【100所名校】2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学（理）试题（解析版）.docx

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1、2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学（理）试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知集合A=1，2，3，4，B=2，4，6，8，则AB中的元素个数是A2 B3 C

2、6 D82已知向量a=-1,2,b=m,1，若ab，则m=A-2 B-12 C12 D23设x,y满足约束条件3x+2y-60x0y0，则z=x-y的最大值是A-3 B0 C2 D34已知等比数列an中，a3=-2,a7=-8,则a5=A-4 B4 C4 D165“a1”是“指数函数fx=3-2ax在R单调递减”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N0,42，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量服从正态分布N,2，则P-+=68.26%，P-2b且cb时称为“凹数”，若a,b,c

3、1，2，3，4，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A13 B532 C732 D71211将函数fx=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移6个单位后得到函数gx的的图像，若函数gx在区间0,a9与2a,4上均单调递增，则实数a的取值范围为A1312,2 B1312,32 C76,2 D76,3212已知OA,OB,OC均为单位向量，满足OAOB=12,OAOC0,OBOC0，设OC=xOA+yOB，则x+y的最小值为：A-233 B0 C33 D1二、填空题13已知函数fx=log3x,x09x,x0,则ff-1=_14设x,y为正实数，且x+y

4、=1，则2x+1y的最小值为_15函数fx=sinx21+cosx的最大值为_16下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为_三、解答题17已知在递增的等差数列an中,a1=2,a3是a1和a9的等比中项(I)求数列an的通项公式；(II)若bn=1n+1an，Sn为数列bn的前n项和，求Sn18在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足sinB+C=233sin2A2(I)求角A的大小；()若a=27,bc，D为BC的中点，且AD=3,求sinC的值19某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，

5、辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数b,a精确到0.01)；(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少参考公式：b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx参考数据：i=16xiyi=187.4,i=16xizi=47.64,i=16xi2=139,ln1.030.03,ln1.020.02.20已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,an+1=2+Sn(I)求数列an的通项公式；()设bn=3n-1an，求

6、数列bn的前n项和Tn21依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I级灾害的概率；()黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.22已知fx=ex(e为自然对数的底数，e=2.71828)，函数y=gx与y=fx图象关于直线y=x对称，函数f

7、x-gx的最小值为m(I)求曲线y=gx+2在点1，2的切线方程；()求证：2m52；(III)求函数Fx=fx-m-gx的最小值好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2数学 答 案参考答案1C【解析】【分析】先写出AB，再看AB的个数.【详解】由题得AB=1，2，3，4，6,8，故AB的元素的个数为6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2D【解析】【分析】由题得ab=0，解方程即得m的值.【详解】由题得ab=-m+2=0,m=2.故答案为：D【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在

8、考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.3C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可【详解】x，y满足约束条件3x+2y-60x0y0的可行域如图：目标函数z=xy，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，由y=03x+2y-6=0解得B（2，0），目标函数的最大值为2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键4A【解析】【分析】由题得a52=a3a7，解之即得解.【详解】由题得a52=a3a7,a52=16,a5=4.因为等比数列的奇数项同号，所以a5=-4，故答案为：A【点睛】本题主要考查

9、等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5B【解析】【分析】先化简“指数函数fx=3-2ax在R单调递减”得1a32，再利用充要条件的定义判断得解.【详解】因为“指数函数fx=3-2ax在R单调递减”，所以03-2a1,1a1”是“指数函数fx=3-2ax在R单调递减”的必要非充分条件.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题p、q和集合A、B的对应关系.p:A=x|p(

10、x)成立，q:B=x|q(x)成立；最后利用下面的结论判断：若AB,则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分非必要条件；若BA,则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要非充分条件；若AB且BA，即A=B时，则p是q的充要条件.6B【解析】【分析】由题意,利用正态分布的对称性，即可得出结论【详解】由题意P（44）=0.6826，P（88）=0.9544，可得P（48）=12（0.95440.6826）= 0.1359故答案为：B【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题7D【解析】由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边

11、长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为，故选D.8A【解析】试题分析：因,故当时,函数单调递增; 当时,函数单调递减; 当时,函数单调递增.故应选A.考点：导数与函数单调性的关系9B【解析】【分析】先化简x+1x2-16=(x+1x2)-16，再利用二项式定理的通项分析得解.【详解】由题得x+1x2-16=(x+1x2)-16，设Tr+1=C6r(x+1x2)6-r(-1)r=C6r(-1)r(x+1x2)6-r,对于二项式(x+1x2)6-r，设其通项为Uk+1=C6-rkx6-r-k(1x2)k=C6-rkx6-r-3k，令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,kN,方程的解为r=1,k=

