2021-2022学年四川省达州市高一（下）期末数学试卷（理科）（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学 年 四 川 省 达 州 市 高 一（下）期 末 数 学 试 卷（理 科）一、单 选 题(本 大 题 共 12小 题，共 60.0分)1.已 知 集 合 4=x|-2 c x 5,B=x|-3%3,则 A n B=()A.-3,-2,-1,04,2,3,4 B.-1,0,1,2,3)C.-3,5)D.(-2,32.三 个 实 数 sinlOO。，coslOO。，仇 3的 大 小 关 系 是()A.sinl000 coslOO0 ln3 B.coslOO0 ln3 sinl00C.coslOO sinl00 ln3 D./n3 coslOO0/35.直 线(a l)x(Q+l

2、)y+2=0恒 过 定 点（）A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1,-1)rx+2 06.己 知 实 数,y满 足，y-2,则 l)2+(y-1）2的 最 小 值 是（）lx 4-y 4-2 0A.2 B.2V2 C.V10 D.3V27.若 向 量 五=（久,1）,石=（一 4,2）且 五 与 石 的 夹 角 是 锐 角，则 实 数 x的 取 值 范 围 是（）A.（-8,勺 B.C.（一 8,-2）U（-2,1 D.（-8,-2）u（-2,i）8.函 数 y=（2*-2 r）cos6x的 图 象 大 致 是（）9.10.B.A.已 知 4(0,2),8(2,1),过 点

3、 C(l,0)且 斜 率 为 4 的 直 线 I与 线 段 4 B 有 公 共 点，则 k的 取 值 范 围 是()A.-2,1C.(-2,1)B.(-00,-2)U(l,+oo)D.(00,2 U 1,+00)函 数/(X)=Asin(2x+p)(0 p 0的 解 集 是()A.(-oo,-l u 0,1 B.-1,1C.(8,-lu(0,1 D.-1,0)U(0,112.如 图，一 束 光 线 从 扇 形 0 A B 的 弧 凝 上 的 C 点 出 发，经 该 扇 形 半 径 两 次 反 射 用 时 105s后 第 一 次 回 到 C 点.已 知 乙 40B=60,如 果 光 源 C沿 介

4、 顺 时 针 移 动 io-8s后 到 达 G点，那 么 光 线 从 Q出 发 再 经 该 扇 形 半 径 两 次 反 射 后 第 一 次 回 到 G 所 用 的 时 间 为()A.s B.用 2D.1 x 10-7s第 2 页，共 14页二、填 空 题(本 大 题 共 4 小 题，共 20.0分)13.直 线 y=x+m 的 倾 斜 角 为.14.在 直 角 坐 标 系 中，若 4(2,1),B(l,2),C(0,y)(yCR),则|4C|+|BC|的 最 小 值 是 15.在 数 列 即 中，i=2,0n+i-an=2(n+1),则 a6=16.如 图，已 知。是 边 长 为 6cn的 正

5、 方 形 ABC。的 中 心，质 点 Pi从 点 4 出 发 沿 4-D-C-B方 向，同 时 质 点 2也 从 点 A 出 发 沿 4-B-C T C 方 向 在 该 正 方 形 上 运 动，直 至 它 们 首 次 相 遇 止.若 质 点 Pi的 速 度 为 2cm/s,质 点 P2的 速 度 为 lcm/s,则 西 万 玛 的 最 小 值 为.三、解 答 题(本 大 题 共 6 小 题，共 70.0分)17.已 知 直 线 I经 过 点 P(2,4).(1)若 点 Q(l,l)在 直 线，上，求 直 线，的 方 程；(2)若 直 线，与 直 线 4x-3y=0垂 直，求 直 线 I的 方

