差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构课件.ppt

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1、总界面总界面 结束结束 第六节第六节 差分与差分方程的概念差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构差分的概念差分的概念差分方程的概念差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构思考题思考题第十章第十章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程内容回顾内容回顾小结小结CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不

2、同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .内容回顾内容回顾2CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回3CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程上页上页 下页下页 返回返回(待定系数法待定系数法)二阶常系数非齐次微分方程求特解的一般步骤二阶常系数非齐次微分方程求特解的一般步骤:4CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程一、差分的概念一、差分的概念定定义义

3、1解解:例例15CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程解解:解解:例例36CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程称为差分算子，具有下列性质：称为差分算子，具有下列性质：7CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程证明（证明（3）8CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程又证明（又证明（3）9CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程定义定义210CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程

4、与差分方程微分方程与差分方程解解:例例4解解:例例5 设设.,2xxxyeyD D=求求11CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程解解:例例6注：注：一般地，对于一般地，对于k次多项式次多项式,它的它的k阶差分为常数阶差分为常数,而而k阶以上的差分均为零阶以上的差分均为零.12CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程二、差分方程的概念二、差分方程的概念定定义义3 313CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程定定义义3*14CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方

5、程与差分方程微分方程与差分方程注注：差分方程的两个定义不完全等价差分方程的两个定义不完全等价.例例如如方方程程按按上上定定义义3,为为二二阶阶差差分分方方程程，但但若若改改写写为为按按上上定定义义3*,则则应应为为一一阶阶差差分分方方程程.由由差差分分的的定定义义和和性性质质可可知知,差差分分方方程程的的不不同同表达形式之间可以相互转化表达形式之间可以相互转化.15CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程解解:16CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程定定义义4 已知通解求特解时，需要给出确定通解中常已知通解求特

6、解时，需要给出确定通解中常数取值的条件，称为数取值的条件，称为初始条件初始条件 通解中任意常数被初始条件确定后的解通解中任意常数被初始条件确定后的解,称为称为差分方程的差分方程的特解特解.对对n阶差分方程阶差分方程,要确定要确定n个任意常数的值个任意常数的值,应应有有n个条件个条件.17CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程n取任何值都满足方程，得证取任何值都满足方程，得证。解解:例例818CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程证明证明例例9.)()()(3211的解的解xfxfxfayyxx+=+19CH10

7、微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程将将 代入方程代入方程 是方程的解，且含任意常数是方程的解，且含任意常数c,故为方程的通解故为方程的通解 解解:例例1020CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程 这是因为方程在变形过程中各项之间的时间差这是因为方程在变形过程中各项之间的时间差没有改变没有改变,一般情况下一般情况下,将将n的计算时间向前或向后移的计算时间向前或向后移动一个相同时间间隔动一个相同时间间隔,所得到的方程与原方程等价所得到的方程与原方程等价 利用以上结论，求解差分方程时，可以将方程利用以上结论，求解差分方

8、程时，可以将方程作适当整理，且讨论解的表达式时，只考虑比如：作适当整理，且讨论解的表达式时，只考虑比如：n0，l，2，的情况的情况 差分方程差分方程和和微分方程微分方程无论是在方程结构、解无论是在方程结构、解的结构还是在求解方法上都有很多相似的地方的结构还是在求解方法上都有很多相似的地方下面下面,我们就仿照我们就仿照n阶线性微分方程阶线性微分方程,给出给出n阶线性阶线性差分方程解的结构定理差分方程解的结构定理 21CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程下面出现的差分方程均是含有未知函数不同下面出现的差分方程均是含有未知函数不同时期值的形式时期值的形式.

9、形如以下的方程称为形如以下的方程称为n阶线性阶线性非齐次非齐次差分方程差分方程：形如以下的方程称为形如以下的方程称为n阶线性阶线性齐次齐次差分方程差分方程：yx+n+a1yx+n-1+an-1yx+1+an yx=f(x)三、常系数线性差分方程解的结构三、常系数线性差分方程解的结构yx+n+a1yx+n-1+an-1yx+1+an yx=022CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程定理定理1如果函数如果函数y1(x),y2(x)，yk(x)均为均为n阶常阶常系数系数齐次齐次线性差分方程：线性差分方程：yx+n+a1yx+n-1+an-1yx+1+an

10、yx=0的解，则的解，则y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+Ck yk(x)也是方程的解也是方程的解,其中其中Cl,Ck是任意常数是任意常数那那么么称称这这些些函函数数在在区区间间I上上线线性性相相关关；否否则则称称这这些函数在区间些函数在区间I上上线性无关线性无关.定定义义5设函数设函数上有定义，上有定义，若存在一组不全为零的数若存在一组不全为零的数使对一切使对一切 ,有有都在区间都在区间I23CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程根据线性差分方程解的结构定理根据线性差分方程解的结构定理,要求解要求解n阶阶齐次齐次线性差分方程的通解只要找出线性

11、差分方程的通解只要找出n个个线性无关线性无关的特解的特解,再用再用n个任意常数个任意常数线性组合即可线性组合即可定理定理2如果函数如果函数y1(x),y2(x),yn(x)均为均为n阶常系阶常系数数齐次齐次线性差分方程：线性差分方程：yx+n+a1yx+n-1+an-1yx+1+an yx=0的的n个个线性无关线性无关的特解，则的特解，则y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+Cnyn(x)是方程的是方程的通解通解，其中，其中Cl,Cn是任意常数是任意常数24CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程定理定理3如果如果yx*是是 n阶阶非齐次非齐次差分方

12、程差分方程yx+n+a1yx+n-1+an-1yx+1+anyx=f(x)的一个的一个特解特解，Yx是对应是对应齐次齐次差分方程的差分方程的通解通解,则则yxYxyx*是是非齐次非齐次差分方程差分方程的的通解通解.要要求求n阶阶非非齐齐次次线线性性差差分分方方程程的的通通解解,在在求求出出对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解基基础础上上,只只要要再再找找所所给给非非齐齐次次方方程程的的一一个个特特解解,然然后后将将已已求求对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解与此特解相加可得与此特解相加可得定理定理4 如果如果y 1*,y 2*分别是分别是n阶非齐次差分方程：阶非齐次差分方程：yx+n+a1yx

13、+n-1+an-1yx+1+an yx=f1(x)yx+n+a1yx+n-1+an-1yx+1+an yx=f2(x)的两个特解的两个特解,则则 yx*=y 1*+y 2*是方程是方程 yx+n+a1yx+n-1+anyx=f1(x)+f2(x)的的特解特解.25CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程思考题思考题同样可以验证，同样可以验证，y*(x)=x2是所给非齐次方程是所给非齐次方程的特解的特解,于是所给非齐次方程的通解为于是所给非齐次方程的通解为:y(x)C1C22x+x2其中其中C1,C2是任意常数是任意常数解解:对应齐次方程为对应齐次方程为:可以验证可以验证y1(x)=2x和和y2(x)=1是其两个线性无是其两个线性无关的解关的解,所以通解为所以通解为:y C1C22x.26CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程小结小结1.差分的定义差分的定义2.差分方程与差分方程的阶差分方程与差分方程的阶3.差分方程的解、初始条件和通解、特解差分方程的解、初始条件和通解、特解4.常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构27总界面总界面 结束结束 作作 业业P411 ex 1，2，4，5，6预习：预习：第七节第七节第十章第十章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程