则(1)G有唯一的单位元有唯一的单位元,G中每个元素恰有一个中每个元素恰有一个逆元逆元;(2)G适合消去律适合消去律,即对任意即对任意a,b,cG 有有 若若abac,则则bc;若若baca,则则bc;(3)单位元是单位元是G的唯一的幂等元素的唯一的幂等元素;146.1.3 子群子群子群的定义子群的定义定义定义6.4 设群设群,H是是G的非空子集的非空子集.如果如果H关于关于

11、G中的运中的运算算*构成群构成群,则称则称H为为G的子群的子群,记作记作HG.若若H是是G的子群的子群,且且H G,则称则称H是是G的真子群的真子群.例如例如:在群在群中中,取取2Z2x|xZ,则则2Z关于加法构成关于加法构成的子群的子群.同样同样,0也是也是的子群的子群.注意注意:类似于子代数类似于子代数,任何群任何群G都存在子群都存在子群,G和和e是是G的平的平凡子群凡子群.156.1.3 子群子群子群的判断方法子群的判断方法判定定理判定定理1 设设G为群为群,H是是G的非空子集的非空子集,H是是G的子群当且的子群当且仅当仅当:(1)a,b H都有都有ab H;(2)a H有有a-1 H.

12、判定定理判定定理2 设设G为群为群,H是是G的非空子集的非空子集,则则H是是G的子群当的子群当且仅当且仅当 a,b H都有都有ab-1 H.判定定理判定定理3 设设G为群为群,H是是G的非空子集的非空子集.若若H是有穷集是有穷集,则则H是是G的子群当且仅当的子群当且仅当 a,b H都有都有ab H.166.1.3 子群子群子群的判断方法子群的判断方法例例6.5 设设G为群为群,对任何对任何x G,令令Hxk|k Z,即即x的所有的所有幂的集合幂的集合,则则H是是G的子群的子群,称为由元素称为由元素x生成的子群生成的子群,记记作作.证明证明:G由由x 可知可知不为空不为空.任取任取H中的元素中的

13、元素xm,xl,都有都有 xm(xl)-1xmx-lxm-l H根据判定定理二可知根据判定定理二可知G.176.1.3 子群子群例如例如,群群中由中由2生成的子群包含生成的子群包含2的各次的各次幂幂,20=0,21=2,22=2 2=4,23=2 2 2=0,所所以以 =0,2,4.对于对于Klein四元群四元群G=e,a,b,c来说来说,由它的每个由它的每个元素生成的子群是元素生成的子群是 =e,=e,a,=e,b,=e,c186.1.3 子群子群群的中心群的中心 设设G为群为群,令令C是与是与G中所有的元素都可交换的元素构成中所有的元素都可交换的元素构成的集合的集合,即即 Ca|a G x

14、 G(ax=xa),称称C为群为群G的中心的中心.196.1.4 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理陪集的定义陪集的定义定义定义6.4 H是是G的子群的子群,a G,令令Ha=ha|h H 称称Ha是子群是子群H在在G中的右陪集中的右陪集,称称a为为Ha的代表元的代表元素素.例例6.6 设设G=e,a,b,c是是Klein四元群四元群,H=e,a是是G的子群的子群,那么那么H的所的所有右陪集是有右陪集是:He=e,a=H Ha=e,a=H Hb=b,c Hc=c,b 注注:类似地可以定义左陪集类似地可以定义左陪集.206.1.4 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理陪集的定义陪集的定义例例6

15、.6 设设A=1,2,3,f1,f2,f6是是A上的双射函数上的双射函数,其中其中:f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,令令G=f1,f2,f3,f4,f5,f6,则则G关于复合关于复合(本题为右复合本题为右复合)运算构成了群运算构成了群,G的子群的子群H=f1,f2,求求H的全部右陪集的全部右陪集.H f1=f1f1,f2f1=f1,f2=H H f2=f1f2,f2f2=f1,f2=H H f3=f1f3,f2f3=f3,f5 H f4=f1f4,f2f4=f4,f6 H f5=f1f5,f2f5=f5,f3 H f6=f1f6,f2f6=f6,f4 216.1.4 陪集与拉格

