2021-2022学年河北省石家庄市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

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1、2021-2022学 年 河 北 省 石 家 庄 市 高 一 下 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 1.已 知。为 实 数，若 复 数 z=（-4）+（a+2）,为 纯 虚 数，则 复 数 z的 虚 部 为（A.2 B.4/C.2 D.4D由 实 部 为 0 且 虚 部 不 为 0 列 式 求 得。值，则 答 案 可 求.【详 解】“二 面 一 町+厂 为 纯 虚 数，斤-4=0.+2片 0,即“=2.复 数 z的 虚 部 为 4.故 选：D.本 题 考 查 复 数 的 基 本 概 念，是 基 础 题.2.某 校 高 一 年 级 15个 班 参 加 朗 诵 比 赛 的 得 分 如

2、 下：91 89 90 92 94 87 93 96 91 85 89 93 88 98 93则 这 组 数 据 的 40%分 位 数、70%分 位 数 分 别 为（）A.90,94 B.91,93 C.90.5,93 D.90.5,94.2C【分 析】将 数 据 从 小 到 大 依 次 排 列，而 且 15x40%=6,1570%=10.5,故 这 组 数 据 的 40%分 位 数 是 第 6、7 个 数 的 平 均 数，70%分 位 数 是 第 11个 数.【详 解】将 数 据 从 小 到 大 依 次 排 列 如 下：85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,

3、94,96,98,而 15x40%=6,15x70%=10.5,-x（90+91）=90.5故 这 组 数 据 的 40%分 位 数 是 2,这 组 数 据 的 70%分 位 数 是 93,故 选：D.3.平 面 向 量 送 5 的 夹 角 为 60,。=（3,0）,W-则 卜+2%（）A.2 G B.M C.4 D.5B【分 析】计 算 出 H,利 用 平 面 向 量 的 数 量 积 可 计 算 得 出 1+28|的 值.【详 解】由 已 知 可 得 卜 卜=3,由 平 面 向 量 数 量 积 的 定 义 可 得 6T-i=|6f|-|fe|cOs60=-1、k+26|=+j=+4屋 1+4

4、彳=9+4x-|+4=-J9故 选：B.4.定 义：24小 时 内 降 水 在 平 地 上 积 水 厚 度（m m）来 判 断 降 雨 程 度.其 中 小 雨（中 雨（10mm-25mm）,大 雨（25mm-50mm）,暴 雨（50mm-100mm）,小 明 用 一 个 圆 锥 形 容 器 接 了 24小 时 的 雨 水，如 图，则 这 天 降 雨 属 于 哪 个 等 级（）A.小 雨 B.中 雨 C.大 雨 D.暴 雨 B【分 析】计 算 出 圆 锥 体 积，除 以 圆 面 的 面 积 即 可 得 降 雨 量，即 可 得 解.=100（mm）【详 解】由 题 意，一 个 半 径 为 2 的

5、圆 面 内 的 降 雨 充 满 一 个 底 面 半 径 为 200 150 _.nz、荻 一（皿 11）,高 为 150（mm）的 圆 锥，-X502X 150d=-=12.5（mm）所 以 积 水 厚 度 乃,I。，属 于 中 雨.故 选：B.JD=-D C-5.已 知 在 边 长 为 6 的 等 边 三 角 形/8 C 中，2，则 Z O Y C=（）A.24 B.6 C.18 D.-24A【分 析】由 已 知 条 件 将 而 用 荏，刀 表 示 出 来，然 后 再 计 算 亚 就 即 可 BD=-D C【详 解】因 为 2,百 万=1 肥=，（彳 心 一 万）所 以 3 3 1AD=AB

6、+BD=A B+-（A C-A B）=-A B+-A C所 以 3 3 3因 为 边 三 角 形 Z 8 C的 边 长 为 6,所 以 4。4 8=6x6 cos 60=18,所 以 JD-A C=（-A B+-A C-AC3 3）2 1-）=-A B A C+-A C 3 3=-x l 8+-x 3 6=243 3,故 选：A6.从 四 双 不 同 的 鞋 中 任 意 取 出 4 只，事 件“4 只 全 部 不 成 对，与 事 件“至 少 有 2 只 成 对，（）A.是 对 立 事 件 B.不 是 互 斥 事 件 C.是 互 斥 但 不 对 立 事 件 D.都 是 不 可 能 事 件 A从