6、程.18.已 知 向 量 沆=(cosx,sinx),n=(sinx,y/3sinx)函 数/(x)=2 沅 元 一 百.(1)求/(x)的 最 小 正 周 期 7；(2)当 0 W x W 兀 时，求 f(x)的 零 点 和 单 调 递 增 区 间.19.(1)已 知 x 3,求 x+会 的 最 小 值；(2)已 知 x0,y 0,且 3x+2y 1=0,证 明：4.20.在 ABC中，角 4,B,C所 对 的 边 长 分 别 为 a,b,c,且 亚 生 等=sinA b+c(1)求 角 C的 大 小；(2)若 6=苧，c=4,求 ABC的 周 长.21.已 知 正 项 等 比 数 列 an

7、 中，%+3=3 0,%+5=270.(1)求 数 列 an 的 通 项 公 式；(2)记 匕=07110g3%1，求 数 列 九 的 前 几 项 和 5n.22.在 ABC中，角 4 B,C所 对 的 边 长 分 别 为 a,b,c(b=2 k,k W N)函 数 f(x)=20cos2%+3acosx 5在 区 间(0,/nr)上 有 9 个 零 点.(1)求 a,b的 值；(2)若 cosBW：,求 c的 取 值 范 围.8第 4 页，共 14页答 案 和 解 析 1.【答 案】D【解 析】解：；A=x|-2 久 5,B=%|-3 x 3,A C B=(-2,3.故 选：D.根 据 已

8、知 条 件，结 合 交 集 的 定 义，即 可 求 解.本 题 主 要 考 查 交 集 的 运 算，属 于 基 础 题.2.【答 案】C【解 析】解：因 为 100是 第 二 象 限 的 角，所 以 c o s l0 0 0,0 s in l 0 0 Ine=1,所 以 cosl00 0 s讥 100 1 Zn3.故 选：C.根 据 三 角 函 数 的 基 础 知 识 与 常 见 对 数 值，采 用 中 间 值 法，可 得 coslOO。0 sinlOO0 1 1 3,得 解.本 题 考 查 三 角 函 数 值 与 对 数 值 的 大 小 比 较，熟 练 掌 握 三 角 函 数 在 各 象 限

9、 的 符 号，常 见 对 数 值 是 解 题 的 关 键，考 查 运 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.3.【答 案】D【解 析】解：由 于 数 列 为 等 差 数 列，所 以 S“=17a9=51.故 选：D.直 接 利 用 等 差 数 列 的 性 质 和 等 擦 汗 数 列 的 求 和 公 式 的 应 用 求 出 结 果.本 题 考 查 的 知 识 要 点：等 差 数 列 的 性 质，等 差 数 列 的 求 和 公 式，主 要 考 查 学 生 的 运 算 能 力 和 数 学 思 维 能 力，属 于 基 础 题.4.【答 案】B【解 析】解：在 力 BC中，AB=4,AC=3,cos

10、A=由 于：0 力 兀，所 以 力=%所 以 S“B C=；X 4 X 3 x 4=3 故 选：B.直 接 利 用 三 角 函 数 的 值 cos4=求 出 4 的 值，进 一 步 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 的 应 用 求 出 结 果.本 题 考 查 的 知 识 要 点：三 角 形 的 面 积 公 式，三 角 函 数 的 值，主 要 考 查 学 生 的 运 算 能 力 和 数 学 思 维 能 力，属 于 基 础 题.5.【答 案】A【解 析】解：直 线(a-1)%一(a+l)y+2=0,整 理 得 a(%-y)-(%+y+2)=0；故 知:L，解 明；，故 恒 过 定 点 故 选

11、：A.根 据 直 线 的 方 程，建 立 二 元 一 次 方 程 组，再 求 出 定 点 的 坐 标.本 题 考 查 了 直 线 横 过 定 点 问 题，考 查 了 方 程 思 想，属 于 基 础 题.6.【答 案】B【解 析】解：J(x 1)2+一 1)2的 几 何 意 义 为 可 行 域 内 的 点 P(x,y)到 点 4(1,1)的 距 离,如 图 所 示，点 4到 直 线 x+y+2=0的 距 离 d=史 萨=2夜，由 图 知，|P4|d=2V2,所 以+(y 1尸 的 最 小 值 是 2夜.故 选：B.收 一 1)2+(y-1)2的 几 何 意 义 为 可 行 域 内 的 点(x,y

