2021-2022学年山西省吕梁市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

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1、2021-2022学 年 山 西 省 吕 梁 市 高 一 下 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 z=-+i2022-1.已 知 i 是 虚 数 单 位，若 复 数 i，则 复 数 Z的 虚 部 是（）A.-1 B.1B【分 析】由 题 可 得 z=-i-l,进 而 即 得.z=l+i=-i-l【详 解】V,-.z=-l+i,复 数 的 虚 部 是 1.故 选：B.2.下 列 说 法 正 确 的 是（）A.三 角 形 的 直 观 图 是 三 角 形 C.平 行 六 面 体 不 是 棱 柱 面 体 是 棱 台 AC.-i D.iB.直 四 棱 柱 是 长 方 体 D.两 个 平 面

2、平 行，其 余 各 面 是 梯 形 的 多【分 析】对 A,根 据 直 观 图 的 定 义 判 断；对 B,直 四 棱 柱 可 能 底 面 不 是 矩 形，结 合 长 方 体 定 义 即 可 判 断：对 C,结 合 棱 柱 定 义，平 行 六 面 体 是 四 棱 柱，即 可 判 断：对 D,结 合 棱 台 侧 棱 延 长 后 需 要 交 于 一 点，即 可 判 断【详 解】对 A,根 据 直 观 图 的 定 义，三 角 形 的 直 观 图 是 三 角 形，故 A 对；对 B,底 面 是 长 方 形 的 直 四 棱 柱 是 长 方 体，故 B 错；对 C,平 行 六 面 体 一 定 是 棱 柱，

3、故 C 错：两 个 平 面 平 行，其 余 各 面 是 梯 形 的 多 面 体，当 侧 棱 延 长 后 不 交 于 同 一 点 时，不 是 棱 台,故 D 错；故 选：A3.为 了 促 进 市 场 经 济 发 展，某 电 商 平 台 对 出 售 同 一 款 商 品 的 4 8 两 个 店 铺 进 行 网 络 调 查，其 中 甲，乙，丙，丁，戊 五 位 网 购 者 对 这 两 个 店 辅 服 务 态 度 的 对 比 评 分 图 如 图,则 下 面 结 论 正 确 的 是（）A.8 店 铺 的 得 分 总 高 于/店 铺 的 得 分 B.Z 店 铺 的 均 分 高 于 8 店 铺 的 均 分 C.

4、8 店 铺 的 中 位 数 小 于 4 店 铺 的 中 位 数 D./店 铺 的 得 分 更 稳 定 D【分 析】根 据 图 表 逐 项 分 析 即 得.【详 解】由 题 可 知/店 铺 的 得 分 是：5,6,6.5,7,8.8 店 铺 的 得 分 是 4,6,7,8,9.故 A 选 项 错 误；5+6+6.5+7+8 4+6+7+8+9N 店 铺 的 均 分 是 5 6.5,8 店 铺 的 均 分 是 5 6.8,故 B 选 项 错 误；工 店 铺 的 得 分 中 位 数 是 6.5,8 店 铺 的 得 分 中 位 数 是 7,故 C 选 项 错 误；由 图 可 知，/店 铺 的 得 分

5、较 为 集 中，8 店 铺 的 得 分 比 较 分 散，故 Z 店 铺 的 得 分 更 稳 定，故 D 正 确.故 选：D.4.抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 且 各 个 面 上 分 别 标 以 数 字 1,2,3,4,5,6 的 正 方 体 玩 具，设 事 件 A 为“向 上 一 面 点 数 为 奇 数”，事 件 B 为“向 上 一 面 点 数 为 6 的 约 数”，则 口/11的 为（）1 1 2 5A.3 B.2 C.3 D.6D【分 析】求 出 抛 掷 正 方 体 玩 具 的 试 验 的 基 本 事 件 总 数，事 件/U 8 包 含 的 基 本 事 件 数，再 利 用 古 典 概 率

6、 公 式 计 算 作 答.【详 解】抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 且 各 个 面 上 分 别 标 以 数 字 1,2,3,4,5,6 的 正 方 体 玩 具,向 上 一 面 的 点 数 为 一 个 基 本 事 件，基 本 事 件 总 数”=6,因 事 件 A 为“向 上 一 面 点 数 为 奇 数”，事 件 B 为“向 上 一 面 点 数 为 6 的 约 数”，/i n c 尸(/U 8)=则 事 件 Z U 8包 含 的 基 本 事 件 数 加=5,所 以 6故 选：D5.已 知 见 夕 是 两 个 不 同 平 面，/是 空 间 中 的 直 线，若 则“a J 尸,，是“/，的()A.充