7、4 双 不 同 的 鞋 中 任 意 摸 出 4 只，可 能 的 结 果 为:“恰 有 2 只 成 对，,“4 只 全 部 成 对，,“4 只 都 不 成 对”,即 可 求 得 答 案.【详 解】从 4 双 不 同 的 鞋 中 任 意 摸 出 4 只，可 能 的 结 果 为：“恰 有 2 只 成 对”,“4 只 全 部 成 对，,“4 只 都 不 成 对”，故:事 件“4 只 全 部 成 对”的 对 立 事 件 为“恰 有 2 只 成 对，+“4 只 都 不 成 对”=“至 少 有 两 只 不 成 对 二 事 件“4 只 全 部 不 成 对，与 事 件“至 少 有 2 只 成 对，是:对 立 事

8、 件.故 选:A.本 题 主 要 考 查 了 判 断 2 个 事 件 是 否 是 对 立 事 件，解 题 关 键 是 掌 握 对 立 事 件 概 念 和 结 合 实 际 问 题 具 体 分 析，考 查 了 分 析 能 力,属 于 基 础 题.7.圭 表（如 图 1）是 我 国 古 代 一 种 通 过 测 量 正 午 日 影 长 度 来 推 定 节 气 的 天 文 仪 器，它 包 括 一 根 直 立 的 标 竿（称 为“表”）和 一 把 呈 南 北 方 向 水 平 固 定 摆 放 的 与 标 竿 垂 直 的 长 尺（称 为“圭，当 正 午 太 阳 照 射 在 表 上 时，日 影 便 会 投 影

9、在 圭 面 上，圭 面 上 日 影 长 度 最 长 的 那 一 天 定 为 冬 至，日 影 长 度 最 短 的 那 一 天 定 为 夏 至.图 2 是 一 个 根 据 北 京 的 地 理 位 置 设 计 的 圭 表 的 示 意 图，己 知 北 京 冬 至 正 午 太 阳 高 度 角（即 4 8 C）为 2 6 5,夏 至 正 午 太 阳 高 度 角（即/）为 7 3 5,圭 面 上 冬 至 线 与 夏 至 线 之 间 的 距 离（即。B的 长）为 m 则 表 高（即 力 C 的 长）为（）夏 至 正 午 阳 光 图 2图 1a sin 53A.2 sin 4702 sin 47B.a sin

10、530tz tan 26.5 tan 73.5C.tan 47a sin 26.5 sin 73.5D.sin 47D先 求 N 5 4）,在 中 利 用 正 弦 定 理 求 力。，在 刘/C。中 即 可 求 4 C.【详 解】NBNO=7 3.5-2 6 5=4 7。，BD _ a _ AD在 A4 中 由 正 弦 定 理 得：sin ZBAD sin/.ABD,即 sin47 sin 26.5,a sin 26.5AD=-所 以 sin 4 7,A r=sin Z JD C=sin 73.5又 因 为 在 R fA 4C。中，AD,所 以 NC=4)x s i n 7 3 5=a sin

11、2 6 5 sin 73.5sin 47故 选：D本 题 主 要 考 查 了 解 三 角 形 应 用 举 例，考 查 了 正 弦 定 理，属 于 中 档 题.8.我 国 古 代 九 章 算 术 中 将 上 下 两 面 为 平 行 矩 形 的 六 面 体 称 为 刍 童.如 图 的 刍 童 4BCD-EFGH 有 外 接 球,且 8=4 6,AD=4,EH=岳,EF=M,平 面 N 8 C 3与 平 面 E/G”间 的 距 离 为 1,则 该 童 外 接 球 的 表 面 积 为（）Q 1 64 兀 D.48兀【分 析】设 上 底 面 中 心 为 a,下 底 面 中 心 为?,刍 童 外 接 球

12、的 球 心 为 0,则,O,仪 共 线，由 已 知 求 出 两 个 长 方 形 的 对 角 线 长，再 由 勾 股 定 理 列 式 求 得 刍 童 的 外 接 球 的 半 径，则 表 面 积 可 求.【详 解】解：如 图，设 上 底 面 中 心 为 a,下 底 面 中 心 为?,刍 童 外 接 球 的 球 心 为,则,、仪 共 线，连 接。,。,OE,0A,由 已 知 可 得=石，3=4,。02=1.设 该 刍 童 的 外 接 球 的 半 径 为&,2=h,则 2=1 6+吃 R2=5+(h+)2t 联 立 解 得&2=41.1.该 刍 童 的 外 接 球 的 表 面 积 为$=164万.故