12、)到 点(1,1)的 距 离,再 结 合 点 到 直 线 的 距 离 公 式，即 可 得 解.第 6 页，共 14页本 题 考 查 简 单 的 线 性 规 划 问 题，理 解 目 标 函 数 的 几 何 意 义 是 解 题 的 关 键，考 查 数 形 结 合 思 想，逻 辑 推 理 能 力 和 运 算 能 力，属 于 基 础 题.7.【答 案】D【解 析】解:.向 量 益=(%1),方=(一 4,2)且 五 与 方 的 夹 角 是 锐 角,a 0 且 区 b的 夹 角 不 为 黑:泮，解 得 一 坦 2,故 实 数 x的 取 值 范 围 为(-8,-2)U(-2,1).故 选：D.由 己 知

13、条 件 可 得，a-b 0,且 方 花 的 夹 角 不 为 0,列 出 算 式，即 可 求 解.本 题 主 要 考 查 数 量 积 表 示 两 个 向 量 的 夹 角，属 于 基 础 题.8.【答 案】C【解 析】解：函 数 y=(2*-2T)cos6x,可 知 函 数 是 奇 函 数，排 除 A、B；当=1时，/(I)=(2|)cos6 0,排 除 D.故 选：C.利 用 函 数 的 奇 偶 性 排 除 选 项，结 合-1)判 断 即 可.本 题 考 查 函 数 的 图 象 的 判 断，利 用 函 数 的 奇 偶 性 以 及 特 殊 点 的 位 置，判 断 函 数 的 图 象,是 常 用 方

14、 法.9.【答 案】D【解 析】解：要 使 过 C的 直 线 与 直 线 48有 交 点 只 需 找 到 直 线 AC、BC的 斜 率，根 据 题 意，kAB=2 fcfiC=1根 据 倾 斜 角 与 斜 率 的 关 系 系，过 C的 直 线 倾 斜 角 只 需 要 介 于 直 线 BC和 直 线 AC之 间 即 可，本 题 选：D.本 题 考 查 利 用 平 面 内 两 点求 直 线 的 斜 率 以 及 直 线 的 倾 斜 角 与 直 线 斜 率 的 关 系，只 需 求 出 两 种 临 界 情 况 注 意 倾 斜 角 与 斜 率 的 关 系，特 别 是 倾 斜 角 为 90度 时.10.【答

15、 案】B【解 析】解：由 题 意 知，4=2,/偌)=0，所 以 sin(2 号+8)=0,即 j p=/c7T 詈，k G.Z,因 为 0 W 0,则 区 间(-8,-1 和 口,+8)上,f(x)0和 f(x)=5(乳。或 肠 二。，据 此 分 析 可 得 答 案.本 题 考 查 函 数 单 调 性 和 奇 偶 性 的 综 合 应 用，涉 及 不 等 式 的 解 法，属 于 基 础 题.12.【答 案】C第 8 页，共 14页【解 析】解：设 扇 形 的 半 径 为 R，圆 弧 上 任 意 一 点 C经 过 该 扇 形 半 D径 两 次 反 射 后 回 到 原 来 C点，光 线 所 走 的

16、 距 离 长 度 为 定 值，理 由 如 下：过 点 C作 CE垂 直 0 4,垂 足 为 M,且 CM=M E,过 点 C作 CD d.0 B于 点 N,且 CN=D N,连 接 0 E,0 D,D E,则 0。=0E=R,且 W O B=4 B O C,/.EOA=ACO A,则 NDOE=60 x 2=1 2 0,故。E=y/OD2+O E2-2OD-OEcosl200=WR,因 为 点 C具 有 任 意 性，所 以 光 线 从 C i出 发 再 经 该 扇 形 半 径 两 次 反 射 后 第 一 次 回 到 G 所 用 的 时 间 也 是 1 0 f s,故 选：C.作 出 辅 助 线

