概率统计基础课件.ppt

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1、 概率统计模型概率统计模型 第一讲第一讲 概率论与数理统计基础概率论与数理统计基础1.概率论的基本知识概率论的基本知识2.蒙特莫特问题蒙特莫特问题3.报童的诀窍报童的诀窍4.考考试成绩的标准分试成绩的标准分5.大大数定律和中心极限定理数定律和中心极限定理(1)概率的公理化定义概率的公理化定义设设E是随机试验是随机试验,是它的样本空间。对于是它的样本空间。对于E中的每一中的每一个事件个事件A赋予下一个实数赋予下一个实数,记为记为P(A)。若若P(A)满足以下三个条件满足以下三个条件:(1)非负性非负性:对每一个事件对每一个事件,有有 P(A)0;(2)P()=1;(3)可列可加性可列可加性:设设

2、A1,A2,是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件,则则1.1.概率论的基本知识概率论的基本知识 (2)条件概率的相关内容条件概率的相关内容 在事件在事件B,已经发生条件下已经发生条件下,事件事件A发生的概率发生的概率,称为称为事件事件A在给定事件在给定事件B的条件下的条件概率的条件下的条件概率,简称简称A对对B的的条件概率条件概率,记作记作P(A|B).例例1 10个考签中有个考签中有4个难签个难签,3人参加抽取人参加抽取(不放回不放回),甲先甲先乙次丙最后。求：乙次丙最后。求：(1)甲抽到难签的概率甲抽到难签的概率;(2)甲甲、乙都抽到难签的概率、乙都抽到难签的概率;(3)甲没有抽到难签

3、而乙抽到难签的概率；甲没有抽到难签而乙抽到难签的概率；(4)甲、乙、丙都抽到难签的概率。甲、乙、丙都抽到难签的概率。解：解：设设A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签分别表示甲、乙、丙各抽到难签,则则解解“甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲”,“甲甲乙乙甲甲”;“甲甲乙乙甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲甲甲”,“甲甲甲甲乙乙甲甲”;全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件分解为若干个简单事件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的

4、可加性求出最终结果结果.称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.贝叶斯公式贝叶斯公式 例例3解解(1)由由全概率公式得全概率公式得(2)由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得(3)随机变量随机变量 设设E是随机试验是随机试验,样本空间为样本空间为。若对于每一个样若对于每一个样本点本点 都有唯一的实数都有唯一的实数X()与之对应与之对应,称称X()为随机变量。为随机变量。随机变量常用随机变量常用,X,Y,Z等表示。等表示。红色红色 白色白色说明说明 定义定义离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每次每次射击时击中

5、目标的概率为射击时击中目标的概率为 0.6,则击中目标的次数则击中目标的次数 X 服从服从 b(5,0.6)的的二项分布二项分布.定义定义1正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景(4)随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.离散型随机变量离散型随机变量X有分布律：有分布律

6、：P=xk=pk(k=1,2,)若级数若级数 k xkpk 绝对收敛绝对收敛,则称这个级数为随机变则称这个级数为随机变量量 X的数学期望的数学期望,简称期望或均值简称期望或均值,记为记为EX,即即 EX=kxkpk 设设是是连续型随机变量，连续型随机变量，其其密度函数为密度函数为如果如果绝对收敛，绝对收敛，定义定义的的数学期望为数学期望为2.例例4 4 如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向?某人有某人有10万元现金，想投资于某万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为项目，预估成功的机会为 30%，可得，可得利润利润8万元万元，失败的机会为失败的机会为70%，将，将损失损失 2 万元若存入

7、银行，同期间的万元若存入银行，同期间的利率为利率为5%，问是否作此项投资，问是否作此项投资?解解设设 X 为投资利润，则为投资利润，则存入银行的利息存入银行的利息:故应选择投资故应选择投资.例例5 5 解解(5)随机变量的方差随机变量的方差 随机变量随机变量 的离差的平方的数学期望称为随机变量的离差的平方的数学期望称为随机变量 的的方差方差,记作记作D。随机变量随机变量 的方差的计算的方差的计算D=E(-E)2 离散型离散型随机变量随机变量 的的分布律为分布律为P=xk=pk,k=1,2,则则 的方差为的方差为 D=k(xk-E)2pk 连续型连续型随机变量随机变量 的的概率密度函数为概率密度