13、选：C.二、多 选 题 9.某 保 险 公 司 为 客 户 定 制 了 5 个 险 种：甲，一 年 期 短 险；乙，两 全 保 险；丙，理 财 类 保 险；丁，定 期 寿 险；戊，重 大 疾 病 保 险.各 种 保 险 按 相 关 约 定 进 行 参 保 与 理 赔.该 保 险 公 司 对 5 个 险 种 的 参 保 客 户 进 行 抽 样 调 查，得 出 如 下 统 计 图 例，则 以 下 四 个 选 项 正 确 的 是()A.18 2 9周 岁 人 群 参 保 总 费 用 最 少 B.3 0周 岁 以 上 的 参 保 人 群 约 占 参 保 人 群 的 20%C.5 4周 岁 以 上 的

14、参 保 人 数 最 少 D.丁 险 种 更 受 参 保 人 青 睐 CD【分 析】根 据 选 项 逐 一 对 相 应 的 统 计 图 进 行 分 析 判 断 即 可.【详 解】对 A：由 不 同 年 龄 段 人 均 参 保 费 用 图 可 知，18 2 9周 岁 人 群 人 均 参 保 费 用 最 少，但 是 这 类 人 所 占 比 例 为 2 0%,所 以 总 费 用 不 一 定 最 少，故 A 错 误：对 B：由 扇 形 图 可 知，3 0周 岁 以 上 的 参 保 人 数 约 占 总 参 保 人 数 的 8 0%,故 B 错 误；对 C：由 扇 形 图 可 知，5 4周 岁 以 上 的

15、参 保 人 数 最 少，故 选 项 C 正 确；对 D：由 柱 状 图 可 知，丁 险 种 参 保 比 例 最 高，故 选 项 D 正 确.故 选：CD.1 0.下 列 命 题 中，正 确 的 是（）A.在 中，乙 4 是 sin 4 sin 8 的 充 要 条 件 B.在 锐 角 中，不 等 式 s i n/cos8 恒 成 立 C.在 中，若 a c o s=6 c o s 5,则 是 等 腰 直 角 三 角 形 D.在 A4 8 C中，若 8=60。，b2=a c,则“8 C 是 等 边 三 角 形 ABD【分 析】对 于 A,应 用 正 弦 定 理 及 三 角 形 中 大 边 对 大

16、角 以 及 充 要 条 件 的 定 义 即 可 判 断 正 误；对 于 B 由 锐 角 三 角 形 易 得 2 2,根 据 锐 角 正 弦 函 数 的 大 小 关 系 及 诱 导 公 式 即 可 判 断 正 误；对 于 C 由 正 弦 定 理 边 角 关 系，结 合 三 角 形 内 角 的 性 质 判 断 内 角 2、8 的 数 量 关 系；对 于 D 利 用 余 弦 定 理，结 合 已 知 得 S-c P=0,进 而 判 断 4/8 C 的 形 状.a _ b 详 解 解：对 于 A：若 s i n/s i n 8,而 s i n/f-s i n B,即 故/8,a _ b同 理，若 即。6

17、,而 sinX s i n 8,故 s in 4 s in 8,所 以 Z B是 s i n/sin 8 的 充 要 条 件，故 A 正 确；A+B A-B0对 于 B：由 锐 角 知：2,g|j2 2,则 冗 sin A sin(-B)=cos B2,故 B 正 确；对 于 C：由 题 设 得 sin4cos4=sin8 cos8,可 得 sin24=sin28,又 4 8(0,乃)，则 2 4=2 8 或 24+28=4，A+B=-即 力=8 或 2,故 Z 8 C为 等 腰 或 直 角 三 角 形，故 c 错 误；a2+c2-b2 1cos B=-=-,),对 于 D：由 题 设，2皿

18、2,即=+c-匕,又 从=%,所 以 ac=+c 2-a c,故(。-。)2=0,即。=。，又 8=60。，所 以 a=6=c,故/8 C 必 是 等 边 三 角 形，故 D 正 确.故 选：ABD.1 1.棱 长 为 2 的 正 方 体 1 8 8-4 4 G q 中，M 是 线 段/上 的 动 点，下 列 正 确 的 是()A./的 最 大 值 为 90。B.D C 1 DMc.三 棱 锥”一 G 的 体 积 为 定 值 D.+4 的 最 小 值 为 4BC【分 析】对 A,令 4=2(0 4),在 4 4 中，根 据 余 弦 定 理 求 得“A/，再 在/用 4 中 根 据 余 弦 定

19、理 求 解 c o sN/M R的 表 达 式，判 断 出 当(5 时，cos/力 尸。0即 可；对 B,根 据 线 面 垂 直 的 性 质 与 判 定，证 明 平 面 4 8 c A 即 可；对 C,根 据 体 积 公 式 结 合 长 方 体 的 性 质 证 明 即 可；对 D,把 A 0与 矩 形 4 B C 2展 开 在 同 一 平 面 内，再 分 析 最 小 值 即 可【详 解】对 A,在 正 方 体 8 8-4 A G R 中，连 接 血 血。眼，如 图，而/8=2,则 4 8=2应，令 4=2(0 4/4 1),在 例 中，乙 4 4=45,由 余 弦 定 理 得 A M2=22+

