上海市闸北区2016届高考数学二模试卷（理科）（解析版）.doc

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1、2016年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1已知函数f（x）=ax+ax（a0，a1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是2已知集合A=x|x2|a，B=x|x22x30，若BA，则实数a的取值范围是3如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，bR，则a+b的最大值是4在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a4b的值是5某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是

2、以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元6已知F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若PF1F2的面积为9，则b=7ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边且ac+c2=b2a2，若ABC最大边长是且sinC=2sinA，则ABC最小边的边长为8在极坐标系中，曲线=sin+2与sin=2的公共点到极点的距离为9如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段AB围成图形面积S的取值范围是10设函数f（x）=x21，对任意x

3、，+），f（）4m2f（x）f（x1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11向量，均为单位向量，其夹角为，则命题“p：|1”是命题q：，）的（）条件（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D非充分非必要条件12已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SA=AB=1，则球O的表面积等于（）A4B3C2D13已知数列an中，an+1=3Sn，则下列关于an的说法正确的是（）A一定为等差数列B一定为等比数列C可能为等

4、差数列，但不会为等比数列D可能为等比数列，但不会为等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤14（理）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45角；（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A1DC1的距离15某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0xa，a为正常数）已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件（1）将该产品的

5、利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？16已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）的周期为，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求证：存在x0（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）能按照某种顺序成等差数列17若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，问曲线C上关于点B（0

6、，t）（tR）对称的不同点有几对？请说明理由18已知数列an，Sn为其前n项的和，满足Sn=（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，数列Tn的前n项和为Rn，求证：当n2，nN*时Rn1=n（Tn1）；（3）已知当nN*，且n6时有（1）n（）m，其中m=1，2，n，求满足3n+4n+（n+2）n=（an+3）an的所有n的值2016年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1已知函数f（x）=ax+ax（a0，a1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f

7、（2）的值是12【考点】指数函数的单调性与特殊点；函数的值【专题】计算题【分析】由f（1）=3可得到关于a的式子，由f（0）+f（1）+f（2）得到关于a的式子，寻找与已知表达式的联系即可求解【解答】解：f（1）=a+a1=3，f（0）=2，f（2）=a2+a2=（a+a1）22=7，f（1）+f（0）+f（2）=12故答案为：12【点评】本题考查指数幂的运算和运算法则，属基本运算的考查2已知集合A=x|x2|a，B=x|x22x30，若BA，则实数a的取值范围是a3【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；集合【分析】利用绝对值不等式的解法、一元二次不等

8、式的解法分别解出A，B，再利用BA即可得出【解答】解：由|x2|a，可得2ax2+a（a0），A=（2a，2+a）（a0）由x22x30，解得1x3B=（1，3）BA，则，解得a3故答案为：a3【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，bR，则a+b的最大值是【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数【分析】由|z|=1，得|z2|=1，结合z2=a+bi，得a2+b2=1，然后利用基本不等式求得a+b的最大值【解答】解：|z|=1，|z2|=1，由z2=a+bi

9、，得a2+b2=1，（a+b）22（a2+b2）=2，故当时，a+b的最大值是故答案为：【点评】本题考查复数模的求法，训练了利用基本不等式求最值，是基础题4在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a4b的值是2【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果【解答】解：向量，在向量方向上的投影相同，=，A（a，1），B（2，b），C（3，4），3a+4=6+4b，3a4b=2，故

10、答案为：2【点评】本题考查了向量的数量积运算、投影，考查了推理能力，属于基础题5某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是5000元【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】由已知求出获得一、二、三等奖的概率分别为，由此利用一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，能求出参加此次大赛获得奖金的期望【解答】解：某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率

11、是以a为首项，2为公比的等比数列，获得一、二、三等奖的概率分别为a，2a，4a，且a+2a+4a=1，解得a=，获得一、二、三等奖的概率分别为，一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，参加此次大赛获得奖金的期望E（X）=5000元故答案为：5000【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用6已知F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若PF1F2的面积为9，则b=3【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a