8、函数为f(x),则则 的方差为的方差为2.蒙特莫特问题蒙特莫特问题问问题题元旦节快到了，班里准备举办一次联欢活动。元旦节快到了，班里准备举办一次联欢活动。小刘提议每人带上一件小礼物放在一起，用抽小刘提议每人带上一件小礼物放在一起，用抽签的方式各取回一件作为纪念。这提议立即引签的方式各取回一件作为纪念。这提议立即引起了大家的兴趣，多数同学都认为这个方法有起了大家的兴趣，多数同学都认为这个方法有新意。可也有人提出疑问：这样抽是否会有多新意。可也有人提出疑问：这样抽是否会有多数人把自己带去的礼品又抽回去了呢？数人把自己带去的礼品又抽回去了呢？模模型型假假设设假设假设1 这个班级共有这个班级共有n个同

9、学个同学假设假设2 每个同学都随机地挑选一个礼物作为纪念每个同学都随机地挑选一个礼物作为纪念模模型型分分析析1708年法国数学家蒙特莫特提出，或称为年法国数学家蒙特莫特提出，或称为“配配对问题对问题”。用概率论知识计算：如果有。用概率论知识计算：如果有n个人个人参加这一项活动，至少有参加这一项活动，至少有1人取回自己所带的人取回自己所带的礼物的概率以及平均有多少人会取走自己所带礼物的概率以及平均有多少人会取走自己所带的礼物。的礼物。模模型型建建立立当当n较大时，至少有较大时，至少有1人取到自己所带的礼物的人取到自己所带的礼物的概率约为概率约为再引入随即变量再引入随即变量而而3.报童的诀窍报童的

10、诀窍问问题题报童售报：报童售报：a(零售价零售价)b(购进价购进价)c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望建建模模 设每天购进设每天购进 n 份，份

11、，日平均收入为日平均收入为G(n)调查需求量的随机规律调查需求量的随机规律每天每天需求量为需求量为 r 的概率的概率 f(r),r=0,1,2准准备备求求 n 使使 G(n)最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b；退回一份赔退回一份赔 b-c求解求解将将r视为连续变量视为连续变量结果解释结果解释nP1P2取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱0rp4.考试成绩的标准分考试成绩的标准分问问题题高等学校的招生考试从高等学校的招生考试从1993年起在部分省、市年起在部分省、市试行试行“将原始分数换算为标准分，并公布标准将原始分数换算为标准分，并

12、公布标准分为录取的依据分为录取的依据”，在试验成功的基础上，参，在试验成功的基础上，参考、借鉴国外的先进做法，当时的国家较为制考、借鉴国外的先进做法，当时的国家较为制定了定了普通高校全国统一考试建立标准分数制普通高校全国统一考试建立标准分数制度实施方案，并逐步推向全国。近几年来，不度实施方案，并逐步推向全国。近几年来，不仅高考考试试行标准分，而且中考和其它考试仅高考考试试行标准分，而且中考和其它考试也都换算成标准分。什么是标准分，为什么它也都换算成标准分。什么是标准分，为什么它更合理和科学呢？更合理和科学呢？模模型型假假设设假设假设1 每科考试的卷面分数每科考试的卷面分数X服从正态分服从正态分

13、布布 ，其中，其中 反映了该科考试卷反映了该科考试卷面的平均分，面的平均分，反映了该科考试卷面分反映了该科考试卷面分数的离散程度。数的离散程度。假设假设2 一个线性变换一个线性变换 ，变换以，变换以后的分数就是标准分，后的分数就是标准分，5.大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 在大量随机现象的平均结果是一个与个别随机现在大量随机现象的平均结果是一个与个别随机现象的特征无关的结果象的特征无关的结果,并且几乎没有随机性特征；并且几乎没有随机性特征；大数定律以确定的形式表达了这种规律性大数定律以确定的形式表达了这种规律性,并论证并论证了其成立的了其成立的,即从理论上阐述了这种大量的、在一即

14、从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性,揭示揭示了在事物表象后面的本质特征。了在事物表象后面的本质特征。大数定律从理论上解决的问题：大数定律从理论上解决的问题：n n个随机变量的平均值的稳定性。个随机变量的平均值的稳定性。大数定律大数定律设设 1,2,n是是相互独立的随机变量序列相互独立的随机变量序列,具有相具有相同的数学期望同的数学期望和方差和方差,即即 E i=,D i=2,i=1,2,n则对任给则对任给 0,有有中心极限定理是棣莫佛在十八世纪首先提出的，中心极限定理是棣莫佛在十八世纪首先提出的，今其内容已经非常丰富今其内