20、(2 6-2 x 2x 2 cos45=8/-8/+4,根 据 线 面 垂 直 的 性 质 有 A C,则 4=2 2+(2 何 2=4+8/，中，“八 A M2+R M2-A D；8/(2?-1)1L cos/AM D=-!-=-o/-AD、=2 g,1AM-DM 2AM-D.M；当 2 时，cosZAPDt C,。|。=平 面 0),则 4 R，G。，正 方 形 CDQG中，CD A.CD t AtDt n CD=Dt；4 4，CZ)|u 平 面,于 是 得 G。_L平 面,又 平 面 4 8 C%因 此，D,M 1 Q D f B 正 确；对 c,由 题 意，用 到 平 面 G 的 距

21、离 为 定 值 B C,故 田 山。为 定 值,C 正 确；对 D,把 A 44田 与 矩 形 4 8 c A展 开 在 同 一 平 面 内，连 接。交 4 8 于 点/，如 图,在 中，N/4=135”，由 余 弦 定 理 得：AD,=Vl2+l2-2xlxcosl350=42+及,因 点“在 线 段 田 上，/+加。2 也=/+9,当 且 仅 当 点 M与 初 重 合 时 取 所 以/P+P 2 的 最 小 值 为+忘,D错 误；故 选：BC1 2.著 名 数 学 家 欧 拉 提 出 了 如 下 定 理：三 角 形 的 外 心、重 心、垂 心 依 次 位 于 同 一 直 线 上，且 重 心

22、 到 外 心 的 距 离 是 重 心 到 垂 心 距 离 的 一 半，此 直 线 被 称 为 三 角 形 的 欧 拉 线，该 定 理 被 称 为 欧 拉 线 定 理.已 知 A/8C 的 外 心 为,垂 心 为 7/,重 心 为 G,且 45=3,4 c=4,下 列 说 法 正 确 的 是()-AG BC=-AO BC=-A.4H.BC=G B.3 c.2 D.OH=OA+OB+OCACD【分 析】设。是 8 c 中 点，由 H为 垂 心，得 4 H 1 B C,判 断 A；利 用 A D=-(AB+AC AG=-A D2、),3，计 算 数 量 积 判 断 B,再 结 合 8C可 判 断 c

23、,由 重 心 性 质 得 力=20。，然 后 由 向 量 的 线 性 运 算 判 断 D.【详 解】对 于 A选 项，由 垂 心 的 性 质 可 知/8 C,贝 ij屈 前=,A 对;AG=-AD对 于 B选 项，设。为 8 c 的 中 点，则 3,AD=AB+BD=AB+B C=AB+(A C-A B=(AB+ACAG=-AD=-(AB+7C所 以，3 3、),所 以，7G J c=3-、（A C+7B八（A C-AB7-C3A C-A B/-3,B 错；对 于 C 选 项，由 外 心 的 性 质 可 知 08=C,则 O D R C,.-.AOBC=（AD+D d）SC=A D B C=（

24、lB+A C）（A C-A B）=C：-AB：y C 对；A H AG c-=-=2对 于 D 选 项，由 4H/OD得 OD GD,所 以 Z=2D,OD OB+JD OB+-B C=OB+-（OC-OB=（OB+OC因 为 2 2、J 2、）,所 以 而 一 方=而=2历=砺+反，即 而=厉+砺+双，D 对.故 选：ACD.13.已 知 向 量。=（4区）,向 量 入（2-似+1）,若 卜+卜-4 则 上 的 值 为.5【分 析】由 条 件 求 得 展 b=,再 根 据 数 量 积 的 坐 标 表 示 求 h【详 解】中+可 中-可，两 边 平 方 后 得,4=0,即 4（2-%）+2 9

25、+1）=0,解 得 上=5故 5_ 2 _ _ 1AN=_&AP=tAB+-AC14.如 图，在 A/8 C 中，3,P 是 B N 上 一 点、,若 3,则 实 数，的 值 为.A爪 NBT16.5 5AP=tAB+-A N/+-=1【分 析】根 据 条 件 化 简 得 6,再 根 据 B,P,N 三 点 共 线，得 6，求 出 t 值 2 5 A N=-N C A C=-A N【详 解】因 为 3,所 以 2万=/而+1 衣=/万+1 2 亦=/次+?而 则 3 3 2 65 1t 4=1-根 据 B,P,N 三 点 共 线，6，则 t=6故 答 案 为 6.在 平 面 中，若 P,A,B

