多面体与欧拉公式教学ppt课件.ppt

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1、欧拉公式欧拉公式欧拉欧拉欧拉公式欧拉公式 著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过他国度过他1616岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家在世发表论文上最高产的作家在世发表论文700700多篇，去世后还留多篇，去世后还留下下100100多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用首先使用f(x)表示函数，首先用表示函数，首先用表示连加，首先用表示连加，首先用i表示虚数单位

2、在立体几何中多面体研究中，首先发表示虚数单位在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式现并证明欧拉公式学习目标学习目标1 了解直棱住及正棱锥的直观图画法、了解直棱住及正棱锥的直观图画法、正多面体的概念、欧拉定理正多面体的概念、欧拉定理2 了解正多面体的棱数与每个面的边数、面了解正多面体的棱数与每个面的边数、面 数的关系及正多面体的棱数与每一个顶点的数的关系及正多面体的棱数与每一个顶点的棱数、面数的关系棱数、面数的关系3 了解欧拉示性数及欧拉公式的简单用途了解欧拉示性数及欧拉公式的简单用途4了解简单多面体各面的内角和了解简单多面体各面的内角和=(E-F)3600 =(V-2)3600新授课

3、新授课问题问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表1234图形编号顶点数V面数F棱数E 1 2 34规律规律：V+F-E=2464861268129815（欧拉公式）（欧拉公式）充以气体气体？充以气体气体？1简单多面体：简单多面体：表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体2 欧拉定理：简单多面体的顶点数欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数、棱数E及面数间及面数间F 有关系有关系V+F-E=23欧拉公式欧拉公式V+F-E=24 欧拉示性数欧拉示

4、性数 f(P)=V+F-E不同类型的多面体欧拉示性数不同不同类型的多面体欧拉示性数不同带一个洞的多面体欧拉示性数等于带一个洞的多面体欧拉示性数等于05设正多面体的每个面的边数为设正多面体的每个面的边数为n，每个顶点连的棱数为，每个顶点连的棱数为m 则则 (1)E=nF2 (2)E=mV26 正多面体只有正四、六、八、十二、二十多面体五种正多面体只有正四、六、八、十二、二十多面体五种 7 简单多面体各面内角和简单多面体各面内角和=(E-F)3600=(V-2)3600例例1、有没有棱数是、有没有棱数是7 的简单多面体？的简单多面体？解：假设有一个简单多面体的棱数E=7。根据欧拉公式得 V+F=E

5、+2=9因为多面体的顶点数V4，面数F4，所以只有两种情形：V=4，F=5或V=5，F=4。但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有四个顶点。所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体问题问题2:欧拉公式的应用问题问题3:欧拉公式的应用欧拉公式的应用例例2 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的有重大贡献的三位科学家三位科学家C60是有是有60 个个C原子组成的分子，它结构为简原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有单多面体形状这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种

6、计算条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种计算C60分分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？子中形状为五边形和六边形的面各有多少？解：设解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和个和 y个个由题意有顶点数由题意有顶点数V=60，面数，面数=x+y，棱数，棱数E=（360）根据欧拉公式，可得根据欧拉公式，可得 60+（x+y)（360）=2另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即 （5x+6y)=（360）由以上两个方程可解出由以上两个方程可解出 x=12,y=20答：答：C60分子中形状为五边形和六边形

7、的面各有分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和个和20个个重庆遇罕见蝗灾重庆遇罕见蝗灾 2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了年夏，重庆壁山县古老城遭受了罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像收割机一样把当地近千亩的农作物和收割机一样把当地近千亩的农作物和果树林吞食得面目全非，眼看数年心果树林吞食得面目全非，眼看数年心血就要化为泡影。血就要化为泡影。重重庆庆遇遇罕罕见见蝗蝗灾灾古老城人可以怎样消灭古老城人可以怎样消灭蝗虫，控制蝗灾？蝗虫，控制蝗灾？请你帮助请你帮助古老城紧急呼救古老城紧急呼救 请支援我们请支援我们 20万只万只青蛙青蛙，2万只万只麻雀麻雀和和5000

8、条条蛇蛇。疑问疑问1 为什么古老城选择了用为什么古老城选择了用自然方法处理蝗灾？自然方法处理蝗灾？第一节第一节 动物在自然界中的作用动物在自然界中的作用 第三章第三章 动物在生物圈中的作用动物在生物圈中的作用疑问疑问2 古老城中的青蛙、麻雀古老城中的青蛙、麻雀和蛇都哪儿去了？和蛇都哪儿去了？当地农民说：当地农民说：“青蛙和蛇对付蝗青蛙和蛇对付蝗虫很管用，可现在青蛙和蛇都让虫很管用，可现在青蛙和蛇都让人人吃光吃光了。了。”麻雀啄食和糟蹋农作物，曾被麻雀啄食和糟蹋农作物，曾被列为主要害鸟。列为主要害鸟。20世纪世纪5060年代，我国开展了一场轰轰烈年代，我国开展了一场轰轰烈烈的烈的“剿灭麻雀剿灭麻