15、容已经非常丰富.这些定理在很一般的条件这些定理在很一般的条件 下证明了，下证明了，无论一个随机变量服从什么分布，无论一个随机变量服从什么分布，这种随机变量的和的分布都可以用正态分布近似这种随机变量的和的分布都可以用正态分布近似.至至大量大量 中心极限定理中心极限定理 设随机变量设随机变量X1,X2,Xn相互独立相互独立,服从同一分布服从同一分布,且且EXi=,DXi=210,即即 15,即即 0,则称则称 服从参数为服从参数为 和和 2的正态的正态分布分布,记为记为 N(,2).正态随机变量正态随机变量 时的分布函数为时的分布函数为1.正态分布正态分布 若连续型随机变量若连续型随机变量 的概率

16、密度为的概率密度为设样本设样本(X1,X2,Xn)相互独立相互独立,且且Xi N(0,1),统计统计量量 2=X12+X22+Xn2 服从自由度为服从自由度为n的的 2分布分布,记为记为 2(n)。2.2 分布分布服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布,记为记为Tt(n).3.t分布分布随机变量随机变量X与与Y 相互独立相互独立,且且 XN(0,1),Y 2(n),称称服从自由度为服从自由度为(m,n)的的F分布分布,记为记为FF(m,n).4.F分布分布 随机变量随机变量X与与Y 相互独立相互独立,X 2(m),Y 2(n),称称正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总体的样本均值与样本方

17、差的分布定理定理自自的的一个样本，一个样本，设设总体总体是取是取定理定理设设总体总体是取是取自自的的一个样本，一个样本，与与分别为该样本的样本均分别为该样本的样本均值与样本方差，值与样本方差，则有则有定理定理设设总体总体是取自是取自的的一个样本，一个样本，与与分别为该样本分别为该样本均值与样本方均值与样本方差，则有差，则有定理定理相互独立的正态总体，相互独立的正态总体，总体总体的样本的样本,与与分别为该样本的样本值与样分别为该样本的样本值与样本方差本方差.是取自是取自总体总体的的样本，样本，与与分别为此样本的样本均值与样本方差分别为此样本的样本均值与样本方差.设设与与是两个是两个又设又设是取自

18、是取自2.置信区间置信区间若反复抽样多次若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等,都是都是n)求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(共共4步步)解解例例1 1这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成其置信区间的长度为其置信区间的长度为今抽今抽9件测量其长度件测量其长度,得数据如下得数据如下(单位单位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.解解例例2正态总体均值方差的置信区间与上下限正态总体均值方差的置信区间与上下限单个正态总体单个正态总体两个正态总体两个正态总体设一箱中有红白设一箱中有红白两种颜色的球共两种颜色的球共100个，个

19、，甲甲说这里有说这里有 98个白球，个白球，乙从箱中任取一个，乙从箱中任取一个，发现是红球，发现是红球，说法是否正确？说法是否正确？先作先作假设假设 箱中确有箱中确有98个白球个白球.如果假设如果假设正确，正确，则从箱中任取则从箱中任取一个球是红球的概一个球是红球的概 率只有率只有0.02，是小是小概率事件概率事件.通常认为在一次随机试通常认为在一次随机试验验 中，中，概率小的事件不易发生，概率小的事件不易发生，因此，因此，问甲的问甲的取一个，取一个，发现是白球，发现是白球，若乙从箱中任若乙从箱中任则则没有理由怀疑假设没有理由怀疑假设 的正的正 3.假设检验假设检验先作先作假设假设箱中确有箱中

20、确有98个白球个白球.如果假设如果假设正确，正确，则从箱中任取则从箱中任取一个球是红球的概一个球是红球的概率只有率只有0.02，是小是小概率事件概率事件.通常认为在一次随机试通常认为在一次随机试验中，验中，概率小的事件不易发生，概率小的事件不易发生，因此，因此，取一个，取一个，发现是白球，发现是白球，则则没有理由怀疑假设没有理由怀疑假设若乙从箱中任若乙从箱中任的正的正确性确性.今乙从箱中任取今乙从箱中任取一个一个,发现是红球，发现是红球，率事件竟然在一次试验中发生了，率事件竟然在一次试验中发生了，设设即即认为甲的说法不正确认为甲的说法不正确.即小概即小概故有理由拒绝假故有理由拒绝假 通常借助于