17、，得 到 圆 弧 上 任 意 一 点 C经 过 该 扇 形 半 径 两 次 反 射 后 回 到 原 来 C点，光 线 所 走 的 距 离 长 度 为 定 值，从 而 得 到 正 确 答 案.本 题 考 查 了 扇 形 弧 长 的 应 用，属 于 中 档 题.13.【答 案】4【解 析】解：设 直 线 的 倾 斜 角 为 a,a e 0,7r).：tana=1,n二 Q=一.4故 答 案 为：设 直 线 的 倾 斜 角 为 a,a e 0,7i),则 tana=1,即 可 得 出.本 题 考 查 了 直 线 的 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系、三 角 函 数 求 值，考 查 了 推 理 能

18、力 与 计 算 能 力，属 于 基 础 题.14.【答 案】V10【解 析】解：点 B Q 2)关 于 y轴 的 对 称 点 为 夕(一 1,2),由 对 称 性 可 知，|AC|+BC=AC+BC AB=7(2+l)2+(1-2)2=V10.当 且 仅 当 A,C,B三 点 共 线 时，等 号 成 立，所 以|4C|4-出 C|的 最 小 值 是 J I U.故 答 案 为：V10.写 出 点 B关 于 y轴 的 对 称 点 夕，根 据“将 军 饮 马”的 原 理，可 得 MC|+|B C|N|4 B|,再利 用 两 点 间 距 离 公 式，即 可 得 解.本 题 考 查 直 线 中 的 对

19、 称 问 题，两 点 间 的 距 离 公 式，理 解“将 军 饮 马”的 原 理 是 解 题 的 关 键，考 查 逻 辑 推 理 能 力 和 运 算 能 力，属 于 基 础 题.15.【答 案】42【解 析】解：由 题 意，臼=2,a2-a1=4,a6-a5=12,所 以+。5。4+。2+%=2+4+12=-X(2+12)=42.故 答 案 为：42.根 据 题 意 可 知 的=2,a2%=4,a6-a5=12,从 而 利 用 6=a6-a5+a5-a4+。2-%进 行 求 解 即 可.本 题 考 查 累 加 法，考 查 学 生 逻 辑 推 理 和 运 算 求 解 的 能 力，属 于 基 础

20、题.16.【答 案】一 称 O【解 析】解：以 4为 原 点，如 图 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，则 由 已 知 得：4(0,0),0(3,3),B(6,6),C(6,6),)(0,6),显 然 2t+t=4 x 6=24,t=8,故 0 t 8,当 te 0,3时，Pi(o,2t),P2 c 0),则 两 理=(-3,2t-3)(t-3,-3)=18-93 显 然 t=3时,原 式 取 得 最 小 值-9；当 te(3,6)时,Pi(2t-6,6),P2c 0)，则 西 西=(2t-9,3)-(t-3,-3)=2t2-15t+18=2(t-y)2-y,显 然 t=字 时，原 式 取

21、得 最 小 值 一 个；4 8当 t 6,8时,Pi(6,18-2t),P2(6,t-6),则 西 西=(3,15 2t)(3,t 9)=一 2(9 2+半，显 然 t=6时，原 式 取 得 最 小 值 0；综 上 可 知，原 式 的 最 小 值 为：-2.O故 答 案 为：O建 立 平 面 直 角 坐 标 系，表 示 出 涉 及 到 的 各 点 的 坐 标,然 后 分 t e 0,3.t e(3,6),t e 6,8,第 1 0页，共 1 4页写 出 西 西 的 式 子，分 别 求 出 最 小 值，小 中 取 小.本 题 考 查 坐 标 法 在 几 何 问 题 中 的 应 用，侧 重 考 查

22、 了 数 量 积 的 运 算，属 于 中 档 题.17.【答 案】解：(1)直 线 Z经 过 点 Q(l,l)和 点 P(2,4),则 直 线 l的 斜 率%=分=3,故 直 线，的 方 程 为 y-1=3(x-1),即 y=3x 2.(2)直 线，与 直 线 4x-3y=0垂 直，二 可 设 直 线，的 方 程 为 3x+4y+m=0,:直 线 I过 点 P(2,4),二 3x2+4x4+zn=0,解 得 m=-22,直 线/的 方 程 为 3x+4y-22=0.【解 析】(1)根 据 已 知 条 件，结 合 直 线 的 斜 率 公 式，求 出 斜 率 般 再 结 合 直 线 的 点 斜 式

23、 公 式，即 可 求 解.(2)根 据 已 知 条 件，结 合 直 线 垂 直 的 性 质，以 及 直 线/经 过 点 P(2,4),即 可 求 解.本 题 主 要 考 查 直 线 的 斜 率 公 式，以 及 直 线 垂 直 的 性 质，属 于 基 础 题.18.【答 案】解：(1)v m=(cosx.sinx),n=(sinx,y/Ssinx)/(x)2m-n y/3 2sinxcosx+2V3sin2x V3=sin2x+V3(l cos2x)V3=sin2x y/3cos2x=2sin(2x；),故 f(%)的 最 小 正 周 期 为 T=y=7T.(2)令 f(x)=2sin(2%勺=

24、0,即 2%一=兀，k E Z,解 得=+三，k E Z,3 3 2 6V 0 X 7T,/(%)的 零 点 为 3和 弓,令 2kji 2x 2kn+与，k E Z,解 得 k/r%fc/r 4-,k Z,N 3 N 12 12v 0 X 7T,./(X)的 单 调 递 增 区 间 为 0,部 詈，d【解 析】(1)根 据 已 知 条 件，结 合 向 量 的 数 量 积 公 式，以 及 三 角 函 数 的 恒 等 变 换，求 出 f(x)=2sin(2x-,再 结 合 周 期 公 式，即 可 求 解.(2)令 x)=2sin(2x-9=0,即 2%-?=卜 兀，k e Z,再 结 合 x的

25、取 值 范 围，即 可 求出/(X)的 零 点，再 结 合 正 弦 函 数 的 单 调 性，即 可 求 解.本 题 主 要 考 查 平 面 向 量 的 数 量 积 公 式，以 及 三 角 函 数 的 恒 等 变 换，属 于 中 档 题.19.【答 案】解：(1)由 题 干 可 知 x 3,故 x-2 1,原 式 变 形:x+=x-2+2 6+2=8.当 且 仅 当 尢-2=白，解 得 大 病 x=5时，取 到 等 号.X-2所 以 x 最 小 值 8.x-2(2)由 题 干 知 x 0,y 0,3x+2y 1=0,变 形 得 至“3%+2y=1.则 原 式 变 形:+4=邑+卜)义 1=邑+9

26、 3+2)=1+祟+捺+G 2+当 且 仅 当 名=充 时，即 y=g x=f 寸 取 等 号，所 以 W+/2 4成 立.【解 析】(l)x+W 可 化 为-2+白+2,再 由 基 本 不 等 式 求 其 最 值.X L X z(2)由 条 件 可 得*+点=(5+J(3 x+2 y),结 合 基 本 不 等 式 完 成 证 明.本 题 主 要 考 查 基 本 不 等 式 的 简 单 应 用，属 于 基 础 题.2 0.【答 案】解：(1)；2：=合,由 正 弦 定 理 得 二=三 二 sinA b+c a b+c a(b-a)=(Z?+c)(b c),即 M+b2 c2=ab,由 余 弦

27、定 理 得 cosC=M+i=3,2ab 2*C 6(0,7T),C=,；(2).b=随，c=4,C=g,.由 正 弦 定 理 得 s in B=竺 好=M x 3 x 1=l,v 7 3 3 c 3 2 4IT B G(0,7T),8=2，：a bcosC=x-=史 Q+b+c=4V3+4,3 2 3即 48C的 周 长 为 48+4.【解 析】(1)根 据 正 弦 定 理 可 将 已 知 条 件 化 为 中=黑，即 a2+b 2-c 2=a b,进 而 可 求 出 cosC的 值，即 可 得 角 C的 大 小；(2)由 已 知 可 得 sinB=1,即 可 得 B=会 由。=bcosC可