12、1或者r=4,k=0.所以x+1x2-16展开式x2的系数为C61(-1)1C51+C64(-1)4C20=-15.故答案为：B【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式中的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.10C【解析】【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有444=64个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有C432=8种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有C421=

13、6种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=1464=732.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11B【解析】【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围【详解】将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cosx2的图象；然后向右平移6个单位后得到函数g（x）=cosx-62=cos（x212）的图象，若函数g（x）在区间0，a9与2a，4上均单调递增，则 012=12，12a9120，且2

14、a2122k，42122k，kZ解得1312a32，故答案为：B【点睛】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题12C【解析】【分析】由题意可设C（cos ，sin ），设A（12，32），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值【详解】由|OC|=1可设C（cos ，sin ），又OAOB=12，所以cosBOA=12,所以BOA=3.因为|OA|=|OB|=1，可设A（12，32），B（1，0），OC=xOA+yOB，所以12x+y=cos32x=sin,x=2sin3,y=cos-sin3,所以x+y=cos

15、+sin3=33(sin+3cos)=233sin(+3),因为OBOC0,所以cos0,（1）因为OAOC0，所以12cos+32sin0，（2）由（1）（2）得-62,6+356,所以当+3=6时，x+y最小值为23312=33.故答案为：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题13-2【解析】【分析】先求f(-1),再求ff-1的值.【详解】由题得f(-1)=9-1=19.所以ff-1=f(19)=log319=log33-2=-2.故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对

16、这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.143+22【解析】【分析】由题得2x+1y=(2x+1y)1=(2x+1y)(x+y),再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得2x+1y=(2x+1y)1=(2x+1y)(x+y)=3+2yx+xy3+22yxxy=3+22,当且仅当x0,y0x+y=12yx=xy即x=2-2,y=2-1时取等.故答案为：3+22【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15439【解析】【分析】先化简f(x)=2sinx2(1-sin2x2)，再利用基本不等式求f2(x)的最大值，即得f(x)的最大值.【详解】由题得f(x

17、)=sinx2(1+2cos2x2-1)=2sinx2cos2x2=2sinx2(1-sin2x2)，所以f2(x)=4sin2x2(1-sin2x2)(1-sin2x2)=22sin2x2(1-sin2x2)(1-sin2x2)2(2sin2x2+(1-sin2x2)+(1-sin2x2)3)3=1627,所以f(x)433=493.故答案为：439【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.164【解析】【分析】利用观察法及定义可知第1行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，进一步分析得知第j列数

18、组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，同时分别求出通项公式，从而得知结果【详解】第i行第j列的数记为Aij那么每一组i与j的解就是表中一个数因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j1）1=j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以Aij=j+1+（i1）j=ij+1令Aij=ij+1=2019，即ij=2018=12018=20181=21009=10092故表中2019共出现4次故答案为：4【点睛】此题考查行列模型的等差数列的求法，解答的关键是分析出A

19、ij=j+1+（i1）j=ij+1.17 (I)an=2n (II)Sn= n2(n+1)【解析】【分析】(I)根据已知求出d=2，再写出数列an的通项公式. (II) 由题意可知bn=12n(n+1)=12(1n-1n+1)，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为d,因为a32=a1a9，所以(2+2d)2=2(2+8d)，解得d=2或d=0舍，所以an=2n. (II)由题意可知：bn=12n(n+1)=12(1n-1n+1) 所以Sn= 12(1-12+12-13+.+1n-1n+1)=n2(n+1).【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知

20、识的掌握水平和分析推理能力.18(I)A=23;(II)sinC=2114.【解析】【分析】(I)化简sin(B+C)=233sin2A2得tanA2=3，求出A=23 . ()由题意可知cosADB=-cosADC，化简得b2+c2=20，再结合余弦定理求出b=4,c=2，再利用正弦定理求出sinC的值【详解】(I)sin(B+C)=233sin2A2，所以sinA=233sin2A2，所以tanA2=3因为A(0,)，所以A2=3，所以A=23 ()由题意可知：cosADB=-cosADC所以7+3-c2273=-7+3-b2273所以b2+c2=20， 又因为a2=c2+b2-2bcco

21、sA，所以bc=8 ， 因为bc，所以b=4,c=2 由正弦定理可得asinA=csinC，所以sinC=2114【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19(I)z与x的线性回归方程是z=-0.36x+3.63 (II)当使用年数为10年时售价约为1.03万元【解析】【分析】(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程. (II)先求出y关于x的回归方程是y=e-0.36x+3.63, 令x10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】(I)由题意，知x=16(2+3+4+5+6+7)=4.5， z=16(3+

