数学分析课件第四版华东师大研制--第20章-曲线积分.ppt

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1、返回 返回 后页 后页 前页 前页1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.二第一型曲线积分的计算一第一型曲线积分的定义返回 返回 后页 后页 前页 前页一 第一型曲线积分的定义 上的连续函 是定义在 设某物体的密度函数 数当 是直线段时,应用定积分就能计算得该物体 的质量.现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.(2)近似求和：在每一个 上任取一点 由于(1)分割：把 分成 个可求长度的小曲线段 返回 返回 后页 后页 前页 前页 上的连续函数,故当 的弧长都很小时,每一小段

2、的质量可近似地等于 其中 为小曲线段 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式(3)当对 的分割越来越细密(即)时,上述和式的极限就应是该物体的质量.由上面看到,求物质曲线段的质量,与求直线段的质 返回 返回 后页 后页 前页 前页量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下面给出这类积分的定义.个可求长度的小曲线段 的弧长,它把 定义在 上的函数.对曲线 做分割 分成记为 分割 的细度为 在 上任取 一点 若有极限 为平面上可求长度的曲线段,定义1 设 为返回 返回 后页 后页 前页 前页且 的值与分割 的取法无关,则称此 极限为上的第一型曲线积分,记作为空间可求长曲线段,若

3、为定义在 上 的函数,则可类似地定义 在空间曲线 上 的第一型曲线积分,并且记作 于是前面讲到的质量分布在曲线段 上的物体的质 返回 返回 后页 后页 前页 前页量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.1.若在 为 常数,则也存在,且2.若曲线段 由曲线 首尾相接而成,都存在,则 也存在,且返回 返回 后页 后页 前页 前页3 都存在,且在 则4 也存在,且 返回 返回 后页 后页 前页 前页5存在,的弧长为则存在常数 使得6.第一型曲线积分的几何意义 为L 若 为坐标平面 上的分段光滑曲线,上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义,易见 以 为准线,母线平行于 轴的柱面上截取 返回 返回 后

4、页 后页 前页 前页的部分的面积就是 返回 返回 后页 后页 前页 前页二 第一型曲线积分的计算定理20.1 设有光滑曲线 为定义在 上的连续函数,则 证 由弧长公式知道,上由 的弧长 的连续性与积分中值定理,有 返回 返回 后页 后页 前页 前页所以 这里 则有 返回 返回 后页 后页 前页 前页令现在证明 因为复合函数 连续,所以在闭区 间 上有界,即存在常数 使对一切 都有 返回 返回 后页 后页 前页 前页再由 上连续,所以它在 上一致连续,即对任给的 使当 时,从而 所以 返回 返回 后页 后页 前页 前页因此当在(4)式两边取极限后,即得所要证的(3)式.上有连续的导函数时,(3)

5、式成为 再由定积分定义 当曲线 由方程 表示,且 在 返回 返回 后页 后页 前页 前页上有连续导函数时,(3)式成为 例1 设 是半圆周 试计算第一型曲线积分 解 当曲线 L由方程 表示,且 在 返回 返回 后页 后页 前页 前页例2 一段(图20-2),试计算第一型曲线积 分 解 由参 仿照定理20.1,对于空间曲线积分(2),当曲线 量方程 表示时,返回 返回 后页 后页 前页 前页其计算公式为:例3 计算 其中 为球面 被平面 所截得的圆周.解 由对称性知 所以 返回 返回 后页 后页 前页 前页*例4 计算 其中 为内摆线 解 由对称性知 返回 返回 后页 后页 前页 前页其中*例5

6、求圆柱面 被柱面 所包 而内摆线的参数方程为 因此 返回 返回 后页 后页 前页 前页围部分的面积A.解 由图可见,阴影部分为被围柱面在第一卦限的部 分,它面积 设在坐标平面 上的圆 在第一象限的曲线记为,则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于 z 积分的几何意义可知它的面积为 的那部分柱面.由第一型曲面 轴的 返回 返回 后页 后页 前页 前页L的参数方程为:因此,定义,线密度为 的 曲线状物体对于 x,y 轴的转动惯量分别为 注 由第一型曲线积分的 返回 返回 后页 后页 前页 前页例6 求线密度为 的曲线段 对于 y 轴的转动惯量.解 和返回 返回 后页 后页 前页 前

