2023年,二次函数的应用实际问题.pdf

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1、 思致超越 知行合一 Page 1 of 22 让每一个学生超越老师！全国中考数学试题分类解析汇编 专题 23：二次函数的应用（实际问题）一、选择题 1.（2012 四川资阳 3 分）如图是二次函数2y=ax+bx+c的部分图象，由图象可知不等式2ax+bx+c0的解集是【】A 1x5 Cx5 D 15【答案】D。【考点】二次函数与不等式（组），二次函数的性质。【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出2ax+bx+c0的解集：由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（5，0），图象与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0）。由图象可知：2ax+bx+

2、c0的解集即是 y 0 的解集，x 1 或 x 5。故选 D。二、填空题 1.（2012 浙江绍兴 5 分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系为21(4)312y x，由此可知铅球推出的距离是 m。【答案】10。【考点】二次函数的应用。【分析】在函数式21(4)312y x 中，令0 y，得 思致超越 知行合一 Page 2 of 22 让每一个学生超越老师！21(4)3 012x，解得110 x，22 x（舍去），铅球推出的距离是 10m。2.（2012 湖北襄阳 3 分）某一型号飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）与滑行时间 x（单

3、位：s）之间的函数关系式是 y=60 x 1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来【答案】600。【考点】二次函数的应用。1028458【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值。1.5 0，函数有最大值。20 60s 6004 1.5 最大值，即飞机着陆后滑行 600 米才能停止。3.（2012 山东济南 3 分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为 y=ax2+bx 小强骑自行车从拱梁一端 O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒【答

4、案】36。【考点】二次函数的应用【分析】设在 10 秒时到达 A点，在 26 秒时到达 B，10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，A，B 关于对称轴对称。则从 A到 B 需要 16 秒，从 A到 D需要 8 秒。从 O到 D需要 10+8=18 秒。从 O到 C 需要 218=36 秒。三、解答题 1.（2012 重庆市 10 分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为 12000 吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行 1 至 6 月，该企业向污水厂输送的

5、污水量 y1（吨）与月份x（1x6，且 x 取整数）之间满足的函数关系如下表：思致超越 知行合一 Page 3 of 22 让每一个学生超越老师！7 至 12 月，该企业自身处理的污水量 y2（吨）与月份 x（7x12，且 x 取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a0)其图象如图所示 1 至 6 月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份 x 之间满足函数关系式：11z x2，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份 x 之间满足函数关系式：223 1z=x x4 12；7至 12 月，污水厂处理每吨污水的费用均为 2 元，该企业自身处理每吨污水的费用均为 1.5 元（

6、1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出 y1，y2与 x 之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用 W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a%，同时每吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加（a 30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行 50%的补助若该企业每月的污水处理费用为 18000 元，请计算出 a 的整数值（参考数据：15.2

7、，20.5，28.4）【答案】解：（1）根据表格中数据可以得出 xy=定值，则 y1与 x 之间的函数关系为反比例函数关系：1kyx。将（1，12000）代入得：k=112000=12000，112000yx（1x6，且 x 取整数）。根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入 y2=ax2+c 得：49a+c=10049144a+c=10144，解得：a=1c=10000。y2=x2+10000（7x12，且 x 取整数）。思致超越 知行合一 Page 4 of 22 让每一个学生超越老师！（2）当 1x6，且 x 取整数时：21 1 1 212000 1 12

8、000 3 1W=y z+12000 y z=x+12000 x xx 2 x 4 12=1000 x2+10000 x 3000=1000（x 5）2+2200。a=1000 0，1x6，当 x=5 时，W最大=22000（元）。当 7x12 时，且 x 取整数时：W=2（12000 y1）+1.5y2=2（12000 x2 10000）+1.5（x2+10000）=12x2+1900。a=12 0，对称轴为 x=0，当 7x12 时，W 随 x 的增大而减小，当 x=7 时，W最大=18975.5（元）。22000 18975.5，去年 5 月用于污水处理的费用最多，最多费用是 22000

9、 元。（3）由题意得：12000（1+a%）1.5（1 50%）=18000，设 t=a%，整理得：10t2+17t 13=0，解得：17 809t=20。809 28.4，t10.57，t2 2.27（舍去）。a57。答：a 整数值是 57。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程。【分析】（1）利用表格中数据可以得出 xy=定值，则 y1与 x 之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出二次函数解析式即可。（2）利用当 1x6 时，以及当 7x12 时，分别求出处

