高等数学同济第七版第三章课后习题答案解析.pdf

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1、第 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 习 题 3-微 分 中 值 定 理 值 1.验 证 罗 尔 定 理 对 函 数 V=Insin x 在 区 间 专.旬 上 的 正 确 性.证 函 数/=lnsinx在 隋，铝 上 连 续,在 信 用 内 可 导，又 A i)=lnsi f=y.AT)=,nsinT=lnT*即 L=4)，故/(为 在/引 上 满 足 罗 尔 定 理 条 件，由 罗 尔 定 理 知 至 少 存 在 一 点).(=4/-5/+X-2 在 区 间 0,1 上 的 正 确 性.证 函 数/(*)=4/-5/+工-2 在 区 间 10,1】上 连 续，在(0,

2、1)内 可 导，故/(*)在 P.1 上 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 条 件,从 而 至 少 存 在 一 点 fw(0.1),使/)又,由/(f)=12f2-10f+1=0 可 知 f=3 e(0),因 此 拉 格 朗 日 中 值 定 理 对 函 数=4/-5/+x-2 在 区 间 0,1 j上 是 正 确 的.值 3.对 函 数/(工)=sir x 及 F(x)=x+cos x 在 区 间 0 上 验 证 柯 西 中 值 定 理 的 正 确 性.证 函 数/(*)=sin x,F(x)=x+cos x 在 区 叫(),日 上 连 续，在(0,朗 内 可 导，且 在(0,内 产(x

3、)=I-sin工#0,故/(x)、F(x)满 足 柯 西 中 值 定 理 条 件，从 而 至 少 存 在 一 点 门(0,引,使88 一、高 等 数 学(第 七 版)上 册 习 题 全 解 亍)-/(0)_/,(6)F 0-F(0)由 I-0 _ cos fIT.1-sin g,T-1cos y+sin 彳 a&_ 4 _即-=三;，可 得 tan 彳=-.所 以.=2n ir+2arctan-.ill 题 设，cos 与-s in 与 2 21r 宣 取=0,得 品=2arclan-因 故 品=2arclan(-j e(，：)因 此 柯 西 中 值 定 理 对/(x)=sin x,F(x)=

4、.t+cos i 在 区 间 0.；I：是 正 确 的.a 4.试 证 明 对 函 数 尸 px2+的+应 用 拉 格 朗 口 中 值 定 理 时 所 求 得 的 点 f 总 是 位 于 区 间 的 正 中 间.证 任 取 数 值,不 妨 设“鼠 函 数/()=p”+r 在 区 间 明 从 上 连 续.在(a 5)内 可 导.故 由 拉 格 朗 H 中 值 定 理 知 至 少 存 在 点 f w(明 人，使/()-/()即 pM+qb+r-pa?-qa-r=(2吒+q)(b-a).经 整 理 得 f=与 发.即 所 求 得 的 f 总 是 位 于 区 间 的 正 中 间.值 5.不 用 求 出

5、 函 数/(x)=(x-I)(x-2)(、-3)(x-4)的 导 数,说 明 方 程/(#)=0 有 几 个 实 根，并 指 出 它 们 所 在 的 区 间.解 函 数/(4)分 别 在 1.2 2在,3,4 上 连 续，分 别 在(1.2).(2,3).(3.4)内 可 导 且/=2)=/(3)=/(4)=0,由 罗 尔 定 理 知 至 少 存 在 占(1 2)&(2.3).(3,4).使/(f l)=/(&)=/(/)=。即 方 程/(X)=0 至 少 有 三 个 实 根,乂 方 程/(X)=0 为 三 次 方 程.故 它 至 多 疔.个 实 银,因 此 方 程/(，)=0 有 且 仅 有

6、 三 个 实 根，它 们 分 别 位 于 区 间(1,2).(2.3),(3.4)内.团 6.证 明 恒 等 式：arcsin x+ar-os x=：(-I W K W I).证 取 函 数/(4)=arcsin x+arccos x,.v e-I.I.14故/(4)m C.取，=。，得/(。)=C=.因 此第 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 89arcsin x+arccos x=,x e-1,1.t ii 7.若 方 程+a/-+a.jX=0 右 一 个 正 根 x=*(,证 明 方 程 aonx+a!(0-l)x T+a“_|=0 必 有 一 个 小 于 X。的

