第5章第2节泰勒公式课件.ppt

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1、5.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精 引言引言 本节从利用一阶导数做近似计算及估计误差本节从利用一阶导数做近似计算及估计误差入手入手,导入导入Taylor公式公式利用高阶导数和多项式函数利用高阶导数和多项式函数做一般函数的近似计算及估计误差做一般函数的近似计算及估计误差.主要内容主要内容 1.利用一阶导数做近似计算利用一阶导数做近似计算 (1)近似计算近似计算;(2)估计误差估计误差 2.Taylor公式及几种余项形式公式及几种余项形式6/4/202315.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精1.1.近似计算近似计算于是于是一、利用一、利用(一阶一阶)导数作近似计算导数作近似计算指的是对复

2、杂函数用简单计算指的是对复杂函数用简单计算方法得到一定精度的计算结果方法得到一定精度的计算结果.yxo6/4/202325.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精这就是利用导数作近似计算的公式。这就是利用导数作近似计算的公式。.6/4/202335.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例1.如图，加工圆锥台时计算刀架应取角 .s因 一般相当小，故解：解：于是于是从而从而6/4/202345.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例2.开方的近似计算.常用近似公式（常用近似公式（充分小有）：充分小有）：由此可得由此可得6/4/202355.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例3.计算 的近似值.解

3、：解：查表得查表得 0.4848加题6/4/202365.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精2.2.误差估计误差估计例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米，误差为 毫米.设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米，误差为 毫米.称这种误差为称这种误差为绝对误差绝对误差，表明了一个量与它的近似值之间，表明了一个量与它的近似值之间的差值，反映了某种近似程度的差值，反映了某种近似程度.是指估计近似值与精确值的差是指估计近似值与精确值的差6/4/202375.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精 上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长（120毫米）的精度要比键销（

4、12毫米）的精度高。可见，一个量的近似精度依赖于其绝对误差和这个量本身的大小，故需计算绝对误差占总长度的百分比（即相对误差）.例如：轴：键销：称这样的百分比为相对误差相对误差.显然，轴长精度比键销长的精度高得多.一般地，有定义：6/4/202385.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精Def:相对误差相对误差6/4/202395.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例例4.多次测量一根圆钢多次测量一根圆钢,测得其直径的平均值为测得其直径的平均值为D50毫米，毫米，绝对误差不超过绝对误差不超过0.05毫米毫米.试计算其截面积试计算其截面积,并估计其误差并估计其误差.解：解：S的的绝对误差：绝对误

5、差：相对误差：相对误差：6/4/2023105.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精二、二、Taylor 公式公式简单函数简单函数多项式多项式复杂的函数复杂的函数近似近似表示表示从而近似公式近似公式近似计算和理论分析中近似计算和理论分析中6/4/2023115.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精为提高近似精度，可用二次多项式二次多项式作近似代替（二阶近似二阶近似）且要求一般地，可用 n 次多项式次多项式作近似代替（n阶近似阶近似）且6/4/2023125.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精6/4/2023135.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例5.上述公式表明，近似式阶数越高，近似程

6、度越好.近似程度是多少近似程度是多少近似程度是多少近似程度是多少？教材P198例46/4/2023145.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精Th：Taylor公式（也称马克劳林公式（也称马克劳林(Maclaurin)公式），公式），式中式中 叫做叫做 Lagrange 余项余项.此函数可表示为以下多项式函数形式此函数可表示为以下多项式函数形式6/4/2023155.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精证明证明：作辅助函数作辅助函数再作辅助函数再作辅助函数6/4/2023165.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精利用Cauchy定理，得Lagrange 余项余项还可写为：又因此余项又可表示为

7、称为皮亚诺皮亚诺(Peano)余项余项.,将以下代入上将以下代入上式式得得:(证毕证毕)6/4/2023175.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精注注1：Cauchy 余项余项注注2：由余项可见，不论缩小x或增大阶数n都可提高精度.6/4/2023185.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精Lagrange 余项余项或Peano 余项余项6/4/2023195.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例5 中,误差误差为(Lagrange余项)6/4/2023205.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例6.求的幂函数展开式的幂函数展开式时的时的Maclaurin 公式公式解解:所以所以Lagr

8、ange余项余项6/4/2023215.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精加题Maclaurin 公式公式6/4/2023225.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例7.Peano余项余项.Maclaurin 公式公式 解解:将x=0依次代入，得6/4/2023235.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精特别，二项式展开公式二项式展开公式Peano余项余项.6/4/2023245.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例例8.Peano余项余项.Maclaurin 公式展开公式展开解解:加题同学们做题要多算几项找出规律6/4/2023255.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例9.解：解：

9、加题Peano余项余项.分项分式法利用前面ppt24结果对两项分别展开6/4/2023265.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例10.解：解：加题Peano余项余项.利用例利用例8结果展开结果展开然后再还原6/4/2023275.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精例11.求求 注注3.函数的函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析，也公式是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段，从而可是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段，从而可将无理或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解，大大将无理或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解，大大简化计算简化计算.Peano余项余项.加题6/4/2023285.2.泰勒公式泰勒公式精益求精精益求精小结小结:1.利用一阶导数做利用一阶导数做近似计算近似计算公式公式相对误差相对误差 2.绝对误差绝对误差Taylor 公式公式:把一个一般函数用把一个一般函数用n次多项次多项式函数表示的形式式函数表示的形式.(高阶导数高阶导数)注意注意:(1)系数系数 (2)余项形式余项形式Maclaurin 公式是公式是Taylor 公式的特殊形式公式的特殊形式.作业作业:P203 2.3.7(1).(3)估计误差估计误差:使用方法使用方法6/4/202329