10、理污水的费用，即可得出答案。（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a%，同时每吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加（a一 30）%，得出等式 12000（1+a%）1.5（1-50%）=18000，进而求出即可。2.（2012 安徽省 14 分）如图，排球运动员站在点 O处练习发球，将球从 O点正上方 2m的 A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y=a(x-6)2+h.已知球网与 O点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O点的水平距离为 18m。（1）当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写

11、出自变量 x 的取值范围）（2）当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围。思致超越 知行合一 Page 5 of 22 让每一个学生超越老师！【答案】解：（1）把 x=0，y=,及 h=2.6 代入到 y=a(x-6)2+h，即 2=a(0 6)2+2.6，1a60 当 h=2.6 时，y 与 x 的关系式为 y=160(x 6)2+2.6（2）当 h=2.6 时，y=160(x 6)2+2.6 当 x=9 时，y=160(9 6)2+2.6=2.45 2.43，球能越过网。当 y=0 时，即160(18 x)2+2

12、.6=0，解得 x=6+156 18，球会过界。（3）把 x=0,y=2,代入到 y=a(x-6)2+h 得2 ha36。x=9 时，y=2 h36(9 6)2+h2 3h42.43 x=18 时，y=2 h36(18 6)2+h=h 3 8 0 由 解得 h83。若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围为 h83。【考点】二次函数的性质和应用。【分析】（1）利用 h=2.6，将（0，2）点，代入解析式求出即可。（2）利用 h=2.6，当 x=9 时，y=160(9 6)2+2.6=2.45 与球网高度比较；当 y=0 时，解出 x 值与球场的边界距离比较，即可得出结论。（3）根据球经过

13、点（0，2）点，得到 a 与 h 的关系式。由 x=9 时球一定能越过球网得到 y 2.43；由 x=18 时球不出边界得到 y0。分别得出 h 的取值范围，即可得出答案。3.（2012 浙江嘉兴、舟山 12 分）某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共 4800 元设公司每日租出工辆车时，日收益为 y 元（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为 元（用含 x 的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最

14、大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？思致超越 知行合一 Page 6 of 22 让每一个学生超越老师！4.（2012 浙江台州 12 分）某汽车在刹车后行驶的距离 s（单位：米）与时间 t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：时间 t（秒）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 行驶距离 s（米）0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示 s 与 t 之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）刹车后汽车行驶了多长距离才停止？当 t 分别为 t1，t2（t1 t2）时

15、，对应 s 的值分别为 s1，s2，请比较11st与22st的大小，并解释比较结果的实际意义 思致超越 知行合一 Page 7 of 22 让每一个学生超越老师！【答案】解：（1）描点图所示：（2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2 bt c，抛物线经过点（0，0），c=0。又由点（0.2，2.8），（1，10）可得：0.04a+0.2b=2.8a+b=10，解得：a=5b=15。经检验，其余各点均在 s=5t2+15t 上。二次函数的解析式为：2s 5t 15t。（3）汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。223 45s 5t 15t=5 t2 4，当 t

16、=32时，滑行距离最大，为454。因此，刹车后汽车行驶了454米才停止。2s 5t 15t，2 21 1 1 2 2 2s 5t 15t s 5t 15t，。2 21 1 1 2 2 21 21 1 2 2s 5t 15t s 5t 15t=5t 15=5t 15t t t t，。t1 t2，1 21 2 2 11 2s s=5t 15 5t 15=5 t t 0t t。1 21 2s st t。其实际意义是刹车后到 t2时间内的平均速到 t1时间内的度小于刹车后平均速度。思致超越 知行合一 Page 8 of 22 让每一个学生超越老师！【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方

17、程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析】（1）描点作图即可。（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。（4）求出11st与22st，用差值法比较大小。5.（2012 江苏常州 7 分）某商场购进一批 L 型服装（数量足够多），进价为 40 元/件，以 60 元/件销售，每天销售 20 件。根据市场调研，若每件每降 1 元，则每天销售数量比原来多 3 件。现商场决定对 L 型服装开展降价促销活动，每件降价 x 元（x 为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元