7、页复习思考题 1.若 在光滑曲线上连续,是否一定存在 使得其中 s 是曲线 L 的弧长.2.设在光滑曲线 L 上连续,L满足条件:返回 返回 后页 后页 前页 前页若 满足条件:是否有 若 满足条件:是否有 其中3.证明以下第一型曲面的轮换对称性:设在光滑曲线 L上连续,L 满足条件:返回 返回 后页 后页 前页 前页 若 满足条件:则 返回 返回 后页 后页 前页 前页2 第二型曲线积分 第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分,这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.三、两类曲线积分的联系 一、第二型曲线积分的定义 二、

8、第二型曲线积分的计算 返回 返回返回 返回 后页 后页 前页 前页一 第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一种类型的曲线积分问题.例如一质点受力 的作用沿平面曲线 从点 A 移动到点 B,求力 所作的功,见图 20-2.返回 返回 后页 后页 前页 前页为此在曲线 内插入 个分点 一起把有向曲线 分成 n个有向小曲线段 若记小曲线设力 在 轴方向的投影分别为那么的弧长为 则分割 的细度为 段返回 返回 后页 后页 前页 前页又设小曲线段 在 轴上的投影分别为 分别为点 的坐标.记 于是力 在小曲线段 上所作的功其中 为小曲线段 上任一点.因而力 沿曲线 所作的功近似地等于 其中 返回 返回

9、后页 后页 前页 前页当细度 时,上式右边和式的极限就应该是 所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论 的第二型曲线积分.定义1 设函数 定义在平面有向可 求长度曲线 上.对 的任一分割 它把 分 成n个小曲线段返回 返回 后页 后页 前页 前页其中 记个小曲线段 的弧长 为 分割 的细度 又设 的分点 在每个小曲线段 上任取一点 若极限 存在且与分割 T 与点 的取法无关,则称此极限为函数 沿有向曲线 L 上的第二型 的坐标为 并记返回 返回 后页 后页 前页 前页曲线积分,记为 或上述积分(1)也可写作或返回 返回 后页 后页 前页 前页为书写简洁起见,(1)式常简写成 或 式可写成向

10、量形式若L为封闭的有向曲线,则记为 若记 则(1)或 于是,力 沿有向曲线 返回 返回 后页 后页 前页 前页对质点所作的功为若L 为空间有向可求长曲线,为定义在L 上的函数,则可按上述办法类 似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分,并记为或简写成返回 返回 后页 后页 前页 前页当把看作三维向量时,(4)式也可表示成(3)式的向量形式.第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关.对同一曲线,当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时,每一小曲线段的方向改变,从而所得的 也随之改变符号,故 返回 返回 后页 后页 前页 前页有 而第一型曲线积分的被积表达式只是函数 与 弧长的乘积,它与曲线L的

11、方向无关.这是两种类型曲线积分的一个重要区别.类似与第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下一些主要性质:1 返回 返回 后页 后页 前页 前页 也存在,且 2.若有向曲线 由有向曲线 首尾衔接而 成,都存在,则 也存在,且 返回 返回 后页 后页 前页 前页二第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.设平面曲线 其中 上具有一阶连续导函数,且 点 的坐标分别为 又设 上的连续函数,则沿 L 返回 返回 后页 后页 前页 前页的第二型曲线积分读者可仿照1中定理20.1的方法分别证明由此便可得公式(6).对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分(2)的计算,可 返回 返回 后页 后页 前页

