概率论与数理统计4.15.3-数学期望课件.pptx

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1、 有两批灯泡，它们的寿命分别为（小时）：有两批灯泡，它们的寿命分别为（小时）：3000、3998、3002、3997、3003 和和 5000、4998、5002、4997、5003请问哪批灯泡的质量好？请问哪批灯泡的质量好？有两批灯泡，它们的寿命分别为（小时）：有两批灯泡，它们的寿命分别为（小时）：5000、4998、5002、4997、5003 和和 5000、4000、6000、3000、7000请问哪批灯泡的质量好？请问哪批灯泡的质量好？平均寿命平均寿命灯泡实际寿命与相对于平均寿命的偏差灯泡实际寿命与相对于平均寿命的偏差.第第4章章 随机变量的随机变量的数字特征数字特征4.1 4.1

2、数学期望数学期望4.3 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数4.2 4.2 方差方差4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、二、连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质 引例引例 某企业对自动流水线加工的产品实行质量某企业对自动流水线加工的产品实行质量监测，每天抽检一次，每次抽取监测，每天抽检一次，每次抽取5件，检验产品是件，检验产品是否合格，在抽检的否合格，在抽检的30天记录中，无次品的有天记录中，无次品的有18天，天，一件次品的

3、有一件次品的有9天，两件次品的有天，两件次品的有3天，求日平均次天，求日平均次品数品数次品数次品数 0 1 2 3 4 5 总计天数天数频率率fi 18 9 3 0 0 0 N=30 18/30 9/30 3/30 0 0 0 1日平均次品数日平均次品数次品数次品数 0 1 2 3 4 5 总计天数天数频率率fi 18 9 3 0 0 0 N=30 18/30 9/30 3/30 0 0 0 1可能出现的次品数与其可能出现的次品数与其相对应频率乘积的和相对应频率乘积的和 日平均次品数日平均次品数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动随机波动随机波动 稳定值稳定值 “日平均次品数日平均次品数”

4、的稳定值的稳定值 “日平均次品数日平均次品数”等于等于次品数的可能值与其概率之积的和次品数的可能值与其概率之积的和由概率的统计定义知：由概率的统计定义知：当试验次数很大时当试验次数很大时,频频率会稳定于概率率会稳定于概率Pi一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 数学期望的本质数学期望的本质 加权平均加权平均,它是一个数它是一个数,不再是随机变量。不再是随机变量。例例 如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向?某人有某人有10万元现金，想投资于某万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为项目，预估成功的机会为 30%，可得，可得利润利润8万元万元，失败的机会为失败的机会为70

5、%，将，将损失损失 2 万元若存入银行，同期间的万元若存入银行，同期间的利率为利率为5%，问是否作此项投资，问是否作此项投资?解解设设 X 为投资利润，则为投资利润，则存入银行的利息存入银行的利息:故应选择投资故应选择投资.分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pB(n,p)npP()计算算过程程见课本本几个重要的离散型分布的数学期望几个重要的离散型分布的数学期望G（p）PX=k=pqk-1,k=1,2,二、二、连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义的引出定义的引出 设设X 是连续型随机变量是连续型随机变量,其密度为其密度为 f(x),在数轴上任取很

6、在数轴上任取很密的分点密的分点 x1 x2 x3,则则X落在小区间落在小区间 xk,xk+xk)内内的概率是的概率是f(x)x 因此因此 X 取值取值 xk、概率为概率为 的的离散离散型型随机变量随机变量,x1 x2 xk X pkf(x1)x1 f(x2)x2 f(xk)xk X的数学期望的数学期望是是 这启发我们引出如下连续型随机变量的数这启发我们引出如下连续型随机变量的数学期望定义：学期望定义：解解因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.练习练习 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间

7、X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布E()N(,2)几个重要的连续型分布的数学期望几个重要的连续型分布的数学期望例例因为因为所以所以Cauchy分布的数学期望不存在分布的数学期望不存在Cauchy分布分布注意：不是所有的随机变量都有数学期望注意：不是所有的随机变量都有数学期望。是否可以不先求是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X 的分布求的分布求得得E g(X)呢？呢？设已知随机变量设已知随机变量X 的分布的分布 一种方法

8、是一种方法是:g(X)也是随机变量也是随机变量,它的分布可以由它的分布可以由已知的已知的X 的分布求出来的分布求出来.一旦知道了一旦知道了g(X)的分布的分布,就可就可以按照期望定义把以按照期望定义把 Eg(X)计算出来计算出来.下面的定理指出答案是肯定的下面的定理指出答案是肯定的.如何计算如何计算X 的某个函数的某个函数 g(X)的期望的期望？三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 定理定理 设设X是一个随机变量是一个随机变量,Y=g(X)（g为连续函数）为连续函数）解解:例例6 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为例例 设随机变量设随机变量XU0,求求解解 由题意得

9、由题意得 推广推广设随机变量设随机变量Z 是随机变量是随机变量X,Y 的连续函数的连续函数=g(X,Y)，则，则联合分布律联合分布律 联合密度函数联合密度函数例例 设(X,Y)的的联合分布律联合分布律为 例：设随机向量(X,Y)的联合密度函数为：x=11.设设 C 是常数是常数,则有则有2.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有四、数学期望的性质4.设设 X,Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,则有则有3.设设 X,Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有证明证明：下面定理仅对连续型随机变量给予证明四、数学期望的性质 注：注：性质性质4 4的逆命题不成立

10、，即如果随机变量的逆命题不成立，即如果随机变量 X、Y 的的数学期望都存在，则由数学期望都存在，则由 EXY=EX EY，不能推出不能推出随机随机变量变量 X、Y 相互独立。相互独立。EXY=0=EX EY 所以，随机变量所以，随机变量X与与Y 不相互独立不相互独立。例例 设随机变量（设随机变量（X，Y）的联合分布律为的联合分布律为则则 EXY=1(1)0.1+1 1 0.1EX=1 0.4=0.4，EY=(1)0.4+1 0.4=0但但 P(X=0,Y=0)=0=P(X=0)P(Y=0)0.6 0.2=0例例 求二项分布求二项分布 XB(n,p)的数学期望的数学期望则则 X=X1+X2+Xn=np若设若设i=1,2，n因为因为 PXi=1=p,PXi=0=1-p所以所以 E(X)=解解 由于由于X表示表示n重伯努利试验中某事件重伯努利试验中某事件“发生发生”次数次数.E(Xi)=pi=1,2，n例例 将4个不同色的球随机放入4个盒子中,每盒容纳球数无限制,求空盒子数的数学期望。解法一解法一 设X=空盒子数,则 X 的分布律为X P0 1 2 3解法二解法二 引入 X i ,i=1,2,3,4Xi P 0 1X=空盒子个数,