离散数学教学代数系统-PPT.pptx

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1、离散数学教学代数系统前言 为什么要研究代数系统？代数就是专门研究离散对象得数学,就是对符号得操作。她就是现代数学得三大支柱之一(另两个为分析与几何)。代数从19世纪以来有惊人得发展,带动了整个数学得现代化。随着信息时代得到来,计算机、信息都就是数字(离散化)得,甚至电视机、摄像机、照相机都在数字化。知识经济有人也称为数字经济。这一切得背后得科学基础,就就是数学,尤其就是专门研究离散对象得代数。代数发端于“用符号代替数”,后来发展到以符号代替各种事物。在一个非空集合上,确定了某些运算以及这些运算满足得规律,于就是该非空集合中得元素就说就是有了一种代数结构。现实世界中可以有许多具体得不相同得代数系

2、统。但事实上,不同得代数系统可以有一些共同得性质。正因为此,我们要研究抽象得代数系统,并假设她具有某一类具体代数系统共同拥有得性质。任何在这个抽象系统中成立得结论,均可适用于那一类代数系统中得任何一个。抽象代数学在计算机中得应用 代数学历史悠久。代数得发展可分成两个阶段。19世纪这前得代数称为古典代数,19世纪至今得代数称为近世代数(抽象代数)。抽象代数学得研究对象就是抽象得,她不就是以某一具体事物为研究对象,而就是以一大类具有共同性质得事物为研究对象。因此其研究成果适用于这一类事物中得每一个,从而收到事半功倍之效。抽象代数学得主要内容就是研究各种各样得代数系统。她把一些形式上很不相同得代数系

3、统,用统一得方法描述、研究和推理,从而得到反映出她们共性得一些本质得结论,然后再把这些结论应用到具体得代数系统中。抽象代数学在计算机中得应用 抽象代数得概念和方法也就是研究计算科学得重要数学工具。有经验和成熟得计算科学家都知道,除了数理逻辑处,对计算科学最有用得数学分支学就就是代数,特别就是抽象代数。抽象代数就是关于运算得学问,就是关于计算规则得学问。在许多实际问题得研究中都离不开数学模型,而构造数学模型就要用到某种数学结构,而抽象世代数研究得中心问题就就是一种很重要得数学结构-代数系统:半群、群、格与布尔代数等等。计算科学得研究也离不开抽象代数得应用:半群理论在自动机理论和形式语言中发挥了重

4、要作用;有限域理论就是编码理论得数学基础,在通讯中起过重要得作用;至于格和布尔代数则更不用说了,就是电子线路设计、电子计算机硬件设计和通讯系统设得重要工具。另外描述机器可计算得函数、研究算术计算得复杂性、刻画抽象数据结构、描述作为程序设计基础得形式语义学,都需要抽象代数知识。学习本章得方法u 1、要按照数学得思维方式学习,即观察客观世界,抽象出模型,再分析、推理揭示内在规律得过程。u 2、领会“抽象”性:代数得抽象性不仅体现在元素得抽象上,还体现在相应运算得抽象上,就是在最纯粹得形式下研究代数结构中得运算得规律与性质,从运算得角度来考虑代数结构中得元素。因此,初等代数得相应概念、结论不能直接应

5、用在抽象代数中。如何跨越从直观到抽象就是学习抽象代数得重要一步。u 3、教材得基本思路就是:首先严格定义什么就是代数结构,并讨论一般代数结构得基本性质。然后讨论代数结构研究得两个方面:其一就是通过一些基本性质来规定一类特定得代数结构,并对这类代数结构得性质进行研究。其二就是研究代数结构之间得各种关系,通过对代数结构之间关系得研究,就可以把一个代数结构中得某些性质推广到另一个代数结构中。学习本章得方法 4、结合具体例子与应用来理解抽象代数得概念与结论,特别就是“抽象”得概念,在理解得基础上熟悉基本概念与重要结论,掌握基本推理方法,领会抽象代数得研究方法,并尝试去解决具体问题。5、抽象代数以代数结

6、构为研究对象,集合论就是研究代数结构得基础。而群就是抽象代数所研究得最为重要、最为基础得代数结构,也就是抽象代数部分得学习重点,学习好群得相关知识,习惯了代数得“抽象”思维,环、域得学习也就相对容易了。6、阅读教材、课堂听讲、反复思考,并独立完成一定数量得习题,只有如此,才能理解抽象代数得概念,掌握有关理论,从而提高分析问题得能力。7、1 代数系统得引入 代数系统就是由一个集合(此集合称为代数得载体)和定义在集合上得运算构成。注:载体一般就是非空集合,定义在载体上得n元运算就是一个从An到B得映射。例:)取整 X,求绝对值|X|,就是一元运算)+,X就是二元运算,)if xyandyz the

