考点7数列求和教师.pdf

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1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂考考点点 7 7数数列列求求和和玩前必备1公式法求和常用的求和公式有：(1)等差数列的前 n 项和公式：Snna1an2na1nn12d.(2)等比数列的前 n 项和公式：Snna1，q1，a1（1qn）1qa1anq1q，q1.2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和3.裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和常用的裂项公式有：(1)1nn11n1n1；(2)12n12n11212n112n1；(3)1n n1 n1 n.(4)1n(n1)(n2)121n(n1)1(n1)(n2)；

2、4.分组求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和玩转典例题型一分分组组求求和和例例 1（2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知 na是等差数列，nb是等比数列，且23b，39b，11ab，144ab（1）求 na的通项公式；（2）设nnncab，求数列 nc的前 n 项和玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂【答案】（1）21nan；（2）2312nn【解析】（1）设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，因为233,9bb，可得323bqb，所以22123

3、 33nnnnbb q，又由111441,27abab，所以141214 1aad，所以数列 na的通项公式为1(1)12(1)21naandnn（2）由题意知1(21)3nnnncabn，则数列 nc的前n项和为12(121)1 3311 3(21)(1 393)21 32nnnnnnn 例例 2（2020五华区校级模拟）已知na是公差不为零的等差数列，413a，且1a，2a，7a成等比数列（1）求数列na的通项公式；（2）设1(1)nnnba，数列 nb的前n项和为nT，求2019T【解答】解：（1）设na的公差为d，0d，1a，2a，7a成等比数列，2217aa a，可得2111()(6

4、)ada ad，又0d，得14da，又41313aad，联立可得11a，4d，14(1)43nann；（2）11(1)(1)(43)nnnnban ，2019122009Tbbb(15)(913)(80658069)8073(4)100980734037 玩转跟踪1.（2020番禺区模拟）设数列na是公差不为零的等差数列，其前n项和为nS，11a 若1a，2a，5a成等比数列（1）求na及nS；（2）设*2112()1nannbnNa，求数列 nb前n项和nT【解答】解：（1）设数列na是公差为d，且不为零的等差数列，玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关

5、注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂11a 若1a，2a，5a成等比数列，可得2152a aa，即有21(14)(1)dd，解得2d，则12(1)21nann；21(121)2nSnnn；（2）2121221111 1122()21(21)141nannnnbannn，可得前n项和21111111(1)(282)42231nnTnn112(14)2(1)(41)4114443nnnnn2.（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列 na中，11a，121nnaan，nnban.（1）求证：数列 nb是等比数列;（2）求数列 na的前n项和nS.【解析】（1）

6、证明：因为121,nnnnaanban所以11121122nnnnnbanannanb,又因为11120ba,则12nnbb,所以数列 nb是首项为 2,公比为 2 的等比数列.（2）由（1）知2nnnanb,所以2nnan,所以 232 122232nnSn232222123nn 12 1211221222nnnnnn题题型型二二错错位位相相减减法法求求和和例 2（2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列an的首项为 a11，且*12(1)()nnaanN.（）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式；（）设 bnlog2（an+2）log23，求数列32nnba的前 n 项

7、和nT.【解析】（）1121,222nnnnaaaa，则数列2na 是以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列，123 2nna，即1*3 22nnanN.玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂（）由（）知，1222log2log 3log 21nnnban，13122nnnbna.012210122122222nnnnnT，1231101221222222nnnnnT，13n 11111111112211222222212nnnnnnnnT，则1122nnnT.玩转跟踪1.（2020 届山东济宁市

8、兖州区高三网络模拟考）在325256aaab，；234323baab，；345298Saab，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已知等差数列 na的公差为1d d，前 n 项和为nS，等比数列 nb的公比为 q，且11abdq，_（1）求数列 na，nb的通项公式（2）记nnnacb，求数列 nc，的前 n 项和nT注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】方案一：选条件（1）325211561aaababdqd，11125256adada d解得112ad或1256512ad（舍去），112bq，11nnd21n1112nnnbbq-=（2）nnnacb，11211(