22、2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2，又i=16xizi=47.64,i=16xi2=139所以b=47.64-64.52139-64.52=-6.3617.5-0.363， 所以a=z-bx=2+0.3634.5=3.63，所以z与x的线性回归方程是z=-0.36x+3.63；(II)因为z=lny,所以y关于x的回归方程是y=e-0.36x+3.63,令x10，得y=e-0.3610+3.63=e0.03,因为ln 1.030.03，所以y=1.03，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在

23、考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20(I)an=2n(II)Tn=(12n-7)2n-1-1.【解析】【分析】(I)利用项和公式求数列an的通项公式. ()利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn.【详解】(I)由题意可知：当n2时，an=2+Sn-1，又因为an+1=2+Sn，所以an+1=2an， 又因为当n=1，a2=4，所以a2=2a1 所以an 等比数列，且an=2n （2）Tn=22+522+.+(3n-1)2n 2Tn=222+523+.+(3n-1)2n+1-Tn=4+322+323+.+32n-(3n-1)2n+1=4+31-2n-11-2-(3n-1)2n+1 =

24、1+(7-12n)2n-1所以Tn=(12n-7)2n-1-1【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21 (I)0.155(II)EX2EX3EX1，因此企业应选方案二【解析】【分析】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件A1，“水位在40米至50米之间”为事件A2，“水位大于50米”为事件A3，分别求出它们发生的概率，记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件B1，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件B2，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件B3，分别求出它们发生的概率，再利用PB

25、=PA1B1+PA2B2+PA3B3=PA1PB1+PA2PB2+PA3PB3求解. （II）以企业利润为随机变量，分别计算出三种方案的利润，再选择.【详解】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件A1，“水位在40米至50米之间”为事件A2，“水位大于50米”为事件A3，它们发生的概率分别为：PA1=0.02+0.05+0.065=0.65,PA2=0.04+0.025=0.30，PA3=0.015=0.05 记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件B1，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件B2，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件B3，所以PB1=0.1

26、,PB2=0.2,PB3=0.6 记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件B则PB=PA1B1+PA2B2+PA3B3=PA1PB1+PA2PB2+PA3PB3=0.650.10+0.300.20+0.050.60=0.155估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155（II）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润X1（万元）的取值为：500,-100,-1000，由（I）知PX1=500=0.650.9+0.300.75+0.050=0.81,PX1=-100=0.155,PX1=-1000=0.650+0.300.05+0.050.40=0.035X1的分布列为X15001001000

27、P08101550035则该企业在8月份的利润期望EX1=5000.81+-1000.155+-10000.035=354.5（万元）选择方案二，则X2（万元）的取值为：460,-1040，由（I）知，PX2=460=0.81+0.155=0.965,PX2=-1040=0.035，X2的分布列为：X24601040P0.9650.035则该企业在8月份的平均利润期望EX2=4600.965+-10400.035=407.5（万元） 选择方案三，则该企业在8月份的利润为：EX3=500-100=400（万元） 由于EX2EX3EX1，因此企业应选方案二【点睛】本题主要考查概率的计算，考查随机变

28、量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22(I)y=x+1()见解析(III)F(x)min=0【解析】【分析】(I)由题意可知g(x)=lnx ,再利用导数的几何意义求切线方程. () 令h(x)=f(x)-g(x)=ex-lnx，求出函数fx-gx的最小值m=h(x0)=ex0-lnx0=1x0+x0，再根据x0(12,1)得到2m0，h/(12)=e-20，又因为h/(x)在R+上单增所以存在唯一的x0(12,1)，使得h/(x0)=0，即 ex0=1x0，当x(0,x0),h/(x)0，所以h(x)单减，同理h(x)在(x0,+)单增， 所以m=h(x0)=

29、ex0-lnx0， 因为ex0=1x0，所以-lnx0=x0所以m=ex0-lnx0=1x0+x0因为x0(12,1)，所以2m0, F/(1)=e1-m-10，所以存在唯一的x1(1,m)，使得F/(x1)=0，即ex1-m=1x1F(x)在0,x1单减， 在x1,+单增 所以F(x)min=F(x1)=ex1-m-lnx1=1x1+x1-m=1x1+x1-x0-1x0 因为ex1-m=1x1ex0=1x0m=x0+1x0 所以lnx1=x0+1x0-x1lnx0=-x0， 所以lnx1x0=1x0-x1 令x0x1=t,则x1=tx0，所以lnt=1x0-tx0=1-tx0因为t-1tlntt-1 所以t-1t1-tx0t-1 由1-tx0t-1，可得(t-1)(1+1x0)0，所以t1所以1-tx00，t-1t0，所以t=1，即x0x1=1， 所以F(x)min=0【点睛】本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.好教育云平台 名校精编卷答案 第9页（共12页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第10页（共12页）