16、朗日定理陪集与拉格朗日定理陪集的性质陪集的性质定理定理6.3(定理定理10.7-10.9):设设H是是G的子群的子群,则则(1)He=H(2)a G有有a Ha(3)a,b G,a Hbab-1 HHa=Hb(4)在在G上定义关系上定义关系R:a,b G,Rab-1 H,则则R是是G上的等价关系上的等价关系,且且aR=Ha.(5)a G,HHa(指势相等指势相等)注意注意:左陪集的性质与此类似左陪集的性质与此类似.226.1.4 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理LagrangeLagrange定理定理对对G的子群的子群H来说来说,H的左陪集和右陪集一般是不相等的的左陪集和右陪集一般是不相等

17、的,但左右陪集的个数是相等的但左右陪集的个数是相等的.因此将左右陪集数统称因此将左右陪集数统称为为H在在G中的陪集数中的陪集数,也叫做也叫做H在在G中的指数中的指数,记为记为G:H.定理定理6.4(定理定理10.10):设设G是有限群是有限群,H是是G的子群的子群,则则|G|=|H|G:H.推论推论1 设设G是是n阶群阶群,则则 a G,|a|是是n的因子的因子,且且an=e.推论推论2 对阶为素数的群对阶为素数的群G,必存在必存在a G使得使得G=.236.1.6 循环群和置换群循环群和置换群循环群循环群定义定义6.7 在群在群G中中,如果存在如果存在a G使得使得 G=ak|k Z则称则称

18、G为循环群为循环群,记作记作G=,称称a为为G的生成元的生成元.循环群必定是阿贝尔群循环群必定是阿贝尔群,但阿贝尔群不一定是循环群但阿贝尔群不一定是循环群.证明证明:设设是一个循环群是一个循环群,它的生成元是它的生成元是a,那么那么,对于任对于任意意x,y G,必有必有r,s Z,使得使得 x=as,y=at,而且而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x由此可见由此可见是一个阿贝尔群是一个阿贝尔群.例如例如,是一个循环群是一个循环群,其生成元是其生成元是1或或-1.256.1.6 循环群和置换群循环群和置换群循环群循环群 在循环群在循环群G=中中,生成元生成元a的阶与群的阶与群G的

19、阶是一样的阶是一样的的.如果如果a是有限阶元是有限阶元,|a|n,则称则称G为为n阶循环群阶循环群.如如果果a是无限阶元是无限阶元,则称则称G为无限阶循环群为无限阶循环群.例如例如:是无限阶循环群是无限阶循环群;是是n阶循环群阶循环群.注意注意:(1)对无限阶循环群对无限阶循环群G=,G的生成元是的生成元是a和和a-1;(2)对对n阶循环群阶循环群G=,G的生成元是的生成元是at当且仅当当且仅当t与与n互素互素,如如12阶循环群中阶循环群中,与与12互素的数互素的数有有1、5、7、11.那么那么G的生成元有的生成元有a1=a、a5、a7、a11.(3)N阶循环群阶循环群G=,对于对于n的每个正

20、因子的每个正因子d,G恰好有恰好有一个一个d阶子群阶子群H=.266.1.6 循环群和置换群循环群和置换群n n元置换元置换定义定义6.7 设设S1,2,n,S上的任何双射函数上的任何双射函数:S S构成构成了了S上上n个元素的置换个元素的置换,称为称为n元置换元置换.例如例如,S=1,2,3,令令:SS,且有且有:(1)=2,(2)=3,(3)=1则则 将将1,2,3分别置换成分别置换成2,3,1,此置换常被记为此置换常被记为=采用这种记法采用这种记法,一般的一般的n元置换元置换 可可 记为记为27n n元置换元置换n个不同元素有个不同元素有n!种排列的方法种排列的方法,所以所以,S上有上有