9、雀”的全民运动。的全民运动。“成果成果”：仅一天，上海就消灭麻雀仅一天，上海就消灭麻雀194432只！只！据不完全报道：从据不完全报道：从3月到月到11月上旬，月上旬，8个月的时间中全国捕杀麻雀个月的时间中全国捕杀麻雀19.6亿亿只！只！通过以上资料的分析，你认为人类能否通过以上资料的分析，你认为人类能否随意灭杀某种动物吗？为什么？随意灭杀某种动物吗？为什么？人为的破坏动物的种类和数量，会导致人为的破坏动物的种类和数量，会导致整个整个生态系统失去平衡生态系统失去平衡从而可以看出从而可以看出 动物在自然界有什么作用？动物在自然界有什么作用？维持维持生态平衡生态平衡在生态系统中，各种生物的数量和在

10、生态系统中，各种生物的数量和所占的比例总是维持在相对稳定的所占的比例总是维持在相对稳定的状态，这种现象就叫状态，这种现象就叫生态平衡生态平衡。如果食物链或食物网中某一环节出如果食物链或食物网中某一环节出了问题，就会使整个了问题，就会使整个生态失衡生态失衡。疑问：疑问：在自然生态系统中，各种在自然生态系统中，各种动物的数量能不能无限的动物的数量能不能无限的增长？为什么？增长？为什么？“狼医生的故事狼医生的故事”北美驯鹿是可爱的动物，它们在广阔的北美驯鹿是可爱的动物，它们在广阔的草原上生活。可是，它们经常受到狼的威草原上生活。可是，它们经常受到狼的威胁。于是，人们为保护驯鹿，捕杀草原上胁。于是，人

11、们为保护驯鹿，捕杀草原上的狼，驯鹿的家族繁盛起来。的狼，驯鹿的家族繁盛起来。可是，过了一些年，人们发现草原被驯可是，过了一些年，人们发现草原被驯鹿糟蹋的很厉害，而且北美驯鹿有时成批鹿糟蹋的很厉害，而且北美驯鹿有时成批死亡。是什么原因呢？死亡。是什么原因呢？科学家研究以后发现，北美驯鹿失去了天敌科学家研究以后发现，北美驯鹿失去了天敌狼之后，种群扩大了。草场不足，草原被破坏，狼之后，种群扩大了。草场不足，草原被破坏，而且那些老弱病残的鹿不能被淘汰，加剧了草而且那些老弱病残的鹿不能被淘汰，加剧了草场不足的困难。而且，没有狼的追杀，驯鹿的场不足的困难。而且，没有狼的追杀，驯鹿的运动少了，体质下降，因病

12、而死数量增加。运动少了，体质下降，因病而死数量增加。于是，人们又把狼于是，人们又把狼“请请”了回来。了回来。狼还是吃狼还是吃鹿，为了避免让狼捉到，狼一来鹿就跑，在这鹿，为了避免让狼捉到，狼一来鹿就跑，在这种相互竞争中，鹿的数目不但没有减少，反而种相互竞争中，鹿的数目不但没有减少，反而更强壮了。更强壮了。自然界就是这样的奇妙，狼成了鹿的医生了。自然界就是这样的奇妙，狼成了鹿的医生了。问题问题 为什么动物的数量不能无限增长呢？为什么动物的数量不能无限增长呢？生物与生物之间是相互依赖的，相生物与生物之间是相互依赖的，相互制约的关系。互制约的关系。问题问题1 兔子为什么要吃草兔子为什么要吃草问题问题4

13、 空气中的水份和二氧化碳会不会被耗尽空气中的水份和二氧化碳会不会被耗尽问题问题3 光合作用所需要的原料光合作用所需要的原料问题问题2 草（植物）中的营养物质从哪而来草（植物）中的营养物质从哪而来草草兔兔有机物有机物动物动物消化和吸收消化和吸收动物自身的物质动物自身的物质分解分解产生的能量供产生的能量供动物生命活动动物生命活动二氧化碳二氧化碳光光合合作作用用粪便粪便遗体遗体被分解者分解被分解者分解有机物有机物动物自身的物质动物自身的物质分解分解产生的能量供产生的能量供动物生命活动动物生命活动二氧化碳二氧化碳光光合合作作用用粪便粪便遗体遗体被分解者分解被分解者分解有机物有机物分解分解产生的能量供产

14、生的能量供动物生命活动动物生命活动二氧化碳二氧化碳光光合合作作用用有机物有机物产生的能量供产生的能量供动物生命活动动物生命活动二氧化碳二氧化碳光光合合作作用用有机物有机物光光合合作作用用动物促进生态系统中的物质循环动物促进生态系统中的物质循环据估计：在开花植物中，约有据估计：在开花植物中，约有84的植物是通过昆虫来帮助它们授粉的植物是通过昆虫来帮助它们授粉的的动物和植物的关系动物和植物的关系 自然界中的动物和植物在长期生存与发自然界中的动物和植物在长期生存与发展的过程中，形成了相互适应、相互依存展的过程中，形成了相互适应、相互依存的关系的关系 植物：植物：为各种动物制造营养物质，为各种动物制造营养物质，并提供栖息场所并提供栖息场所 动物：动物：帮助植物更好地繁衍帮助植物更好地繁衍 给植物的生长提供肥料给植物的生长提供肥料 对植物造成危害对植物造成危害