7、分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 B【分 析】利 用 充 分 条 件、必 要 条 件 的 定 义，结 合 线 面 平 行、面 面 垂 直 的 判 定 推 理 判 断 作 答.【详 解】因/夕，则 存 在 过 直 线/的 平 面/有 7 c 4=厂，于 是 得/，而/a,则/L a,从 而 得 a 上 万,直 三 棱 柱 8 C-4 4 G,底 面 Z8C为 平 面 a,侧 面 为 平 面/，侧 棱”4 为 直 线 I,如 图，显 然 满 足/a,八。,而/u 夕 所 以，若 a,则 a 是“/”的 必

8、 要 不 充 分 条 件.故 选：B6.下 列 命 题 正 确 的 是()A,若 万=(T，2)5=M，1),且 皿,则 吁 B.若 必 1 艮 3*/1，则 反“不 共 线 c.若。民 是 平 面 内 不 共 线 的 向 量，且 存 在 实 数 y 使 得/+夕=y。8+,则 A,B,C 三 点 共 线D.若）=（T，1），很=（1，2）,贝 在&上 的 投 影 向 量 为 O 2C【分 析】利 用 向 量 垂 直 的 坐 标 表 示 可 判 断 A,利 用 向 量 共 线 定 理 可 判 断 B C,利 用 投 影 向 量 的 定 义 可 判 断 D.【详 解】若=（），且 反 尸=2,则

9、 加=士 亚，所 以 A 选 项 错 误；若 2 二 0 3=满 足 但 不 满 足,万 不 共 线，所 以 B 错 误；由+,衣 7 瓦+瓦，可 得 一 反、一 面），即 场=产，故 4 B,C三 点 共 线，所 以 C 正 确；若 4=（-1,1）/=（1,2）,在 在 不 上 的 投 影 向 量 为|6|cosa,6)=|6 I-1 1所 以 D 错.而 同=5故 选：C.7.已 知 图 为 棱 长 为。的 正 方 体，沿 阴 影 面 将 它 切 割 成 两 块，拼 成 如 图 所 示 的 几 何 体 8 C Q-/向 G A,则 异 面 直 线 0 8 与 8 c 所 成 角 的 余

10、弦 值 为（）C【分 析】平 移 8 c 到 4,连 接 4 8,则 4 Q 8 或 其 补 角 为 异 面 直 线。3 与 4 c 所 成 的 角.解 三 角 形 可 得.【详 解】解：新 几 何 体 是 平 行 六 面 体，如 图，平 移 4 c 到 4 0,连 接 4 8,则 D B 或 其 补 角 为 异 面 直 线 D B 与 4 c 所 成 的 角.在 三 角 形 中，4。=缶，4 8=,。8=技，所 以 三 角 形 为 直 角 三 角 形，cos AADB=T故 选：c.8.下 列 说 法 正 确 的 是()A.若 尸(4)0,尸(8)0,则 事 件 a 8 相 互 独 立 与

11、事 件 4 8 互 斥 不 能 同 时 成 立 B.若 事 件 Z,B,C 两 两 独 立 时，则 尸(4 8 C)=尸(P(8)P(C)C.互 斥 的 事 件 一 定 是 对 立 事 件，对 立 事 件 不 一 定 是 互 斥 事 件 D.事 件 4 与 事 件 8 中 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率 一 定 比 力 与 3 中 恰 有 一 个 发 生 的 概 率 大 A【分 析】利 用 互 斥 事 件 的 概 念 及 独 立 事 件 的 概 念 可 判 断 A B,利 用 互 斥 事 件 与 对 立 事 件 的 概 念 可 判 断 CD.【详 解】因 为 尸 若 事 件/,8 相

12、互 独 立，则 P(N8)=P(Z)尸(3)0,故 事 件 4 8 不 互 斥，若 事 件/,B 互 斥,则 尸(N8)=0,PG48)H P(Z)P(8),故 事 件 4,8 不 独 立，故 A 正 确；三 个 事 件/,B,C 两 两 独 立 能 推 出 尸(8)=尸(尸(8),且 尸(ZC)=P(/)P(C),且 P(BC)=P(B)P(C),但 是 推 不 出 PQBC)=P(A)P(B)P(C),比 如：从 1,2,3,4 中 随 机 选 出 一 个 数 字，事 件 上 取 出 的 数 字 为 1或 2.事 件 8：取 出 的 数 字 为 1或 3,事 件 C：取 出 的 数 字 为