21、n!个置换个置换.例如例如,上有上有3!=6种不同的置换种不同的置换,即即 6.1.6 循环群和置换群循环群和置换群28n n元置换元置换对于对于n元置换也可以用不交的轮换之积来表示元置换也可以用不交的轮换之积来表示.=(a1a2am),m n那么那么 的映射关系是的映射关系是a1a2,a2a3,am-1am,ama1,而其他的元素都有而其他的元素都有aa.称称 为为m次轮换次轮换.这样这样,任何任何n元置换都可表成不交的轮换之积元置换都可表成不交的轮换之积.6.1.6 循环群和置换群循环群和置换群29n n元置换元置换例如例如,是是1,2,6上的置换上的置换,且且=那么那么 的映射关系是的映

22、射关系是1 6,25,33,44,52,61.去掉去掉3和和4这两个保持不变的元素这两个保持不变的元素,可得可得 1 6,61,25,52 所以所以 =(1 6)(2 5)(3)(4)6.1.6 循环群和置换群循环群和置换群30n n元置换元置换又如又如,也是也是1,2,6上的置换上的置换,且且 =则有则有 =(1 4 3 2 5)(6)为使表达式简洁为使表达式简洁,可以去掉可以去掉1次轮换，则有次轮换，则有 =(1 6)(2 5)=(1 4 3 2 5)6.1.6 循环群和置换群循环群和置换群31n n元置换元置换用轮换法表示用轮换法表示 1,2,3 上的置换上的置换可记为：可记为：1=(1

23、),2=(12),3=(13),4=(23),5=(123),6=(132)轮换可以进一步表示成对换之积轮换可以进一步表示成对换之积,如如 6=(13)(12)奇置换奇置换:能表示成奇数个对换之积的置换能表示成奇数个对换之积的置换;偶置换偶置换:能表示成偶数个对换之积的置换能表示成偶数个对换之积的置换.6.1.6 循环群和置换群循环群和置换群32n n元对称群、元对称群、n n元置换群元置换群设设S=1,2,n,S上的上的n!个置换构成集合个置换构成集合Sn,其中恒等置其中恒等置换换Is=(1)Sn.在在Sn上规定二元运算上规定二元运算,对于任意对于任意n元置元置换换,Sn,表示表示 与与 的

24、复合的复合(乘法乘法).显然显然也是也是S上上的的n元置换元置换,所以所以,Sn对运算对运算 是封闭的是封闭的,且且 是是可结合的可结合的.任取任取Sn中的置换中的置换,有有 Is=Is=所以所以,恒等置换恒等置换Is=(1)是是Sn中的幺元中的幺元.6.1.6 循环群和置换群循环群和置换群33n n元对称群、元对称群、n n元置换群元置换群 与与 的逆置换的复合为的逆置换的复合为Is,因此因此:-1=就是就是 的逆元的逆元.即即:Sn关于置换的复合构成一个群关于置换的复合构成一个群,称之为称之为S上的上的n元对称群元对称群.Sn的任何子群称为的任何子群称为S上的上的n元置换群元置换群.6.1

25、.6 循环群和置换群循环群和置换群34n n元对称群、元对称群、n n元置换群元置换群例如例如 S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132),S3的运算表如表的运算表如表6.1所示所示.(注意它与例注意它与例6.6中中G的联系的联系)6.1.6 循环群和置换群循环群和置换群35从上表从上表6.1可以看到可以看到:(13)(12)(12)(13)所以所以,S3不是阿贝尔群不是阿贝尔群,在在 S3中中,(12),(13)和和(23)都是都是2阶元阶元,而而(123)和和(132)是是3阶元阶元.S3有有6个子群个子群,即即 =(1),=(1),(12),=(1),(13),=