7、正 根.证 取 函 数/(x)=aox+UjX-1+a”_ 产./(x)在(),%上 连 续,在(0,x()内 可 导，且/(0)=/(沏)=0,由 罗 尔 定 理 知 至 少 存 在 一 点 e(0,如)，使/(，)=0,即 方 程 aon*+i1(n-I)x 2+a._=0 必 有 一 个 小 于 的 正 根.值 8.若 函 数/(X)在(a.6)内 具 有 二 阶 导 数.且/(A)=/(x2)=/(打)，其 中 a*1*2 盯 b.证 明:在(X|,巧)内 至 少 有 一 点 人 使 得/()=0.证 根 据 题 意 知 函 数/(#)在 函 1,出,X2#3 上 连 续，在(航，叼)

8、，(*2，叼)内 可 存 且/(A)=/(X,)=/(Xj)，故 由 罗 尔 定 理 知 至 少 存 在 点-e(2)益 e(*2),使/(G=/(&)=o.乂/(x)在 却 上 连 续.在(A,&)内 可 导.故 由 罗 尔 定 理 知 至 少 存 在 点 f 6(却.八)/，0,I,证 明：-6-6).证 取 函 数/(x)=工./(X)在 M.a 上 连 续.在()内 可 导.111拉 格 朗 日 中 值 定 理 知,至 少 存 在 一 点 f e(鼠 a),使 f(a)-/(*)即 a-6=n f*1(a-h).乂 0 1.故 0 A-1 f-因 此 n b-(a-b)n-(a-6)n

9、 a-(a-h),即 n t-(a-6)a-fc 6 0.证 明:证 取 函 数/(x)=ln x j(z)在,“上 连 续，在(6,a)内 可 导，由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 知，至 少 存 在 一 点 f w(6,a),使 即 In a-In b=-(-b).乂 故 因 此 C f la-l a-b a-b-z：-一,证 明 F 列 不 等 式:90 一、高 等 数 学(第 七 版)上 册 习 题 全 解(1)I arrlan a-arctan/I I a-6 1；(2)当 4 1 时.e-x.证(1)当。二 分 时，显 然 成 立.当 a W 6 时，取 函 数/(x):arcl

10、an x./(x)在 a,6或 6,上 连 续，在(a,)或(b,a)内 可 导，由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 知，至 少 存 在 一 点 f e(a.b)或(6,a),使/()/(6)=/(5)(-6),即 air tan a-arctan b=-(a-6).故 I arctan a-arctan b I=-1 a-bl W I a-bl.1+，2(2)取 函 数/(，)=/./(，)在 1,工)上 连 续.在(1.x)内 可 导.由 拉 格 朗 H 中 值 定 理 知，至 少 存 在 一 点 f e(1.*),使/(x)-/(I)=/(f)(x-l).即 e*-e=e，(:r-l).

11、又.1 e.因 此 e*-e e(x-1),即/刀 e.Si 1 2.证 明 方 程*s+x-l=0 只 有 一 个 正 根.证 取 函 数/(*)=/+X-1 J U)在 0,1 上 连 续，/(0)=-I 0.由 零 点 定 理 知,至 少 存 在 点 盯 e(0,1).使/)=0.即 方 程.一+.r-I=0 在(0.1)内 至 少 有 一 个 正 根.若 方 程 X+X-I=0 还 仃 一 个 正 根*2,即/(*2)=0,则 由/(X)=V5+-I 在 0 1,*2卜 或 盯 山)上 连 续,在(A,*2)(或(打 间)内 可 导.知/(*)满 足 罗 尔 定 理 条 件.故 至 少

12、 存 在 点 f e(工|/2)(或(打，,)，使/=0.但/，)=5尸+1 0,矛 盾.因 此 方 程/+X-1=0 只 有 一 个 正 根.国 13.设/(*)*(*)在.6 上 连 续，在(a.b)内 可 导.证 明 在(*6)内 有 一 点 使/()/()ZJ、/(。)Z,(f)=(b-a).()g(b)g(a)(f)证 取 函 数 F(x)=,由/(x),g(x)在,川 上 连 续.在(。J)内 g(a)g(x)可 导 知 F(i)在。上 连 续，在(。5)内 可 导，由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 知,至 少 存 在 一 点 C(5).使 F(6)-F(fl)=r(f)(6-a

13、).BP尸=/()f(b)g()g(b)/()/()号(=)g(。)=0.r(x)o/(x)()A(.c)/()/(x)_/(a)/(A)g(a)K(X)()*(X)第 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 91故/(a)f(b)f(a)/(f),、g(a)g(b)g(a)禺)值 14.证 明：若 函 数/(x)在(-8,+8)内 满 足 关 系 式/(*)=/(%),且/(0)=1,则 f(x)=eM.证 取 函 数 F(x)=3,因 e/_/(，)/-/(x)e*-f(x)=0故 F(x)=C.又 广(0)=C=/(0)=1,因 此 尸(x)=1 1.故/(x)=e*.值