26、,C四 点 不 共 线，且 方=灰+。而，若 A,B,C三 点 共 线，则 4+。=1本 题 考 查 学 生 对 向 量 中 点 共 线 问 题 的 考 察 15.甲、乙、丙 三 人 向 同 一 飞 机 射 击，设 击 中 的 概 率 分 别 为 0.4,0.5,0.8,若 只 有 1人 击 中，则 飞 机 被 击 落 的 概 率 为 0.4,若 2 人 击 中，则 飞 机 被 击 落 的 概 率 为 0.7,若 3人 击 中 则 飞 机 一 定 被 击 落，求 飞 机 被 击 落 的 概 率 为.0.604【分 析】设 甲、乙、丙 三 人 击 中 飞 机 为 事 件 4 民 C 依 题 意，

27、C 相 互 独 立，故 所 求 事 件 概 率 为 P=2(/而)+尸+月 C)x 0.4+P(l 8 C)+x 0.7+P(NBC)，代 入 相 关 数 据，即 可 得 到 答 案.【详 解】设 甲、乙、丙 三 人 击 中 飞 机 为 事 件 4 民。依 题 意，4 8,C 相 互 独 立，故 所 求 事 件 概 率 为 P=p(7(74SC)=(0.4 x 0.5 x 0.2+0.6 x 0.5 x 0.2+0.6 x 0.5 x0.8)x 0.4+(0.4 x 0.5 x 0.2+0.4 x 0.5 x 0.8+0.6 x 0.5 x 0.8)x 0.7+0.4 x 0.5 x 0.8=

28、0.604故 答 案 为.0604四、双 空 题 16.某 同 学 在 解 题 中 发 现，以 下 三 个 式 子 的 值 都 等 于 同 一 个 常 数(i是 虚 数 单 位).2+i-4+3i-1-i 1 2 i；3+4i；1+i.从 三 个 式 子 中 选 择 一 个，求 出 这 个 常 数 为;根 据 三 个 式 子 的 结 构 特 征 及 计 算 结 果，将 该 同 学 的 发 现 推 广 为 一 个 复 数 恒 等 式.a+hi-=1i b-a【分 析】根 据 复 数 的 运 算 法 则 求 得 这 个 常 数，再 结 合 三 个 式 子 的 结 构 特 征 及 计 算 结 果 得

29、 出 推 广 式，即 可 求 解.-1-i(-l-i)(-l-i)2i.【详 解】由 复 数 的 运 算 法 则，可 得 T+i(-l+i)(-l-i)24+bi根 据 三 个 式 子 的 结 构 特 征 及 上 式 的 计 算 结 果，可 以 得 到：w证 明 如 下：a+bi(a+hi)(b+ai)_(a+bi)0+ai)_(Y+b2)i _.由 b-ai 0-Qi)(b+i)a2+b2 a2+h2 1a+bi1故 i；b-ai.五、解 答 题 17.在 锐 角 三 角 形/8 C 中，角 4、B、C 的 对 边 分 别 为“、b、c,向 量“=6=(c,sinC),且 公 g.求 角 N

30、3 G（2）若 c=2,且 A/B C 的 面 积 为 2,求/C 边 上 的 中 线 的 大 小.A=-(1)3 7【分 析】（1）由 向 量 平 行 的 坐 标 表 示 可 得 2asinC=&,再 由 正 弦 定 理 化 角 即 可 得 解:（2）根 据 面 积 公 式 可 得 以 在 中 再 由 余 弦 定 理 求 解 即 可.【详 解】因 痴 5，a=Qa,a=sinC）,所 以 2asinC=Vc.由 正 弦 定 理 得 2sin/sinC=6sinC.因 为 s i n,所 以 sinC0,所 以 2A=-因 为 I 2人 所 以 3.3 G 1,.373-be sin A=-（

31、2）因 为 A/B C 的 面 积 为 2.所 以 2 2.,冗 A 因 为 c=2.3.所 以/=3.A M=h=在 三 角 形 力 中，为 4 C 的 中 点.,2 2,由 余 弦 定 理 得（3 Y 3 1 13B M2=A M2AB2-2AB-AM cos A=-+4-2x-x2x-=3 2 2 4.B M=所 以 2.18.全 国 文 明 城 市，简 称 文 明 城 市，是 指 在 全 面 建 设 小 康 社 会 中 市 民 整 体 素 质 和 城 市 文 明 程 度 较 高 的 城 市.全 国 文 明 城 市 称 号 是 反 映 中 国 城 市 整 体 文 明 水 平 的 最 高