26、(1),(23),=(1),(123),(132),其中其中(1)和和S3是平凡的是平凡的,除除S3自己以外自己以外,都是都是S3的真子群的真子群.设设An是是Sn上所有偶置换组成的集合上所有偶置换组成的集合,An是是Sn子群子群,叫做叫做n元交错群元交错群.6.1.6 循环群和置换群循环群和置换群366.2 环与域环与域6.2.1 环环定义定义6.8 设设是代数系统是代数系统,R为集合为集合,+和和为二元为二元运算运算,如果如果(1)为阿贝尔群为阿贝尔群,(2)为半群为半群,(3)乘法乘法对加法对加法+适合分配律适合分配律,则称则称是环是环.例如例如:,都是环都是环,+和和表示普表示普通加法

27、和乘法通加法和乘法,分别叫整数环分别叫整数环Z、有理数环、有理数环Q、实数、实数环环R和复数环和复数环C.是环是环,+,分别是矩阵加法和乘法分别是矩阵加法和乘法.注注:环中关于加法的逆元称为负元环中关于加法的逆元称为负元,记为记为-x;关于乘法关于乘法的逆元称为逆元的逆元称为逆元,记为记为x-1376.2 环与域环与域6.2.2 交换环和含幺环交换环和含幺环 在环在环中中,如果乘法如果乘法适合交换律适合交换律,则称则称R是交换环是交换环.如果对于乘法有幺元如果对于乘法有幺元,则称则称R是含幺环是含幺环.为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法通常把加法幺

28、元记作幺元记作0,乘法幺元记作乘法幺元记作1.可以证明加法幺元可以证明加法幺元0恰好是恰好是乘法的零元乘法的零元.例如例如:,都是交换环吗都是交换环吗?它们是含幺环吗它们是含幺环吗?386.2 环与域环与域 6.2.3 左零因子、右零因子、无零因子环左零因子、右零因子、无零因子环在环在环中中,如果存在如果存在a,bR,a0,b0,但但ab0,则则称称a为为R中的左零因子中的左零因子,b为为R中的右零因子中的右零因子.如果环如果环R中既不含左零因子中既不含左零因子,也不含右零因子也不含右零因子,即即 a,bR,ab0a0b0 则称则称R为无零因子环为无零因子环.396.2 环与域环与域6.2.3

29、 整环和域整环和域整环整环:若环若环是是交换交换、含幺含幺和和无零因子无零因子的的,称称R为整为整环环.域域:设环设环整环整环,且且R至少含有至少含有2个元素个元素,若若 a R(a0)有有a-1 R,则称则称R是域是域.例如例如:有理数集有理数集Q、实数集、实数集R和复数集和复数集C关于普通的加法和关于普通的加法和乘法都构成了域乘法都构成了域,整数集整数集Z只能构成整数环只能构成整数环,而不是域而不是域,因因为并不是任意非零整数的倒数都属于为并不是任意非零整数的倒数都属于Z.40例例6.6 设设S为下列集合为下列集合,+和和.为普通加法和乘法为普通加法和乘法.(1)Sxx2nnZ.(2)Sx

30、x2n+1nZ.(3)SxxZx0N,问问S和和+,能否构成整环？能否构成域？为什么？能否构成整环？能否构成域？为什么？6.2 环与域解解:(1)(1)不是整环也不是域不是整环也不是域,因为乘法幺元是因为乘法幺元是1,11,1 S.S.(2)(2)不是整环也不是域不是整环也不是域,因为因为S S不是环不是环,普通加法的幺普通加法的幺元是元是0,00,0 S,S,(3)S(3)S不是环不是环,因为除因为除0 0以外任何正整数以外任何正整数x x的加法逆元是的加法逆元是-x,-x,而而-x-x S S当然也不是整环和域当然也不是整环和域.416.3 格和布尔代数6.3.1 格格定义定义6.10 设