14、 7 5.设 函 数)=/(、)在 x=0 的 某 邻 域 内 具 有 阶 导 数，且/(0)=/r(0);/一)()=0.试 用 柯 西 中 值 定 理 证 明：X证 已 知/(X)在*=0 的 某 邻 域 内 具 有 n 阶 导 数，在 该 邻 域 内 任 取 点 x,由 柯 西 中 值 定 理 得/(x)/(x)-/(0)(如)丁 一 x-0 唱 一 其 中 占 介 于 0.工 之 间.乂/(一)/(后)喈 丁-n(f；*n(n-D f；2其 中 分 介 于(),却 之 间.依 此 类 推.得 一”工)尸 7(品 n!f.-l-!(f.-i-0)!其 中 品 介 于 0 t 之 间，记

15、2=M 0 I),因 此&1 用 洛 必 达 法 则 求 卜 列 极 限：(4)92 一、高 等 数 学（第 七 版）上 册 习 题 全 解.In s in xh m-T;TT-2 x)2In ta n 7 x物 而 mr n(6)lim:-(#0)；xn-an(8)limta n xta n 3 x(7)a rc c o t x(I I)lim x c o l 2 x；i 0(1 5)lim x*in*；(4)s in 3 x.3 cos 3 x 3lim r=h m-=-,Ia n 5 x 5 s e c*5 x 5(5)l i m-,T(In s in xi r-2 x)IT-2 x)(

16、-2)=-lim、.q 4(“-2 x)-esc x-8(6)xmlim.m xm=h m-n xn(7)-seclu n l xh m-：-l x-7s e c 7a 7 s e cfc2.r-2Ian 2 x2 x s e c27 x 7,=In n；,=1.-o 7.r s e c*2 x 2.ta n xlim-，.泮 n 3 xs s r c c v 2.A r c o s23 A-6 r o s 3 x s in 3.vh m-=b in、=h m x 3 s e 5 3 x.J c o s x.-O ro s x s in x.cos 3 x-3 s in 3 x,=-In n-

17、=-h m-；-=3.cos x 一 乜-s m x94 一、高 等 数 学（第 七 版）上 册 习 题 全 解 注 在 用 洛 必 达 法 则 求 极 限 时,除 了 注 意 用 洛 必 达 法 则 对 极 限 类 型 等 的 要 求 以 外，还 要 注 意 求 极 限 的 过 程 中 合 理 地 应 用 欢 要 极 限、等 价 无 穷 小、初 等 变 换 等 方 法.以 使 运 算 过 程 更 快 捷、简 洁.E 2.验 证 极 限 lim上 口 存 在.但 不 能 用 洛 必 达 法 则 得 出.X证 由 于 lim；叱=lim：丝，不 存 在.故 不 能 使 用 洛 必 达 法 则 来

18、 求 此 极 限,但 并 不 表 明 此 极 限 不 存 在.此 极 限 可 用 以 下 方 法 求 得：H l 3.验 证 极 限 linv.-土 存 在,但 不 能 用 洛 必 达 法 则 得 出.sin xI.*c I I x s m I Z xsm-cos 证 由 于 lim g=lim-L 不 存 在.故 不 能 使 用 洛 必 达 法 则 o(sin x)cos x来 求 此 极 限,但 可 用 以 下 方 法 求 此 极 限：2-1x sin lim；-=liinf-7,xsin=lim-；X-,limxsin=I*0=0.0 sin x sin x x i s i n x 1

19、x图 4.讨 论 函 数 I e,xWO在 点 x=0 处 的 连 续 性.而 r(|,呷 三 二 解 lim/-(.t)=lim _=e-.0 x e j第 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 95=lim-r77-r=-，句 2(1+4)2故 又 lim x)=lime-f=c T/(0)=e 7.t-0-0,因 为 电/(*)=中/(x)=/(0),故 函 数/(x)在 x=0 处 连 续.泰 勒 公 式 按(x-4)的 幕 展 开 多 项 式/(外=/-5/+/-3.解 因 为/(X)=4/-1 5/+2x=1 2/-30 x+2,J(x)=24X-3 0,/4,(