18、？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润 Z=（60 40 x）（20 3x）=3x2 40 x+400 当b 40 2x=62a 3 3 时，函数 Z 取得最大值。x 为正整数，且2 27 6 6 63 3，当 x=7 时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为372407+400=533。答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价 7 元，每天最大销售毛利润为 533 元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】求出二次函数的最值，找出 x 最接近最值点的整数值即可。6.（2012 江苏无锡

19、8 分）如图，在边长为 24cm的正方形纸片 ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A B C D四个顶点正好重合于上底面上一点）已知 E、F 在 AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=BF=x（cm）（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积 V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积 S 最大，试问 x 应取何值？【答案】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长 a=2x，EF=2a=2x，思致超越 知行合一 Page 9 of 22 让每一个学生超越老师！x+2x+x=

20、24，解得：x=6。则 a=62，V=a3=（62）3=4322（cm3）；（2）设包装盒的底面边长为 acm，高为 hcm，则 a=2 x，24 2xh 2 12 x2，S=4ah+a2=2224 2x 2 12 x 2x 6x 96x=6 x 8 238。0 x 12，当 x=8 时，S 取得最大值 384cm2。【考点】二次函数的应用。【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长 a=2x，EF=2a=2x，再利用 AB=24cm，求出 x 即可得出这个包装盒的体积 V。（2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。7.（2012 江苏盐城 12 分）知识迁移：当0 a

21、且0 x 时，因为2()axx0,所以2ax ax 0,从而axx2 a(当 x a 时取等号).记函数(0,0)ay x a xx,由上述结论可知：当x a 时,该函数有最小值为2 a.直接应用：已知函数1(0)y x x 与函数21(0)y xx,则当x _时,1 2y y 取得最小值 为 _.变形应用：已知函数11(1)y x x 与函数22(1)4(1)y x x,求21yy的最小值,并指出取得该 最小值时相应的x的值.实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每 千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设

22、该汽车一次运输的路程为x千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？思致超越 知行合一 Page 10 of 22 让每一个学生超越老师！【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：函数(0,0)ay x a xx,由上述结论可知：当x a 时,该函数有最小值为2 a，函数1(0)y x x 与函数21(0)y xx，则当1 1 x 时，1 2y y 取得最小值为2 1 2。变形运用：先得出21yy的表达式，然后将1 x 看做一个整体，再运用所给结论即可。实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所 给的结论即可得

23、出答案。8.（2012 江苏扬州 12 分）已知抛物线 y ax2 bx c 经过 A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；(3)在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由 思致超越 知行合一 Page 11 of 22 让每一个学生超越老师！【答案】解：（1）A(1，0)、B(3，0)经过抛物线 y ax2 bx c，可设抛物线为 y a（x 1）（x 3）。又C(0，3)经

24、过抛物线，代入，得 3 a（0 1）（0 3），即 a=1。抛物线的解析式为 y（x 1）（x 3），即 y x2 2x 3。（2）连接 BC，直线 BC与直线 l 的交点为 P。则此时的点 P，使PAC 的周长最小。设直线 BC的解析式为 y kx b，将 B(3，0)，C(0，3)代入，得：3k+b=0b=3，解得：k=1b=3。直线 BC的函数关系式 y x 3。当 x 1 时，y 2，即 P 的坐标(1，2)。（3）存在。点 M的坐标为(1，6)，(1，6)，(1，1)，(1，0)。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三

25、角形的性质。【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。（2）由图知：A、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接 BC，那么 BC与直线 l 的交点即为符合条件的 P 点。（3）由于MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MA AC、MA MC、AC MC；可先设出 M点的坐标，然后用 M点纵坐标表示MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解：抛物线的对称轴为：x=1，设 M(1，m)。A(1，0)、C(0，3)，MA2 m2 4，MC2 m2 6m 10，AC2 10。若 MA MC，则 MA2 MC2，得：m2 4 m2

26、 6m 10，得：m 1。思致超越 知行合一 Page 12 of 22 让每一个学生超越老师！若 MA AC，则 MA2 AC2，得：m2 4 10，得：m 6。若 MC AC，则 MC2 AC2，得：m2 6m 10 10，得：m 0，m 6，当 m 6 时，M、A、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。综上可知，符合条件的 M点，且坐标为(1，6)，(1，6)，(1，1)，(1，0)。9.（2012 福建莆田 8 分）如图，某种新型导弹从地面发射点处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度 y(km)与飞行时间 x(s)之间的关系式为21 1y x x18 6(0 x 10)

