高数求极限方法总结.doc

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1、第一章极限计算方法总结一、极限定义、运算法则与一些结果1.定义:数列极限、函数极限, 说明:(1)一些最简单得数列或函数得极限(极限值可以观察得到)都可以用上面得极限严格定义证明,例如:;等。定义证明按着总结得四个步骤来,缺一不可！(2)在后面求极限时,(1)中提到得简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。2.极限运算法则定理1 已知 ,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且(1)(2)(3) 说明:极限号下面得极限过程就是一致得;同时注意法则成立得条件,当条件不满足时,不能用。3.两个重要极限(1) (2) ; 说明:(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能

2、够熟练运用它们得变形形式。 (2)一定注意两个重要极限成立得条件。 例如:,;等等。4.等价无穷小定理2 无穷小与有界函数得乘积仍然就是无穷小(即极限就是0)。定理3 当时,下列函数都就是无穷小(即极限就是0),且相互等价,即有: 。说明:当上面每个函数中得自变量x换成时(),仍有上面得等价关系成立,例如:当时, ; 。 定理4 如果函数都就是时得无穷小,且,则当存在时,也存在且等于。5.连续性 定理5 一切连续函数在其定义去间内得点处都连续,即如果就是函数得定义去间内得一点,则有 。求极限得一个方法。6.极限存在准则 定理6(准则1) 单调有界数列必有极限。 定理7(准则2) 已知为三个数列

3、,且满足:(1) (2) , 则极限一定存在,且极限值也就是a ,即。二、求极限方法举例1 用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限例1 解:原式= 。注:本题也可以用洛比达法则。例2 解:原式= 。例3 解:原式 。2 利用函数得连续性(定理6)求极限例4 解:因为就是函数得一个连续点, 所以 原式= 。3 利用两个重要极限求极限例5 解:原式= 。注:本题也可以用洛比达法则(第三章)例6 解:原式= 。例7 解:原式= 。4 利用定理2求极限例8 解:原式=0 (定理2得结果)。5 利用等价无穷小代换(定理4)求极限 例9 解:,原式= 。例10 解:原式= 。注:下面得解法就是错误得: 原式= 。 正如下面例题解法错误一样: 。例11 解:, 所以, 原式= 。(最后一步用到定理2)5 利用极限存在准则求极限例20 已知,求解:易证:数列单调递增,且有界(02),由准则1极限存在,设 。对已知得递推公式 两边求极限,得: ,解得:或(不合题意,舍去)所以 。例21 解: 易见:因为 ,所以由准则2得: 。上面对求第一章极限得常用方法进行了比较全面得总结,由此可以瞧出,求极限方法灵活多样,而且许多题目不只用到一种方法,因此,要想熟练掌握各种方法,必须多做练习,在练习中体会。另外,求极限还有其它一些方法,如用洛必达、定积分求极限等,后面再作介绍。