7、n就是三元运算例:整数集,实数集,符号串集合等。7、2 运算及其性质 一、二元运算 1、运算封闭性:若x,yA,有x*yA,称*在A上就是封闭得 例:A=xx=2n,nN,问运算封 闭否,呢？解:2r,2sA,2r x 2s=2r+sA()运算封闭 2,4A,2+4 A,运算不封闭 2,4A,2/4 A,运算不封闭2、结合律 证:a,b,cA,a*(b*c)=a*c=c(a*b)*c=b*c=c a*(b*c)=(a*b)*c*满足结合律 已知,若x,y,zA,有x*(y*z)=(x*y)*z,称*满足结合律。例:,若a,bA,有a*b=b 证明:*满足结合律 7、2 运算及其性质3、交换律

8、已知,若x,yA,有x*y=y*x,称*满足交换律。例:设,*定义如下:a*b=a+b-ab,问*满足交换律否？证:a,bA,a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a*满足交换律。7、2 运算及其性质设,若x,y,zA有:x*(yz)=(x*y)(x*z);(yz)*x=(y*x)(z*x)称运算*在上可分配例:设A=,二元运 算*,定义如左:*问分配律成立否？证明:x(y*z)=(xy)*(xz)证:当x=:x(y*z)=;(xy)*(xz)=当x=:x(y*z)=y*z;(xy)*(xz)=y*z注:若找不到规律,对该例则应用8个式子进行验证。、运算*对运算不可分配 证:*()=*=(*

9、)(*)=7、2、1 运算及其性质4、分配律大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点 可以互相讨论下，但要小声点例:N为自然数集,x,yN,x*y=maxx,y,xy=minx,y 证明:x,yN,x*(xy)=maxx,minx,y=x xy=x*满足吸收律 x x y x(x*y)=minx,maxx,y=x xy=x 满足吸收律 x x y7、2、1 运算及其性质5、吸收律:设,若x,y,zA有:x*(x z)=x 称运算*满足吸收律;x(x*y)=x;运算 满足吸收律 试证:*,满足吸收律 已知A,*,若xA,x*x=x 则称*满足等幂律 例:已知集合s,(s),则,满足

10、吸 收律,等幂律 7、2 运算及其性质6、等幂律7、2 运算及其性质二、么元(单位元)和零元1、定义:设*就是s上二元运算,er,eI,r,e,s,有、若x s,有el*x=x,称el为运算*得左么元若x s,有x*er=x,称er为运算*得右么元、若x s,有l*x=l,称l为运算*得左零元 若x s,有x*r=r,称r为运算*得右零元、若x s,有e*x=x,x*e=x称e为运算*得么元 若x s,有*x=x*=,称为运算*得零元 例:代数A=a,b,c,。用下表定义:。a b ca a b bb a b cc a b a则b就是左么元,无右么元,a就是右零元,b就是右零元,无左零元;二、

11、么元(单位元)和零元运算。既不满足结合律,也不满足交换律。例:a)I,x,I为整数集则么元为1,零元为0 二、么元(单位元)和零元b)(s),对运算,就是么元,s就是零元,对运算,s就是么元,就是零元。c)N,+有么元0,无零元。2、性质、Th1:设*就是s上得二元运算,满足结合律,具有左么元el,右么元er,则el=er=e证明:er=el*er=el二、么元(单位元)和零元推论:二元运算得么元若存在则唯一 证明:反证法:设有二个么元e,e;则e=e*e=e、Th2:设*就是s上得二元运算,具有左零元ol,右零元or,则ol=or=o 推论:二元运算得零元若存在则唯一 三、逆元 1、逆元定义

12、 设*就是s上得二元运算,e就是运算*得么元 7、2 运算及其性质、若x*y=e那对于运算*,x就是y得左逆元,y就是 x得右逆元、若x*y=e,y*x=e,则称x就是y得逆元,y得逆 元通常记为y-1,存在逆元(左逆无,右逆元)得元素称为可逆得(左可逆得,右可逆得)例:a)、代数 N,+中仅有么元0,有逆元0,R,*中,除零元0外所有元素均有逆元 b)、A=a,b,c,*由下表定义:*a b ca a a bb a b cc a c cb就是么元,a得右逆元为c,无左逆元,b得逆元为b,c得右逆元为空,左逆元为a 三、逆元d)A=0,1,2,k-1,k 模k乘法k定义如下:x ky=x y x y k x y-n k x yk,n0,1,、则有些元素存在逆元,有些元素无逆元 当且仅当x与k互质时,x有逆元 三、逆元 Th3:对于可结合运算,如果元素X有 左逆元,右逆元r,则l=r=x推论:逆元若存在,则唯一证:=(xr)=(x)逆元存在为r 若存在X得另一个逆元r;则:r r=r(xr)=(rx)r=r r三、逆元2、逆元得性质 四、同态和同构一、同态 1、定义:满同态:单一同态:二、同构 1、定义: