2023年1011数学分析1期末试卷参考超详细解析超详细解析超详细解析答案及评分标准格式B.pdf

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1、 数学分析 1 课程试卷（B）参考答案及评分标准 第 1 页 共 5 页 中国计量学院 2010 2011 学年第 1 学期 数学分析 1 课程 试卷（B）参考答案及评分标准 开课二级学院：理学院，学生班级：10 级信算 1-3 班、数学 1 班，教师：曹飞龙，罗先发，袁玉波，马满军 一、求下列极限（24 分）1.(6 0 4)3 213 41(lim)1)(3 2 3 4(lim)2 3 2 4(lim分）分）（分 解：原式=+=+=+n n n nn n n nn n nnnn 分）（分分 解：原式6 2)4(,4 4182lim)3(4 48 2lim)2(8 2lim.222222=+

2、=+=x xxx xx xxx xxxx 分）（分 解：原式6 1tanlimarctanlim)3(,tanarctanlimtanarctanlim.3022022020=xxxxxxxxx xxx xxx 分）（原式分，令 解：原式6.1,102)2(lim12.211lim)3(1)21(lim lim),21(,)21()21(1lim)21(lim.402200 000=yxxxxxxxInInyxxIn Inyxyxxx xx xxxxxx 数学分析 1 课程试卷（B）参考答案及评分标准 第 2 页 共 5 页 二.(9 分)指出下面函数的间断点并说明其类型：+在0 x=处连续性

3、与可导性。解(0)0 f=Q 且 0 01lim()lim sin 0(0)x xf x x fx=（2 分）()f x在0 x=处连续。（4 分）又 0 0 01sin 0()(0)1(0)lim lim limsin0 x x xxf x fxfx x x=Q（6 分）而 01limsinxx 不存在()f x在0 x=处不可导。（9 分）四.(10 分)设1 1210,(2)(0),3n nnax x x a n Nx+,证明数列 nx收敛并且求其极限值.证明：由10 x 可知0,.nx n N 则有.,)(31332 21N n axax xxax x xnn nnn n n=+=+（

4、3 分）且3 312 2 22 3 1(2),2,3,.3 3 3n nn n nn n nx a x ax x x nx x x+=+=（5 分）数学分析 1 课程试卷（B）参考答案及评分标准 第 3 页 共 5 页 从而数列 nx递减有下界必定收敛。（6 分）可记limnnx x=，在递推关系式两端同时令n 有21(2)3ax xx=+解得3 x a=，即3 lim.nnx a=（10 分）五.(8 分)求函数xx f=11)(带拉格朗日余项的麦克劳林公式.解:之间。与 位于 其中劳林公式为 带拉格朗日预想的麦克分分），则x xnnxnnx x x fx fnf f f fxnxnx fx

5、 x x fx x x fx x fnnnn nnnnn nnnnnnn n0,)1(2)!1(!)!1 2()1(2!)!1 2()1(.2!23 1211)()()5(,2!)!1 2()1()0(,.,23 1)0(,21)0(,1)0()4(,)1(2!)!1 2()1()1(2)1 2(5 3 1)1()(,.,)1(23 1)1()1)(1(23(21)()1(21)1)(1)(21()(,)1()(123 211 221)(221 2121 21)(25225232321+=Q（8 分）六.(32 分)判断与证明题 1.极限)cos11(limxxx+是否存在?若存在,求出极限值

6、;若不存在,说明理由.(9 分)解 极限不存在（3 分）Q 取2nx n=，则1 1 1sin sin 22 2n nnx nxx n n+=+=lim1(sin)nxnxx+=lim102xn=（6 分）取22nx n=+，则 1 1 1sin sin 122 22 2nnxxn n+=+=+数学分析 1 课程试卷（B）参考答案及评分标准 第 4 页 共 5 页 得 1 1lim(sin)lim(1)122nn nnxxn+=+=+（9 分）由归结原理可知，原极限不存在。2.叙述函数)(x f在点0 x处连续的定义及在开区间),(b a内连续的定义,并证明下面命题:在若对任何充分小的,0 函

7、数)(x f在区间,+b a上连续,能否由此推出)(x f在区 间),(b a内连续并予以证明.(9 分)解：c 设函数)(x f在某)(0 x U内定义。处连续。在 则称 若0 0)().()(lim0 x x f x f x fx x=（2 分）d）内连续。在（则称）内的每一点都连续。在区间（若函数 b a x f b a x f,)(,)(3 分)e 证明：分）（分分）且（则 令7.2 2)6(,2 25,0,2,2 min).,(00 0000 0000 00 0 xx b x bb bxa x a xa ax b a xb a x+=所以).,(,0 0 0b a b a x+连续。

8、在 上连续，所以 在 由已知条件，0 0 0)(,)(x x f b a x f+）内连续。在（的任意性，证得 又由 b a x f x,)(0（9 分）3.设函数)(x f为定义在)(00 x U+上的单调有界函数,则右极限)(lim0 x fx x+存在.(6 分)证明：不妨设)(x f在)(00 x U+上递增。因)(x f在)(00 x U+上有界。由确界原理，)(inf)(00 x fx U x+存在，记为 A。（1 分）下面要证A x fx x=+)(lim0。0，由下确界定义，)(00 x U x+，使得+=x x，则由)(x f的递增性，对一切);(),(000 x U x x

9、 x+=，有+A x f x f)()(。（4 分）另 一 方 面，由 于)(x f A，更 有)(x f A。从 而 对 一 切);(00 x U x+有+A x f A)(。所以A x fx x=+)(lim0。（6 分）数学分析 1 课程试卷（B）参考答案及评分标准 第 5 页 共 5 页 4.证明不等式aa babba b ln，其中.0 b a(8 分)证明：令Inx x f=)(，（2 分）而Inx在 a,b 连 续，在（a,b）内 可 导，所 以 由 Lagnange 中 值 定 理，使得),(b a).(1a b Ina InbabIn=（6 分）又.0 b a 所以.1 1

10、10a b（8 分）aa babInba b 即 七.(8 分)叙述区间套概念、区间套定理并利用区间套定理证明下面命题：设函数,)(b a C x f 且)(x f在,b a上处处取极值,证明)(x f必为常数.解：c.,0)(lim)ii(,.;2,1,i,1 1是一个区间套 则称）（具有如下性质：设闭区间列n nn nnn n n nn nb aa bn b a b ab a=+（2 分）d,.2,1,.,2,1,=n b an b a b an nn n n n 即，使得 数系中存在唯一的一点 是一个区间套，则在实 若.),()()()()()(0)(21)(;,)(,421)()()(

11、)(),(,).()().()(),(,)(1 11 1 2 2 1 2 2 11 2 2 1 2 2 1 11 1 1 1 1 1N n b f a f b f a f iiin a b a b iiN n b a b a ib aa b a b b f b f a f a fb b a a b a b f a fb f a f b a b a b a b a x fn n n nnn nn n n nn n=+严格递减，且有 严格递增，而满足 列 如此反复，得出闭区间分）（且使 的介值性可找到 利用闭区间上连续函数 不妨设使得 上不恒为常数，则至少 在 证明：用反证法。若分）。（的局部极值点，故矛盾 不是 可见 同时成立使得 一存在 由闭区间套定理可知唯8)(.),()()(),(lim lim,0 00 0 x f x N n b f x f a fb a x b a b a xn nnnnnn n=