32、荣 誉 称 号.为 普 及 相 关 知 识，争 创 全 国 文 明 城 市，某 市 组 织 了 文 明 城 市 知 识 竞 赛，现 随 机 抽 取 了 甲、乙 两 个 单 位 各 5 名 职 工 的 成 绩（单 位：分）如 下 表：甲 单 位 87 88 91 91 93乙 单 位 86 88 91 92 93（1）根 据 上 表 中 的 数 据，分 别 求 出 甲、乙 两 个 单 位 5 名 职 工 的 成 绩 的 平 均 数 和 方 差，并 比 较 哪 个 单 位 的 职 工 对 文 明 城 市 知 识 掌 握 得 更 好；（2）用 简 单 随 机 抽 样 法 从 乙 单 位 5 名 职

33、工 中 抽 取 2 人，求 抽 取 的 2 名 职 工 的 成 绩 差 的 绝 对 值 不 小 于 4 的 概 率.（1）漏=90,殳=90,甲 单 位 的 职 工 比 乙 单 位 的 职 工 对 环 保 知 识 掌 握 得 更 好 万【分 析】（1）根 据 表 格 数 据 求 出 福 丽 乙 S根 据 均 值、方 差 的 实 际 意 义 作 出 判 断；（2）利 用 古 典 概 型 公 式 即 可 求 出 抽 取 的 2 名 职 工 的 成 绩 差 的 绝 对 值 不 小 于 4 的 概 率 Xm=-8-7-+-8-8-+-9-1-+-9-1-+-9-3=920 x,=-8-6-+-8-8-

34、+-9-1-+-9-2-+-9-3=9n0n【详 解】5,5,4=（87-90）2+（88-90）2+（91-90）2+（91-9+（93-90）2=5 5,4=1（86-90）2+（88-90）2+（91-90）2+侬 _9Q）2+（93-90）1=当，2显 然 叫 而 色，s-s-,可 知，甲 单 位 的 成 绩 比 乙 单 位 稳 定，即 甲 单 位 的 职 工 比 乙 单 位 的 职 工 对 环 保 知 识 掌 握 得 更 好.（2）从 乙 单 位 5 名 职 工 中 随 机 抽 取 2 名，他 们 的 成 绩 组 成 的 所 有 基 本 事 件（用 数 对 表 示）为（86,88）（

35、86,91）（86,92）（86,93）（88,91）（88,92）（88,93）（91,92）（91,93）,（92,93）,共 影 个 记“抽 取 的 2 名 职 工 的 成 绩 差 的 绝 对 值 不 小 于 4”为 事 件 A,则 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 为，（86,91）,（86,92）,（86,93）,（88,92）,（88,93）,共 5 个,由 古 典 概 型 计 算 公 式 可 知 10 2.1 9.如 图，在 直 三 棱 柱/8 C-4 8 c 中，AC=BC=应,4 c 8=90。.四=2,。为 的 中 点.（1）求 证：G 平 面 8。；（2）求 异 面

36、 直 线 A C与*所 成 角 的 余 弦 值.（1）证 明 见 解 析；2（2）.【分 析】（1）设 C/与 4 c 的 交 点 为 E,连 接。,由 三 角 形 中 位 线 定 理 可 证 得 D E，小、,从 而 可 得 ACXH 平 面 CDB、.（2）由 可 得 NCED为 G 与 8 c 所 成 的 角（或 其 补 角），在 中，解 三 角 形 可 求 得 cos/C E O,即 为 所 求.【详 解】（1）证 明：设 G 8与 耳 的 交 点 为 E,连 接 O E,四 边 形 8 C C 4为 正 方 形,二 E 是 8 G 的 中 点,又。是 Z 8 的 中 点,.057/4

37、 G又 DE u 平 面 CDB,“弓 仁 平 面。4,平 面。与 解：OE G.NCED为 G 与 4 c 所 成 的 角（或 其 补 角）.在 S E 中,ED=；AC、=母,CD=；AB=1,CE=；CB=牛 cos ZCED=C E D E Z-C D?2C E D E2 异 面 直 线 A C与 Bc所 成 角 的 余 弦 值 为 3.20.“学 习 强 国”学 台 是 由 中 宣 部 主 管，以 深 入 学 习 宣 传 为 主 要 内 容，立 足 全 体 党 员，面 向 全 社 会 的 优 质 平 台，现 日 益 成 为 老 百 姓 了 解 国 家 动 态，紧 跟 时 代 脉 搏