12、， =4c2，由此能得到b的值【解答】解：F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1|PF2|=4a2，36=4（a2c2）=4b2，b=3故答案为3【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识7ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边且ac+c2=b2a2，若ABC最大边长是且sinC=2sinA，则ABC最小边的边长为1【考点】正弦定理【专题】方程思想；综合法；解三角形【分析】根据余弦定理求出cosB=，故b=，由sinC=2sinA得c=2a，代入余弦定理计算a【解答】

13、解：ac+c2=b2a2，cosB=，B=，b=sinC=2sinA，c=2a，三角形的最短边为a由余弦定理得cosB=，解得a=1故答案为1【点评】本题考查了余弦定理，正弦定理，判断三角形的最长边和最短边是关键，属于中档题8在极坐标系中，曲线=sin+2与sin=2的公共点到极点的距离为1+【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】计算题；规律型；转化思想；坐标系和参数方程【分析】联立方程组 消去sin求解即可【解答】解：=sin+2与sin=2消去sin，可得（2）=2，由于0，解得=1+故答案为：【点评】本题考查极坐标方程的应用，利用的几何意义是解题的关键9如图，A，B是直线l上的两点，且AB

14、=2两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段AB围成图形面积S的取值范围是【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】计算题；压轴题；数形结合【分析】结合图形，可见当O1与O2外切于点C时，S最大，圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S就是矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，解答即可【解答】解：如图，当O1与O2外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，当C到直线l的距离d0时，S0，S【点评】本题考查圆与圆的位置关系，数形结合的思想，是中档题10设函数f（x）=x21，对任意

15、x，+），f（）4m2f（x）f（x1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是【考点】函数的值；函数恒成立问题【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由已知得4m2+1在x，+）上恒成立，上由此能求出实数m的取值范围【解答】解：依据题意得14m2（x21）（x1）21+4（m21）在x，+）上恒定成立，即4m2+1在x，+）上恒成立当x=时，函数y=+1取得最小值，4m2，即（3m2+1）（4m23）0，解得m或m，故答案为：【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意函数性质和等价转化思想的合理运用二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有

16、一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11向量，均为单位向量，其夹角为，则命题“p：|1”是命题q：，）的（）条件（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】平面向量及应用；简易逻辑【分析】根据向量数量积的运算公式，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：若|1，则平方得： 22+2=221，即，则cos=，（，即p：（，命题q：，），p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积的应用求出向量夹角是解决本题的关

17、键12已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SA=AB=1，则球O的表面积等于（）A4B3C2D【考点】直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积【专题】压轴题【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可【解答】解：已知S，A，B，C是球O表面上的点OA=OB=OC=OS=1又SA平面ABC，ABBC，SA=AB=1，球O的直径为2R=SC=2，R=1，表面积为4R2=4故选A【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象

18、能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题13已知数列an中，an+1=3Sn，则下列关于an的说法正确的是（）A一定为等差数列B一定为等比数列C可能为等差数列，但不会为等比数列D可能为等比数列，但不会为等差数列【考点】等差关系的确定；等比关系的确定【专题】等差数列与等比数列【分析】由条件可得Sn+1=4Sn，对S1分类讨论，即可得出结论【解答】解：an+1=3Sn，Sn+1Sn=3Sn，Sn+1=4Sn，若S1=0，则数列an为等差数列；若S10，则数列Sn为首项为S1，公比为4的等比数列，Sn=S14n1，此时an=SnSn1=3S14n2（n2），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列综上

19、，数列an可能为等差数列，但不会为等比数列故选C【点评】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤14（理）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45角；（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A1DC1的距离【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算【专题】计算题【分析】（1）解法一：先找到直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，放入

20、直角三角形中，根据角的大小为45，来求三角形中边之间的关系，即可求出AE长度解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，求出坐标，以及平面AA1D1D的法向量的坐标，因为直线D1E与平面AA1D1D成45角，所以与平面AA1D1D的法向量成45角，再用向量的数量积公式即可求出坐标，进而判断E点位置（2）利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为E点到平面上任意一点的向量【解答】解：（1）解法一：长方体ABCDA1B1C1D1中，因为点E在棱AB上移动，所以EA平面AA1D1D，从而ED1A为直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，RtED1A中，ED1A=45