27、发射 3 s 后，导弹到达 A点，此时位于与 L 同一水平面的 R处雷达站测得 AR的距离是 2 km，再过 3s 后，导弹到达 B 点(1)(4 分)求发射点 L 与雷达站 R之间的距离；(2)(4 分)当导弹到达 B 点时，求雷达站测得的仰角(即BRL)的正切值【答案】解：(1)把 x 3 代入21 1y x x18 6，得 y 1，即 AL 1。在 RtARL 中，AR 2，LR 2 2 2 2AR AL=2 1=3。(2)把 x 3 3 6 代入21 1y x x18 6，得 y 3，即 BL 3。tanBRLBL 33LR3。答：发射点 L 与雷达站 R之间的距离为3km，雷达站测得

28、的仰角的正切值3。【考点】二次函数的应用，解直角三角形的应用（仰角俯角问题），勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）在解析式中，把 x=3 代入函数解析式，即可求得 AL的长，在直角ALR 中，利用勾股定理即可求得 LR的长。（2）在解析式中，把 x=6 代入函数解析式，即可求得 AL的长，在直角BLR 中，根据正切函数的定义即可求解。10.（2012 湖北武汉 10 分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和 矩形的三边 AE，ED，DB组成，已知河底 ED是水平的，ED 16m，AE 8m，抛物线的顶点 C 到 ED的 距离是 11m，以 ED所在的直

29、线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 思致超越 知行合一 Page 13 of 22 让每一个学生超越老师！(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的 40h 内，水面与河底 ED的距离 h(单位：m)随时间 t(单位：h)的变化满足函数 关系21h=(t 19)+8(0 t 40)128 且当水面到顶点 C 的距离不大于 5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？【答案】解：（1）设抛物线的为 y=ax2+11，由题意得 B（8，8），64a+11=8，解得3a64。抛物线的解析式 y=364x2+11。（2）画出21h=(t 1

30、9)+8(0 t 40)128 的图象：水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，即水面与河底 ED的距离 h6，当 h=6 时，216=(t 19)+8128，解得 t1=35，t2=3。35 3=32（小时）。答：需 32 小时禁止船只通行。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把 B 坐标代入即可求解。（2）水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，即水面与河底 ED的距离 h 至多为 6，把 6 代入所给二次函数关系式，求得 t 的值，相减即可得到禁止船只通行的时间。11.（2012湖北黄冈 12分）某科技开发公司研

31、制出一种新型产品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价 定为 3000 元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种 新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购买一件，所购 买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600 元 思致超越 知行合一 Page 14 of 22 让每一个学生超越老师！(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元?(2)设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获的利润为 y 元，求 y(元)与 x(件)之间的函数关系式，并 写出自变

32、量 x 的取值范围(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【答案】解：（1）设件数为 x，依题意，得 3000 10（x 10）=2600，解得 x=50。答：商家一次购买这种产品 50件时，销售单价恰好为 2600元。（2）当0 x10时，y=（3000 2400）x=600 x；当 10 x50时，y=x，即 y=10 x2+700 x；当 x 50时，y=（2600 2400）x=200 x。26

33、00 x(0 x 10 x)y 10 x 700 x(10 x 50 x)200 x(x 50 x)，且 整，且 整，且 整为 数为 数为 数。（3）由 y=10 x2+700 x可知抛物线开口向下，当 700 x 352 10 时，利润 y 有最大值，此时，销售单价为 3000 10（x 10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元。【考点】二次函数的应用。【分析】（1）设件数为 x，则销售单价为 3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为 2600 元，列方程求解。（2）由利润 y=销售单价件数，及销售单价均不低于 2600元，按0 x10，10 x50，x 50

34、三种情况列出函数关系式。（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时 x的值，确定销售单价。12.（2012 湖南岳阳 10 分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为 6dm，锅深 3dm，锅盖高 1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为 C1，把锅盖纵断面的抛物线记为 C2（1）求 C1和 C2的解析式；（2）如图，过点 B 作直线 BE：y=13x 1 交 C1于点 E（2，53），连接 OE、BC，在 x 轴上求一点 P，使