13、 1或 4,则/8=/C=8C=/8 C 为 取 出 数 字 1,所 以 尸。)=P(B)=尸(C)=g,P()=P(4C)=P(BC)=P(ABC)=；满 足 P(/8)=尸(Z)P(8).且 尸(/C)=P(/)P(C),且 尸(8C)=P(8)尸(C),但 是 推 不 出 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),故 选 项 B 错 误；互 斥 的 事 件 不 一 定 是 对 立 事 件，对 立 事 件 一 定 是 互 斥 事 件，故 选 项 C 错 误；当 事 件 A 与 事 件 B 为 对 立 事 件 时，事 件 A 与 事 件 B 中 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率 与 4

14、与 B中 恰 有 一 个 发 生 的 概 率 相 等，故 选 项 D 错 误.故 选：A.9.为 庆 祝 神 州 十 三 号 飞 船 顺 利 返 回，某 校 举 行“特 别 能 吃 苦，特 别 能 战 斗，特 别 能 攻 关，特 别 能 奉 献”的 航 天 精 神 演 讲 比 赛，其 冠 军 奖 杯 设 计 如 下 图，奖 杯 由 一 个 半 径 为 6cm的 铜 球 和 一 个 底 座 组 成，底 座 由 边 长 为 36cm的 正 三 角 形 铜 片 沿 各 边 中 点 的 连 线 向 上 折 叠 成 直 二 面 角 而 成，则 冠 军 奖 杯 的 高 度 为（）cm.D EA.6+973

15、 B.6+1273 c.9+9 G D 9+1873C【分 析】/,B,C 在 底 面 内 的 射 影 为 M P 分 别 为 对 应 棱 的 中 点，可 得 AB=MN=-DF2,设 A/BC外 接 圆 圆 心 O,则 由 正 弦 定 理 可 得 半 径 r,利 用 勾 股 定 理 可 得 4/从 而 端 点 答 案.【详 解】Z,B,C 在 底 面 内 的 射 影 为，N,P 分 别 为 对 应 棱 的 中 点，AB=M N=-D F=-x36=9 2 4,./BC是 边 长 为 9 的 等 边 三 角 形，2r=7=6 力,r=3 百 V3 V3设 8 c 外 接 圆 圆 心 O,半 径

16、 r,贝 l j 2,=136-27=3,.=82-92=9。二。到 平 面。距 离=9 万，二 冠 军 奖 杯 的 高 度 为 6+3+9君=9+9 6，故 选：C.1 0.易 经 是 闸 述 天 地 世 间 关 于 万 象 变 化 的 古 老 经 典，如 图 所 示 的 是 易 经 中 记 载 的 几 何 图 形 八 卦 图.图 中 正 八 边 形 代 表 八 卦，中 间 的 圆 代 表 阴 阳 太 极 图，其 余 八 块 面 积 相 等 的 图 形 代 表 八 卦 田，已 知 正 八 边 形 Z 8 8 E P G”的 边 长 为 2&,点 尸 是 正 八 边 形/8CD EFG”的 内

17、 部（包 含 边 界）任 一 点，则 万 布 的 取 值 范 围 是（）A-472,472 B.-4 7 2,8+472 c 8-4也 8+4向 D-4 0,8-4 向 B【分 析】先 求 出 火 尸 在 方 向 上 的 投 影 的 取 值 范 围，再 由 数 量 积 的 定 义 求 出 万 刀 的 取 值 范 围 即 可.如 图，作 4 V G 4 的 延 长 线 于 M,3NJLOC的 延 长 线 于%,根 据 正 八 边 形 的 特 征，可 知 AM=BN=2,于 是 万 在 方 方 向 上 的 投 影 的 取 值 范 围 为-2,2及+2,结 合 向 量 数 量 积 的 定 义 可 知

18、，万 方 等 于 刀 的 模 与 万 在 方 方 向 上 的 投 影 的 乘 积，又 网=2/，二 而 万 的 最 大 值 为 2啦 x(2&+2)=8+4近,万 荏 的 最 小 值 为 2。(-2)=-4 近 则 存 的 取 值 范 围 是 4夜,8+4夜 故 选:B.11.半 正 多 面 体(semiregularsolid)亦 称“阿 基 米 德 多 面 体”，是 由 边 数 不 全 相 同 的 正 多 边 形 围 成 的 多 面 体，体 现 了 数 学 的 对 称 美.下 图 是 棱 长 为 近 的 正 方 体 截 去 八 个 一 样 的 四 面 体，得 到 的 一 个 半 正 多 面

19、 体，则 下 列 说 法 错 误 的 是()4乃 A.该 半 正 多 面 体 是 十 四 面 体 B.该 几 何 体 外 接 球 的 体 积 为 3C.该 几 何 体 的 体 积 与 原 正 方 体 的 体 积 比 为 5：6 D.原 正 方 体 的 表 面 积 比 该 几 何 体 的 表 面 积 小 D【分 析】由 题 意 求 该 凡 何 体 的 体 积 与 表 面 积，由 外 接 球 的 半 径 求 体 积，对 选 项 逐 一 判 断 即 得.【详 解】由 图 可 知 该 半 正 多 面 体 的 表 面 是 由 6 个 正 方 形 和 8 个 等 边 三 角 形 构 成，所 以 为 十 四

20、 面 体，该 半 正 多 面 体 是 十 四 面 体，故 A 正 确；该 几 何 体 外 接 球 的 球 心 为 原 正 方 体 的 中 心，故 外 接 球 半 径 为 1,外 接 球 的 体 积 为 故 B 正 确；5 r l4A/.Hr=喔 方 体 对 于 C,该 几 何 体 的 体 积=（四 一 8 T 器 X*半 正 方 体 体 积 为 2啦，故 该 几 何 体 的 体 积 与 原 正 方 体 的 体 积 比 为 5：6,故 C 正 确；对 于 D,该 几 何 体 有 6 个 面 为 正 方 形，8 个 面 为 等 边 三 角 形，5.=6 x l2+8 x xl=6+2V3124,即

21、 原 正 方 体 的 表 面 积 比 该 几 何 体 的 表 面 积 大，故 D 错 误.故 选：D.1 2.在 锐 角“8 C 中，角/,B,C 所 对 的 边 为 a,b,c,若。=。5皿 8,贝 iJtanN的 最 大 值 为（）3 4 5A.1 B.2 c.3 D.4C1 1,【分 析】先 由 正 弦 定 理 化 简 得 tanC tan5，结 合 基 本 不 等 式 求 得 tan 8 tan C N 4,再 由 正 切 和 角 公 式 求 解 即 可.详 解 在 4 8 C 中，a=csnB,所 以 s i n/=sinC sin8,又 s in/=s in（4+C）,整 理 得：

22、sin B cos C+cos 3 sin C=sin 8 sin C,1 1 i-1-=1又 s in S s in C H O,得 到 tanC tanfi,因 为 角/、B、C 为 锐 角，故 t a n/、ta n B、tan C 均 为 正 数，1 2 2 J-故 V tanB ta n C整 理 得 ta n 8 ta n C 2 4,当 且 仅 当 tan8=tanC=2时 等 号 成 立,tan 5+tan Ctan A=-tan(B+C)=-1-tan B tan C此 时-t-a-n-B-ta-n-C-=-1-1-tan 5 tan C】_ 1tan B-tan C,当 t

23、an8 tanC取 最 小 值 时，tan 8 ta n C取 最 大 值，tan8 ta n C取 最 小 值，故 1 1 4tan8 ta n C 的 最 大 值 为 3,4即 当 tan2=tanC=2时，tan”的 最 大 值 为 3.故 选：c.二、填 空 题 1 3.以 下 数 据 为 参 加 数 学 竞 赛 决 赛 的 15人 的 56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,9 8,则 这 15 人 成 绩 的 70%分 位 数 是.88【分 析】由 样 本 数 据 7。%分 位 数 的 定 义 即 可 得 出 答 案.【详 解】由 题 知

24、，该 组 数 据 从 小 到 大 排 列 为：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,且 15x70%=1 0.5,所 以 这 1 5人 成 绩 的 70%分 位 数 是 88.故 88.1 4.定 义：若/=4+历 3 6”则 称 复 数 z 是 复 数。+及 的 平 方 根.根 据 定 义，复 数-3+4 i的 平 方 根 为.1+2i,或 1 2i【分 析】设 复 数-3+4 i的 平 方 根 为 x+y i(x,y c R),则(x+yi=-3+4 i,化 简 后 利 用 复 数 相 等 的 条 件 可 求 出 X V的 值，从 而 可

25、 求 得 答 案【详 解】解：设 复 数-3+4 i的 平 方 根 为 x+y i(x j e R),则(x+yi)?=-3+4 i,化 为：x2-y2+2xyi=-3+4i.x2-y2=-3,2xy=4,解 得 x=l,y=2,或 x=-l/=-2.复 数-3+4 i的 平 方 根 为 l+2 i,或 一 l-2 i.故 l+2i,或-l-2 i.1 5.在“8 C 中，角 B,C 所 对 的 边 为 a,b,c,若 8=30。/=c=2,贝 的 面 积 为.石+1 6-12 或 2【分 析】由 正 弦 定 理 求 得 C,再 求 得 sin力，再 由 正 弦 定 理 求 得 然 后 由 三