21、直观分析和理通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法论分析相结合的做法,其基本原其基本原理就是人们在实际问题中经常采理就是人们在实际问题中经常采用的所谓实际推断原理用的所谓实际推断原理:“一个一个小概率事件在一次试验中几乎是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的不可能发生的”.下面结合实例来说明假设检验的基本思想下面结合实例来说明假设检验的基本思想.某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋包得的袋装糖重是一个随机变量装糖重是一个随机变量,它服从正态分布它服从正态分布.当机当机器正常时器正常时,其均值为其均值为0.50.5千克千克,标准差为标准差为0.0150.015

22、千千克克.某日开工后为检验包装机是否正常某日开工后为检验包装机是否正常,随机地随机地抽取它所包装的糖抽取它所包装的糖9 9袋袋,称得净重为称得净重为(千克千克):):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512,0.520 0.515 0.512,问机器是否正常问机器是否正常?分析分析:由长期实践可知由长期实践可知,标准差较稳定标准差较稳定,问题问题:根据样本值判断根据样本值判断提出两个对立假设提出两个对立假设再利用已知样本作出判断是接受假设再利用已知样本作出判

23、断是接受假设 H0(拒绝拒绝假设假设 H1),还是拒绝假设还是拒绝假设 H0(接受假设接受假设 H1).如果作出的判断是接受如果作出的判断是接受 H0,即认为机器工作是正常的即认为机器工作是正常的,否则否则,认为是不正常认为是不正常的的.由于要检验的假设设计总体均值由于要检验的假设设计总体均值,故可借助于样本故可借助于样本均值来判断均值来判断.于是可以选定一个适当的正数于是可以选定一个适当的正数k,由标准正态分布分位点的定义得由标准正态分布分位点的定义得于是拒绝假设于是拒绝假设H0,认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常.假设检验过程如下假设检验过程如下:在在假设检验问题中，假设检验问题中，

24、把要把要检验的假设检验的假设称为称为原假原假设设(零假设零假设或或基本假设基本假设),把原把原假设假设的对立面称为的对立面称为备择假设备择假设或或对立假设对立假设，记为记为例如，例如，有一封装罐装可乐的有一封装罐装可乐的生产流水线，生产流水线，每罐每罐的标准的标准容量规定为容量规定为350毫升毫升.质检员质检员每天都有要检验可乐的每天都有要检验可乐的容量是否合格，容量是否合格，已知每罐的容量服从正态分布已知每罐的容量服从正态分布,生产比较稳定时，生产比较稳定时，其其标准差标准差毫升毫升.且且某日上班后某日上班后,质检员每隔半时从质检员每隔半时从生产线上取一罐生产线上取一罐,共抽测了共抽测了6罐

25、罐,测得测得容量容量(单位为毫升单位为毫升)如下：如下：质检员每隔半时从质检员每隔半时从生产线上取一罐生产线上取一罐,共抽测了共抽测了6罐罐,测得测得容量容量(单位为毫升单位为毫升)如下：如下：353 345 357 339 355 360试问生产线工作是否正常？试问生产线工作是否正常？本例的本例的假设检验问题可简记为：假设检验问题可简记为：（1）形如形如(1)式的备择假设式的备择假设表示表示可能大于可能大于能小于能小于称为称为双侧双侧(边边)备择假设备择假设.也可也可形如形如(1)式的假设检验称为式的假设检验称为双侧双侧(边边)假设检验假设检验.形如形如(1)式的假设检验称为式的假设检验称为

26、双侧双侧(边边)假设检验假设检验.在在实际问题中，实际问题中，有时还需要检验下列形式的假设：有时还需要检验下列形式的假设：（2）（3）形如形如(2)式的假设检验称为式的假设检验称为右侧右侧(边边)检验检验.形如形如(3)式的假设检验称为式的假设检验称为左侧左侧(边边)检验检验.右侧右侧(边边)检验和左侧检验和左侧(边边)检验统称为检验统称为单侧单侧(边边)检验检验.为为检验提出的假设，检验提出的假设，通常需构造检验统计量，通常需构造检验统计量，并取并取总体的一个样本值，总体的一个样本值，根据该样本提供的信息来判断根据该样本提供的信息来判断右侧右侧(边边)检验和左侧检验和左侧(边边)检验统称为检

