【100所名校】2019届上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试题（解析版） .docx

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1、2019届上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充

2、分必要条件 D 既不充分也不必要条件2若函数f(x)的反函数为f-1(x)，则函数f(x-1)与f-1(x-1)的图象可能是A B C D 3在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则ABC为直角三角形；（3）若cosAa=sinBb=cosCc，则ABC为等腰直角三角形；（4）若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则ABC为正三角形；以上正确命题的个数是A 1 B 2 C 3 D 44f(x)是定义在D上的函数，且3D，若f(x)的图像绕原点逆时针旋转6后与原图像重合，

3、则在以下各项中，f(3)的可能取值只能是A 0 B 1 C 2 D 3二、填空题5集合A=0,1,2018的真子集有_个6设全集U=R，M=x|x24，N=x|3x1，则图中阴影部分所表示的集合是_（用区间表示）7命题“若实数a、b满足a+b5，则a2或b3”是_命题（填“真”或“假”）8某个时钟时针长6cm，则在本场考试时间内，该时针扫过的面积是_cm29函数f(x)=x-log121-axx-1是奇函数，则实数a的值为_10函数y=x+ax在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围为_11在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=3，c=2，A=3，则ABC的面积为_12已知

4、函数f(x)=x34，则f(3x-1)1在0,2上恒成立，则正实数a的取值范围为_14已知常数a0，函数f(x)=2x2x+ax的图像经过点P(p,65)、Q(q,-15)，若2p+q=16pq，则a=_15已知函数f(x)=-3x3-3x+3-x-3x+3，若f(3a2)+f(b2-1)=6，则a1+b2的最大值是_16已知函数f(x)=2-x1x212f(2x)0m），求区间m,n的最大长度；（3）关于x的不等式log2x+log2(tx+3t)0且a1）是否是(0,+)上的S函数，说明理由；（2）求证：f(x)=sinx是(0,)上的S函数，并求sinA+sinB+sinC的最大值（其中

5、A、B、C是ABC三个内角）；（3）若f(x)定义域为R， f(x)是奇函数，证明：f(x)不是R上的S函数； f(x)最小正周期为T，证明：f(x)不是R上的S函数.好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试题数学 答 案参考答案1B【解析】函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。2A【解析】【分析】f（x）和f1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a个单位后，得到的图象的解析式为f（xa）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的

6、对称轴也相应平移【详解】函数f（x1）是由f（x）向右平移一个单位得到，f1（x1）由f1（x）向右平移一个单位得到，而f（x）和f1（x）关于y=x对称，从而f（x1）与f1（x1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x1，排除B，D；A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得A选项有可能，C选项排除；故答案为：A【点睛】本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键3B【解析】【分析】

7、对每一个命题逐一分析得解.【详解】(1)若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=，所以A=B或A+B=2,所以ABC是等腰三角形或直角三角形，所以该命题是错误的.(2) 若sinA=cosB，所以sinA=sin(2-B),所以A=2-B或A+2-B=,A+B=2或A-B=2,则ABC不一定为直角三角形,所以该命题是错误的.(3) 若cosAa=sinBb=cosCc，所以cosAsinA=sinBsinB=cosCsinC，所以A=C=4，则ABC为等腰直角三角形，所以该命题是真命题.(4)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，所以cosA-B=cosB-C=c

8、osC-A=1，所以A=B=C,所以ABC是正三角形.所以该命题是真命题.故答案为：B【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4C【解析】【分析】直接利用定义函数的应用求出结果【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6个单位后与下一个点会重合我们可以通过代入和赋值的方法当f（3）=0，1，3时，此时得到的圆心角为0，6，3，然而此时x=0或者x=3时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当f(3)=2，此时旋转6，此时满足一个x只会对应一个y，

9、故答案为：C【点睛】本题考查函数的定义的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.57【解析】【分析】直接写出集合A的真子集即得解.【详解】集合A的真子集有，0，1，2018，0,1，0,2018，1,2018，所以集合A的真子集个数为7,故答案为：7【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.60,2【解析】【分析】先化简集合M和N，再求MN,再求CN(MN)即得阴影部分所表示的集合.【详解】由题得M=x|x2或x-2，N=x|x0，所以MN=x|x2，所以CN(MN)=x|0x2.所以阴影部分所表示的集合为0,2.故答案为：0,2【