26、 角 形 面 积 计 算 可 得.sinC-csinB _ 夜【详 解】解：由 正 弦 定 理：S m b-T,因 为 0 a 8=30。所 以 C=45。或 C=135当 0=45。时，sin A=sin(5+C)=sin(30+45)=sin 30 cos 450+cos 30sin 45=立 4,bsnA rr 1 G+la=-=V3+1 S=acsin B=-sin8,ABC 的 面 积 2 2,sin A=sin(5+C)=sinl65=sin 15=sin(45-30)=-当 C=135。时，4,a=-b-s-i-n-Z=V3r r 1,AA J.BaC SC=1 acsi-n B

27、D=-V-3-1sin 8 的 面 积 2 2,也+1-1所 以 0 8 C 的 面 积 为 一 万 一 或 W.6+1 下-1故 或 2.1 6.已 知 四 面 体 4 8 C O 的 所 有 棱 长 均 为 a,M,N 分 别 为 棱 4，8 c 的 中 点，F 为 棱“8 上 异 于/,8 的 动 点.有 下 列 结 论：线 段 仰 的 长 度 为 1.当 尸 为 棱 中 点 时，点 C 到 面 W N 的 距 离 为 5；+2 尸 N N 周 长 的 最 小 值 为 2.三 棱 锥 力-尸 的 体 积 为 定 值.其 中 正 确 结 论 的 序 号 为.【分 析】由 正 四 面 体 结

28、 合 勾 股 定 理 求 出 的 即 可 判 断；通 过 等 体 积 法 即 可 判 断;通 过 展 开 图 求 出“尸+所 的 最 小 值 即 可 判 断；由 也”为 定 值，点 F 到 平 面 A D C的 距 离 随 着 点 F 的 变 化 而 变 化 即 可 判 断.四 面 体 N8C。所 有 棱 长 均 为 血，.四 面 体 N8C。为 正 四 面 体,对 于，作,平 面 4 B C,垂 足 为 O,连 接/N,；四 面 体/8 C Q 为 正 四 面 体，.oA O=-A N为“8 C 的 中 心，.O e/N 且 3,M G/D O,M G=-DO取“中 点 G,连 接 M G,

29、则 2,则 M G 1.平 面 Z 8 C,.*2 1AO=GN=-A N=3 3,.板=；。0=；*后=?，/G,平 面 ABC,GN u 平 面 4 8。,M N=-+-=.-M G 1 G N,.3 3,正 确；对 于，当 F 为 棱 力 8 中 点 时，设 点 C 到 面 尸%的 距 离 为 人 由 知 MN=1,又 MF=NF=2,Jlij MF Y NF,c1 V2 V2 1 c 1 夜 血 G 百 2 2 2 4,“叱 2 2 2 2 8,M 到 平 面/8 C 的 距 离“6MG=3,1 1,1 73 5/3,1由 Q MFN=%-M F N=KM-BFN 得 3 4 3 8

30、3,解 得 2,正 确；对 于，将 等 边 三 角 形/5 C 与 力 8。沿 展 开，可 得 展 开 图 如 图 所 示，则 MF+N F N M N,当 且 仅 当 尸 为/8 中 点 时 取 等 号，.四 边 形/C 8 O 为 菱 形，知，N 分 别 为 AD，B C 中 点，：.M N=y i，:.M F+N F N 6,在 四 面 体/8 C O 中，尸 M N周 长 的 最 小 值 为 a+1,错 误;对 于，三 棱 锥 力 一 尸 的 体 积 等 于 三 棱 锥 尸-N O C的 体 积，因 为 L。为 定 值，而 点 尸 到 平 面/的 距 离 随 着 点 尸 的 变 化 而

31、 变 化，所 以 错 误 故.三、解 答 题 1 7.如 图 是 某 种 水 箱 用 的“浮 球”，它 是 由 两 个 半 球 和 一 个 圆 柱 筒 组 成.已 知 球 的 半 径 是 2 c m,圆 柱 筒 的 高 是 2cm.(1)求 这 种“浮 球”的 体 积；(2)要 在 100个 这 种“浮 球”的 表 面 涂 一 层 防 水 漆，每 平 方 厘 米 需 要 防 水 漆 0 6 g,共 需 多 少 防 水 漆？(cm)3(1)3 1200磔【分 析】(1)由 球 的 体 积 公 式 和 圆 柱 的 体 积 公 式 求 解 即 可；(2)由 球 的 表 面 积 公 式 和 圆 柱 的