38、的 热 门 APP,某 市 宣 传 部 门 为 了 解 全 民 利 用“学 习 强 国 了 解 国 家 动 态 的 情 况，从 全 市 抽 取 2000名 人 员 进 行 调 查，统 计 他 们 每 周 利 用“学 习 强 国 的 时 长，下 图 是 根 据 调 查 结 果 绘 制 的 频 率 分 布 直 方 图.频 率（1）根 据 上 图，求 所 有 被 抽 查 人 员 利 用“学 习 强 国”的 平 均 时 长 和 中 位 数：（2）宣 传 部 为 了 了 解 大 家 利 用“学 习 强 国”的 具 体 情 况，准 备 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 8,1。）和 110,12）组

39、 中 抽 取 50人 了 解 情 况，则 两 组 各 抽 取 多 少 人？再 利 用 分 层 抽 样 从 抽 取 的 50入 中 选 5 人 参 加 一 个 座 谈 会，现 从 参 加 座 谈 会 的 5 人 中 随 机 抽 取 两 人 发 言，求 11012）小 组 中 至 少 有 1人 发 言 的 概 率？20（1）平 均 时 长 为 6.8,中 位 数 为 p _ 7 在 艮 I。）和 口 0,12）两 组 中 分 别 抽 取 30人 和 20人，概 率 一 历【分 析】（1）由 频 率 分 布 直 方 图 计 算 平 均 数，中 位 数 的 公 式 即 可 求 解；（2）先 根 据 分

40、 层 抽 样 求 出 每 一 组 抽 取 的 人 数，再 列 举 抽 取 总 事 件 个 数，从 而 利 用 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 即 可 求 解.【详 解】（D 解：（1）设 被 抽 查 人 员 利 用“学 习 强 国”的 平 均 时 长 为 三，中 位 数 为 V,x=0.05x1+0.1x3+0.25x5+0.3x7+0.15x9+0.1x11+0.05x13=6.8,被 抽 查 人 员 利 用“学 习 强 国”的 时 长 中 位 数 满 足 3+/+2 5+5 X（）=05,20y 解 得 3,20即 抽 查 人 员 利 用“学 习 强 国”的 平 均 时 长 为 6

41、.8,中 位 数 为 5.解：区 10）组 的 人 数 为 2000 x0.15=300人，设 抽 取 的 人 数 为 a,口 12）组 的 人 数 为 2000 x0.1=200人，设 抽 取 的 人 数 为 6,a _ b _ 50则 荻 一 丽 一 丽，解 得 a=30,6=20,所 以 在 区 1）和 I），12）两 组 中 分 别 抽 取 3（）人 和 20人，再 利 用 分 层 抽 样 从 抽 取 的 50入 中 抽 取 5 人，两 组 分 别 抽 取 3 人 和 2 人，将 81）组 中被 抽 取 的 工 作 人 员 标 记 为。，b,c,将 I1 1 2）中 的 标 记 为 人

42、，B,则 抽 取 的 情 况 如 下：死 可，S,以，用，W 团,效，以，步，身,俗,团，匕 4,为，阴 共 i o 种 情 况，其 中 在“1 2）中 至 少 抽 取 1人 有 7 种,故 所 求 概 率 尸 一 历.2 1.为 迎 接 冬 奥 会，石 家 庄 准 备 进 行 城 市 绿 化 升 级，在 矩 形 街 心 广 场”8 8 中，如 图,其 中 Z8=400m,8 c=3 0 0 m,现 将 在 其 内 部 挖 掘 一 个 三 角 形 空 地。夕。进 行 盆 景 造 型 八 APDQ=-设 计，其 中 点 尸 在 8 c 边 上，点。在 边 上，要 求 3.（1）若 0=6=1 0

43、 0 m,判 断）尸。是 否 符 合 要 求，并 说 明 理 由；设 N 8 P=e,写 出 AOP。面 积 的 S关 于。的 表 达 式，并 求 S的 最 小 值.（1）不 符 合 要 求，理 由 见 解 析.12。（2-8）（平 方 米）【分 析】（1）由=CP=1百 米，得 到 8 0=3 百 米，8P=2 百 米，求 得 尸。，。尸,在 AP。中，由 余 弦 定 理 求 得 cos 的 值，即 可 求 解.I TZ.ADQ 0 c d c（2）因 为/8 尸=夕，得 到 6,进 而 得 出。尸。的 面 积，结 合 三 角 函 数 的 性 质，即 可 求 解.【详 解】（1）解：由 题

44、意，某 城 市 有 一 矩 形 街 心 广 场/B C O,其 中 4 8=4 百 米，8 c=3百 米，现 将 在 其 内 部 挖 掘 一 个 三 角 形 水 池 DPQ进 行 盆 景 造 型 设 计，Z-PDQ-其 中 点 P 在 8 c 边 上，点。在 边 上，要 求 3 且 N=CP=1百 米，可 得 8。=3百 米，8尸=2 百 米，所 以 尸。=如,。=JT 6,力 尸=J17,而 产+（布）而 7 1 Rcos Z.PDQ=，一 q-=cos 在。尸。中，可 得 2xV17xV10 V170 2 3,所 以 AP。不 符 合 要 求.冗 TTZPDQ=-AADQ=-0 解：因 为