31、设是偏序集是偏序集,如果如果 x,yS,x,y都有最都有最小上界和最大下界小上界和最大下界,则称则称S关于关于构成一个格构成一个格.xy表示表示x和和y的最小上界的最小上界 xy表示表示x和和y的最大下界的最大下界.例例6.7 设设n为正整数为正整数,Sn为为n的正因子的集合的正因子的集合,D为整除关为整除关系系,则则构成格构成格.x,ySn,xy是是x,y的最小公倍数的最小公倍数x,y,xy是是x,y的的最大公约数最大公约数(x,y)436.3 格和布尔代数格格,和和 xy是是x,y的最小公倍数的最小公倍数x,y,xy是是x,y的最大公的最大公约数约数(x,y)15544例例6.8 判断图中

32、偏序集是否构成格判断图中偏序集是否构成格,说明为什么说明为什么.6.3 格和布尔代数456.3 格和布尔代数6.3.3 分配格分配格定义定义6.11 设设是格是格,若若 a,b,cL有有 a(bc)(ab)(ac)a(bc)(ab)(ac)成立成立,则称则称L为分配格为分配格.49图中图中(1)、(2)、(3)、(4)是分配格吗？是分配格吗？(3)a(bc)aea (ab)(ac)ddd(4)b(ac)beb (ba)(bc)dc=c.506.3 格和布尔代数格和布尔代数6.3.4 全上界和全下界全上界和全下界定义定义6.12 若在格若在格中存在一个元素中存在一个元素a,bL,ab或或(ba)

33、,则称则称a为格为格L的全下界的全下界(或全上界或全上界)对于一个格对于一个格L,全下界如果存在全下界如果存在,则是唯一的则是唯一的,记为记为0.同样地同样地,若全上界存在也是唯一的若全上界存在也是唯一的,记为记为1,具有全上界和全下界的格具有全上界和全下界的格称为有界格称为有界格,记作记作516.3.5 有补格有补格定义定义6.13 设设是有界格是有界格 aL,若存在若存在bL使得使得ab0,ab1,则称则称b为为a的补元的补元.例例.(1)的的a,b,c都不存在补元都不存在补元,0与与1互为补元互为补元;(2)的的a,b,c中任意两个都互为补元中任意两个都互为补元,0与与1互为补元互为补元

34、;(3)中中a和和b的补元都是的补元都是c,而而c的补元是的补元是a和和b,0与与1互为互为补元补元.6.3 格和布尔代数526.3 格和布尔代数6.3.5 有补格有补格有补格有补格:在格中有的元素无补元在格中有的元素无补元,有的元素有补元有的元素有补元,有的元有的元素有多个补元素有多个补元,如果格中每个元素都至少有一个补元如果格中每个元素都至少有一个补元,则称这个格为有补格则称这个格为有补格.图图6,4中中(2)和和(3)是有补格是有补格,而而(1)不是不是.对分配格对分配格L来说来说,如果如果aL有补元有补元,则一定有唯一的补则一定有唯一的补元元a.536.3 格和布尔代数6.3.6 布尔

35、代数布尔代数定义定义6.14 如果格如果格是有补分配格是有补分配格,则称则称L为布为布尔格尔格,也叫做布尔代数也叫做布尔代数.由于布尔代数由于布尔代数L中的每个元都有唯一的补元中的每个元都有唯一的补元,求补运算求补运算也可以看成是也可以看成是L中的一元运算中的一元运算.因此因此,布尔代数布尔代数L可记为可记为,其中其中表示求补运算表示求补运算.546.3 格和布尔代数布尔代数有以下性质:定埋6.8 设是布尔代数,则有:aL,(a)a,a,bL,(ab)=ab,(ab)=ab.证明证明:(ab)(ab)(aba)(abb)(aa)b)(a(bb)(1b)(a1)(ab)(ab)(aab)(bab)(aa)b)(bb)a)(0b)(0a)0.所以ab是ab的补元,即(ab)ab.同理可证 (ab)ab 55