32、 侧 面 积 公 式 求 解 即 可.【详 解】(1)因 为 该“浮 球”的 圆 柱 筒 底 面 半 径 和 半 球 的 半 径 r=2 c m,圆 柱 筒 的 高 为 V.=7rr3=-(cm)32 c m,所 以 两 个 半 球 的 体 积 之 和 为 3 3,-2,Q r、3/=匕+匕=%(cm)3圆 柱 的 体 积 匕=8乃(c m),该“浮 球,，的 体 积 是 3；(2)根 据 题 意，上 下 两 个 半 球 的 表 面 积 是 E=4/=16)(cm)2,而，浮 球，的 圆 柱 筒 侧 面 枳 为 52=271rh=8 乃(cm f“浮 球”的 表 面 积 为 S=$+S 2=2

33、 4 c m)所 以 给 1 0 0个 这 种 浮 球 的 表 面 涂 一 层 防 水 漆 需 耍 1 0 x 24%x0.5=12001 g1 8.甲，乙 二 人 进 行 乒 乓 球 比 赛，规 定：胜 一 局 得 3 分，平 一 局 得 1分，负 一 局 得 0分.已 知 甲，乙 共 进 行 了 三 局 比 赛.(1)用(9)表 示 甲 胜 三 局 时 甲，乙 二 人 的 得 分 情 况，写 出 甲，乙 二 人 所 有 的 得 分 情 况，并 求 甲，乙 二 人 得 分 之 和 为 9 分 的 概 率.(2)如 果 甲 乙 二 人 进 行 三 局 两 胜 制 的 比 赛，假 设 每 局 比

34、 赛 甲 获 胜 的 概 率 为 0.6,乙 获 胜 的 概 率 为 0 4 利 用 计 算 机 模 拟 实 验：用 计 算 机 产 生 1 5 之 间 的 随 机 数，当 出 现 随 机 数 1,2 或 3 时，表 示 一 局 比 赛 甲 获 胜，当 出 现 随 机 数 4 或 5 时，表 示 一 局 比 赛 乙 获 胜.由 于 要 比 赛 三 局，所 以 3 个 随 机 数 为 一 组，现 产 生 了 2 0组 随 机 数：123 344 423 114 423 453 354 332 125 342534 443 541 512 152 432 334 151 314 525 用 以 上

35、 随 机 数 估 计 甲 获 胜 概 率 的 近 似 值；计 算 甲 获 胜 的 概 率.(1)详 见 解 析；0.65.0.648.【分 析】(1)由 题 可 得 甲，乙 二 人 所 有 的 得 分 情 况，然 后 利 用 古 典 概 型 概 率 公 式 即 得;(2)利 用 随 机 数 估 计 可 得 甲 获 胜 概 率 的 近 似 值，然 后 利 用 互 斥 事 件 概 率 求 和 公 式 及 独 立 事 件 的 乘 法 公 式 可 得 甲 获 胜 的 概 率.【详 解】(1)甲，乙 二 人 所 有 的 得 分 情 况 为：(9,0),(7,1),(6,3),(5,2),(4,4),(3

36、,6),(3,3),(2,5),(1,7),(0,9)共 否 种,其 中(9,0),(6,3),(3,6),(0,9)这 4种 情 形 符 合 题 意,P=-故 甲、乙 二 人 得 分 之 和 为 9 分 的 概 率 为 5.(2)设 事 件/=甲 获 胜，事 件 8=单 局 甲 获 胜，则 P(8)=0.6,计 算 机 产 生 的 20个 随 机 数 相 当 于 做 了 20次 重 复 试 验，其 中 事 件/发 生 了 13次：对 应 的 数，组 为：123,423,114,423,332,125,342,512,152,432,334,151,314,用 频 率 估 计 13尸(4)=0

37、.65事 件 力 的 概 率 近 似 值 为 20；由 题 可 知 甲 获 胜 为 甲 前 两 局 获 胜 或 第 三 局 获 胜 前 两 局 有 一 局 获 胜，.P(A)=0.6x 0.6+0.4 x0.6x0.6+0.6x0.4 x0.6=0.64819.如 图，在 正 方 体 44cl2 中，点 历，m p,E,尸 分 别 是 的 中 点 证 明：EF 平 面 A R B；（2）求 O P与 面 NN尸 所 成 角 的 正 弦 值；（3）请 判 断 直 线 E F与 平 面 M N P的 位 置 关 系（不 需 说 明 理 由）.（1）证 明 见 解 析 V3 3（3）E F u 平