21、解法二：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点D1（0，0，1），平面AA1D1D的法向量为，设E（1，y，0），得，由，得，故（2）以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点E（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，2，1），从而，设平面DA1C1的法向量为，由令，所以点E到平面A1DC1的距离为=1【点评】本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离属于立体几何的常规题15某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0xa，a为正常数）已知生产该

22、产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）根据产品的利润=销售额产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件【解答】解：（）由题意知，y=（4+）px6（p+），将p=代入化简得：y=19x（0xa）；（）y=22（+x+2）223=10，当且仅当=x+2，即x=2时，上式取等号；当a2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y=19x，

23、y=，a2时，函数在0，a上单调递增，x=a时，函数有最大值即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题16已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）的周期为，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求证：存在x0（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）能按照某种顺序成等差数列【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换

24、；函数与方程的综合运用【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）由周期公式可得，0，再由对称中心可得值，可得f（x）解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得；（2）当x（，）时sinxcos2xsinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解，由函数零点的存在性定理可得【解答】解：（1）函数f（x）=sin（x+）的周期为，0，又曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），（0，），sin（2+）=0，可得，f（x）=cos2x，将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，

25、再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x）的图象，由诱导公式化简可得g（x）=sinx；（2）当x（，）时，sinxcos2xsinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解设G（x）=sinx+sinxcos2x2cos2x，x（，），且函数G（x）的图象连续不断，函数G（x）在（，）内存在零点x0，即存在x0（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）能按照某种顺序成等差数列【点评】本题考查三角函数图象变换，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解是解决问题的关键，属中

26、档题17若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，问曲线C上关于点B（0，t）（tR）对称的不同点有几对？请说明理由【考点】轨迹方程【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设M（x，y），由题意，分类讨论，可得点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）当t0或t4显然不存在符合题意的对称点当0t4时，注意到曲线C关于y轴对称，至少存在一对（关于y轴对称的）对称点，下面研究曲线C上关于B（0，t）对称但不关于y轴对称的对称点即可【解答】解：（1）设M（x，y），由题

27、意：当y3时，有，化简得：x2=4y：当y3时，有，化简得：x2=12（y4）（二次函数）综上所述：点M的轨迹方程为（如图） （2）当t0或t4显然不存在符合题意的对称点当0t4时，注意到曲线C关于y轴对称，至少存在一对（关于y轴对称的）对称点下面研究曲线C上关于B（0，t）对称但不关于y轴对称的对称点设P（x0，y0）是轨迹x2=4y（y3）上任意一点，则，它关于B（0，t）的对称点为Q（x0，2ty0），由于点Q在轨迹x2=12（y4）上，所以，联立方程组（*）得4y0=12（2ty04），化简得当y0（0，3）时，t（2，3），此时方程组（*）有两解，即增加有两组对称点当y0=0时，t=

28、2，此时方程组（*）只有一组解，即增加一组对称点（注：对称点为P（0，0），Q（0，4）当y0=3时，t=3，此时方程组（*）有两解为，没有增加新的对称点综上所述：【点评】本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大18已知数列an，Sn为其前n项的和，满足Sn=（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，数列Tn的前n项和为Rn，求证：当n2，nN*时Rn1=n（Tn1）；（3）已知当nN*，且n6时有（1）n（）m，其中m=1，2，n，求满足3n+4n+（n+2）n=（an+3）an的所有n的值【考点】数列的求和；数列递推式【专题】分类讨论；等

29、差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用【分析】（1）利用递推关系即可得出；（2）法一：直接计算化简即可证明；法二：利用数学归纳法即可证明（3）利用“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论即可得出【解答】（1）解：当n2时，又a1=S1=1，an=n（2）证明：法一：，=法二：数学归纳法n=2时，假设n=k（k2，kN*）时有Rk1=k（Tk1），当n=k+1时， =，n=k+1是原式成立由可知当n2，nN*时Rn1=n（Tn1）（3）解：，m=1，2，n相加得，3n+4n+（n+2）n（n+3）n，n6时，3n+4n+（n+2）n=（n+3）n无解，又当n=1时；34，n=2时，32+42=52；n=3时，33+43+53=63n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，不符合n=5时，35+45+55+65+75为奇数，而85为偶数，不符合综上所述n=2或者n=3【点评】本题考查了递推关系、学归纳法、“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题