35、以点P、B、C 为顶点的PBC 与BOE 相似，求出 P 点的坐标；（3）如果（2）中的直线 BE保持不变，抛物线 C1或 C2上是否存在一点 Q，使得EBQ 的面积最大？若存在，求出Q的坐标和EBQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由 思致超越 知行合一 Page 15 of 22 让每一个学生超越老师！【答案】解：（1）抛物线 C1、C2都过点 A（3，0）、B（3，0），设它们的解析式为：y=a（x 3）（x+3）。抛物线 C1 还经过 D（0，3），3=a（0 3）（0+3），解得 a=13。抛物线 C1：y=13（x 3）（x+3），即 y=13x2 3（3x3）。抛物线 C2还经过

36、 A（0，1），1=a（0 3）（0+3），a=19 抛物线 C2：y=19（x 3）（x+3），即 y=19x2+1（3x3）。（2）直线 BE：y=13x 1 必过（0，1），CBO=E BO（tanCBO=tanEBO=13）。由 E 点坐标可知：tanAOE13，即AOECBO，它们的补角EOBCBx。若以点 P、B、C 为顶点的PBC 与BOE 相似，只需考虑两种情况：CBP1=EBO，且 OB：BE=BP1：BC，由已知和勾股定理，得 OB=3，BE=5 103，BC=10。3：5 103=BP1：10，得：BP1=95，OP1=OB BP1=65。P1（65，0）P2BC=EBO

37、，且 BC：BP2=OB：BE，即：10：BP2=3：5 103，得：BP2=509，OP2=BP2 OB=239。P2（239，0）综上所述，符合条件的 P 点有：P1（65，0）、P2（239，0）。（3）如图，作直线 l直线 BE，设直线 l：y=13x+b。当直线 l 与抛物线 C1只有一个交点时：13x+b=13x2 3，即：x2 x（3b+9）=0。思致超越 知行合一 Page 16 of 22 让每一个学生超越老师！由=（1）2 4（3b+9）=0。得37b=12。此时，1 35x=y=2 12，。该交点 Q2（1 352 12，）。过点 Q2作 Q2FBE 于点 F，则由 BE

38、：y=13x 1 可用相似得 Q2F 的斜率为 3，设 Q2F：y=3x m。将 Q2（1 352 12，）代入，可得17m=12。Q2F：y=3x1712。联立 BE和 Q2F，解得1 25x=y=8 24，。F（1 258 24，）。Q2到直线 BE：y=13x 1 的距离 Q2F：2 21 1 35 25 5 10+2 8 12 24 8。当直线 l 与抛物线 C2只有一个交点时：13x+b=19x2+1，即：x2+3x+9b 9=0。由=32 4（9b 9）=0。得3b=4。此时，3 3x=y=2 4，。该交点 Q1（3 32 4，）。同上方法可得 Q1到直线 BE：y=13x 1 的

39、距离：27 1040。5 10 27 10 25 10 27 10 10=08 40 40 40 20，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.提出新问题 若矩形的面积为 1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？分析问题 思致超越 知行合一 Page 17 of 22 让每一个学生超越老师！若设该矩形的一边长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为：1y 2(x)x 0 x，问题就转化为研究该函数的最大（小）值了.解决问题 借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数 1y 2(x)x 0 x 的最大（小）值.（1）实践操作：填写下表，并用描点法 画出函数

40、1y 2(x)x 0 x 的图象：x 14 13 12 1 2 3 4 y（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当 x=时，函数 1y 2(x)x 0 x 有最 值（填“大”或“小”），是.（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数 21s x x x 02 的最大值，请你尝试通过配方求函数 1y 2(x)x 0 x 的最大（小）值，以证明你的猜想.提示：当x 0 时，2x(x)【答案】解：（1）填表如下：x 14 13 12 1 2 3 4 y 182 263 5 4 5 263 182 思致超越 知行合一 Page 18 of 22 让每一个学生超越老师！（2）1，小，4。（3）

41、证明：2 2 22 21 1 1y 2(x)2(x)2 2 2(x)4(x)(x)x，当1x 0 x 时，y 的最小值是 4，即 x=1 时，y 的最小值是 4。【考点】二次函数的最值，配方法的应用。【分析】（1）分别把表中 x 的值代入所得函数关系式求出 y 的对应值填入表中，并画出函数图象即可。（2）根据（1）中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可。（3）利用配方法把原式化为平方的形式，再求出其最值即可。14.（2012 四川巴中 9 分）某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件。如果每 件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于