9、21)()22nnnncn玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂2211111135(23)(21)2222nnnTnn 23111111135(23)(21)222222nnnTnn 211111112(21)22222nnnTn 111122112(21)1212nnn 13(23)2nn，116(23)2nnTn方案二：选条件（1）2343112,3,1baab ab dq d12112253a dada d112256a dadd解得112ad或112ad （舍去）112bq1(1)=naa

10、nd=2n-1，1112nnnbbq-=（2）nnnacb，11211(21)()22nnnncn2211111135(23)(21)2222nnnTnn 23111111135(23)(21)222222nnnTnn 211111112(21)22222nnnTn 111122112(21)1212nnn 13(23)2nn116(23)2nnTn玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂方案三：选条件3452119,8,1Saab ab dq d，1113278adada d解得112ad或1218

11、38ad（舍去），112bq，1(1)naand21n11nnbbq12n（2）nnnacb11211(21)22nnnncn2211111135(23)(21)2222nnnTnn 23111111135(23)(21)222222nnnTnn 211111112(21)22222nnnTn 111122112(21)1212mnn 13(23)2nn116(23)2nnTn题题型型三三利利用用裂裂项项相相消消法法求求和和例例 3（2020山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列na的前4项和为414S,且137,a a a成等比数列.（1）求数列na的通项公式;（2）求数列11nna a的

12、前n项和nT.玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂【解析】（1）设公差为d.由已知得12111461426adadaad,解得1d 或0d（舍去）,所以12a,故1nan.（2）111111212nna annnn,111111.23341222nnTnnn玩转跟踪1.（2020福清市一模）已知数列na的前n项和为nS，满足22nnaS（）求na（）若数列 nb满足*14()nnnnabnNS S，nb的前n项和nT【解答】解：（1）22nnaS2n时，1122nnaS，可得：1220nnnaaa

13、，可得：12nnaa1n 时，1122aa，解得12a，数列na是首项公比都为 2 的等比数列2nna（2）由（1）可得：2(21)2(21)2 1nnnS11211(21)(21)2121nnnnnnb数列 nb的前n项和223111111111121212121212121nnnnT 玩转练习1.（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列 na中，11a，121nnaan，nnban.（1）求证：数列 nb是等比数列;（2）求数列 na的前n项和nS.【解析】（1）证明：因为121,nnnnaanban所以11121122nnnnnbanannanb,玩转高中数学交流群（72

14、1144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂又因为11120ba,则12nnbb,所以数列 nb是首项为 2,公比为 2 的等比数列.（2）由（1）知2nnnanb,所以2nnan,所以 232 122232nnSn232222123nn 12 1211221222nnnnnn2.（2020山东高三下学期开学）已知数列 na满足123123252525253nnnaaaa（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列11nna a的前n项和为nT，证明：11226nT【解析】（1）解：123123252525253nnnaaaa，当

15、1n 时，14a 当2n 时，123112311252525253nnnaaaa，由-，得3522nnan，因为14a 符合上式，所以352nna（2）证明：11441135383 3538nna annnn12231111nnnTa aa aa a4111111381111143538nn4113838n，因为1103811n，所以11226nT3.（2020全国 3 卷）设数列an满足 a1=3，134nnaan（1）计算 a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师

16、培优课堂（2）求数列2nan的前 n 项和 Sn【答案】（1）25a，37a，21nan，证明见解析；（2）1(21)22nnSn.【解析】（1）利用递推公式得出23,a a，猜想得出 na的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945aa，32381587aa，由数列 na的前三项可猜想数列 na是以3为首项，2 为公差的等差数列，即21nan，证明如下：当1n 时，13a 成立；假设nk时，21kak成立.那么1nk时，1343(21)4232(1)1kkaakkkkk也成立.则对任意的*nN，都有21nan成立；（2）由（1）可知，

17、2(21)2nnnan2313 25 27 2(21)2(21)2nnnSnn ，234123 25 27 2(21)2(21)2nnnSnn ，由得：23162222(21)2nnnSn 21121 262(21)21 2nnn 1(12)22nn，即1(21)22nnSn.4.（2020江西省名高三第二次大联考（理）已知首项为 4 的数列 na满足11221nnnnaan.（1）证明：数列2nnna是等差数列.（2）令2lognnba，求数列 nb的前n项和nS.【解析】（1）证明：因为11221nnnnaan，所以11122nnnnana，玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造