12、前页在 L 上任意选取一点作为起点,沿L所指定的方向前 进,最后回到这一点.例1 计算 其中 L 分别沿图 20-3中的路线:(i)直线段(ii)(iii)(三角形周界).返回 返回 后页 后页 前页 前页解(i)直线 的参数方程为故由公式(6)可得(ii)曲线 为抛物线 返回 返回 后页 后页 前页 前页(iii)这里L是一条封闭曲线,故可从 A开始,应用上段加即可得到所求之曲线积分.由于沿直线 的线积分为所以的性质2,分别求沿 上的线积分然后相 返回 返回 后页 后页 前页 前页沿直线 的线积分为 所以 沿直线 的线积分可由(i)及公式(5)得到:返回 返回 后页 后页 前页 前页 例2

13、计算 这里 L 为:(i)沿抛物线 的一段(图20-4);(ii)沿直线(iii)沿封闭曲线解(i)返回 返回 后页 后页 前页 前页(ii)(iii)在OA 一段上,一段上,一段上与(ii)一样是的一段.所以返回 返回 后页 后页 前页 前页(见(ii)沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与(6)式相仿.设空间有向光滑曲线 L 的参量方程为 因此 返回 返回 后页 后页 前页 前页起点为 终点为则 这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.L 是螺旋线:例3 计算第二型曲线积分返回 返回 后页 后页 前页 前页上的一段(参见图 205).解 由公式(7),返回 返回 后页 后页 前

14、页 前页例4 求在力 作用下,(i)质点由 沿螺旋线 所作的功(图20-5),其中(ii)质点由A沿直线所作的功.解 如本节开头所述,在空间曲线 L上力F所作的功为(i)由于返回 返回 后页 后页 前页 前页(ii)的参量方程由于 所以例5 设L 为球面和平面的交线,若面对 x 轴正向看去,L是沿逆时针方向的,求返回 返回 后页 后页 前页 前页(i)(ii)(i)由对称性，解 L的参数方程为返回 返回 后页 后页 前页 前页因此，(ii)由对称性，*例6 设G 是 R2 中的有界闭域，是 上的连续 可微函数,是在G上的连续函数.返回 返回 后页 后页 前页 前页则对任意,存在 对于任意分割只

15、要 必有 其中 为端点的折线.证 由 的有界性,存在使得返回 返回 后页 后页 前页 前页令 由P,Q在 G 的一致连续性,存在 使得 就有由 在上的一致连续性,存在 使得返回 返回 后页 后页 前页 前页就有.任意分割,满足令 设 为连接与 的线段,其斜率为设的方程为 则返回 返回 后页 后页 前页 前页于是 设 在 到 的那段曲线为 则 返回 返回 后页 后页 前页 前页因此返回 返回 后页 后页 前页 前页注 例6 告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来逼近.返回 返回 后页 后页 前页 前页*三.两类曲线积分的联系在规定了曲线方向之后,可以建立它们之间的联系.的有向光滑曲线,它以弧长s

16、为参数,虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型,且有着不同的特性,但在一定条件下,如于是其中l 为曲线L 的全长,且点 的坐标分别为 返回 返回 后页 后页 前页 前页 曲线L 上每一点的切线方 向指向弧长增加的一方.现以 分别表示 切线方向 轴正向的夹角,则在曲线上的 每一点的切线方向余弦是上的连续函数,则由(6)式得返回 返回 后页 后页 前页 前页最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式.注 当(9)式左边第二型曲线积分中L改变方向时,积 分值改变符号,相应在(9)式右边第一型曲线积分中,曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧 长减少的方向).这时夹角分别与原来 返回 返回 后页 后页 前页 前页 的夹角相差一个弧度 从而 都 要变号.因此,一旦方向确定了,公式(9)总是成立的.返回 返回 后页 后页 前页 前页复习思考题 1.设在光滑曲线L上连续,L满足 若 满足条件:是否有又若满足 是否有返回 返回 后页 后页 前页 前页 其中2.第二型曲面是否也有轮换对称性？设 在光滑曲线 L上连续,L满足 若 满足条件:是否亦有 3.设 在空间光滑曲线L 上连续,L 满足返回 返回 后页 后页 前页 前页 若 满足条件:是否亦有