45、 NC P=e 且 3,可 得 6所 以 所 以 OPQ的 面 积 为：c1 CD M.乃 G 400 300 3000073S=-D P。s m=x-x-7-T=-7-2 3 4 COS。n/)1/)1cos-8 cos 夕 cos-8(6)6)fcos 0 cos(-0)=cos(cos+sin 0)=cos2 6+sin 夕 cos Q又 因 为 6 2 2 2 2V3 1+COS2。1.I V3.c a 兀、,6 12 2 4 4 2 3 4 2,所 以 腔 24000073-360000,即 S 的 最 小 值 加 百 一 行)平 方 米 2 2.如 图，在 直 角 梯 形/8CO

46、中，AB/D C,4 BC=90。,AB=2DC=2BC,E 为 力 3 的 中 点，沿 E将 折 起，使 得 点 A 到 点 尸 的 位 置，且 尸“为 尸 B 的 中 点，N 是 8 c 上 的 动 点(与 点 8,C 不 重 合).(1)证 明：平 面 E W 平 面 P 8 C：(2)是 否 存 在 点 N,使 得 二 面 角 8-E N-M 的 正 切 值 为 石？若 存 在，确 定 N 点 位 置；若 不 存 在，请 说 明 理 由.(1)见 解 析(2)存 在，N 为 8 c 的 中 点，【分 析】(1)由 已 知 可 得 尸 平 面 E8C。，则 P E L 8 C,则 有 8

47、 c L 平 面 尸 E 8,所 以 B C L E M,而 E M 工 PB,所 以 平 面 P 8 C,再 由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 证 得 结 论，(2)假 设 存 在 点 N 满 足 题 意，过 用 作 2 EB于,过。作 Q R E N 于 尺，连 接 MR,可 证 得 为 二 面 角 8-E N-的 平 面 角，不 妨 设 PE=EB=BC=2,则“0=1,则 由 R t/B V s R t 而,可 得 RQ=.X,4+x，再 由tan Z M R Q=避=”=也 R Q*可 求 出 x 的 值，从 而 可 确 定 出 点 N 的 位 置【详 解】证 明：因 为

48、PELED,PEL EB,EBCED=E,所 以 P E L 平 面 EBCD,因 为 8 C u 平 面 E 8 8,所 以 PEJ.BC,因 为 BCLEB,EBCPE=E,所 以 8 c l 平 面 尸 E 8,因 为 E M u平 面 尸 E 5,所 以 8 C 1 E M,因 为 PE=EB,PM=M B,所 以 因 为 B C n P 8=S,所 以 E M,平 面 P 8 C,因 为 E A/u平 面 EMN,所 以 平 面 E M V,平 面 P 8 C,(2)假 设 存 在 点 N 满 足 题 意，如 图，过 作 于。，因 为 P E L E B,所 以 产 初|板，由(1)

49、知 P E L平 面 E 8 8,所 以“0，平 面 砌 8,因 为 E N u平 面 E8C。，所 以“。上 及 V,过 Q 作 Q R 1 E N 于 R,连 接 M R,因 为 0 c R=。，所 以 N _ L平 面 M Q?,因 为 M Ru平 面 0?,所 以 E N L M R,所 以 N R 为 二 面 角 8-四 _的 平 面 角，不 妨 设 PE=EB=BC=2,贝 ij M 0=1,在 RtAfBN中，设 8N=x(0 c x 2),因 为 RtEBNsRSERQ,BN EN所 以 RQ EQ,登 三 RQ=所 以 RQ 1，得 V 4+x2,tan Z.MRQ=也=+、=旧 所 以 RQ x,解 得 x=le(0,2),即 此 时 N 为 的 中 点，综 上，存 在 点 N,使 得 二 面 角 8-EN-M 的 正 切 值 为 石，此 时 N 为 BC的 中 点,关 键 点 点 睛：此 题 考 查 面 面 垂 直 的 判 定，考 查 二 面 角 的 求 法，解 题 的 关 键 是 通 过 过 M 作 于 0,过。作 QREN 于 R,连 接,结 合 已 知 条 件 证 明 出/加 夫。为 二 面 角 5一 百 V-也 的 平 面 角，再 根 据 题 意 求 解，考 查 数 形 结 合 的 思 想，属 于 较 难 题