18、课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂所以111122nnnnnana，所以111122nnnnnana.因为14a，所以122a.故数列2nnna是首项为 2，公差为 1 的等差数列.（2）解：由（1）可知12nnnan，则12nnnan.因为2lognnba，所以2222111log2loglog 2lognnnnnnbnnnn，则123nnSbbbb2222341log 2 1log2log3log23nnn2222341log 2logloglog12323nnn 21log12n nn.5.(安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且

19、 a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设 Sn为数列an的前 n 项和，bnan1SnSn1，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)由题设知 a1a4a2a38.又 a1a49.可解得a11，a48或a18，a41(舍去).由 a4a1q3得公比 q2，故 ana1qn12n1.(2)Sna1（1qn）1q2n1，又 bnan1SnSn1Sn1SnSnSn11Sn1Sn1，所以 Tnb1b2bn1S11S21S21S31Sn1Sn11S11Sn1112n11.6.(浙江，17)已知数列an和bn满足 a12，b11，an12an(nN*)，b112b213b31nbnb

20、n11(nN*).(1)求 an与 bn；(2)记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn.解(1)由 a12，an12an，得 an2n(nN*).玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂由题意知：当 n1 时，b1b21，故 b22.当 n2 时，1nbnbn1bn，整理得bn1n1bnn，所以 bnn(nN*).(2)由(1)知 anbnn2n.因此 Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，所以 Tn2Tn222232nn2n1.故 Tn(n1)2n12(nN*).7.（湖

21、南高考）设nS为数列na的前项和，已知01a，2nnSSaa11，nN()求1a，2a，并求数列na的通项公式；()求数列nna的前n项和【解析】()11111121.SSaanaS时，当.1,011aa11111111222221nnnnnnnnnaaaaSaaSaassan时，当-.*,22111Nnaqaannn的等比数列，公比为时首项为（）nnnnqanqaqaqaqTanaaaT321321321321设1432321nnanaaaqT上式错位相减：nnnnnnnnnaqqanaaaaaTq21211)1(111321*,12)1(NnnTnn8.(安徽，18)数列an满足 a11，

22、nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列ann是等差数列；(2)设 bn3nan，求数列bn的前 n 项和 Sn.(1)证明由已知可得an1n1ann1，即an1n1ann1.所以ann是以a111 为首项，1 为公差的等差数列.玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂(2)解由(1)得ann1(n1)1n，所以 ann2.从而 bnn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n13（13n）13n3n1（12n）3n132.所

23、以 Sn（2n1）3n134.9.(新课标全国，17)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程 x25x60 的根.(1)求an的通项公式；(2)求数列an2n的前 n 项和.解(1)方程 x25x60 的两根为 2，3，由题意得 a22，a43.设数列an的公差为 d，则 a4a22d，故 d12，从而 a132.所以an的通项公式为 an12n1.(2)设an2n的前 n 项和为 Sn，由(1)知an2nn22n1，则 Sn322423n12nn22n1，12Sn323424n12n1n22n2.两式相减得12Sn3412312n1n22n23414112n1n22n2.所以 Sn2n4

24、2n1.10.(重庆，16)设数列an满足：a11，an13an，nN(1)求an的通项公式及前 n 项和 Sn；(2)已知bn是等差数列，Tn为其前 n 项和，且 b1a2，b3a1a2a3，求 T20.解(1)由题设知an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 an3n1，Sn13n1312(3n1).(2)b1a23，b313913，b3b1102d，玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂所以公差 d5，故 T202032019251 010.11.(重庆，18)已知等差数列an满足 a32，前 3 项和 S392.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足 b1a1，b4a15，求bn的前 n 项和 Tn.解(1)设an的公差为 d，则由已知条件得 a12d2，3a1322d92，化简得 a12d2，a1d32，解得 a11，d12，故通项公式 an1n12，即 ann12.(2)由(1)得 b11，b4a1515128.设bn的公比为 q，则 q3b4b18，从而 q2，故bn的前 n 项和 Tnb1（1qn）1q1（12n）122n1.玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