28、得 a的 值，即 可 得 周 长.第 1 2页，共 1 4页本 题 考 查 了 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 的 应 用，属 于 中 档 题.21.【答 案】解：（1）设 正 项 等 比 数 列 8 工 的 公 比 为 q（q。），因 为&+g=30,g+5=270,则 由 4-arq2=30,arq2+arq4=270,解 得 Qi=3,q=3,所 以 即=3n；（2）由（1）=3%所 以 由 bn=anlog3azi得 bn=n 3n,所 以%=l 3+2 32+3 33+n 3n,.3s九=1 32+2 33+3 34+九 3n+i,（2）一 得 一 2szi=3+32+33+3一

29、 九 3n+1,所 以 及 二 生*型，即 数 列 3 的 前 n项 和 Sn=侬-1)3心 3.【解 析】(1)设 正 项 等 比 数 列 册 的 公 比 为 q(q 0),根 据%+a3=30,a3+a5=270,利 用 等 比 数 列 通 项 公 式 的 基 本 运 算 求 解；(2)由=(nlogsOn得 bn=n 3”,利 用 错 位 相 减 法 求 解.本 题 考 查 了 等 比 数 列 的 通 项 公 式 以 及 错 位 相 减 法 求 数 列 的 前 n项 和 的 问 题，属 于 基 础 题.22.【答 案】解：(1)设 cosx=t,则 由 余 弦 函 数 的 性 质 可 得

30、 一 1 t 0,所 以 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根，分 别 设 为 亢，t2,解 得 t1t2=-；，不 妨 假 定 右 0 t2,当 0 一 1时,可 得 0 t2 1也 与 己 知 不 符，舍 去，当 1 h 0 t2 1时，方 程 cosx=与 方 程 cosx=12在 区 间(。，。兀)(。=2k,k GN*)上 解 的 个 数 之 和 是 偶 数，与 已 知 不 符，舍 去，当=1时，2=%即 COSx1=1时，C0S%2=1，根 据 曲 线 y=COSX,可 得 方 程 COS%=一 1与 COST=1在 区 间(O,b7T)(b=2kfk G N*)上 解

31、的 个 数 之 和 为 9,则 b=6当 12=1时，1=一，即 COS2=1时，cosxr=一$根 据 曲 线 y=COSX,可 得 方 程 cos%=1与 cos%=在 区 间(0/几)3=2左 女 乂*)上 解 的 个 数 之 和 是 偶 数，与 已 知 不 符，舍 去，所 以 b=6,此 时 一 1+：=噂，解 得 a=5.(2)因 为 Q=5,b=6,cosB 所 以 在 ABC中，由 余 弦 定 理 得 cosB=寸 丫 心 2=二 62 w 工,解 得 0 b a=1,所 以 c的 取 值 范 围 是(1,4.【解 析】(1)换 元 后 得 到 20t2+3如 一 5=0有 两 个 不 等 实 根,结 合 两 根 之 积 为 负 得 到 G 0 t2,对 两 根 范 围 进 行 分 类 讨 论，得 到=-1,t2=i,即 cos/=-1,cosg=；满 足 要 求，根 据 零 点 个 数 得 到 b=6,a=5,即 可 得 解.(2)根 据 第 一 问 求 出 的 6=6,a=5,利 用 余 弦 定 理 得 到 c的 取 值 范 围.本 题 考 查 了 余 弦 函 数 的 性 质 以 及 余 弦 定 理 在 解 三 角 形 中 的 应 用，考 查 了 分 类 讨 论 思 想 和 方 程 思 想 的 应 用，属 于 中 档 题.第 14页，共 14页