38、面 MNP【分 析】（1）证 明）2 后 可 得 线 面 平 行；（2）由 体 积 法 求 得。到 平 面 M N P的 距 离 为 力 然 后 由 线 面 角 的 定 义 可 得：设。P 与 平 sin 0=-面 M NP所 成 角 是 九 则 D P.（3）根 据 平 面 的 基 本 性 质 证 明 点 共 面 后 可 得.【详 解】（1）证 明：正 方 体 中 水；/R,又 E F fIB C、，：.E F/曲,u 平 面 AD、B,EF 2 平 面.用/平 面 4。3门 十，山 MB MN=五，MA=l,PD=l,S&MND=g，Vp-MND=gs,MNDPD=L(2)设 正 方 体

39、的 棱 长 是 2,2 3 6,P D l A B C D,MZ)u 平 面 Z 8 C D,则 尸。_LM),PM=yJPD2+D M2=IPD2+DA2+A M2=娓,PN=MN=6,S4M N P=彳*x.U）2-（#）2=#2 2,设 点。到 平 面 M N P的 距 离 为 力 V3.Q_ d _ V3则 有=3,设。尸 与 平 面 M NP所 成 角 是 久 则 DP 3.（3）E F u平 面 朋 NP理 由：取 4 A 的 中 点 G,连 接 PG,EG,MF,如 图，由 正 方 体 及 中 点，有 GE B Q、PF BD MN,同 理 可 得/NE PG,7/尸 尸 得,汽

40、,尸,尸 共 面，M F/N E,也，尸,M E共 面，这 两 个 平 面 有 公 共 的 不 共 线 的 三 点/，M 尸（它 们 确 定 一 个 平 面），因 此 它 们 重 合.即 M，N,P，E 共 面，同 理 可 G 也 在 这 个 平 面 内，所 以 E F u平 面 M NP.G2 0.已 知 a/B C 的 内 角 4 B,C 的 对 边 分 别 为 Q,h,c,若.(请 从 sin2 4+sin?-s i n2 C=sinZ sinB；2a=VJcsin 4+ocosC；(2 sin/-sin 8)a=2c sin C+(sin/-2 sin B)b这 三 个 条 件 中 任

41、 选 一 个 填 入 上 空)(1)求 角 C；若，=6时，求 8 c 周 长 的 最 大 值.C=&(1)3(2)18【分 析】(1)若 选，首 先 根 据 正 弦 定 理 得 到。2+/-/=,再 利 用 余 弦 定 理 即 可 c=X得 到 一 I，若 选，首 先 根 据 正 弦 定 理 得 到 2 s in/=G s in C s in/+s i n/c o s C,再 利 C=-用 辅 助 角 公 式 即 可 得 到 3,若 选，首 先 根 据 正 弦 定 理 得 到 2d-a b=2c、a b-2 b。,再 利 用 余 弦 定 理 即 可 得 到 3.(2)利 用 余 弦 定 理

42、再 结 合 基 本 不 等 式 求 解 即 可.【详 解】(1)若 选，因 为 sin?yi+sin2 5-s in2 C=sin A sin B,c a2+b2-c2 1所 以 2+/一/=M，8 5 1-2ab 2,C/因 为 0 C,所 以 3.若 选，因 为 2=V3c sin J 4-6 7 cos C 所 以 2 sin 力=百 sin C sin 4+sin A cos C,V3sinC+cosC=2sin C+=2 sin C+=1因 为 sin力 0,所 以 I 6 J,即(6)一 冗 CC H冗 口 7i CC n 冗 c nH=-C=一 因 为 6 6 6,所 以 6 2

43、,即 3.若 选，因 为(2 sin 4-sin B)=2c sin C+(sin 4 一 2 sin 8所 以 2a2一。6=2。2+。人 一 2，g|j a2+/?2-c2=ab,a2+h2-c2 1 7i所 以-lab 2,0 C,所 以-T.C=-由 可 得 3,由 余 弦 定 理：3,即(0+刀-3=36(+4.3 6/(“+及 所 以 4,解 得。+6412,当 且 仅 当 a=6时 取 等 号.所 以 A/8C 周 长 的 最 大 值 是 18.21.如 图，正 方 形 4 8 8 的 边 长 为 2,E,F 分 别 是 边 4 8 及 8 c 的 中 点，将 A/。，8EF及

44、AOCF折 起，使 点 4 c,8 重 合 于 点 4；(1)证 明：平 面 平 面 4 E F；(2)求 二 面 角 A D F-E 的 余 弦 值.证 明 见 解 析 2【分 析】(1)由/，4 0 4 证 得 4。,平 面 也 b，即 可 证 得 平 面 4。/，平 面 4 万 尸；(2)取 E尸 的 中 点 M,过 点 4 作 于 M 过 点 N 作 N P L E D 于。，却 是 二 面 角 的 平 面 角，求 出 相 关 边 长，即 可 求 解.详 解(I)；CD，CF,，又.NOJ.力 E,.4。，4 万，又.4E4Eu 平面 4 E F,4 F c 4 E=4,.4J平 面