20、X)=2 4./(1)=0(n 5)./(4)=-5 6./(4)=21 J(4)=7 4,(4)=6 6./4,(4)=24.故 2 2.x4-5x3+x:-3 x+4=/(4)+/，(4)(x-4)+-C L L(X_4)2+y p(x-4)J+尸：；4)(一 4)=-56+21(X-4)+3 7(X-4)2+11(X-4)3+(X-4)应 用 麦 克 劳 林 公 式，按 X的 器 展 开 函 数/(%)=(/-3#+l)3.解 f(x)=x6-9/+3 0/-4 5/+3 0/-9 x+1,/(*)=6x5-4 5/+120/-135/+60*_9f(x)=3 0/-l80 xJ+3 6

21、 0/-270*+60.f(x)=1 20/-5 4 0/+720X-270,/4,(x)=3 6 0/-)080 x+720,/5,(x)=720 x-I 080./6,(x)=720./n,(x)=0(2 7),故 为 3./(0)=1,/(0)=-9,/(0)=60,/()=-270./4,(0)=720,/51(0)=-I 080,/6,(0)=720,（x2-3 M+1）,=/（0）+/），+等 2+攀;娱，+竽/+瞥 J=1-9x+3 0/-4 5/+30J-9/+x6.求 函 数/（工）=按（x-4）的 解 展 开 的 带 行 拉 格 朗 H 余 项 的 3 阶 泰 勒 公 式.

22、一、高 等 数 学(第 七 版)上 册 习 题 全 解 解 因 为/(X)=6/(4)4、，(兀)=:N 七 2 4 8/4,(x)=_ 掺/7(4)=2,/(4)=；./-(4)=_ 1 广(4)=袅 10 4 32 Z J O故 4=/(4)+(4)(M-4)+管(*-4/+,学(工-4/+1(x-4)4=2+4-(X-4)-(X-4)2+-1 Z(X-4)34 04 31215384f7?(x-4)其 中 f 介 于 无 与 4 之 间.普 4.求 函 数/(#)=l n x 按(x-2)的 藏 展 开 的 带 右 佩 亚 诺 余 项 的 n 阶 泰 勒 公 式.解 因 为.七)=(一)

23、?,二.二 守 3.故 In x=/(2)+/(2)(x-2)+(,-2)2+P*(x-2)3+经”(x-2)”+o(x-2)-几！=l n 2+-(x-2)-(X-2)2+(X-2)3+-+(-l)*-1-(x-2)+o(x-2).n 2&5 求 函 数/(x)=!-按(x+1)的 居 展 开 的 带 有 拉 格 朗 H 余 项 的 n 阶 泰 勒 公 式.X解 因 为 故-=/(-1)+/(-1)(1)+/)(一 1尸+x 2!3!尸)()“+a-nJ(n+1)!=-+(-)+(-1)2)(-i)z其 中 f 介 于“与-I 之 间.2 6.求 函 数/(1)=la n的 带 右 做 亚

24、诺 余 项 的 3 阶 麦 克 劳 林 公 式.解 因 为/(x)=tan x,f(x)=sec2.t,/*(x)=2sec2.vtan x.第 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 97/*(x)=4sec2xtan2x+2sec4x,/4)(x)=8srr.ilan3x+8sec4xtan x+8se?4xtan x-8sec2.rtan3.r+!6sec4xtan x8(sin2x+2)sin x二 C O S 5 X，/(0)=0/(0)=(0)=0/(0)=2,J故/(x)+o(x3).4 7.求 函 数/(*)=*/的 带 右 佩 比 诺 余 项 的 阶 麦 克

25、劳 林 公 式.解 因 为/()=趾/)()=(+工)/(见 习 题 2-3,1 1(4)，)(0)=：,故 xe*=/(0)+/，(0)x+#(0)/+#)(0)/+。(”)2 8.验 证 当 O v x W!时.按 公 式 e，=l+x+!计 算 e”的 近 似 值 时，所 产 生 的 误 L L o差 小 于 0.0 1,并 求，的 近 似 值,使 误 差 小 于 0.01.证 设/(*)=e*,则，”(0)=1,故/(x)=e 的 三 阶 麦 克 劳 林 公 式 为 e*=l+x+苏+,+方,其 中 介 于 0 与 x 之 间.按 e，=1+x+1 计 算 十 的 近 似 值 时.其

26、误 差 为(x)l=*/.4!当 0 彳 这 时.0 f,I&(#)I W 丁!(；)85so.004 5 0.01,+T+T(T)+T(T)，e!L645-&9.应 用 三 阶 泰 勒 公 式 求 卜 列 各 数 的 近 似 值，并 估 计 误 差：(1)沟；(2)sin 18.解(】)因 为/(X)=力+4=(1+X)工 T(T-)2-A)(卜 2)3 2!3!一、高 等 数 学(第 七 版)上 册 习 题 全 解 其 中 f 介 于。与 X 之 间.故 沏=万。=3 j l T g 3 1+.9 T H 2+*()卜 3.10724.误 差 介 于 0 与 9 之 间，即 0&(*)=5

27、 W 介 于。与 舌 之 间，故 sin 18 咤 飞-昂 司=0.3090.旧 小 围；2.5 5 x 1 0 9sin/f+IT）注 利 用 小（x）=4!卜 可 得 误 差 1%1 士 士 信 I.3 x 10-4.10.利 用 泰 勒 公 式 求 下 列 极 限:(1)Hm()/+3/-/，-2-)；解（1）lim（万+3-2/）(2)(3)第 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 99lim.+ln(l-x)=linr1-0lim/X4，)-4!8x4+o(x4)y*4+。(“4)1+-yX2 7、+/lim1-X It1 21+TX1+2 22+o(x4)=lim

28、i012X1 2+-7-11_ L。(/)2 X41T211-y x2+o(x2)-1-x2+o(x2)lx2+o(x2)&1 判 定 函 数/(x)=arctan x-x 的 单 调 性.解/(，)=丁 三-1=-7 J w O 且/(x)=0 仅 在，=0 时 成 立.因 此 函 数 I+Y I+4”/(x)=arctan x 7 在(-oo,+8)内 唯 训|减 少.&2.判 定 函 数/(I)=4+C)8 4 的 单 调 性.100 一、高 等 数 学(第 七 版)上 册 习 题 全 解 解/(4)=1-sin xNO,且 当 4=2mr+y-(n=0,1.2,)时,/(x)=0.nf

29、以 看 出 在(-8,+8)的 任 有 限 子 区 间 上，使/(x)=0 的 点 只 有 有 限 个.因 此 函 数 八 X)=4+COS X 在(-8,+8)内 单 调 增 加.&3.确 定 下 列 函 数 的 单 调 区 间：Q(1)y=2/-6x2-18*-7；(2)y=2x+(x 0)；X(4)y=ln(x+/1+r(5)y=(x-l)(x+l)3；(6)y=/(2x-a)(a-x)2(a 0)；(7)y=xe,(0,xN0)；(8)y=x+Isin 2x1.解(1)函 数 的 定 义 域 为(-8,+8),在(-8.+8)内 可 林，且 y*=6x-12x-18=6(.r-3)(.

30、r+l).令=0.得 驻 点 X,=-1,叼=3.这 两 个 驻 点 把(-8,+8)分 成 三 个 部 分 区 间(-8,-1,3 3,+8).当-8 X-1 及 3X+8 时 因 此 函 数 在(-X.-I.3,+8)上 单 调 增 加；当-I 工 3 时，0.因 此 函 数 在-1,3 上 单 调 减 少.(2)函 数 的 定 义 域 为(0,+8),在(0,+8)内 可 导.且 刍 2.?-8 2(x-2)(.1 4-2)令 y=0.得 驻 点 勺=-2(舍 去).=2.它 把(0.+8)分 成 两 个 部 分 区 间(0.2,2.+8).当 0 x 0,因 此 函 数 在(0.2上

31、单 调 减 少：当 20.因 此 函 数 在 2,+8)上 单 调 增 加.(3)函 数 除*=0 外 处 处 可 导,且(4.F-9 1+6.*尸 令=0,得 驻 点 A=9,2=1.这 两 个 驻 点 把 区 间(-8.0)及(0.+8)分 成 四 个 部 分 区 间(-8.0),(0.y.y.l,l,+x).当-8 X0.0X-,l X+8 时.,，0.因 此 函 数 在(-8.0).(O.g.1,+8)内 单 调 戒 少；:X 0,因 此 南 敢 住 上 单 阀 增 加.(4)函 数 住(-8.+8)内 可 导.f I第 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 101因

32、 此 函 数 在(-8,+8)内 单 调 增 加.(5)函 数 在(-8.+3 C)内 可 导.且=0.得 驻 点=-I,X2=T，这 两 个 驻 点 把 区 间(-8,+8)分 成 三 个 部 分 区 间(-8,-1,-l.y&y,+x).当-H X 0.因 此 函 数 在(-x,上 单 调 减 少；当 1 X+8 时,0,因 此 函 数 在(，+8)上 单 调 增 加.(6)函 数 在 A=y.x2=处 不 可 导 且 在(-8.T)1(y,o),=0.得 驻 点 打 吟,这 个 驻 点 及，叼=把 区 间(-8,+8)分 成 四 个 部 分 区 间(-8.U J，!卜,a,+*).当-/

33、x 及 Vx y,a x 0.因 此 函 数 在(-8,yj,+8)上 唯 调 增 加；当 与 0,因 此 函 数 在 信 明“上 单 调 减 少.(7)函 数 在；0.+8)内 可 导,且 y=nx-,e*,-xe-M=x-e*(n-x).令 y=().得 驻 点 A=，,这 个 驻 点 把 区 间 10,+8)分 成 两 个 部 分 区 间+8).当 0 x 时，0,因 此 函 数 在 10,“上 单 调 增 加；当 a x+8 时，0,因 此 函 数 在，+)上 单 调 减 少.(8)函 数 的 定 义 域 为(-8,+8),且 ITx+sin 2x,IT这 人 近 T T+-,y-x-

34、sin 2x.(=0.I,2.)，T T 一，.“IT+2 W(n+1)p102 一、高 等 数 学(第 七 版)上 册 习 题 全 解 1+2 cos 2x.Y 1-2 cos 2x,irn-rr x nir+,I T+x(n+l)7r(n=0.I,2,).令 y=o,得 驻 点 x=及*=+冷 按 照 这 些 驻 点 将 区 间(-B.+8)分 成 3 o下 列 部 分 区 间 nir.mr+-y J HIT+-y jnr+-y j.piir+-y,/nr+葛，宣+费(+I)irj(n=0,1,2,).当 IT J 0,因 此 函 数 在|TT,宣+上 单 调 增 加；当 时 0 因 此

35、函 数 在 E+1，+T 上 单 调 减 少；当 HIT+?X 0 因 此 函 数 在 宣+?.犷+ir 上 单 调 增 加；当“+著=/(#)的 图 形 如 图 3-I 所 示.则 号 函 数/(X)的 图 形 为 图 3-2 中 所 小 的 四 个 图 形 中 的 哪 个？(A)(B)图 3-2(C)(D)第 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 103解 由 所 给 图 形 知,当 x 0 时，随 着 x 增 大,=/(%)先 单 调 增 加，然 后 单 调 减 少，再 单 调 增 加,因 此 随 着 x 增 大,先 有/()才 0,然 后/(#)W0,继 而 又 有/

36、(、)分 0.故 应 选(D).岳 5.证 明 下 列 不 等 式：(1)当 X 0 时，1+-/1+x；(2)当 x 0 时，1+xln(x+/)J+/；(3)当 0 x 2x；(4)当 0 x x+y x3；(5)当 x4 时.2*x2.解(1)取/(，)=1+；，-/T T i j e 0,x.J=2v 2/FT=T 7=2-/7T+=7-0/e(0.x).因 此,函 数/(，)在 O.#上 单 调 增 加.故 当 x 0 时 J(K)/(0).即 1+；#-/I+X I+y-0-/I+0=0.亦 即 I+/m(X 0).(2)取/(/)=1+/(/“1+F)+/2J e o,x./()

37、=ln(r”+?)+-J-1-=ln(r 4/1+d)04 e(0,x)./1+?/1 7 7因 此，函 数/(，)在 O,X 上 单 调 增 加，故 当 X O 时,/(“)/(0),即 I+xln(x+J+.2)-+-2 I+0-1=0,亦 即 I+xln(x-h/1+x2)7、+/(x 0).(3)取/(%)=sin x+Ian x-2 x e/*(x)=cos x+sec2x-2,/(x)=-sin x+2sec2xtan x=sin x(2sec。-1)0,x e(0 j.因 此 J(x)在 0,力 上 单 调 增 加，故 当 x e(o,时,/(*)/(0)=0,从 而/(x)在

38、O.y 上 单 调 增 加，即/(*)/(0)=0,亦 即104 一、高 等 数 学（第 七 版）上 册 习 题 全 融 sin x+tan x-2x 0 e 0,j.所 以.sin x+tan x 2x.x e(0 j.(4)取/(*)=tan x-x-y x3,x g O.y l.f*(x)-sec2x-1-x2=tan2.r-x2=(tan x-x)(lan x+x).由 gr(x)=(tan x-x)*=sec2x-1=tarrx 0知 g(4)=tan x-x 在 O j 上 单 调 增 加，即 g(x)=tan x-x g(0)=0.故(4)0,.t 6(o.y).从 而/(x)在

39、 o,同 上 单 周 增 加 因 此/(x)/(0).4 E(0,).即 当 0%0.从 而 Ian x x+/卜)戈-=0./2 x 2 4故 当 x 4 时,/(x)单 调 增 加，从 而/(.*)/(4)=0,即 xln 2-2ln x 0.亦 即 r X2(X 4).国 6.讨 论 方 程 In x=a x(其 中 a 0)有 几 个 实 根?解 取 函 数/(1)=ln x-x.x e(O,+x)./，(“)=-a.x令/(*)=0,得 驻 点 x=1-.a当 0 x 0.因 此 函 数/(*)在(o.1,勺 单 调 增 加；当 r+X时 J(x)0,H|J 0 i,时,曲 线-=I

40、n v-a x与 x 轴 育 两 个 交 点.这 a a 第 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 105时,原 方 程 有 两 个 实 根.当 彳：）=In L-I；时.曲 线=加 x-X与#轴 没 有 交 点，这 时,原 方 程 没 存 实 根.Z 7.单 调 函 数 的 导 函 数 是 否 必 为 单 调 函 数？研 究 下 面 这 个 例 子：/（x）=x+sin x.解 单 调 函 数 的 导 函 数 不 定 是 单 调 函 数.例 如 函 数/（）=%+而 1,由 于/（*）=1+cos xNO,且/（）在 任 何 有 限 区 间 内 只 有 有 限 个 零 点.

41、因 此 函 数/（*）在（-X.+8）内 为 单 调 增 加 函 数.但 它 的 导 函 数/，（X）=I+4 在（-8.+8）内 却 不 是 单 调 函 数.设/为 无 穷 区 间,函 数/（*）在/上 连 续 内 可 导.试 证 明：如 果 在/的 任 一 有 限 的 子 区 间 上 2 0（或/（动&0）,且 等 号 仅 在 有 限 多 个 点 处 成 立，那 么/（戈）在 区 间/上 单 调 增 加（或 单 调 减 少）.证 在/内 任 取 两 点/、勺.不 妨 设 X,/（阳）（或/（盯）0）;（4）y=xarclan x.解（1）y*=4-2x,/=-2 vO.故 曲 线 y=4

42、1 在（-oc,+x）内 是 凸 的.（2）y，=ch x=sh x,令 yn=0,x=0.当-x x 0 时.y”0,曲 线）二 sh x 在（-oc.0 上 是 凸 的.0 x+8 时.0.仙 线 y=sh x 在 0,+8）上 是 网 的.I 2 I（3）/=1-2.（x 0）故 曲 线 y=父+上 在（，+8）内 是 凹 的.x1 X X,A、,x”I 1+x2-x-2x 2 c（4）y=arctan x+-r,）=-r+-r-r-=-z-rr 0,I+/1+x2（1+x2）2（1+x2）2故 曲 线 y=xarctan 在（-,+oo）内 是 凹 的.医 10.求 卜 列 函 数 图

43、 形 的 拐 点 及 凹 或 凸 的 区 间：106 一、高 等 数 学（第 七 版）上 册 习 题 全 解(1)y=x3-5x2+3x+5；(2)y=xex；(3)y=(x+1)4+e1；(4)y=ln(x2+1)；(5)y=earr,an x;(6)y=x4(12ln x-7).解(1)y=3/-10 x+3,yw=6x-10,/=0 yx=y.当-8 时,y”0,因 此 曲 线 在 4,+8)上 是 凹 的.故 点 信.即 为 拐 点.(2)=e*-xe-*=(1-x)e-*./=-e-1+(1-x)(-ex)=e-,(x-2).令 八 0,得#=2.当-8 x 0.因 此 曲 线 在(

44、-x.2 上 是 凸 的；当 2 x 0,因 此 曲 线 在(2,+8)上 是 凹 的.故 点(2.：)为 拐 点.(3)/=4(x+1 尸+e*,=12(x+1尸+e*0,因 此 曲 线 在(-x,+8)内 是 凹 的，曲 线 没 有 拐 点.,2x 2(x2+1)-2x-2x-2(x-l)(x+l)(4)=T=FTTp=-E 7-令 y-=0,得 A=-1/2=L当-8 X-1 时 J”0,因 此 曲 线 在(-8.-1 上 是 凸 的；当-1 0,因 此 曲 线 在-1/)上 是 凹 的；当 1 x+8 时 j”0.因 此 曲 线 在(-8 口 上 是 凹 的；当;*+8 时.y0).X