42、72 元）。设每件商品的售价上涨 x 元（x 为整数），每个月的销售利润为 y 元，（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），则每件商品的利润为：（60 50 x）元，总销量为：（200-10 x）件，商品利润为：y=（60 50 x）（200 10 x）=10 x2 100 x 2000。原售价为每件 60 元，每件售价不能高于 72 元，0 x12。（2）y=10 x2 100 x 2000=10（x 5）2+2250，当 x=5

43、 时，最大月利润 y=2250。答：每件商品的售价定为 5 元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是 2250 元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出 y 与 x 的函数关系式。思致超越 知行合一 Page 19 of 22 让每一个学生超越老师！（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当 x=5 时得出 y 的 最大值。15.（2012 辽宁锦州 10 分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元.调查发现：销售单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨

44、1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能高于 40 元.设每件玩具的销售单价上涨了 x 元时（x为正整数），月销售利润为 y 元.（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围.（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】解：（1）依题意得2y(30 x 20)(230 10 x)10 x 130 x 2300 自变量 x 的取值范围是：0 x10 且 x 为正整数。（2）当 y=2520 时，得210 x 130 x 2300 2520，解得 x1=2,x2=1

45、1（不合题意，舍去）。当 x=2 时，30+x=32。每件玩具的售价定为 32 元时，月销售利润恰为 2520 元。（3）2 2y 10 x 130 x 2300 10(x 6.5)2722.5 a=-100 当 x=6.5 时，y 有最大值为 2722.5。0 x10 且 x 为正整数，当 x=6 时，30+x=36,y=2720，当 x=7 时，30+x=37,y=2720。每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时，每个月可获得最大利润。最大的月利润是 2720 元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。【分析】（1）根据销售利润=销售量销售单价即可得 y 与 x 的函

46、数关系式。因为 x 为正整数，所以 x 0；因为每件玩具售价不能高于 40 元，所以 x40 30=10。故自变量 x 的取值范围是：0 x10 且 x 为正整数。（2）求出函数值等于 2520 时自变量 x 的值即可。（3）将函数式化为顶点式即可求。16.（2012 河北省 9 分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在 5 50之间每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的

47、数据 思致超越 知行合一 Page 20 of 22 让每一个学生超越老师！薄板的边长（cm）20 30 出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为 40cm的薄板，获得的利润为 26 元（利润=出厂价-成本价），求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式 当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax2 bx c（a0）的顶点坐标为2b 4ac b2a 4a，-【答案】解：（1）设一张薄板的边长为 xcm，它的出厂价为 y 元，基础价为 n 元，浮动价为 kx 元，则 y=kx+n。由表格中

48、的数据，得50 20k n70 30k n，解得k=2n=10。一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式为 y=2x+10。（2）设一张薄板的利润为 p 元，它的成本价为 mx2元，由题意，得：p=y mx2=2x 10 mx2，将 x=40，p=26 代入 p=2x 10 mx2中，得 26=240+10m402，解得 m=125。一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式为21p x 2x 1025。a=125 0，当 x=b 2=251 2a225（在 5 50 之间）时，p 最大值=2214 10 24ac b 25=351 4a425。出厂一张边长为 25cm的薄板，获得的利润最大，

49、最大利润是 35 元。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案。（2）首先假设一张薄板的利润为 p 元，它的成本价为 mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出 m的值，求出函数解析式即可。利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可。17.（2012黑龙江大庆 6分）将一根长为 16厘米的细铁丝剪成两段并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为1r和2r.思致超越 知行合一 Page 21 of 22 让每一个学生超越老师！（1）求1r与2r的关系式，并写出1r的取值范围；（2）将两圆的面积和

50、S 表示成1r的函数关系式，求 S 的最小值【答案】解：（1）由题意，有 2r1+2r2=16，则 r1+r2=8。r1 0，r2 0，0 r1 8。r1与 r2的关系式为 r1+r2=8，r1的取值范围是 0 r1 8 厘米。（2）r1+r2=8，r2=8 r1。又 2 22 2 2 21 2 1 1 1 1 1S r+r=r+8 r=2 r 16 r+64=2 r 4+32，当 r1=4 厘米时，S 有最小值 32 平方厘米。【考点】二次函数的应用。119281【分析】（1）由圆的周长公式表示出半径分别为 r1和 r2的圆的周长，再根据这两个圆的周长之和等于 16 厘米列出关系式即可。（2