离散型随机变量及其分布课件.ppt

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1、2.2 离散型随机变量及其分布 设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1,x2,.为了描述随机变量 X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.一、离散型随机变量及其分布律 1离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离散型随机变量(discrete random variable)。其中(k=1,2,)满足：k=1,2,（1）（2）定义1：设xk(k=1,2,)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称等式 k=1,2,为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布.用这两条性质判断一个函数是否是概率函

2、数证明:非负性显然，下证规范性。设离散型r.v.X的取值为x1,xn,则事件组X=x1，X=xn，构成了的一个划分。分布律的性质的证明例1已知随机变量X的分布律为 X 2 0 3 5 P 1/4 a 1/2 1/12 试求（1）待定系数a，（2）概率PX1/2。即可求得a=1/6。（2）解:（1）由分布律的性质可知 解:依据概率函数的性质:P(X=k)0,a0从中解得欲使上述函数为概率函数应有这里用到了常见的幂级数展开式例2.设随机变量X的概率函数为：k=0,1,2,试确定常数a.2、表示方法（2）公式法（1）列表法：分布律可以用表格的形式表示：xn一般从小到大排列。XPx1 x2 xn p1

3、 p2 pn PXx1x2xk（3）图示法:分布律可以用图形表示 3、离散型随机变量及其分布举例例2.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数.解:显然，X 可能取的值是1,2,，P(X=1)=P(A1)=p,为计算 P(X=k)，k=1,2,，Ak=第k发命中，k=1,2,，设于是可见这就是求所需射击发数X的概率函数.P(X=1)=P(A1)=p,Ak=第k发命中，k=1,2,，设于是 若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.不难验证:例4 重复独立的进行贝努力试验，直到事件A出现r(r 1)次为止，求试验次数X的分布律.k=r,

4、r+1,称X服从Pascal分布。当r=1时，X服从几何分布。解：设每次试验事件A出现的概率为p,若当第k次试验时，事件A出现r次，则前k-1次试验事件A出现r-1次，于是（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：设一离散型随机变量X的分布律为 PX=xk=pk(k=1，2，)由概率的可列可加性可得X的分布函数为 这里的和式是所有满足xkx的k求和的。分布函数F(x)在x=xk(k=1,2,)处有跳跃，其跃跳值为pk=Px=xk。分布律与分布函数的关系 已知随机变量X的分布律,亦可求任意随机事件的概率。例如，求事件X B（B为实轴上的一个区间）的概率P X B时，只需将属于B的X的可能

5、取值找出来，把X取这些值的概率相加，即可得概率P X B，即 因此，离散型随机变量的分布律完整地描述它的概率分布情况。（2）已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律：设一离散型随机变量X的分布函数为F(x)，并设F(x)的所有间断为x1,x2,，那么，X的分布律为 例6:设随机变量X的分布律为 XP-1 2 3 1/4 1/2 1/4 求X的分布函数，并求 解:由概率的有限可加性，得所求分布函数为 F（x）的图形如下图所示，它是一条阶梯形的曲线，在x1，2，3处有跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，1/4。-1 0 1 2 3 xP1于是1.（01）分布：设随机变量X只可能取0与1两个值，它

6、的分布律为 PX=k=pk(1-p)1-k,k=0，1.(0p1)则称X服从（01）分布,记为X（01）分布。（01）分布的分布律用表格表示为：X 0 1P 1-p p易求得其分布函数为：二、三种常用离散型随机变量的分布 2.二项分布（binomial distribution)：定义：若离散型随机变量X的分布律为其中0p1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项分布，记为X b(n,p).即X服从二项分布。(1)试验模型：在n重贝努利试验中，若以X表示事件A出现的次数，则X是一随机变量，X可能取的值为0，1，2，n，由二项概率公式可得X的分布律为（2）因为，其中 恰为二项式 的一般项，故称