45、令 y=0,得 X=l.当 0 x l 时/0,因 此 曲 线 在(0,1 上 是 凸 的；当 1 X0.因 此 曲 线 在 I+8)上 是 网 的.故 点(,-7)为 拐 点.1 1.利 用 函 数 图 形 的 凹 凸 性.证 明 F 列 不 等 式:第 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 107(I)；+)(x 0,)0,x#y.n 1)；*,X 1，(2)e-r(x#y);(3)xln x+yin y(x+)ln(x 0,y 0,x#y).证(1)取 函 数/(，)=，”，/(0,+8)./(，)=/，/(，)=n(n-l)r-2j G(0t+x).当 l时/(，)(

46、)./(0.+8),因 此/()=/在(0,+8)内 图 形 是 凹 的，故 对 任 何 x0,)0,无 六 力 恒 有 yl/(x)+/():叫 苫).即:(X+y)(妥(x0.y0,x#y,nl).(2)取 函 数/(r)=eiw(-=c,+8)./(,)=/(，)=e，0je(-,+).因 此/(，)=e在(-8,+8)内 图 形 是 凹 的，故 对 任 何 x,ye(-8,+8),x*y,恒 有 1/+/()4 号 卜 即；e丁(.r#y).(3)取 函 数/(!)=/In l,t e(0,+8),广(,)=In+1,/()=-J-0,)洌 妥 卜 即 1/1 I、x+y.x+y万(x

47、ln x+yln y)n-r,亦 即 4+yxln x+yin y(x+y)ln-(x#y).,12.试 证 明 曲 线”1 T 有 三 个 拐 点 位 于 同 一 H 线 上.X+1f,(x2+1)-2x(x-1)-x2+2x+I证=-=*+)2(-2x+2)(x2+1/-2(x2+i)-2x(-x2+2x+i)J-7 7 7 7?-=2?-6/_6x+2(一+1-108 一*高 等 数 学（第 七 版）上 册 习 题 全 解 2(*+1)一(2-&).(2+6)(*2+1)3令 y=0.得 X=-1.%=2-=2+万.当-8*-1 时.y”0,因 此 曲 线 在(-8,-1上 是 凸 的；

48、当-1 工-0,因 此 曲 线 在-1,2-4上 是 凹 的；当 2-万*2+0 时.y”0,因 此 曲 线 在：2-万,2+61:是 凸 的；当 2+夕 工”0,因 此 曲 线 在 2+Q,+8)上 是 凹 的.故 曲 线 有 三 个 拐 点,分 别 为(-1,-1).(2-；3.),(2+4.-7 州 4(2-。)/1 4(2+73)由 于 4(2-居 4(2+用 _ 12-#-(-1)2+4 一(-1)-4 故 这 三 个 拐 点 在 一 条 在 线 匕 Ea 13.问 a,b为 何 值 时,点(1,3)为 曲 线 y=ax+bx2的 拐 点？解 y=3a.t2+2bx,y=6ax+2%

49、=6(x+告).令)=0.得*,=-；.当-8 5 T 时，八。，因 此 曲 线 在（-8 得 上 是 凸 的;当 W+8 时，八。.因 此 曲 线 在 卜 城,+8）上 是 凹 的:当 飞=一 2 时-（J+，（-（=券 由 于，在*。的 两 侧 变 号,故 点（一 2 曲 线 的 惟.拐 点.从 而 要:使 点(1.3)为 拐 点,则 解 得，=-.b=.2b./-7=3,1272国 14.试 决 定 曲 线 y=.J+3 中 的 使 得 加-2 处 曲 线 行 水 平 切 线.(I,-10)为 拐 点.且 点(-2,44)在 曲 线 上.解 y1=3ax2+2bx+r,yM=6i.v+2

50、 b.根 据 题 意 有 y(-2)=44./(-2)=0.y(I)=-10./(I)=0,即第 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 1098+4/-2c+d-44,12a-4b+r=0.+/，+，/=1(),6+2 b=0.解 此 方 程 组 得 a=I J=-3,c=-24,d=16.j 1 5 试 决 定-3产 中 k 的 值.使 曲 线 的 拐 点 处 的 法 线 通 过 原 点.解 y=2k(x2-3)-2x=4h(J-3),=4*(/-3)+4fcr-2x=12A(x-I)(x+I).令=0,得 A=-l.*2=L当-8 r0,因 此 曲 线 在(-8.-1 上