复合函数的求导法则课件.ppt

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1、上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页1.4.1 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 一、一元复合函数求导的链式法则一、一元复合函数求导的链式法则 二、二、多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 三、三、小结小结1.4 函数的求导法则函数的求导法则1湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)一、一元复合函数的求导法则一、一元复合函数的求导法则2湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页

2、下一页返回首页返回首页证证3湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例如例如,关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.4湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例1解解例例2解解5湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例3解解例例4解解6湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解 (1)(2)例例4 利用链式法则利用链式法则求下列导数求下列导数:7湘潭大学数学与计算科学学

3、院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页求求解解 思考思考:若若存在存在 ,如何求如何求的导数的导数?这两个记号含义不同这两个记号含义不同例例5 设设8湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页二、二、多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则这个复合过程，这个复合过程，1.下面先讨论中间变量是一元函数的情况下面先讨论中间变量是一元函数的情况可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：9湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页证证10湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页11湘潭大学数学与计算科学学院上一

4、页上一页下一页下一页返回首页返回首页定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数全导数全导数.12湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页这个复合过程，这个复合过程，可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：2.下面讨论中间变量是多元函数的情况下面讨论中间变量是多元函数的情况13湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 14湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页链式法则如图示链式法则如图示15湘潭大学数学与计

5、算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页类似地再推广，设类似地再推广，设 都在点都在点(x,y)具有对具有对x和和y的偏导数，复合函数的偏导数，复合函数在点在点(x,y)的两个偏导数存在，并且有的两个偏导数存在，并且有16湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页若若其中其中则复合函数则复合函数对对x的偏导数的偏导数式中左边的式中左边的与右边的与右边的一样吗一样吗?17湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似18湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返

6、回首页解解19湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解20湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解令令记记同理有同理有21湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页于是于是22湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页链式法则的记忆口诀链式法则的记忆口诀:分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导.23湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例9 设设解解 设设24湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例

7、例10 设设解解25湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页无论无论z是自变量是自变量u、v 的函数或中间变量的函数或中间变量u、v 的的函数，它的全微分形式是一样的函数，它的全微分形式是一样的.全微分形式不变性全微分形式不变性全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质：26湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页27湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解28湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页1、链式法则（分三种情况）、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不

8、变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结29湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页思考题：思考题：1.已知已知求求解解 由由两边对两边对 x 求导求导,得得30湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页求求在点在点处可微处可微,且且设函数设函数解解 由题设由题设(2001考研考研)2.31湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页32湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页作业作业习题习题1.4 P59-61 A 组组 1 (1)、(3)、(4)，2 (2)、(4)3 (1)、(3)5 B 组组 1，2，,333湘潭大学数学与计算科学学院