10、点睛】本题主要考查韦恩图和集合的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7真【解析】【分析】先考虑其逆否命题“a2且b3则a+b5”的真假，即得原命题的真假.【详解】由题得原命题的逆否命题为“a2且b3则a+b5”，由不等式同向可加的性质得其逆否命题为真命题，所以原命题是真命题.故答案为：真【点睛】（1）本题主要考查原命题及其逆否命题，考查命题真假性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判

11、断它的逆否命题的真假性.86【解析】【分析】直接利用扇形的面积公式求解.【详解】由题得该时针扫过的面积为6036062=6.故答案为：6【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.9-1【解析】【分析】化简f(-x)+f(x)=0即得a=1，再检验得a=-1.【详解】由题得f(-x)+f(x)=-x-log121+ax-x-1+x-log121-axx-1=-log121+ax-x-1-log121-axx-1=0，所以-log121+ax-x-1=log121-axx-1,-x-11+ax=1-axx-1,所以(1-a2)x2=0,a=1，经检验a

12、=1不符合题意，所以舍去，故答案为：-1【点睛】本题主要考查奇函数的性质和对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.10a1【解析】【分析】先对函数求导得y=1-ax20在（1,2）上恒成立，再分离参数求出a的范围.【详解】由题得y=1-ax20在（1,2）上恒成立，所以ax2,a1.故答案为：a1【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究不等式的单调性和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般地，函数f(x)在某个区间可导 ，f(x)在某个区间是增函数 f(x)0 .1132【解析】【分析】利用余弦定理可得b，再利用三角形面积计算公式即可得出

13、【详解】a=3，c=2，A=3，a2=b2+c22bccosA，3=4+b24bcos3，化为b22b+1=0，解得b=1SABC=12bcsinA=1212sin3=32故答案为：32【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力1213,1)(2,+)【解析】【分析】由于函数f(x)=x34是定义域在0,+)上的增函数，所以3x-103x-11+x2,解不等式即得解.【详解】由于函数f(x)=x34是定义域在0,+)上的增函数，所以3x-103x-12或13x2【解析】【分析】由题得|2x-a|-x+1,再分1x2和0x1两种情

14、况讨论恒成立问题，即得解.【详解】由题得|2x-a|-x+1,当1x2时，-x+11恒成立.当0x1时，-x+10，所以2x-a-x+1或2x-ax-1，所以a3x-1或ax+1在0,1上恒成立，所以a2,因为a0,综合得a2.故答案为：a2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.144【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值【详解】函数f（x）=2x2x+ax的图象经过点P（p，65），Q（q，-15）则：2p2p+ap+2q2q+aq=65-15=1，整理得：2p+q+2paq+2qap+2p+q2p+q+2pa

15、q+2qap+a2pq=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=16pq，所以：a2=16，由于a0，故：a=4故答案为：4【点睛】本题主要考查函数的性质和指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.1533【解析】【分析】设g(x)=f(x)-3,再判断函数g(x)的奇偶性和单调性，再由f(3a2)+f(b2-1)=6得3a2+b2=1，再利用三角换元求函数a1+b2的最大值.【详解】设g(x)=f(x)-3,所以g(x)=-3x3-3x+3-x-3x,所以g(-x)=-3(-x)3+3x+3x-3-x,g(-x)+g(x)=0,所以g(-x)=-g(x),所以函

16、数g(x)是奇函数，由题得g(x)=-9x2-3-3-xln3-3xln30，所以a1+b2=33cos1+sin2=33(1+sin2)cos2=33(1+sin2)(1-sin2)=331-sin433，所以a1+b2的最大值为33.故答案为：33【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有三点，其一是构造函数g(x)得到函数g(x)的奇偶性和单调性，其二是由f(3a2)+f(b2-1)=6得3a2+b2=1，其三是利用三角换元求函数a1+b2的最大值.16(-17

17、,-115【解析】【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图像，由题得fx=k(x-1)有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k的取值范围.【详解】当1x2时，f(x)=-x+2,当12x1时，12x2，所以f(x)=12f（2x)=12(2-2x)=-x+1,当14x12时，122x1，所以f(x)=12f（2x)=12(-2x+1)=-x+12,当18x14时，142x12，所以f(x)=12f（2x)=12(-2x+12)=-x+14,当1160,所以x-y22,x-y22,+).所以函数f(t)=2t-3-t-2的值域为22,+).【点睛】(1)本题主要考查常量代换和基本不等式求最值，意