45、4 厂，又.ZQu平 面.平 面/。/,平 面 同 石 厂；取 E尸 的 中 点/,连 结 4 M，O M,过 点 4 作 4 N L M D 于 N,过 点 N 作 N P，E D 于。,连 接 4,因 为 DE=DF，4E=4 F,则 4 A/_L*尸,Q M _L 7二 又 A、M c D M=M,4A/,Z)A/u 平 面 力 0 阳 则 E E,平 面 A】D M 又 AN u 平 面 ZQA/则 E F J.4 N,又 M D c E F=M,MD,EFu 平 面 DEF,则 平 面 c,又 DF u 平 面 DEF,则 4 N 1。尸，又 A、N c N P=N,AN,NP u

46、平 面 4 N P,则 O F J平 面 4 人 户，又/f u 平 面 4 N P则 4 P _ L O F,则 4/N 是 二 面 角 的 平 面 角,EF=y/2,A,M=,AiD=2,DF=y/5,DM=在 A4 M。中，23A/2A N=1M A1D=2 MN=D M 3,丁 三 V2-=-2 9 6472D N=-则 3,易 得 及 P N D M F,则 D N M F 475 A N 亚 NP=-=,tan ZA.PN=z.D.,OF 15 NP 2,4/N 为 三 角 形 内 角，cos/4 PN 2则 3,所 以 二 面 角 4-E 的 平 面 角 的 余 弦 值 是 3.

47、22.随 着 高 校 强 基 计 划 招 生 的 持 续 开 展，我 市 高 中 生 抓 起 了 参 与 数 学 兴 趣 小 组 的 热 潮.为 调 查 我 市 高 中 生 对 数 学 学 习 的 喜 好 程 度，从 甲、乙 两 所 高 中 各 随 机 抽 取 了 40名 学 生，记 录 他 们 在 一 周 内 平 均 每 天 学 习 数 学 的 时 间，并 将 其 分 成 了 6个 区 间：(，10、(10,20(20,30(30,40(40,50例 则，整 理 得 到 如 下 频 率 分 布 直 方 图:(1)求 图 1 中。的 值，并 估 计 甲 高 中 学 生 一 周 内 平 均 每

48、天 学 习 数 学 时 间 的 众 数；(2)估 计 乙 高 中 学 生-周 内 平 均 每 天 学 习 数 学 时 间 的 均 值 坛 及 方 差 或(同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作 代 表)；(3)若 从 甲、乙 两 所 高 中 分 别 抽 取 样 本 量 为 加、的 两 个 样 本，经 计 算 得 它 们 的 平 均 数 和 方 差 分 别 为：嚏、s：与 N、s；,记 总 的 样 本 平 均 数 为)，样 本 方 差 为$2,证 明：(1)。=0.0 3 5,众 数 是 35%乙=27.5 s,=178.75(3)证 明 见 解 析；证 明 见 解

49、析【分 析】(1)利 用 频 率 分 布 直 方 图 中 所 有 矩 形 面 积 之 和 为 1可 求 得。的 值，根 据 频 率 分 布 直 方 图 可 计 算 得 出 甲 高 中 学 生 一 周 内 平 均 每 天 学 习 数 学 时 间 的 众 数；(2)将 图 2 中 每 个 矩 形 底 边 的 中 点 值 乘 以 对 应 矩 形 的 面 积，可 求 得 私，再 利 用 方 差 公 式 可 求 得 立；(3)利 用 平 均 数 公 式 可 证 得 结 论 成 立；%-卬)=力 7 弟-w)=0 推 导 出，T 内，再 利 用 方 差 公 式 可 证 得 结 论 成 立.【详 解】解：由

50、 频 率 分 布 直 方 图 可 得(.05+2+0Q25+0.015)x10=1,解 得。=0.035,30+40 甲 高 中 学 生 一 周 内 平 均 每 天 学 习 数 学 时 间 的 众 数 是 2(2)解 方 乙=5 x 0.1+15 x 0.2+25 x 0.3+35 x 0.2+45 x 0.15+55 x 0.05=27.54=(5-27.5)2 X o.1+(15-27.5)2 x 0.2+(25-27.5)2 x 0.3+(35-27.5)2 x 0.2+(45-27.5)2 x 0.15+(55-27.5)2 x 0.05=178.75 nix+nv m-n w=-=-