27、验统称为单侧单侧(边边)检验检验.为为检验提出的假设，检验提出的假设，通常需构造检验统计量，通常需构造检验统计量，并取并取总体的一个样本值，总体的一个样本值，根据该样本提供的信息来判断根据该样本提供的信息来判断假设是否成立假设是否成立.值时，值时，我们拒绝原假设我们拒绝原假设拒绝域的边界点称为拒绝域的边界点称为临界点临界点.当当检验统计量取某个区域检验统计量取某个区域中的中的则称则称区域区域为为拒绝域拒绝域,假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤（1）充分考虑和利用已知的充分考虑和利用已知的背景知识，背景知识，提出原假设提出原假设及备择及备择假设假设（2）（3）确定检验统计量确定检验统计量并在原

28、并在原假设假设成立的前提成立的前提下导出下导出的的概率分布，概率分布，要求要求的的分布不依赖于任何分布不依赖于任何未参数；未参数；（4）即即依据直观分析先确定拒绝域的依据直观分析先确定拒绝域的根据实际问题的要求，根据实际问题的要求，以及样本容量以及样本容量给定显著性水平给定显著性水平确定拒绝域，确定拒绝域，形式，形式，然后根据给定的显著性水平然后根据给定的显著性水平和和的的分布，分布，由由（4）即即依据直观分析先确定拒绝域的依据直观分析先确定拒绝域的确定拒绝域，确定拒绝域，形式，形式，然后根据给定的显著性水平然后根据给定的显著性水平和和的的分布，分布，由由拒绝拒绝为为真真确定拒绝域的临界值，确

29、定拒绝域的临界值，从而确定拒绝域；从而确定拒绝域；（5）根据得到的样本观察值和根据得到的样本观察值和所得的拒绝域，所得的拒绝域，对对假设假设作出拒绝或接受的判断作出拒绝或接受的判断.作一次具体的抽样，作一次具体的抽样，例例1 某某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣粉粉,洗衣粉包装机在正常工作时洗衣粉包装机在正常工作时,(单位单位:g),每天开工后每天开工后,需先需先检验包装机工作是检验包装机工作是否正常否正常.某天某天开工后开工后,在装在装好的洗衣粉中任取好的洗衣粉中任取9袋袋,其其重量如下重量如下:假设总体标准差假设总体标准差不变不变,即即试问这天包

30、装机试问这天包装机工作是否正常工作是否正常解解(1)装包量装包量505 499 502 506 498 498 497 510 503提出假设检验提出假设检验:(2)确定检验确定检验的的统计量及其分统计量及其分成立为前提成立为前提,以以布布,解解(3)确定确定的的接受接受域域或或拒绝拒绝取取临界点为临界点为使使对给定显著性水平对给定显著性水平故故被被接受与拒绝的区域分别为接受与拒绝的区域分别为(4)的值的值由样本计算统计量由样本计算统计量(5)作出推断因为作出推断因为对假设对假设(拒绝域拒绝域),这天洗衣粉包装机工作不正常这天洗衣粉包装机工作不正常.故认为故认为例例2 有一有一工厂生产一种灯管

31、工厂生产一种灯管,正态分布正态分布根据以往的经验根据以往的经验,平均寿命不会超过平均寿命不会超过1500小时小时.为了提高灯管的平均寿为了提高灯管的平均寿工厂采用了新的工艺工厂采用了新的工艺,的能提高灯管的的平均寿命的能提高灯管的的平均寿命,生产的生产的25只灯管的寿命只灯管的寿命,其其平均值是平均值是1575小时小时.尽管尽管样本样本的的平均值大于平均值大于1500小时小时,试问试问:可否由此判定这可否由此判定这已知灯管的寿命已知灯管的寿命服从服从知道灯管的知道灯管的命命,为了弄清楚新工艺是否真为了弄清楚新工艺是否真他们测试了采用新工艺他们测试了采用新工艺恰恰是新是新工艺的效应工艺的效应,而

32、非而非偶然的原因使得抽出的这偶然的原因使得抽出的这25只灯管的平均寿命较长呢只灯管的平均寿命较长呢?解解 把把上述问题归纳为下述假设检验问题上述问题归纳为下述假设检验问题:从而可利用右侧检验法来检验从而可利用右侧检验法来检验,相应于相应于解解 把把上述问题归纳为下述假设检验问题上述问题归纳为下述假设检验问题:从而可利用右侧检验法来检验从而可利用右侧检验法来检验,相应于相应于取取显著水平为显著水平为查查附表得附表得因已因已测出测出从而从而由于由于 从而否定原假设从而否定原假设受备择假设受备择假设即即认为新工艺事实上提高了灯管的认为新工艺事实上提高了灯管的平均寿命平均寿命.接接 1 2 3 456