7、为二项分布。（3）当n=1时，二项分布为（01）分布，即 X b(,p)。（4）二项分布分布律的图形为：Px 对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至 达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：XB(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值；(x 表示不超过 x 的最大整数)n=10,p=0.7nPk 对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至 达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：XB(n,p)当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.课下请自行

8、证明上述结论.n=13,p=0.5Pkn03、泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,且概率分布为：其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作XP().泊松分布的图形特点：XP()n重Bernoulli试验模型是经常遇到的试验模型。但当试验次数n很大时，二项概率的计算非常麻烦，如为解决诸如此类的问题，我们可以采用泊松分布或者正态分布进行近似计算.事实上，这两种分布最初都是作为二项分布的近似被引入的.历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松（Poisson)引入的.二项分布的泊松近似证明略.定理的条件意味着当 n很大时，pn 必定

9、很小.因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式：其中 n 100,np 10 时近似效果就很好实际计算中，也就是，n很大时，B(n,p)P(np)容易理解，当p不是很小，而是很大(接近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似.当 n很大时，p不是很小，而是很大(接近于1)时，能否应用二项分布的泊松近似？下面我们看一个应用的例子.例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台独立工作，且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理，问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?

10、我们先对题目进行分析：300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，对300台设备工作的考察可以看成是300重贝努里试验.XB(n,p)，n=300,p=0.01因此，300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，XB(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，则要求的是满足的最小的N.解：设X为

11、300台设备同时发生故障的台数，XB(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(XN)N)n大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似下面给出正式求解过程：即至少需配备8个维修人员.查泊松分布表得N+1 9,即N 8我们求满足的最小的N.例8 设有80台设备,每台设备情况如上例。（1）若由一个人负责维修20台设备，求这80台设备发生故障，而不能及时修理的概率；（2）若由三个人共同负责维修80台，求设备发生故障不能及时修理的概率。解：（1）设X为1个人负责的20台设备中发生故障的机器数,则XB(20，0.01)。因为一人只能修一台机器，故这20台设备发生故障不能及时

12、维修的概率为：故所求概率为：（2）设X为发生故障的机器数，XB(80，0.01)X取值：0，1，2，80。结论：（1）（2），说明尽管情况2任务重了（一个人修27台），但工作质量提高了，也说明，概率方法可用来讨论国民经济中某些问题，以使达到更有效地使用人力、物力、资源的目的，这是运筹学的任务，概率论是解决运筹学问题的有力工具。例9（寿险）在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加人寿保险，其中每人在一年里死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在一月一日付12元保险费，而死亡时家属可由保险公司领2000元。（1）求公司亏本的概率（2）求获利不小于10000元的概率。解；（1）公司一年

13、总收入2500*12=30000，X：一年中死亡人数。Xb(2500,0.002),要2000X30000(2)近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等 在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流.若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流（泊松流）.*泊松分布产生

14、的一般条件下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.平稳性:在任意时间区间内，事件发生k次(k0)的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.无后效性:普通性:在不相重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的.如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.都可以看作泊松流.某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;一放射性源放射出的 粒子数；例如对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件(如交通事故)出现的次数服从参数为 的泊松分布.称为泊松流的强度.（）超几何分布 设一堆同类产品共N件，其中有M个次品，现从中任取n个(为方便计算。假定n

15、N-M)，则这n个中所含的次品数X是个离散型随机变量，X的分布律为 其中L=min(M，n),这个概率分布称为超几何分布。三、其它常见分布简述()几何分布 在独立重复试验中，设A在每次试验中发生的概率均为p，记X为A首次发生时的试验次数。则不难验证，X具有如下分布律这个概率分布称为几何分布。（）帕斯卡分布 在独立重复试验中，若记X为A在第r次发生时的 试验次数,则X的分布律为 这个分布称为帕斯卡分布。对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说 这一讲，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布,以及几种离散型分布.离散型随机变量由它的概率函数唯一确定.下一节，我们将向大家介绍连续型随机变量的描述方法.