18、在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题的解题关键是对“1”的常量代换，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.20（1）7；（2）233；（3）(0,227.【解析】【分析】解不等式得其解集即得区间长度.(2) 由题意求出f（x）的定义域并化简解析式，判断出区间的范围和f（x）的单调性，由题意列出方程组，转化为m，n是方程f（x）的同号的相异实数根，利用韦达定理表示出mn和m+n，由判别式大于零求出a 的范围，表示出nm利用配方法化简后，由二次函数的性质求出最大值和a的值(3)先求出AB（0，6），再转化为不等式

19、组tx+3t0tx2+3tx-40，当x（0，6）时恒成立. 分析两个恒成立问题即得t的取值范围.【详解】解不等式76-x1得其解为-1x6，所以解集A区间长度为6-(-1)=7.(2) 由题意得，函数f（x）的定义域是x|x0，m，n是其定义域的子集，m，n（，0）或（0，+）f（x）=(1+1a)-1a2x在m，n上是增函数，由条件得f(m)=mf(n)=n，则m，n是方程f（x）=x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2（a2+a）x+1=0同号相异的实数根mn=1a20，m+n=a2+aa2=a+1a，则=（a2+a）24a20，解得a1或a3nm=(n+m)2-4mn=a2+2

20、a-3a2=-3a2+2a+1=-3(1a-13)2+43，nm的最大值为233，此时1a=13，解得a=3.即在区间m，n的最大长度为233(3) 因为x0,A=-1,6），AB的长度为6，所以AB（0，6）.不等式log2x+log2（tx+3t）2等价于x0tx+3t0tx2+3tx-40又AB（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组tx+3t0tx2+3tx-40，当x（0，6）时恒成立. 当x（0，6）时，不等式tx+3t0恒成立，得t0当x（0，6）时，不等式tx2+3tx40恒成立，即t4x2+3x恒成立 当x（0，6）时，4x2+3x的取值范围为(227，+)

21、，所以实数t227综上所述，t的取值范围为(0，227【点睛】本题考查一个新定义问题，即区间的长度，本题解题的关键是对于条件中所给的三种不同的题目进行整理变化，灵活解答函数的最值问题和恒成立问题.21（1）a1，是S函数；0a1，不是S函数；（2）见解析，最大值332；（3）见解析.【解析】【分析】(1)利用S函数的定义证明当0a1时，f(x)=logax不是(0,+)上的S函数. 当a大于1时，f(x)=logax不是(0,+)上的S函数.（2）利用S函数的定义证明f(x)=sinx是(0,)上的S函数，并利用S函数的性质求sinA+sinB+sinC的最大值.(3)利用举反例证明.【详解】

22、任取x1，x2R+,01时，在R+上，f(x)=logax单调递增，loga(x1x2)12logax1+x22,12f(x1)+f(x2)f(x1+x22),此时f(x)是R+上的S函数.同理可证，当0a1时，f(x)=logax不是(0,+)上的S函数.(2)12f(x1)+f(x2)-f(x1+x22)=12(sinx1+sinx2)-sinx1+x22,=sinx1+x22cosx1-x22-sinx1+x22,=sinx1+x22(cosx1-x22-1),x1,x2(0,),x1+x22(0,),sinx1+x220,cosx1-x22-10,12f(x1)+f(x2)-f(x1+

23、x22)0,12f(x1)+f(x2)f(x1+x22),所以f(x)=sinx是(0,)上的S函数.由S函数的性质有13(sinA+sinB+sinC)sinA+B+C3,所以sinA+sinB+sinC323,(sinA+sinB+sinC)max=323.（3）用举反例证明，令f(x)=sinx,所以f(x)=sinx是R上的周期为的奇函数，取x1=0,x2=-,所以12f(x1)+f(x2)=12（sin0+sin(-)=0,而f(x1+x22)=sin(-2)=-1,12f(x1)+f(x2)f(x1+x22)此时不成立，即在R上，f(x)=sinx不是S函数，故原命题得证.【点睛】本题主要考查新定义解题，考查学生对新定义的理解和掌握水平和利用新定义处理数学问题的能力.解题的关键是对新定义理解透彻.好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共14页）