专题11 等比数列 -备战2022年高考数学一轮复习（真题+模拟）训练（解析版）.doc

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1、专题11 等比数列第一部分 真题部分一、选择题1（2021浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A直线和圆B直线和椭圆C直线和双曲线D直线和抛物线【答案】C【解析】由题意得，即，对其进行整理变形：，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.2（2021全国高考真题）设正整数，其中，记则（ ）ABCD【答案】ACD【解析】对于A选项，所以，A选项正确；对于B选项，取，而，则，即，B选项错误；对于C选项，所以，所以，因此，C选项正确；对于D选项，故，D选项正确.故选：ACD.3（2020全国高考真题（文）设是等比数列，且，则（ ）A12B24C30D32【答案】D【解析】设

2、等比数列的公比为，则，因此，.故选：D.4（2020全国高考真题（理）数列中，若，则（ ）A2B3C4D5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，则，解得.故选：C.5（2019全国高考真题（理）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）A16B8C4D2【答案】C【解析】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C二、填空题6（2021江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，成等差数列，则的值是_.【答案】4【解析】因为为等比数列，且公比为，所以，且，.因为，成等差数列，所以，有，解得.故答案为：.7（2019全国高考真题（理）记S

3、n为等比数列an的前n项和若，则S5=_【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以8（2020江苏高考真题）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列已知数列an+bn的前n项和，则d+q的值是_【答案】【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：三、解答题9（2021天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64是公比大于0的等比数列，（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（i

4、i）证明见解析.【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.10（2021浙江高考真题）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，当时，由，得，得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，得；时，得；所以.11（2021

5、全国高考真题（文）设是首项为1的等比数列，数列满足已知，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和证明：【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】因为是首项为1的等比数列且，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）证明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.12（2021江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）由，得，又，是首项为3，公比为3的等比数列. （2），.（3）.13（2020山东高考真题）已知公比大于的等比数列满足（1）求的通项公式；（

6、2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.（2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个.所以.14（2020全国高考真题（文）设等比数列an满足，（1）求an的通项公式；（2）记为数列log3an的前n项和若，求m【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，根

7、据题意，有，解得，所以；（2）令，所以，根据，可得，整理得，因为，所以，15（2020全国高考真题（理）设数列an满足a1=3，（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn【答案】（1），证明见解析；（2）.【解析】（1）由题意可得，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，由得：，即.16（2020全国高考真题（理）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比

8、为，为的等差中项，；（2）设的前项和为，得，.17（2019上海高考真题）已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】（1）， ，由周期性可知，以为周期进行循环（2），恰好有两个元素或即或或（3）由恰好有个元素可知：当时，集合，符合题意； 当时，或因为为公差的等差数列，故 又，故当时，如图取，符合条件 当时，或因为为公差的等差数列，故 又，故当时，如图取，符合条件当时，或因为为公差的等差数列，故 又，故当时，如图取时，符合条件当时，或因为为公

9、差的等差数列，故 又，故当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或若，即，不是整数，若，即，不是整数，故不符合条件；综上：18（2020天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和【答案】（），；（）证明见解析；（）.【解析】()设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q0，可得，解得q

10、=2，从而的通项公式为.()证明：由()可得，故，从而，所以.()当n为奇数时，当n为偶数时，对任意的正整数n，有，和 由得 由得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.第二部分 模拟训练1已知函数，给出三个条件：；.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（ ）ABCD【答案】D【解析】已知函数，定义域为.若选，则，不是常数，则不是等比数列；若选，则，不是常数，则不是等比数列；若选，则，是常数，则是以为首项，以3为公比的等比数列，则.故选：D.2若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可知，若

11、数列为“梦想数列”，则，可得，所以，“梦想数列”是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”，则，所以，即正项数列是公比为的等比数列，因为，因此，.故选：D.3已知是定义在上的奇函数，且，.数列满足，其中是数列的前项和，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由数列满足，当，即所以数列是首项，公比的等比数列，由知函数对称轴为，又是奇函数，所以函数周期为.故选：D.4已知数列的前项和为且满足，下列命题中错误的是（ ）A是等差数列BCD是等比数列【答案】C【解析】时，因为，所以，所以，所以是等差数列，A正确；，公差，所以，所以，B正确；不适合，C错误；，数列是等比数列，D正确故选：C5数列中，若，则_【

12、答案】3【解析】因为，所以，所以，是等比数列，公比为2所以因为，所以故答案为：36在正项等比数列中，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为_.【答案】【解析】依题意，依题意存在，使得，即，即，所以，所以.当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故答案为：7定义函数，则函数在区间内的所有的零点之和为_.【答案】【解析】当1x时，f（x）12x12，所以，此时当x时，g（x）max0；当x2时，f（x）2412x，所以0；由此可得1x2时，g（x）max0下面考虑2n1x2n且n2时，g（x）的最大值的情况当2n1x32n2且n2时，由函数f（x）的定义知f（x）f（）f（），因为1，所以，此时当

13、x32n2时，g（x）max0；当32n2x2n时，同理可知，0由此可得2n1x2n且n2时，g（x）max0综上可得：对于一切的nN*，函数g（x）在区间(2n1，2n上有1个零点，从而g（x）在区间1，2n上有n个零点，且这些零点为xn32n2，因此，所有这些零点成等比数列，所有零点的和为故答案为：8已知各项都为正数的数列满足（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求的通项公式【答案】（1）证明见解析；（2）（）【解析】（1）由可得：因为各项都为正数，所以，所以是公比为3的等比数列.（2）构造，整理得：所以，即所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列.所以（）9已知是各项均为正数的等比数列，

14、.（1）求；（2）在平面直角坐标系中，设点列都在函数的图象上，若所在直线的斜率为，且，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，设正项等比数列的公比为，其中，因为，所以，则，解得或（舍），由得，则；（2）因为点列都在函数的图象上，所以，又所在直线的斜率为，所以，即，则，以上各式相加得，又，则.10对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.（1）若数列1，2，8是数列，求实数的取值范围；（2）设数列，是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的

15、不同数列，其所有项和分别记为、，求证：当且时，数列不是数列.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】解：（1）由题意得，所以；实数的取值范围是.（2）由题意得，该数列的前项和为，由数列是数列，得，故公差，对满足的所有都成立，则，解得，所以的取值范围是；（3）若是数列，则，因为，所以，又由对所有都成立，得恒成立，即恒成立，因为，故，所以，若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列可知，若中的每一项都在中，同理可得，若中至少有一项不在中，且中至少有一项不在中，设是将中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项之和分别为，不妨设中的最大项在中，设为，则，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确.