第六章 6.4.3 第3课时.docx

《第六章 6.4.3 第3课时.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章 6.4.3 第3课时.docx（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第3课时余弦定理、正弦定理应用举例学习目标1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.知识点一距离问题类型图形方法两点间不可到达的距离余弦定理两点间可视不可到达的距离正弦定理两个不可到达的点之间的距离先用正弦定理，再用余弦定理知识点二高度问题类型简图计算方法底部可达测得BCa，BCAC，ABatan C.底部不可达点B与C，D共线测得CDa及C与ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.点B与C，D不共线测得CDa及BCD，BDC，ACB的度数.在BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的

2、值.知识点三角度问题测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.()2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.()3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.()4.高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.()一、距

3、离问题例1如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则BC为 m.答案60()解析由题意知，ACB180307575，由正弦定理，BCsinCABsin 3060().反思感悟求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.跟踪训练1A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA7 km，CB5 km，C60，则A，B两点之间的距离为 km.答案解析由余弦定理，得AB2CA2CB22CACBcos C725227539.AB.二、高度问题例2如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河

4、岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是()A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m答案D解析在BCD中，CD10 m，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得，BC10(m).在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(m).反思感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.跟踪训练2某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为3

5、5，沿倾斜角为20的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65，则山的高度为 m.(精确到1 m)答案811解析如图，过点D作DEAC交BC于点E，因为DAC20，所以ADE160，于是ADB36016065135.又BAD352015，所以ABD30.在ABD中，由正弦定理，得AB1 000(m).在RtABC中，BCABsin 35811(m).所以山的高度为811 m.三、角度问题例3甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则在

6、ABC中，BCat海里，ACat海里，B9030120，由，得sinCAB，0CAB60，CAB30，DAC603030，甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇.跟踪训练3当太阳光与水平面的倾斜角为60时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是()A.15 B.30 C.45 D.60答案B解析设竹竿与地面所成的角为，影子长为x m.由正弦定理，得，xsin(120).30120 B.C.90 D.180答案B2.两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile,2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35的方向上，灯塔B在观测站的南偏

7、东25的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()A.3a n mile B.a n mileC.a n mile D.a n mile答案B解析由余弦定理，得ABa(n mile).3.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为()A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m答案D解析由题意知，AB30，所以C1803030120，由正弦定理，得，即AB4(m).4.如图，已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10 B.北偏西10C.南偏东10 D.

8、南偏西10答案B解析如题图，因为ABC为等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010.所以灯塔A在灯塔B的北偏西10.5.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为()A.(3030)m B.(3015)mC.(1530)m D.(1515)m答案A解析在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理，得PB30()m，所以建筑物的高度为PBsin 4530()(3030)m.6.某

9、船开始看见一灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45 km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 km.答案15解析设灯塔位置为A，船的初始位置为O，船的终止位置为B，由题意知AOB30，OAB120，所以由正弦定理，得AB15，即此时船与灯塔的距离是15 km.7.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，则x cm.答案解析如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，则在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理，得x (cm).8.一

10、艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔间的距离为 km.答案30解析如图所示，在ABC中，BAC30，ACB105，则ABC45，AC60 km，根据正弦定理，得BC30(km).9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求sin .解(1)依题意，知BAC120，AB6，AC5210.在ABC中，由余

11、弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC621022610cos 120196，解得BC14，v甲7(n mile/h)，所以渔船甲的速度为7 n mile/h.(2)在ABC中，AB6，BAC120，BC14，BCA.由正弦定理，得，即sin .10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.求索道AB的长.解在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Ac

12、os Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.11.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于()A.10 m B.5 mC.5(1) m D.5(1) m答案D解析方法一设ABx，则BCx.BD10x.tanADB.解得x5(1).A点离地面的高AB等于5(1) m.方法二ACB45，ACD135，CAD1801353015.由正弦定理，得ACsinADCsin 30 .ABACsin 455(1)m.12.已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，

13、若从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75视角，则B岛与C岛之间的距离是()A.10 海里 B. 海里C.5 海里 D.5 海里答案D解析如图所示，C180607545，AB10 海里.由正弦定理得，所以BC5(海里).13.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30 B.45 C.60 D.75答案B解析依题意可得AD20，AC30，又CD50，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.14.如图所示，位于A

14、处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为 .答案解析由题图知，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20，由正弦定理得sinACBsinBAC，由BAC120知ACB为锐角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.15.如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船.在A处

15、北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t，BD10t，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206.BC.又，sinABC，又0ABC60，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理得，sinBCD.又0BCD60，BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶.又在

16、BCD中，CBD120，BCD30，CDB30，BDBC，即10t.t(小时)15(分钟).缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.16.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离.解由题意得在ABC中，ABAC1.5812(km).在ACD中，ADAC1.52030(km).设ACx km，AB(12x)km，AD(30x)km.在ABC中，cosACB，在ACD中，cosACD.B，C，D在一条直线上，即，解得x.AB km，AD km.即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.