可降阶的二阶微分方程课件.ppt

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1、第五节第五节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程一、一、型的微分方程型的微分方程二、二、型的微分方程型的微分方程三、三、型的微分方程型的微分方程四、四、可降阶二阶微分方程的应用举例可降阶二阶微分方程的应用举例一、一、型的微分方程型的微分方程解法解法特点特点 右端仅含有自变量右端仅含有自变量 x,只要积分只要积分 二次即得通解二次即得通解.例例 1解解逐次积分的解法可用于解高阶微分方程逐次积分的解法可用于解高阶微分方程积分积分 n 次即得含次即得含 n 个独立任意常数的通解个独立任意常数的通解.解解解解 据题意有据题意有对方程两边积分对方程两边积分,得得 例例3 3 质量为质量为 m 的质

2、点受力的质点受力F 的作用沿的作用沿 ox 轴作直线轴作直线运动运动,设力设力 F 仅是时间仅是时间 t 的函数的函数:F=F(t).在开始时在开始时刻刻t=0 时时F(0)=F0 ,随着时间的增大随着时间的增大,此力此力 F 均匀均匀地减小地减小,直到直到 t=T 时时 F(T)=0.若开始时质点在原点若开始时质点在原点,且初速度为且初速度为0,求质点的运动规律求质点的运动规律.利用初始条件利用初始条件于是于是两边再积分得两边再积分得再利用再利用故所求质点运动规律为故所求质点运动规律为二、二、型的微分方程型的微分方程特点：特点：解法：解法：代入原方程代入原方程,化为关于变量化为关于变量 x,

3、P 的一阶微分方程的一阶微分方程关于关于 p(x)的的一一阶方程阶方程设其通解为设其通解为即即再次再次积分积分,得得原方程的通解原方程的通解解解代入原方程代入原方程,得得解线性方程解线性方程,得得两端积分两端积分,得原方程通解为得原方程通解为例例 1解解代入原方程代入原方程,得得解线性方程解线性方程,得得两端积分两端积分,得原方程通解为得原方程通解为例例2解解代入原方程代入原方程,得得解线性方程解线性方程,得得例例 3两端积分两端积分,得原方程通解为得原方程通解为故所求原方程的解为故所求原方程的解为:三、型的微分方程特点：特点：解法：解法：代入原方程代入原方程,化为关于化为关于 p(y)的一阶

4、微分方程的一阶微分方程设其通解为设其通解为即即分离变量后分离变量后积分积分,得得原方程的通解原方程的通解解解代入原方程得代入原方程得 故原方程通解为故原方程通解为例例 1即即解解2从而通解为从而通解为例例 1解解3原方程变为原方程变为两边积分两边积分,得得原方程通解为原方程通解为例例 2解解代入原方程得代入原方程得 故原方程通解为故原方程通解为解解2将方程写成将方程写成积分后得通解积分后得通解例例 2解解代入原方程得代入原方程得 故曲线方程为故曲线方程为例例解解令令代入方程得代入方程得积分得积分得即即解解例例4解初值问题解初值问题令令代入方程得代入方程得积分得积分得即即利用初始条件利用初始条件,根据根据积分得积分得故所求特解为故所求特解为得得四、小结四、小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法逐次积分逐次积分令令令令思考思考:1.方程方程如何代换如何代换求解求解?答答:令令或或一般说一般说,用前者方便些用前者方便些.均可均可.有时用后者方便有时用后者方便.例如：例如：2.解解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题问题?答答:(1)一般情况一般情况,边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便.(2)遇到遇到开平方时开平方时,要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号.练练 习习 题题练习题答案练习题答案